专题04 弧长与扇形面积（高效培优专项训练）数学新教材沪科版九年级下册

专题04 弧长与扇形面积 题型一 正多边形与圆 题型二 求弧长 题型三 求不规则图形面积 题型一：正多边形与圆 1.一个圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角为72°，则该正多边形的边数是（　　） A．3． B．4． C．5． D．6． 【答案】C 【分析】根据正多边形的圆心角计算即可． 【详解】解：设正多边形的边数为n. 由题意可得：， ∴n=5， 故答案为：C. 2.正六边形内接于圆，它的边所对的圆周角是（　　） A．60° B．120° C．60°或120° D．30°或150° 【答案】D 【分析】作出图形，求出一条边所对的圆心角的度数，再根据圆周角和圆心角的关系解答． 【详解】圆内接正六边形的边所对的圆心角=360°÷6=60°，根据圆周角等于同弧所对圆心角的一半，边所对的圆周角的度数是60×=30°或180°﹣30°=150°．故选D． 3.⊙O的半径为2，则它的内接正六边形的边长为（　　） A．2 B．2 C． D．2 【答案】A 【分析】如图，首先求出∠AOB=60°，结合OA=OB，得到△OAB为等边三角形，即可解决问题． 【详解】如图，AB为⊙O的内接正六边形的边长；∵∠AOB==60°，OA=OB，∴△OAB为等边三角形，∴AB=OA=2，故选A． 4.一元钱硬币的直径约为24mm，则用它能完全覆盖住的正六边形的边长最大不超过（　　）． A．12 mm B． mm C．6mm D．mm 【答案】A 【分析】利用正六边形的性质可证得△AOB是等边三角形，利用等边三角形的性质可求出AB的长，即可得到正六边形的边长的最大值. 【详解】解：如图， 正六边形与圆O外接时，正六边形的边长最大， ∵OA=OB，∠AOB=360°÷6=60°， ∴△AOB是等边三角形， ∴AB=OA=×24=12， ∴正六边形的边长最大值不超过12. 故答案为：A 5.如图，⊙O的周长等于4πcm，则它的内接正六边形ABCDEF的面积是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据⊙O的周长等于4πcm，可得⊙O的半径为2，然后求出三角形AOB的面积，进而根据圆内接正六边形ABCDEF的面积等于6倍三角形AOB的面积即可解答. 【详解】解：如图，连接OA、OB，作OG⊥AB于点G， ∵⊙O的周长等于4πcm， ∴⊙O的半径为： ＝2cm， ∵ABCDEF是⊙O的内接正六边形， ∴OA＝OB＝AB＝2cm， ∵OG⊥AB， ∴AG＝BG＝ AB＝1 cm， ∴OG＝ cm， ∴S△AOB＝ AB•OG＝ ×2× ＝ cm2， ∴它的内接正六边形ABCDEF的面积是6S△AOB＝ cm2. 故答案为：C. 6.如图所示，正五边形ABCDE内接于为BC的中点，为DE的中点，则的大小为（　　）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用正五边形的性质和垂径定理可证得OM⊥BC，ON⊥DE，∠C=∠D=108°，可求出∠OMC=∠OND=90°，再利用五边形的内角和为540°，可求出∠MON的度数. 【详解】解：∵ 正五边形ABCDE内接于为BC的中点，为DE的中点， ∴OM⊥BC，ON⊥DE，∠C=∠D=108°， ∴∠OMC=∠OND=90°， ∴∠MON=540°-∠OMC-∠OND-∠C-∠D=540°-90°-90°-108°-108°=144°. 故答案为：B. 7.下列图形中，正多边形内接于半径相等的圆，其中正多边形周长最小的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】圆的内接正多边形边数越多，越接近圆的周长，正多边形周长越长，据此判断. 【详解】解：圆的内接正多边形边数越多，越接近圆的周长，正多边形周长越长， 故答案为：A. 8.如图，正五边形内接于，点F在弧上.若，则的大小为（　　） A．