2026年浙江省杭州中考数学专题复习：图形变换

**基本信息** 以平移、折叠、位似、对称、旋转五大变换为核心，通过例题+变式构建从基础到综合的训练体系，强化空间观念与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |平移|1例+5变式|坐标变换、动态面积与函数图像|平移性质→动态问题→函数建模| |折叠|2例+1变式|图形翻折与线段计算|轴对称性质→全等转化→几何推理| |位似|1例+4变式|坐标与位似中心、相似比|位似定义→坐标关系→面积比计算| |对称|1例+3变式|菱形对称性质应用|对称性质→图形变换→最值问题| |旋转|1例+1变式|旋转路径与阴影面积|旋转性质→弧长计算→面积转化|

2026年浙江省杭州中考专题复习： 图形变换 【例】平移问题 1将点P(-2,3)向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到点P的坐标是() A.(1,1 B.(1,5) c.（-5,1) D.（-5,5 【变式练习】 1.如图，在△ABC中，AC=BC,∠ACB=90°，S△ABc=4cm2.正方形CDEF的顶点D,F分别 在AC,BC边上，设CD=CF=x,△ABC与正方形CDEF重叠部分的面积为y,则下列图象中 能表示y与x之间的函数关系的是() B 52 25 2.如图1，将Rt△ABC沿斜边上的中线CM裁开，使△ACM沿射线AB方向平移，记作 △DFE,当它与△BCM重叠部分为五边形时，设平移距离为x,该五边形面积为y ∠A=30°时，图2为函数部分图象，抛物线经过原点，最高点为Nn,6V3,且经过点 I1.5,y),J5.5,y2).下列说法正确的是() N(n,63) 图1 图2 95 A.点 在函数图象上 2 B.y=y2 C.n=3 D.自变量x的取值范围为0<x<8 3.如图1的“方胜”由两个全等正方形交错叠合而成，是中国古代象征同心吉祥的一种装饰 图案.如图2，将正方形ABCD沿对角线AC方向平移得到正方形EFGH,形成“方胜” 图案，如果平移距离为3，且AE=二AC,那么点A到点G的距离是一； E 金累丝方胜 图1 图2 4.已知：在ABC中，BC=5,AC=3V5,tan∠BCA=2. (1)如图1，求ABC的面积. (2)如图2，点D在边AC上，将ABC沿射线BD方向平移至△ADC,使得点B与 点D重合， ①连接AA,CA,·求△AA,C的面积. ②如图3，将△ADC绕点D旋转至△ADC2,边A,C与线段BD的延长线交于点E,连 接CE.当CD=2AD时，求CE2-BD2的最小值. 图 5.【问题背景】如图所示，某兴趣小组将矩形ABCD纸片沿对角线AC剪开，再把ABC 沿着AD方向平移，得到△A'B'C,AB交AC于点E,AC交CD于点F. D 4' B B' 【数学理解】 (1)在平移过程中，线段A'E的长始终与CF相等，请说明理由； (2)已知AD=3,AB=4,在平移过程中，当两个三角形的重叠部分AECF为菱形时， 求移动的距离AA. 【例】折叠问题 L.如图，D是ABC中AC边上的一点，将△ABD沿着BD对折，点A的对应点E恰好 落在BC上，连接AE,若AE=BD=6,CE=2BE,则AD的长为 D E 2.如图，在口ABCD中，BC=3,CD=4,点E是CD边上的中点，将ADE沿AE翻 折得△AFE,连接BF,点B,F,E恰好在同一直线上，延长AF交BC于点G.则△BFG 与四边形AGCD的面积比为 3.如图，在矩形ABCD中，将BC绕点B旋转至BC',C在AD上，过点C作 GC'⊥BC',交CD于点G,连结BG. D G (1)求证：GC=GC'。 (2)若AB=5,BC=13,求GC的长 【例】位似问题 1.如图，在直角坐标系中，ABC与△ODE是位似图形，则它们位似中心的坐标是( ) E 2 1 A(0,江) 12345x A.（0,0） B.(2, c.(4,2) D.(5,0 【变式练习】 1.如图，四边形ABCD,A'B'CD'是以坐标原点O为位似中心的位似图形，已知点A,B,A 的坐标分别为4,0)，(0,3)，-2,0)，则4B的长为一 2.如图，口ABCD与口MEFG是以点A为位似中心的位似图形.若AB:BE=3:2, DG=4,则EF的长为() D B A.6 B.C C.10 D.12 3.如图， ABC与△A'B'C'是以坐标原点O为位似中心的位似图形，若点A、A的坐标分 别为(-1,0)、（-2,0)，ABC的面积是6，则△A'B'C'的面积为() A.18 B.12 C.24 D.9 4.如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点为0(0,0)，A4,3,B(3,0).以点0为 位似中心，在第三象限内作与△OAB的位似比为二的位似图形aOCD,则点C坐标为( A.(-1,-1 e（-c D.(-2,-1 【例】对称问题 L.在菱形ABCD中，AD=5,点E在边AB上，连接DE,FDE与ADE关于直线 DE对称.若点F在边AB的延长线上，且BF=3, EB (1)求AE的长. (2)求sin∠CDF的值. 【变式练习】 1.如图，矩形ABCD中，对角线AC,BD交于点O,点A是点A关于直线BD的对称点. 连接A'B交CD,AC于点E,F,连接OE.若CF=3,OF=2,则OE的长度为() A.5分 D 7 5-3 B2.已知菱形ABCD的面积为40V6,c0 SZABC={ E D F 图1 图2 (1)如图1，求菱形ABCD的边长 (2)如图2，若点E是射线AD上的一点（不与端点A,D重合），连接EB,，EC.点A 关于BE的对称点为点，BA'交射线AD于点F. ①当点A落在线段EC上时，求AF的长. B的最大值为一口 3.如图1，在菱形ABCD中，∠C=60°，E是对角线BD上一点，连接AE,设 ∠EAB=a(0°<<30)，将△ABE沿AE折叠得到△AGE,连接DG并延长交BC于 点H G B B (图1) (图2) (1)用含的代数式表示∠DAG. (2)求证： ①∠BDH=∠BAE; ②BH=BE· (3)如图2，当DG:GH=2:1时，求DE:BE的值. 6 【例】旋转问题 如图，在ABC中，AB=3,将ABC绕点A逆时针旋转4O°得到ADE,点B经过的 路径为BD,则图中阴影部分的面积是() B A.π B.π C.π 2 【变式练习】 1.如图，正方形ABCD,直线DA绕点D顺时针旋转C至DE(0°≤≤45)，作A关于 直线DE的对称点F,AF交DE于点G,连接CF交DE于点H,连接BH交AC于点 M,小明在探究∠DHC与的大小关系时，发现其对应如下： Q 10° 20 30 ∠DHC 45° 45° ① ② D C H F A (1)请填表，并证明结论②； (2)求证：BH∥AF: (3)在直线DA旋转过程中，试探究线段AM与线段CM的比（用含α的式子表示） 92026年浙江省杭州中考专题复习：图形变换 【例】平移问题 1将点 (-2,3) 向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到点P的坐标是() A.(,) B.(,5) c.（5,1) D.（-5,5) 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了点的平移.根据坐标平移规则，向右平移横坐标增加，向下平移纵坐 标减少进行解答即可. 【详解】解：P(-2,3向右平移3个单位，再向下平移2个单位， ÷点P'的坐标是（-2+3,3-2) 即点P的坐标是，)， 故选：A 【变式练习】 1.如图，在△ABC中，AC=BC,∠ACB=90°，SAABC-=4cm2.正方形CDEF的顶点D,F分别 在AC,BC边上，设CD=CF=X,△ABC与正方形CDEF重叠部分的面积为y,则下列图象中 能表示y与x之间的函数关系的是() B 52,N 【答案】A 【解析】 【分析】先根据题意求得AC=BC=2V2,然后分0<xsV5和V2<X2V2 两种情况解答 即可. 【详解】解：在△ABC中，AC=BC,∠ACB=90°，SAABC=4cm2 1 ∴.2AC×BC=4, .'.AC-BC=2V2 当0<g5时，y=X 当5<X25时，设ED交AB于M,EF交AB于N,如图： D '.'CD=X, .:AD=2V2 , 在△ABC中，AC=BC,∠ACB=90°， ∴.∠A=45°， :四边形CDEF是正方形， ∴.∠MDA=∠MDC=90°， .∴△AMD为等腰直角三角形， ..DM=2V2 :EM=x-(2V2-X=2x-2V5 2 2x-22 .'.SAEMN=2 =2(x-V2)2 y=x2-2(x-V2)2 =-x4N2x-4, ∴当V5<25时，y为开口向下的抛物线， 观察各选项，只有A符合题意. 故选：A 【点睛】本题主要考查了动点问题的函数图象，掌握数形结合思想和分类讨论思想是解答 本题的关键。 2.如图1，将Rt△ABC沿斜边上的中线CM裁开，使△ACM沿射线AB方向平移，记作 △DFE △BCM 当它与 重叠部分为五边形时，设平移距离为×，该五边形面积为y. ∠A=30°时，图2为函数部分图象，抛物线经过原点，最高点为N(,6√⑤， 且经过点 11.5,),J(5.5,).下列说法正确的是() N(n,6V3) P D M E 图1 图2 9√5 A.点 2 2 在函数图象上 B.y=y2 3 c.n-3 0<x<8 D.