38° B．42° C．48° D．58° 【答案】C 【分析】连接OE、OD、CE，根据n边形内角和公式以及正多边形的性质可得∠CDE=108°，则∠FDE=∠CDE-∠CDF=12°，由圆周角定理可得∠FCE=∠FDE=12°，由外角和为360°可得∠EOD=360°÷5=72°，由圆周角定理可得∠ECD=∠EOD=36°，然后根据∠FCD=∠FCE+∠ECD进行计算. 【详解】解：如图，连接，，， ∵五边形是正五边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵正五边形内接于， ∴， ∴， ∴， 故答案为：C. 9.小明发现相机快门打开过程中，光圈大小变化如图1所示，于是他制了如图2所示的图形，图2中六个形状大小都相同的四边形围成一个圆的内接六边形和一个小正六边形，若PQ所在的直线经过点M，PB＝5cm，小正六边形的面积为，则该圆的半径为（　　）cm． A． B． C．7 D．8 【答案】D 【分析】设两个正六边形的中心为O，连接OP，OB，QM，过点O作OG⊥PM于点G，OH⊥AB于点H，利用垂直的定义可得到∠OGQ=∠OHB=90°，利用正六边形的性质可证得∠OQG=∠ABO=60°，∠GOQ=30°，设QG=x，利用解直角三角形表示出OG的长，利用三角形的面积公式，根据小正六边形的面积，可得到关于x的方程，解方程求出x的值，可得到小正六边形的边长，即可求出PM的长，利用垂径定理求出PG的长；在Rt△OPG中，利用勾股定理求出OP的长，设BH=m，PH=5-m，可表示出OB的长，利用勾股定理可得到关于m的方程，解方程求出符合题意的m的值，即可求出圆的半径. 【详解】解：设两个正六边形的中心为O，连接OP，OB，QM，过点O作OG⊥PM于点G，OH⊥AB于点H， ∴∠OGQ=∠OHB=90° ∵图2中六个形状大小都相同的四边形围成一个圆的内接六边和一个小正六边形， ∴∠OQG=∠ABO=60°，∠GOQ=30° 设QG=x，则， ∵小正六边形的面积为 ∴ 解之：（取正）， ∴小正六边形的边长为，， ∴； ∵OG⊥PM， ∴， 在Rt△OPG中 ， 设BH=m，PH=5-m， ∵∠HOB=90°-60°=30°， ∴OB=2m， ∵OH2=OB2-BH2=OP2-PH2， ∴4m2-m2=72-（5-m）2， 解之：m1=4，m2=（舍去） ∴该圆的半径为2×4=8. 故答案为：D 10.如图，正五边形ABCDE和正三角形AMN都是⊙O的内接多边形，则∠BOM的度数是 　 　 【答案】48° 【分析】连接OA，根据正多边形中心角定义分别求出∠AOB和∠AOM的度数，最后根据角之间的数量关系即可求解. 【详解】解：连接OA，如图， ∵五边形ABCDE为正五边形， ∴ ∵三角形AMN为正三角形， ∴ ∴ 故答案为：48°. 11.如图，在正十二边形A1A2……A12 中，连结A3A7，A7A10，求∠A3A7A10的度数． 【答案】75° 【分析】利用正多边形的性质可证得的长= ⊙O的周长，可求出∠A3OA10的度数，再利用圆周角定理可求出∠A3A7A10的度数. 【详解】解：如图，设该正十二边形的圆心为O， 由题意，得的长= ⊙O的周长， ∴∠A3OA10= ×360°=150°， ∴∠A3A7A10=75°． 题型二：求弧长 1.如图，△ABC内接于半径为2的⊙O．若∠A=45°，则的长等于（　　） A．π B．π C．π D．2π 【答案】C 【分析】连接OB、OC，根据圆周角定理得到最后利用弧长计算公式，计算即可. 【详解】解：连接OB、OC，如图： ∵ ∴ ∴ 故答案为：C. 2.已知点A，B，C在⊙O上，∠ABC=30°，把劣弧沿着直线CB折叠交弦AB于点D．若BD=9，AD=6，则的长为（　　） A．π B．3π C．π D．π 【答案】C 【分析】由圆周角定理可得AC=CD，，证得是等边三角形，作，通过等腰三角形的性质求得AE、DE的长度，再利用直角三角形的性质计算出CE的长度，进而通过勾股定理求得AC长，得到半径长度，然后利用弧长计算公式求得的长. 