自变量x的取值范围为 【答案】A 【解析】 【分析】过点P作ALA 于点H,过点P作PK上AB于点K,过点G作GN L AB 于点N,设AB=a,再利用V=S,8P0-S,ov一S,c求出解折式，再逐项判断即可， 【详解】解：过点P作OA1AB王 B于点H,过点P作PK1AB于点K,过点G作 GN⊥AB于点N,如图， ∧卫 AD MH EKN B 设AB=a, ,CMRt△ABC 为 沿斜边上的中线， .AM=BM=CM=DE=EF=a. 平移距离为x, .DM=BE=a-x,BD=2a-x, 由题意得：AC∥DF,CM∥EF, :∠A=30°，∠ACB=90°， ∴.∠D=∠A=30°∠B=60° :△BCM为等边三角形， ∴.∠BCM=60° ,∠BCM=∠D+∠DQM ∴.∠DQM=∠D=30° A ..MO=DM =a-x ∴.QH=OM.sin60°= o- .5.owDM- 2 4 .CM∥EF, ∴.∠BEG=∠BMQ=60° ∴.△BEG为等边三角形， ..BG=BE=a-x, .GN=BG-sin60 (a-x) 2 .5.ww-GW(a-x 4 AC∥DF, ∠DPB=∠ACB=90°， B即-BD2a- 21 :PK=BP-sn60=5(2a-). 4 .5.aD.Pa- 8 ·y=SBPD-SDOM-SBEG --r-。 4(a-)2 5 =-332 -x+ ax 8 2 =-3w5x-2a 2 8 6 ·最高点为N(n,6V3)】 √ a2=65 6 :a>0, .a=6 :抛物线的解析式为少=一 3 8(x-4}2+65 95 当x=2时，y= 2, 93 2 点 2 在函数图象上， ∴.A选项的结论正确： x=45.5-4=1.51.5-4=-3 抛物线的对称轴为直线” …y<2 ∴B选项的结论不正确， 又最高点为N么，65).y=-35 -86x-42+65 六n=4,自变量*的取值范围为0<x<6, ∴.C,D选项的结论不正确. 3.如图1的“方胜”由两个全等正方形交错叠合而成，是中国古代象征同心吉祥的一种装 6 饰图案.如图2，将正方形ABCD沿对角线AC方向平移得到正方形EFGH,形成“方 胜”图案，如果平移距离为3，月E、 31C ,那么点A到点G的距离是— 清花隆 金紫丝方胜簪 D 图1 图2 【答案】12 【解析】 AE-AC-CG-3 【分析】由平移的性质得到 ,求出AC,再由AG=AC+CG求解 即可 【详解】解：，将正方形ABCD沿对角线AC方向平移得到正方形EFGH,形成“方 AE-TAC 胜”图案，平移距离为3，且 3 .ME-4C-CG=3 3 .AC=9, .AG=AC+CG=9+3=12 4.已知：在△ABC中，BC=5,AC=35,tan∠BCA=2 1 图1 图2 图3 (1)如图1，求△ABC的面积. (2)如图2，点D在边AC上，将△MBC沿射线BD方向平移至△4DC,使得点8与 点D重合 ①连接 M,C4.求△4AC的面积 ②如图3，将△4DC绕点D旋转至△4DC,边4，C与线段BD的延长线交于点E。 连接CE.当CD=2AD时，求CE-BD 的最小值. 【答案】(1)15 (2)①15：②15+8V5 【解析】 【分析】(A)过点8作RF LAC于点F,则：设CF=(x>0),则BF=2x,结合 勾股定理可得：术=V5 ,进一步求解即可. (2)①如图2，连结CG,证明四边形1CCA是平行四边形，求解△ADC 的面积 =△ABC的面积=15，可得△AAC的面积=15。 ②如图3，过点B作BF⊥AC于点F,求解BD=BC=5,过点C作CG⊥BD于点G, 8 则ABC 的面积为：求解CG=4,结合只需DE最小，则CE-BD最小，再进一步求 解即可. 【小问1详解】 解：过点B作BF⊥AC于点F,则： F 图1 CF+BF=BC,tan∠BCA=F =2 设CF=x>0）,则BF=2x, .BC=5, :+(2x=5,解得：x=V5, :CF=5,BF=25 A4BC的为：ACxB配号35x25西 【小问2详解】 解：①如图2，连接 B 图2 :△1BC沿射线BD方向平移至△4DC 9 :△ADC≌AABC,AC∥AC4D∥AB 4G=AC .4C∥AC且4G=1C 四边形 ACC4是平行四边形， :△11C的面积△C4C的面积△4DC的面积， A4DC≌△ABC :△1DC的面积=△1BC的面积=15， :△M4,C的面积=15 ②如图3，过点B作BF⊥AC于点F, 图3 由(1)得：CF=V5,BF=25 当CD=2AD时，AD=V5,CD=2V5 :DF=5 .BD BC=5, LBDXCG-5CG 过点C作CG⊥BD于点G,则△BCD的面积为： 2 10 CD×BF=2×25x25=10 1 ,△BCD的面积为：2 2 5cG=10 . ,解得CG=4, BG=3,DG=2 CE2-BD2=CE2-BC2=(EG2+CG2)-(BG2+CG2)=EG2-BG2=(DE+2)-9 ∴只需DE最小，则CE-BD 最小， :△4DC绕点D旋转至△4DC, :△4DC,≌△4DC≌△ABC ·DE的最小值=BF=2V5 CE2-BD2的最小值为： (25+2}-9=15+8W5 5.