【详解】解：如图，作，连接、、、， ， ，， ，， ，， ， ， ， ， ，， ， . 故答案为：C. 3.如图所示，有一边长为6 cm的等边三角形ABC木块，点P是CA的延长线上的点，AP为15 cm，其中，，的圆心依次为A，B，C，则曲线PDFE的长是（　　） A．18π cm B．15π cm C．20π cm D．21π cm 【答案】A 【分析】先利用弧长公式分别求出 ，， 的长，再相加即可. 【详解】根据题意可得：∠FCE=∠DBF=∠PAD=120°，CF=3，BF=9，AP=15， ∴，，， ∴曲线PDFE的长=++=， 故答案为：A. 4.抖空竹在我国有着悠久的历史，是国家级的非物质文化遗产之一如图，，分别与相切于点，，延长，交于点若，的半径为，则图中的长为　 　结果保留 【答案】 【分析】连接OC、OD构造扇形OCD，根据切线的性质和四边形内角和求出圆心角，再利用弧长公式求解。 【详解】解：连接OC、OD，如图所示， ∵，分别与相切于点，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴。 故答案为： . 5.如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AD是⊙O的直径，且AD=6，∠ABC=∠CAD．求弦AC所对的弧长． 【答案】或 【分析】 连接CD、OC，由圆周角定理的推论可证明△ACD是等腰直角三角形，即可求得AC的长，然后根据△AOC是等腰直角三角形，可求出半径AO的长，最后利用弧长公式分两种情况即可弦AC所对应的弧长． 【详解】解：连接CD、OC． ∵∠ABC=∠CAD， ∴， ∴AC=CD， 又∵AD是⊙O的直径， ∴∠ACD=90°， ∴△ACD是等腰直角三角形， ∴AC=CD=×AD=3， ∵∠AOC=90°，∠CAO=45°， ∴AO=CO===3， ∴劣弧AC的长是， 优弧AC=. 6.如图所示的图形叫弧三角形，又叫莱洛三角形，是机械学家莱洛首先进行研究的．弧三角形是这样画的：先画正三角形ABC，然后分别以点A，B，C为圆心，AB长为半径画弧．若正三角形ABC的边长为2cm，求弧三角形的周长． 【答案】2πcm 【分析】由题意知：此弧三角形的周长即是半径为2的半圆弧长，据此解答即可. 【详解】解：∵正三角形ABC的边长为2cm， ∴∠A=∠B=∠C=60°， ∴ 弧三角形的周长为×2π×2=2πcm. 7.如图，△ABC与△A'B'C是两个可以完全重合的直角三角板，∠B=30°，AB=10cm．将三角板A'B'C绕直角顶点C顺时针旋转，使点A'落在AB边上． （1）求CA旋转到CA'所构成的扇形的弧长． （2）判断BC与A'B'的位置关系． 【答案】（1）cm；（2）BC⊥A'B' 【分析】（1）由直角三角形的性质可得∠A=60°，AC=5cm，结合旋转的性质可得△ACA'为等边三角形，可得∠ACA'=60°，再利用弧长公式计算即可； （2）易求∠B'A'C+∠BCA'=90°，据此即可判断. 【详解】（1）解：∵∠ACB=90°，∠B=30°， AB=10cm ∴∠A=60°，AC=5cm， 由旋转知： CA=CA'， ∴△ACA'为等边三角形， ∴∠ACA'=60°， ∴ CA旋转到CA'所构成的扇形的弧长为=cm. （2）解：垂直，理由如下： ∵∠ACA'=60°，∠ACB=90°， ∴∠BCA'=30°， ∵∠B'A'C=∠A=60°， ∴∠B'A'C+∠BCA'=60°+30°=90°， ∴ BC⊥A'B'. 题型三：求不规则图形面积 1.如图，AB为半圆的直径，其中AB=4，半圆绕点B顺时针旋转45°，点A旋转到点A’的位置，则图中阴影部分的面积为（　　） A．π B．2π C． D．4π 【答案】B 【分析】本题考查的是旋转的性质，扇形面积的计算．由旋转的性质可得：，，再利用面积关系：，可得，利用扇形面积公式，代入数据计算即可得出答案． 【详解】解：半圆AB绕点B顺时针旋转，点A旋转到的位置， ，． ， ． 故答案为：B. 2.