【问题背景】如图所示，某兴趣小组将矩形ABCD纸片沿对角线AC剪开，再把 △ABC AD 沿着 方向平移，得到 MBC,B交4C于点B.1C交CD于点F E B' 【数学理解】 (1)在平移过程中，线段E的长始终与CF相等，请说明理由： AD=3,AB=4 A'ECF (2)已知 ，在平移过程中，当两个三角形的重叠部分 为菱形时， 11 求移动的距离AA' 【答案】(1)见解析 (2) AA-5 【解析】 【分析】(1)证明四边形A'ECF是平行四边形即可得E的长始终与CF相等； 根据四边形AECF AC=5 A'ECF (2)由勾股定理可求得 为菱形，可得 x A'E AE E=EC,则AMEA4DC,可得34与，可扇6 3x EC=AE=生x 3,再由AE+EC=AC,即可求解出AA'. 【小问1详解】 证明：，四边形ABCD是矩形， .AB∥CD, 由平移可得，AB'∥AB,A'C∥AC, .A'B'∥CD, ∴四边形A'ECF是平行四边形， .A'E=CF 【小问2详解】 解：：矩形1BCD中，AD=3,AB=4 中， .CD=AB=4,∠ADC=90°， :AC=VAD2+CD2=V32+42=5 由平移可得，A'B'=AB=CD=4, 设AA'=x,则AD=3-x, 12 :四边形A'ECF为菱形， A'EI‖ICFA'E=EC .△AA'EP△ADC, AA'A'E AE x AE AE ·.AD DC AC,即345， .A'E=生xAE三2x 3， 3, BC=4E=4 54 .AE+EC=AC,即3 3x+3=5 M4-5 ,移动的距离 3 【例】折叠问题 1.如图，D是△ABC中AC边上的一点，将△ABD沿着BD对折，点A的对应点E恰 好落在BC上，连接AE,若AE=BD=6,CE=2BE,则AD的长为 A D B E 【答案】V3 【解析】 13 【分析】根据三角形面积公式并结合CE=2BE求出SE,进而求出BO的长，最后利 用勾股定理求出DE的长即可得到AD的长. 【详解】解：设AE与BD交于点O, D :将△ABD沿着BD对折，点A的对应点E恰好落在BC上，AE=BD=6, CE =2BE, △ABD≌△EBD, ∴AB=EB,AD=ED ∴点B,D在线段AE的垂直平分线上， ∴BD垂直平分AE, ·BD⊥AE, A0=0E=AE=x6=3 2 2 .OE是△EBD中边BD上的高， SARBD-BD.OE=X6x3-9 :△ABD≌△EBD, SAAmD-SD=9 CE=2BE, .BC=BE+CE=BE+2BE=3BE, :Saac=3S%E0=3x9=27 SAANC=S4+SADRC=9+27-36 又S4ac=Sa4aE+SAACE,且△ABE与△ACE等商，CE=2BE 14 SMCE =2SAABE S.40-3.E .3S△A8e=36 :S6=12 1 ,12=S△ABE= AE·BO=二×6BO 2 2 .B0=4, .OD=BD-B0=6-4=2, 在R△DOE中，AD=DE=VOD2+OE2=V22+32=√I3 即4D的长为V13 【变式练习】 1.如图，矩形ABCD中，AB=2,BC=4,点E在AD边上且AE=1,点F为直线AB 上一动点，连接EF,将△AEF沿着折痕EF折叠，得到△AEF,动点P在BC边上， 连接PA',则PA'+PD最小值是() D B P A. 6 0> 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称最短线段问题，点和圆的位置关系，勾股定理，由题意可得点 A'在以点E为圆心、1为半径的圆上，作AD关于BC的对称线段MN,点E关于BC的 对称点为E',以点E'为圆心、1为半径画圆，连接E'D交BC于点P,交⊙E于点A”, 夕 则PA”=PA',即得PA'+PD=PA”+PD=A”D,由两点之间线段最短，可知此时 PA'+PD的值最小，最小值为A"D的长，再利用勾股定理解答即可求解，正确作出辅助 线是解题的关键。 【详解】解：，AE=AE=1, ∴.点A'在以点E为圆心、1为半径的圆上， 如图，作AD关于BC的对称线段MN,点E关于BC的对称点为E',以点E为圆心、 1为半径画圆，连接E'D交BC于点P,交OE于点A”, 则PA”=PA', PA'+PD=PA”+PD=A"D, 由两点之间线段最短，可知此时PA'+PD的值最小，最小值为A"D的长， .MN=BC=4, .E'N=4-1=3, 又：DW=2+2=4, :E'D=VEW2+DN2=V32+4=5, .A"D=ED-EA”=5-1=4, 即PA'+PD最小值是4， 故选：A. 2.如图，在口ABCD中，BC=3,CD=4,点E是CD边上的中点，将△ADE沿AE翻 折得△AFE,连接BF,点B,F,E恰好在同一直线上，延长AF交BC于点G.则 16 △BFG AGCD 与四边形 的面积比为 B 【答案】1：8 【解析】 【分析】延长AD,与E的延长线交于点H,证明△MBF≌aBEC(AAS),可推出 BF=EC,AB=BE=4,证明△DEH≌△CEB(ASA),可得DH=CB=3, EH=EB=4 BF=BG=2CG=1∠DAG=∠5 △BFGP△HFA ,进而可得 ,证 BG 1 得AH3,设△BFG的边BG上的高为h,则△AFH的边AH上的高为3h, ABCD 的底边D上的高为4h,则△ .4h△BFG, AGCD 与四边形 的面积比可求. 【详解】解：延长AD,与BE的延长线交于点H, 5 B G DABCD BC=3 CD=4 在 中， ∴.AB=CD=4AD=BC=3AB∥CDAD∥BC .∠1=∠2∠DAG=∠5∠3+∠C=180°∠C=∠HDE 1 ”将△ADE沿1E翻折得△1E,点8,5，E恰好同一直线上， :.AD=AF=3∠3=∠4DE=EF :AF BC, ∠4+∠AFB=180°， .∠AFB=∠C, 在△ABF和△BEC中， ∠1=∠2 ∠AFB=∠C AF=BC .△ABF≌△BEC(AAS) .BF=EC AB=BE=4 点E是CD边上的中点， ∴.BF=EC=DE=EF=2, 在△DEH和△CEB中， ∠HDE=∠C DE=CE ∠HED=∠BEC ∴.△DEH≌ACEB(ASA) .DH=CB=3,EH=EB=4, .AH=FH=6, .∠DAG=∠4， ∠4=∠BFG, .∠5=∠BFG, .BF BG=2, .CG=1 18 .∠DAG=∠5， ∴.△BFGn△HFA, BG 1 AH 3, 设△BFG边的BG上的高为h,则△AFH的边AH上的高为3h,口ABCD的底边AD上 的高为4h, 1 ×BGxh 2 1 则 与四边形 的面积比 △BFG AGCD 2×1+3)x4h8 3.如图，在矩形ABCD中，将BC绕点B旋转至BC,C'在AD上，过点C'作 GC'⊥BC,交CD于点G,连结BG. D (1)求证：GC=GC' (2)若AB=5,BC=13,求GC的长. 【答案】(1)见解析 (2)2.6 【解析】 【分析】(1)根据HL证明Rt△BCG≌Rt△BCG即可得出结论： (2)设GC”=GC=x,则GD=5-x,在Rt△GDC'中，由勾股定理得出方程求解即可. 【小问1详解】 证明：将BC绕点B旋转至BC', 19 .BC=BC 过点C作GC⊥BC, .∠BCG=90°， :四边形ABCD是矩形， .∠C=∠BCG=90°， 又BG=BG, .Rt△BC'G≌Rt△BCG(HL) ..GC=GC': 【小问2详解】 解：：BC=13, .BC=13, .AC'=V√BC2-AB2=12 .CD=13-12=1, 设GC'=GC=x,则GD=5-x, 在Rt△GDC'中，由勾股定理得， CD2+DG2=CG2 即P+(5-x}=x2 解得x=2.6, 即GC的长为2.6 【点睛】本题考查了矩形的性质，旋转的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，熟 记各性质定理是解题的关键。 【例】位似问题 1.如图，在直角坐标系中，△ABC与△ODE是位似图形，则它们位似中心的坐标是( 20 y 5 4 3 2 1 (01) O11 2345x A.(0,0) B.(2,1) c.(4,2) D.(5,0) 【答案】c 【解析】 【分析】分别连接OA、DB、BC,其所在直线交于点G(4,2), 即可得到答案， 【详解)】如图，分别连接OA、DB、EC,其所在直线交于点G(4,2) 5 4 3 2 1 A(0,1) 101 2345x 则点G为所求的位似中心， 故选：C 【点睛】本题考查了确定位似中心，即延长对应点的连线，其交点即为位似中心，熟练掌 握知识点是解题的关键。 【变式练习】 ABCD,A'B'C'D 1.如图，四边形 是以坐标原点为位似中心的位似图形，已知点 AB,4的坐标分别为(4,0)，(0,3，(-2,0），则48的长为 2 5 【答案】2 【解析】 OA OB 【分析】根据位似图形的性质可得OAOB,求解 OB=3 ,进一步利用勾股定理求解 即可 ABCD,A'B'C'D' .0 【详解】解：四边形 是以坐标原点为位似中心的位似图形， △AOB△A'OB', OA OB .OA'OB', :点4B,4的坐标分别为(4,0)，(0,3).(-2,0) 43 :20B, .0B=3 2, 、A'B= 5-2 2.如图，口ABCD与oMEFG是以点A为位似中心的位似图形.若AB:BE=3:2, DG=4,则EF的长为() 22 B 4.6 89 c10 012 【答案】C 【解析】 【分析】根据位似图形的对应线段成比例列式计算可得AD的长，再根据平行四边形的性 质即可得解. 