如图，扇形中，是的中点，交于点，以为半径的交于点，则图中阴影部分的面积是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先证出△BDO为等边三角形，OD=OB=18，OC=CB=9，求出CD的长，再利用扇形面积公式及割补法求出阴影部分的面积即可. 【详解】连接OD，BD，如图所示： ∵点C是OB的中点， ∴OC=OB=OD， ∵CD⊥OB， ∴∠CDO=30°，∠DOC=60°， ∴△BDO为等边三角形，OD=OB=18，OC=CB=9， ∴CD=OC=， ∴S扇形BOD=， ∴S阴影=S扇形AOB-S扇形COE-（S扇形BOD-S△COD） = =， 故答案为：C. 3.如图，在边长为4的正六边形中，先以点B为圆心，的长为半径作，再以点A为圆心，的长为半径作交于点P，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接、，过点P作，在上任取一点M，根据即可求解. 【详解】解：如图，连接、，过点P作，在上任取一点M， 由题意可知：， 是等边三角形，， ， ∴在中，， ， ， ， ， ， ∵六边形是正六边形， ， ， ， ， ∴阴影部分的面积为， 故答案为：B． 4.如图，中，，，BO＝2cm，将绕点O逆时针旋转至，点在BO的延长线上，则边BC扫过区域（图中阴影部分）的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据求解即可。 【详解】在Rt△OCB中，∠CBO=30°，BO=2， ∴∠COB=60°，2OC=BO=BC， ∴，BC=，OC=1， ∴， ∴， 根据旋转的性质可知，，，， ∴，，， ∴， ∴（cm2）， 故答案为：A． 5.如图，是矩形的外接圆，若，则图中阴影部分的面积为　 　．（结果保留） 【答案】 【分析】连接BD，先根据矩形的性质得到∠BCD=90°，AB=CD=4，AD=BC=3，再根据勾股定理即可求出圆的直径，进而即可得到圆的半径，再根据即可求解。 【详解】解：连接BD，如图所示： ∵四边形ABCD为矩形， ∴∠BCD=90°，AB=CD=4，AD=BC=3， 在△BCD中，由勾股定理得， ∴圆的半径， ∴， 故答案为： 6.如图，在△ABC中，AB=BC=2，∠ABC=90，求图中阴影部分的面积． 【答案】π-2 【分析】易得△ABC 是等腰直角三角形，根据S阴影= S半圆AB+S半圆BC-S△ABC进行计算即可. 【详解】解：在△ABC中，AB= BC=2，∠ABC=90°，∴△ABC 是等腰直角三角形， ∴S阴影= S半圆AB+S半圆BC-S△ABC= π×()2+π×()2-×2×2=π-2． 7.已知：如图，A，B，C是⊙O上的三点，且=2．过点B作BD⊥OC于点D． （1）求证：AB=2BD． （2）若AB=，CD=1，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）见详解；（2） 【分析】（1）如图，延长BD交⊙O于E，由垂径定理可得BE=2BD，，根据题意可得出，即可得出AB=BE，从而得出AB=2BD； （2）如图，连接OB，设OB=x，根据勾股定理可求出x=2，在Rt△OBD中，由OD=OB得到∠OBD=30°，从而求得∠BOC=60°，最后根据扇形和三角形的面积公式即可求出阴影部分的面积． 【详解】（1）证明：如图，延长BD交⊙O于E， ∵BD⊥OC， ∴BE=2BD，， ∵ ∴， ∴AB=BE， ∴AB=2BD； （2）解：如图，连接OB， 设OB=x， ∵AB=2，CD=1， ∴BD=， 在Rt△OBD中，x2=（x-1）2+（）2， 解得：x=2， ∴OB=2， OD=1， ∴OD=OB， ∴∠OBD=30°， ∴ ∠BOC=60° ∴阴影部分的面积=. 8.图1是某型号汤碗，截面如图2所示，碗体部分为半圆O，直径，倒汤时，，如图3所示． （1）的度数为　 　； （2）在图3中，通过计算比较直径与的长度哪个更长； （3）请在图3中画出线段，用其长度表示汤（阴影部分）的最大深度（不说理由），并求汤的最大深度． 【答案】（1）；（2）的长度更长；（3） 【分析】本题考查圆的圆周角定理和圆心角的数量关系、垂径定理、30°的直角三角形和弧长公式等知识。 （1）根据同圆中，同弧所对圆心角是圆周角的2倍可得∠COB=2∠CAB=120°； （2）根据弧长公式（弧长=，n为弧所对的圆心角度数）计算 的长，与AB比较大小即可； （3）根据垂径定理，过圆心O作ON⊥BC于点M，交圆O于点N，则MN为汤的最大深度，得BM=CM；由圆心角∠COB=120°，得．则OM=OB，得MN=ON-OM． 【详解】（1）解：∵，∠CAB=60° ∴ ∠COB=2∠CAB=120°； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴的长度更长； （3）解：如图，过圆心作于点，交圆于点，则为汤的最大深度，且， ∵，， ∴． ∵，， ∴， ∴，即汤的最大深度为． 9.如图1，在正方形ABCD中，，点O与点B重合，以点O为圆心，作半径长为5的半圆O，交AB于点E，交AB的延长线于点F，点M，N是的三等分点（点M在点N的左侧）.将半圆O绕点E逆时针旋转，记旋转角为，旋转后，点F的对应点为点. 图1 图2 备用图 （1）如图2，在旋转过程中，当经过点N时. ①求的度数； ②求图中阴影部分的面积； （2）在旋转过程中，若半圆O与正方形ABCD的边相切，请直接写出点A到切点的距离. 【答案】（1）①；②；（2）点A到切点的距离为3或或. 【分析】（1）①连接BN，根据点M，N是弧EF的三等分点，可得∠FBN=60°，再根据圆周角定理即可得出α=30°； ②根据，即可得出答案； （2）可分类讨论：①半圆O与AB相切；②当半圆O与CD相切时；当半圆O与AD相切时三种情况，画出相应的几何图形，根据切线的性质即可得出答案。 【详解】（1）①连接BN. ∵点M，N是弧EF的三等分点，∴，∴，即的度数为； ②（或） (2)∵当时，半圆O与AB相切，此时切点为E， ∴； 如图1，当半圆O与CD相切时，设切点为R，连接OR，AR，并延长RO交AB于点T， ∴. ∵四边形ABCD是正方形， ∴， ∴四边形RCBT是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图2，当半圆O与AD相切时，设切点为P，连接OP，过点E作于点S， ∴. 又∵四边形ABCD是正方形， ∴， ∴四边形PAES是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴. 综上所述，点A到切点的距离为3或或 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 弧长与扇形面积 题型一 正多边形与圆 题型二 求弧长 题型三 求不规则图形面积 题型一：正多边形与圆 1.一个圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角为72°，则该正多边形的边数是（　　） A．3． B．4． C．5． D．6． 2.正六边形内接于圆，它的边所对的圆周角是（　　） A．60° B．120° C．60°或120° D．30°或150° 3.⊙O的半径为2，则它的内接正六边形的边长为（　　） A．2 B．2 C． D．2 4.一元钱硬币的直径约为24mm，则用它能完全覆盖住的正六边形的边长最大不超过（　　）． A．12 mm B． mm C．6mm D．mm 5.如图，⊙O的周长等于4πcm，则它的内接正六边形ABCDEF的面积是（　　） A． B． C． D． 6.如图所示，正五边形ABCDE内接于为BC的中点，为DE的中点，则的大小为（　　）. A． B． C． D． 7.下列图形中，正多边形内接于半径相等的圆，其中正多边形周长最小的是（　　） A． B． C． D． 8.如图，正五边形内接于，点F在弧上.若，则的大小为（　　） A．38° B．42° C．48° D．58° 9.