【详解】解：：口ABCD与口MEFG是以点A为位似中心的位似图形，AB:BE=3:2, DG=4, AD_4B AD AB AGAE,即AD+DGAB+BE, .:AD 33 AD+43+25, .3(AD+4)=5AD 解得AD=6, ∴.AG=AD+DG=6+4=10 “四边形 ABCD 是平行四边形， ∴.EF=AG=10 3.如图，△ABC与△A'B'C是以坐标原点0为位似中心的位似图形，若点A、的坐标分 别为(-1,0)、（-2,0)，△ABC的面积是6，则△ABC的面积为() 23 A.18 B.12 C.24 D.9 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了位似变换的性质，坐标与图形的性质，由题意可知，△ABC与 △A'B'C' 1:2 是位似比为的位似图形，则根据面积比等于位似比的平方即可求解。 【详解】解：：△ABC与△A'B'C是以坐标原点0为位似中心的位似图形，点A、A的坐 -1,0)(-2,0) 标分别为 .△ABC∽△AB'C'且相似比为1：2， .△ABC的面积：△AB'C的面积=1：4， :△ABC的面积是6，， △A'B'C的面积为24， 故选：C 4如图，在平面直角坐标系中，△0AB的顶点为00,0)，4(4,3)，B(3,0）.以点0为 1 位似中心，在第三象限内作与△OAB的位似比为3的位似图形△OCD,则点C坐标为( 24 A.(-,-） 。（c1.2-) 【答案】B 【解析】 1 1 【分析】因为△OCD与△OAB的位似比为3，所以点C与点A的坐标之比为3，又因为 点C在第三象限，所以点C的横、纵坐标为负数。 【详解】解：aOCD与△OAB的位似比为3，点A的坐标为(4,3)， 4=、4 1 1 ×3=-1 ∴.点C的横坐标为3 3,纵坐标为3 点c的标为-小 【例】对称问题 L.在菱形ABCD中，AD=5,点E在边AB上，连接DE,△FDE与△ADE关于直线 对称.若点F在边1B DE BF=3 的延长线上，且 (1)求AE的长. 25 (2)求sin∠CDF的值. 【答案】(1)4 (2)5 【解析】 AD=DF,DE⊥AF 【分析】(1)由轴对称的性质可得 ,即AE=EF,再根据菱形的 性质可得AD=AB=5,进而求得AF=8,再根据等腰三角形的性质求解即可： (2)利用勾股定理可得DE=3,再利用平行线性质、等边对等角以及等量代换可得 ∠F=∠A,然后根据正弦的定义求解即可。 【小问1详解】 解：：△FDE与△ADE关于直线DE对称， AD=DF,DE⊥AF .AE =EF, :在菱形ABCD中，AD=5, AD=AB=5,CD∥AB, ·4B=5,BF=3 .'AF=AB+BF=8, :AE-EF-34F-4 2 【小问2详解】 解：在Rt△ADE中，AD=5AE=4 DE =AD2-AE2=3 CD∥AB, 26 .∠CDF=∠F, AD=DF, ∠F=∠A, sin∠CDF=sin∠A= DE 3 AD 5. 【变式练习】 1.如图，矩形ABCD中，对角线AC,BD交于点O,点A是点A关于直线BD的对称 点.造接B交CD,AC于点E,F,连接OE.若CF=3,OF=2.则OE的K度为( 5万 A.7 4 B.14 D.3 【答案】A 【解析】 【分析】由矩形的性质和平行线的性质得到∠CDB=∠ABD,再由轴对称的性质可得 ∠A'BD=∠ABD 则可证明 CDB=∠ABD得到ED=EB 据此可证明 OE⊥BD CE CF3 求出OB=OA=OD=5,AF=7；证明△ABF∽△CEF,得到AB=AF=7,设 27 AB=CD=7CE=3x,则ED=EB=4x,由勾股定理得BC=VBE-CE=V7x, OE OD OE 5 证明△EOD∽△BCD,得到BCCD,即7x7x,则OE=5V7 7. 【详解】解：：在矩形ABCD中，对角线AC,BD交于点O, AB-CD.AB//CD.OC=OB=OA=OD-AC.ZBCD=90 ∴.∠EDB=∠ABD, 由轴对称的性质可得∠ABD=∠ABD, .∠EBD=∠EDB, .ED=EB, .OD=OB. .OE⊥BD, ∴.∠EOD=∠EOB=90°： CF=3,OF=2 ..OB=OA=OD=OF+CF=5 AF=OA+OF=7; :AB∥CD, .△ABF△CEF, CE CF 3 ·ABAF=7) 设AB=CD=7x,CE=3x,则ED=EB=CD-CE=4x, 在RtBCE中，由勾股定理得BC=VBE-CE=V7x. 28 :∠EOD=∠BCD=90°，∠EDO=∠BDC, .△EOD∽△BCD, OE OD OE 5 ∴.BCCD,即V7x7x, :Oe=5分 7. 2已知菱形ABCD的面积为40N6,c0s∠ABC 5 E D 图1 图2 (1)如图1，求菱形ABCD的边长. (2)如图2，若点E是射线AD上的一点（不与端点A,D重合），连接EB,EC.点A 关于BE的对称点为点A',BA交射线AD于点F. ①当点A落在线段EC上时，求AF的长. FB ②FC的最大值为一 26 【答案】(1)10 (2)①21：②3 【解析】 COS∠ABC= 【分析】(1)过点A作AH⊥BC于点H,根据 5设BH=a,则 29 BC=AB=5a,AH=2√6a,利用菱形的面积列方程求解即可： (2)①根据菱形和等腰三角形的性质易得到EC=BC=CD,过点C作CK⊥AD于点 K,则DK=EK,根据Cos∠BC=cOs∠D=} 5求出DK=EK=2,从而求出AE的 长，进而求出A'C的长，证明△BA'C∽aFAE,求出EF的长，再根据线段的和差关系 进行求解即可；②作∠BCH=∠BFC,交BF于点H,证明△BCH∽aBFC,得到 BF CF BC BC CH BH,进而得到 BC2 BH.BF,CF=CH BH.BF=100,=10 CF CH, BF 得到当CH最小时，CF的值最大，作BG⊥AD交DA的延长线于点G,在射线BG上 取-点I,使BG·BI=1O0,连接IH,证明△IBH∽aFBG,得到 ∠BHⅡ=∠BGF=90° 进而得到点”在以B1为直径的圆上运动，取B的中点，连 OH,OCCH≥OC-OH C,H,O ,进而得到当C CH 接 ，得到 三点共线时， 的值最小， 求出CH的最小值即可. 【小问1详解】 解：如图1，过点A作AH⊥BC于点H, 30 B H 图1 1 BH ,cos∠ABC=-= 5 AB, ÷设BH=a,则BC=AB=5a,AH=26a, “菱形1BCD的面积为40√6 5a×2√6a=40v6 解得a=2或a=-2(舍去)， ∴.菱形ABCD的边长为5×2=10； 【小问2详解】 解：①：点A关于BE的对称点A落在线段EC上， .∠AEB=∠CEB AE=AE 四边形ABCD为菱形， :AD∥BCBC=CD .∠AEB=∠EBC, ∴.∠EBC=∠CEB ∴.EC=BC=CD, 如图2，过点C作CK⊥AD于点K,则DK=EK, 31 E K D 图2 coS∠ABC=coS∠ADC= 由(1)知， 5,CD=AD=10, .DK EK =2. .AE=10-2-2=6: .A'E=AE=6,A'C=CE-AE=10-6=4, AD∥BC, .△BA'C∽△FA'E, EF EA'63 :BC CA'42, 3 :EF=3BC=×10=15 2 2 .AF=AE+EF=6+15=21: ②作∠BCH=∠BFC,交BF于点H, ,∠FBC=∠HBC, .△BCH∽aBFC, BF CF BC .BC CH BH, BC-BH.BF CF-CH. BF BC 32 BF 10 BH·BF=100, 即： CF CH, BE .当CH最小时，CF的值最大， 作BG⊥AD交DA的延长线于点G,在射线BG上取一点I,使BG·BI=1O0,连接 IH, 由(1)可知： BG=46 :B1=25V6 6， BG·BI=BH·BF, .BG:BH=BF:BI, 又：∠GBF=∠IBH, .△IBH∽aFBG, .∠BHI=∠BGF=90°， ∴.点H在以BI为直径的圆上运动， 取B1的中点0，连接OH,OC,则OB=OH=)B1= 25v6 12,CH≥OC-OH, C,H,O 当 三点共线时， CH 的值最小， 在RtBOC中，由勾股定理，得0C=VOB2+BC_55V6 12, ÷CH的最小值为0C-0H=55625V656 12122, 33 10_2V6 :BF的最大值为5石3。 CF 2 D F 3.如图1，在菱形ABCD中，∠C=60°，E是对角线BD上一点，连接AE,设 ∠EAB=a(O<a<30）,将△ABE沿AE折叠得到△4GE，,连接DG并延长交BC于 点H D G (图1) (图2) (1)用含C的代数式表示∠DAG (2)求证： ①∠BDH=∠BAE: ②BH=BE. (3)如图2，当DG:GH=2:1时，求DE:BE的值. 【答案】(1)60°-2a (2)①见解析：②见解析 (3) DE:BE=1+ 【解析】 【分析】(1)根据菱形的性质得到∠DAB=∠C=60°，根据折叠的性质得到 34 ∠GAE=∠BAE=a ∠DAG ,进而可求 (2)①根据等边对等角及三角形内角和得到∠ADG=60°+α，根据等边三角形的判定和 性质证明即可： ②根据菱形的性质得到∠EBA=∠DBH=60°，根据等边三角形的性质得到AB=DB, 证明△ABE≌△DBH,即可证明BH=BE; (3)连接EH,延长EG交CD于K,作KM⊥DB于M,根据等边三角形的判定和性 DK_KG_DG-2 质得到EH=BE=GE,证明△DGK∽△HGE,得到EH GE GH,设 EH=BE=GE=t,根据30°角的性质得到DM=X,根据勾股定理得到KM=VBx, ME=V6x,求出DE=x+V6x,即可求出DE:BE的值。 【小问1详解】 解：'菱形ABCD, .∠DAB=∠C=60° :折叠， :∠GAE=∠BAE=a :∠DAG=∠DAB-∠GAE-∠BAE=60°-2a 【小问2详解】 证明：①，菱形ABCD, .AD=AB, 35 由折叠可知，AG=AB, AD=AG ·AD18O°一∠DA=60°+x :∠DAB=600 .AABD 为等边三角形， ∴.∠ADB=60°、 :∠BDH=∠ADH-∠ADB=a=∠EAB ②：AD∥BC ·∠ABC=180°-∠DAB=120° 菱形ABCD, A∠EBA=∠DBH=)∠ABC=60e 2 AABD 为等边三角形， .AB=DB ∠BDH=∠BAE, .△ABE≌ADBH(ASA) .BH =BE: 【小问3详解】 解：如图，连接EH,延长EG交CD于K,作KM⊥DB于M. 36 D 由(2)得BH=BE,∠EBH=60°， :△BEH 为等边三角形， :EH=BE=GE :∠BHE=∠C=600 .&EH∥CD ·ADGK∽△HGE DK KG DG =2 .EH GE GH 设EH=BE=GE=x, DK =KG=2x,KE KG+GE=3x. 在RtDMK中， :∠BDC=600 :∠DKM=30 .DM-3DK-x 2 KM=3DM=x 37 ME=KE2-MK2=6x DE=DM+ME=x+6x DE:BE=1+6 【例】旋转问题 如图，在△ABC中，AB=3,将△ABC绕点A逆时针旋转40°得到△ADE,点B经过的 路径为BD 则图中阴影部分的面积是() 3π A.3 B.2 C.π D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查扇形面积的计算、旋转的性质，解答本题的关键是明确题意，利用扇形 面积的计算公式和数形结合的思想解答， 根据旋转的性质可知，△ABC≌△ADE,从而可以得到△ABC和△ADE的面积相等，再 根据图形可知，阴影部分的面积=扇形ABD的面积+△ADE的面积-△ABC的面积，然后 代入数据计算即可解答本题， 【详解】解：由题意可知，△ABC≌△ADE, 故△ABC和△ADE的面积相等， :在△ABC中，AB=3,将△ABC绕点A逆时针旋转40°后得到△ADE, 38 40×π×32 ∴.阴影部分的面积是： 360 故选：C. 【变式练习】 1.如图，正方形ABCD,直线DA绕点D顺时针旋转：至DE(0°≤a≤45)，作A关于 直线DE 对称点 ,1F交DE于点G,连接CF交DE于点H,连接B交1C于点 M 小明在探究 LDHC与“ 的大小关系时，发现其对应如下： 2 10° 20 30 ∠DHC 45° 45° ① ② D H M G E (1)请填表，并证明结论②： BH∥AF (2)求证： (3)在直线DA旋转过程中，试探究线段AM与线段CM的比（用含a的式子表示） 【答案】(1)①45°；②45°：证明见解析 AM =tan a (2)见解析 (3)CM 【解析】 【分析】(1)连接DF,由轴对称性质得FD=AD,AF⊥DE,再根据等腰三角形的性 质求得∠FDE=∠ADE=&,∠DFC=45°-a,然后利用三角形的外角性质可证 39 得结论： (2)过c作CP⊥CH交ED延长线于P,证明△DCP≌△BCH(SAS)得到 ∠P=∠BHC=45°，∠DHB=∠DGA=90° ,则 利用平行线的判定可得结论： (3)设BH与AD交于点K,先利用三角形的内角和定理推导出∠ABK=∠HDK=a, an∠ABK=tana= AK AM AK AK 则 AB,再证明△AKM∽aCBM,则有CM BC AB tand 【小问1详解】 解：填表：①45°：②45°： 证明②：连接DF, D M E B 由题意，∠ADE=&,∠ADC=∠DCB=90°，AD=CD=BC, 由轴对称性质得FD=AD,AF⊥DE, &∠FDE=∠ADE=aFD=CD :∠Drc=∠Dcr=[80-(90+a+aj]=45°-a ∠DHC=∠DFC+∠FDE=45°-a+a=45° 【小问2详解】 解：过C作CP⊥CH交ED延长线于P,则∠PCH=∠DCB=90°， 40 D :∠DCP=∠BCH=90°-∠DCH :∠DHC=450 &∠P=90-∠DHC=45°=∠DHC :.CP=CH CD=BC ,又 :△DCP≌aBCH(SAS) :∠P=∠BHC=450 :∠DHB=∠DHC+∠BHC=90 :∠DHB=∠DGA=90 :BH∥AF 【小问3详解】 解：设BH与AD交于点K,如图， D/ F B/G M 41 由(2)知，∠BHD=90°， ∠DHK=∠KAB=90°，又∠DKH=∠AKB, .∠ABK=∠HDK=&, AK tan∠ABK=tana= AB, :AK∥BC, .△AKM∽aCBM, AM AK ∴.CMBC,又BC=AB, AM AK _tand .CM AB 42