小明发现相机快门打开过程中，光圈大小变化如图1所示，于是他制了如图2所示的图形，图2中六个形状大小都相同的四边形围成一个圆的内接六边形和一个小正六边形，若PQ所在的直线经过点M，PB＝5cm，小正六边形的面积为，则该圆的半径为（　　）cm． A． B． C．7 D．8 10.如图，正五边形ABCDE和正三角形AMN都是⊙O的内接多边形，则∠BOM的度数是 　 　 11.如图，在正十二边形A1A2……A12 中，连结A3A7，A7A10，求∠A3A7A10的度数． 题型二：求弧长 1.如图，△ABC内接于半径为2的⊙O．若∠A=45°，则的长等于（　　） A．π B．π C．π D．2π 2.已知点A，B，C在⊙O上，∠ABC=30°，把劣弧沿着直线CB折叠交弦AB于点D．若BD=9，AD=6，则的长为（　　） A．π B．3π C．π D．π 3.如图所示，有一边长为6 cm的等边三角形ABC木块，点P是CA的延长线上的点，AP为15 cm，其中，，的圆心依次为A，B，C，则曲线PDFE的长是（　　） A．18π cm B．15π cm C．20π cm D．21π cm 4.抖空竹在我国有着悠久的历史，是国家级的非物质文化遗产之一如图，，分别与相切于点，，延长，交于点若，的半径为，则图中的长为　 　结果保留 5.如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AD是⊙O的直径，且AD=6，∠ABC=∠CAD．求弦AC所对的弧长． 6.如图所示的图形叫弧三角形，又叫莱洛三角形，是机械学家莱洛首先进行研究的．弧三角形是这样画的：先画正三角形ABC，然后分别以点A，B，C为圆心，AB长为半径画弧．若正三角形ABC的边长为2cm，求弧三角形的周长． 7.如图，△ABC与△A'B'C是两个可以完全重合的直角三角板，∠B=30°，AB=10cm．将三角板A'B'C绕直角顶点C顺时针旋转，使点A'落在AB边上． （1）求CA旋转到CA所构成的扇形的弧长． （2）判断BC与A'B'的位置关系． 题型三：求不规则图形面积 1.如图，AB为半圆的直径，其中AB=4，半圆绕点B顺时针旋转45°，点A旋转到点A’的位置，则图中阴影部分的面积为（　　） A．π B．2π C． D．4π 2.如图，扇形中，是的中点，交于点，以为半径的交于点，则图中阴影部分的面积是（　　） A． B． C． D． 3.如图，在边长为4的正六边形中，先以点B为圆心，的长为半径作，再以点A为圆心，的长为半径作交于点P，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 4.如图，中，，，BO＝2cm，将绕点O逆时针旋转至，点在BO的延长线上，则边BC扫过区域（图中阴影部分）的面积为（　　） A． B． C． D． 5.如图，是矩形的外接圆，若，则图中阴影部分的面积为　 　．（结果保留） 6.如图，在△ABC中，AB=BC=2，∠ABC=90，求图中阴影部分的面积． 7.已知：如图，A，B，C是⊙O上的三点，且=2．过点B作BD⊥OC于点D． （1）求证：AB=2BD． （2）若AB=，CD=1，求图中阴影部分的面积． 8.图1是某型号汤碗，截面如图2所示，碗体部分为半圆O，直径，倒汤时，，如图3所示． （1）的度数为　 　； （2）在图3中，通过计算比较直径与的长度哪个更长； （3）请在图3中画出线段，用其长度表示汤（阴影部分）的最大深度（不说理由），并求汤的最大深度． 9.如图1，在正方形ABCD中，，点O与点B重合，以点O为圆心，作半径长为5的半圆O，交AB于点E，交AB的延长线于点F，点M，N是的三等分点（点M在点N的左侧）.将半圆O绕点E逆时针旋转，记旋转角为，旋转后，点F的对应点为点. 图1 图2 备用图 （1）如图2，在旋转过程中，当经过点N时. ①求的度数； ②求图中阴影部分的面积； （2）在旋转过程中，若半圆O与正方形ABCD的边相切，请直接写出点A到切点的距离. 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $