精品解析：广东肇庆市第一中学2025-2026学年下学期九年级数学第一次模拟检测题

肇庆市第一中学教育集团（初中部） 2025-2026学年九年级数学第一次模拟检测题 一、选择题（下列各题的四个选项中，只有一项最符合题意，每题3分，共30分） 1. 的算术平方根是（ ） A. 4 B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根，对于两个实数a、b，若满足，且a为非负数，那么a就叫做b的算术平方根，且，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴的算术平方根是2， 故选：B． 2. 研究表明，某种甲型流感球形病毒细胞的直径约为，用科学记数法表示这个数据为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为整数． 【详解】解：． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定，确定与的值是解题的关键． 3. 某物体如图所示，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三视图，根据从物体的正面看到的图形是物体的主视图进行分析，即可作答． 【详解】解：依题意，该物体的主视图是， 故选：B． 4. 函数中自变量的取值范围在数轴上可表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了求自变量的取值范围，在数轴上表示不等式的解集，根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件可得，求出不等式的解集，再根据不等式的解集在数轴上表示出来即可求解，掌握二次根式有意义的条件和分式有意义的条件是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，， 解得， ∴自变量的取值范围在数轴上可表示为， 故选：． 5. 下列各式中，运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了幂的乘方的运算方法，合并同类项的方法，同底数幂的乘法的运算方法．根据幂的乘方的运算方法，合并同类项的方法，同底数幂的乘法的运算方法，逐项判断即可． 【详解】解：， 选项A不符合题意； ， 选项B不符合题意； ， 选项C符合题意； ， 选项D不符合题意． 故选：C． 6. 关于x的一元二次方程 的根的情况说法正确的是（ ） A. 只有一个实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 无实数根 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了已知一元二次方程根的情况求参数的取值范围，解题的关键是熟练掌握当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．据此即可解答． 【详解】解：∵ 在 中， ． ∴这个一元二次方程无实数根． 故选D． 7. 【背景材料】人的眼皮有单眼皮与双眼皮，这是由对应的基因决定的．研究表明：决定眼皮单双的基因有两种，一种是显性基因（记为B），另一种是隐性基因（记为b）；一个人的基因总是成对出现（如，，，），在成对的基因中，一个来自父亲，另一个来自母亲，父母亲提供基因时均为随机的．只要出现了显性基因B，那么这个人就一定是双眼皮．即基因，，均为双眼皮． 【知识应用】现有一对夫妻，两人成对的基因都是，若不考虑其他因素，则他们的孩子是单眼皮的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，先列表得到得到所有等可能性的结果数，再找到他们的孩子是单眼皮的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】解：列表如下： B b B b 由表格可知，一共有4种等可能性的结果数，其中他们的孩子是单眼皮的结果数有1种， ∴他们的孩子是单眼皮的概率为， 故选：B． 8. 有9个互不相等的数组成了一组数据，其平均数与这9个数都不相等．把和这9个数组成一组新的数据，下列结论正确的是（ ） A. 新数据的平均值比原数据的平均值小 B. 新数据的方差比原数据的方差大 C. 这两组数据的中位数可能相同 D. 以上结论都不正确 【答案】D 【解析】 【分析】设9个数据为，则，根据平均数，方差，中位数的定义计算判定即可． 本题考查了中位数，方差，平均数的计算，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：设9个数据为，且， 则， 则 ， 故平均数不变， 故A错误； 根据方差定义，得起始数据的方差为：， 新数据的方差为： ， 分子相同，分母变大， 故新方差变小， 故B错误； 根据，则起始数据的中位数为， 新数据的中位数是中间两个数的平均数，即第5个，第六个数据的平均数， 故， 若，则， 这与有9个互不相等的数组成了一组数据，其平均数与这9个数都不相等矛盾． 故C错误， 故D正确， 故选：D． 9. 如图，直线交坐标轴于，两点，等边三角形的边在轴上，且点为线段的中点，若将沿轴竖直向上平移，当点落在直线上时，点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过点作轴于，延长，交于，先求出，，得出，根据等边三角形的性质得出，进而求出平移距离，即可求出平移后的点坐标． 【详解】解：如图，过点作轴于，延长，交于， ∵直线交坐标轴于，两点， 当时，，当时，， ∴，， ∵点为线段的中点， ∴， ∵是等边三角形， ∴，，， ∴ ∵将沿y轴竖直向上平移，点落在直线上， ∴当时，， ∴，， ∵， ∴平移距离为， ∴平移后，点的坐标为． 10. 如图，点A，B依次在反比例函数（常数，）的图象上，，分别垂直x轴于点C，D，轴于点E，于点F，若，阴影部分面积为12，则k的值为（ ） A. 8 B. 6 C. 5 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了反比例函数k的几何意义，正确理解反比例函数中k的几何意义得到四边形的面积都是k是解题的关键． 延长交y轴于H，根据题意得四边形都是矩形，利用比例系数的几何意义得到四边形的面积都是k，由得到四边形的面积为，列得，即可求出k． 【详解】解：延长交y轴于H， ∵，分别垂直x轴于点C，D，轴于点E，于点F， ∴，， ∴四边形都是矩形， 同理得四边形是矩形， ∵点A，依次在反比例函数（常数，）的图象上， ∴四边形的面积都是k， ∵， ∴四边形的面积为， ∵阴影部分面积为12， ∴， 解得， 故选：A． 二、填空题（共5小题，每题3分，共15分） 11. 分解因式：_________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，根据提公因式和公式法进行分解因式，即可作答． 【详解】解： 故答案为： 12. 《九章算术》中记载：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？现有一类似问题：今有人组团购一物，如果每人出10元，则多了6元；如果每人出8元，则少了8元，问组团人数和物价各是多少？若设x人参与组团，物价为y元，请列出方程组_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用问题，根据题意找到等量关系是解决问题的关键．根据等量关系“每人出10元，则多了6元；每人出8元，则少了8元”列出方程组即可． 【详解】解：设x人参与组团，物价为y元，由题意可得， 故答案为：． 13. 如图，在中，，，以为圆心，任意长为半径画弧，交于点，交于点，分别以为圆心，大于为半径画弧交于点，连接并延长，交于点，连接，恰好有，则的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】由作图可知，平分，进而证明，易得，进一步可知，再在中，利用勾股定理解得的长度，然后在中利用勾股定理解得的长度即可． 【详解】解：∵四边形为平行四边形，，， ∴， 由作图可知，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∵ ∴， ∴在中，． 14. 如图，正八边形和正六边形的边长均为2，以顶点为圆心，的长为半径画圆，则阴影部分的面积为______．（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】先求出正八边形和正六边形的内角度数，分别为。，然后求得，利用扇形面积公式即可求解． 【详解】解：∵八边形是正八边形，六边形是正六边形， ∴，， ∴， ∴． 15. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于C点．动点P从点B出发，沿x轴负方向以每秒2个单位的速度运动．过点P作直线，垂足为Q，再将绕点P旋转，设点P的运动时间为t秒．若旋转后的点Q落在该抛物线上，则t的值为______． 【答案】或5 【解析】 【分析】根据抛物线与坐标轴的交点坐标的特点得、，，，由和得是等腰直角三角形，根据动点P从点B出发，沿x轴负方向以每秒2个单位的速度运动，得出，再进行分类讨论，然后根据等腰三角形的判定与性质，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：依题意，，当时，解得：， ， ， 当时，， 解得：，， ，， ，， ，， ∴， ， 是等腰直角三角形， ∴， ∵动点P从点B出发，沿x轴负方向以每秒2个单位的速度运动． ∴运动t秒后，， 则点的坐标为， 当将绕点P按逆时针方向旋转后，记点的对应点为， ∴， ∵旋转后的点Q落在该抛物线上， ∴点在抛物线上 过点作轴，垂足为W，过点作轴，垂足为， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∵ ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∵，，， ∴， ∴， 即， ∵点的坐标为， ∴， 则， 把代入， 得， 整理得 解得或（此时与点重合，不符合题意，舍去）； 当将绕点P按顺时针方向旋转后，记点的对应点为， 同理得，，是等腰三角形， 则， 即平分， 连接，与轴交于点 故，（等腰三角形的三线合一） 即点与点关于轴对称 ∵ ∴ 把代入， 得， 整理得 解得或（此时与点重合，不符合题意，舍去）； 综上：或5． 【点睛】本题考查了二次函数的几何应用，旋转性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，难度较大，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 三、解答题（共8小题，16-18每小题7分，19-21每小题9分，22题13分，23题14分，共75分） 16. 解答下列各题： （1）计算：； （2）解方程：. 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 解：， 方程两边同乘，得  ， 解得， 检验：当时， ， ∴是原分式方程的解. 17. 习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．”某市图书馆为推广全民阅读活动，决定加大图书购置经费的投入．一月份投入图书购置经费50万元，三月份投入图书购置经费72万元． （1）求该市这两个月投入图书购置经费的平均增长率． （2）如果按（1）中经费投入的平均增长率计算，该市计划四月份用不超过当月图书购置经费的购买电脑和实物投影仪共15台，捐赠给乡镇学校阅览室．若购买一台电脑需3300元，一台实物投影仪需2400元，则最多可购买电脑多少台？ 【答案】（1）该市这两个月投入图书购置经费的平均增长率为 （2）最多可购买电脑8台. 【解析】 【分析】（1）设该市这两个月投入图书购置经费的平均增长率为x，根据题意，三月份投入图书购置经费为元，即可列方程求解； （2）设购买电脑y台，则购买实物投影仪台，当月图书购置经费的为元，再根据题意列不等式求解即可． 【小问1详解】 解：设该市这两个月投入图书购置经费的平均增长率为x， 根据题意，得， 解得，（不合题意，舍去）， 答：该市这两个月投入图书购置经费的平均增长率为． 【小问2详解】 解：设购买电脑y台，则购买实物投影仪台， 根据题意，得， 解得， 答：最多可购买电脑8台． 18. 如图①，生活中人们常常利用定滑轮来升降物体．如图②，某物体的初始位置在水平地面上的处，此时在将绳子拉直的处测得定滑轮点的仰角为．继续向后水平移动到处测得定滑轮点的仰角为，此时物体上升到处．已知，均垂直于地面，，物体和定滑轮大小忽略不计，运动过程中绳子总长不变，求物体与定滑轮的距离的长（结果精确到，参考数据：，，，）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用（仰角俯角问题），熟练掌握仰角的定义及解直角三角形的相关计算是解题的关键．延长交于点，则，在中，根据正切定义可得出，设，在中，，根据正切的定义得出，解方程求出x，然后根据勾股定理求出和，进而求出从A处移动到B处，物体上升的高度，即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点，则， 在中，，， ∴， 设， 在中，， ， ， 解得， ∴，， ∴，， ∴从A处移动到B处，物体上升了， ∴． 19. 如图，已知是的直径，C是上一点，，垂足为D，连接，过点A作的切线与的延长线相交于点E． （1）求证：； （2）若的半径为4，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，三角形的内角和，垂径定理等相关的知识点，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据三角形的内角和即可得到； （2）利用相似三角形的判定与性质得到的长，再利用勾股定理即可得到的长． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵为的切线， ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：连接，如图， 在中，， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得，， ∵， ∴， 在中， ． 20. 如图，在四边形中，对角线与相交于点，点是、的中点，点在四边形外，且． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求矩形的面积 【答案】（1）见详解 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，首先根据为和的中点，得出四边形是平行四边形，在中，在中，，得到，可证出结论． （2）根据矩形性质求出，求出，根据直角三角形的性质求出即可． 【小问1详解】 证明：连接，如图所示： ∵是、的中点， ∴， ∴四边形是平行四边形， 在 中， ∵为中点， ， 在 中， ∵为中点， ， ∴， 又 ∵四边形是平行四边形， ∴平行四边形是矩形． 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ， ∵四边形是矩形， ， ， ， ． 【点睛】此题主要考查了矩形的性质和判定、等腰三角形的性质、勾股定理、直角三角形斜边上的中线性质，关键是掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 21. 百度推出了“文心一言”聊天机器人（以下简称甲款），抖音推出了“豆包”聊天机器人（以下简称乙款）．有关人员开展了对甲，乙两款聊天机器人的使用满意度评分测验，并分别随机抽取份评分数据，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用表示，分为四个等级： ：，：，：，：， 下面给出了部分信息： 甲款评分数据中“满意”的数据：64，70，75，76，78，78，85，85，85，85，86，89，90，90，94，95，98，98，99，100． 乙款评分数据中组包含的所有数据：84，86，87，87，87，88，90，90．甲、乙款评分统计表： 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中_______， _______， _______． （2）在此次测验中，有人对甲款进行评分、人对乙款进行评分．请通过计算，估计其中对甲、乙两款聊天机器人非常满意的用户总人数． （3）（简称丙款）推出后引发广泛讨论．现有甲、乙、丙三款聊天机器人，小明和小红各自随机选择其中一款进行体验测评．请用列表法或树状图法，求两人都选择同款聊天机器人的概率． 【答案】（1），， （2）估计其中对甲、乙两款聊天机器人非常满意的用户总人数为人 （3）图见解析， 【解析】 【分析】本题考查了扇形统计图、中位数、众数以及样本估计总体，列表法或树状图法求概率等知识，正确理解中位数、众数的意义，熟练掌握中位数、众数的计算方法是解题的关键． （1）根据中位数的定义可得的值，根据众数的定义可得的值，用分别减去其他三个等级所占百分比可得的值，即可得出的值； （2）由甲、乙两款的非常满意的人数之和即可得出答案； （3）用树状图法求解即可． 【小问1详解】 解：甲款评分数据中“满意”的数据中出现的次数最多， 众数． 乙款评分数据中、两组共有个数据， 乙款评分数据的中位数为第个和第个数据的平均数，而这两个数据分别为、，中位数． 乙款评分数据在组人数所占百分比为， 即． 故答案为：，，． 【小问2详解】 解：甲款评分数据中“非常满意”的人数占比， 对甲、乙两款聊天机器人非常满意的用户总人数为： （人）． 答：估计其中对甲、乙两款聊天机器人非常满意的用户总人数为人． 【小问3详解】 解：画树状图为： 由树状图可知，共有种等可能的结果数，其中两人都选择同款聊天机器人的结果为种，所以两人都选择同款聊天机器人的概率为． 22. 小明在学习了矩形与旋转的知识后，对矩形的一条边进行旋转探究，下面是他的探究过程，请你对下列问题进行解答： 如图，在矩形中，，，边绕点A顺时针旋转得到，作平分交于点，连接． （1）初步探究 如图1，将矩形纸片沿直线对折，使点与点重合，然后展开铺平，得到折痕，当落在上时，求的值． （2）深入探究 如图2，当落在对角线上时，求点到的距离． （3）拓展探究 若与矩形的对角线垂直，求的长． 【答案】（1）的值为； （2）点到的距离为； （3）的长为或． 【解析】 【分析】（1）由旋转的性质可得，由折叠可得，，根据特殊角的三角函数值即可求解； （2）由矩形的性质，可得，过点作于点，可得，证明，可得，即可得点到的距离； （3）按照和进行分类讨论，由三角形相似的判定和性质，三角形全等的判定和性质，结合勾股定理，即可得的长． 【小问1详解】 解：∵边绕点顺时针旋转得到， ∴， ∵垂直平分， ∴，， 则， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴． 如图1，过点作于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得． 【小问3详解】 解：如图3，当交于点时， 设． ∵， ∴． ∵， ∴，， ∴，． ∵，平分， ∴， ∴． ∵， ∴， 解得，则； 如图4，当时，． ∵， ∴， ∴． 延长交于点，过点作于点， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， 解得． ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 解得． 综上所述，的长为或． 23. 已知：在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线经过B、C两点，与x轴另一交点为点A （1）如图1，求抛物线的解析式； （2）如图2，点D为直线上方抛物线上一动点，连接，设直线交线段于点E，的面积为，的面积为，当最大值时，求点D的坐标； （3）如图1，点P在x轴上，点D在抛物线上，当P、D、B、C四点能构成平行四边形时，P点坐标是多少，不写过程，直接写出P点坐标 【答案】（1） （2）点坐标为 （3）符合条件的点坐标为：、、、． 【解析】 【分析】（1）先求B、C两点坐标：令直线中得B点坐标，令得C点坐标，再将B、C坐标代入抛物线解析式，解二元一次方程组得b、c，确定抛物线解析式． （2）令抛物线求得A点坐标，过作轴交直线于，过A作轴交直线于N，因为和同高，所以面积比等于底的比，可转化为之比，由，​，设D点坐标为参数，求出线段长的解析式，用参数表示出的表达式，再利用二次函数性质求最大值时的参数值，得到D点坐标． （3）平行四边形存在性：分为对角线三种情况，根据平行四边形对角线互相平分的性质，结合P在x轴上纵坐标为0、D在抛物线上满足抛物线解析式的条件，分类计算P点坐标． 【小问1详解】 解：对，令，得，故； 令，得，故． 将、代入抛物线， 得，解得​， ∴抛物线解析式为． 【小问2详解】 令抛物线， 解得或， ∴， ∴． 设， 过作轴交直线于，过A作轴交直线于N， 则， ∴ ． 对，令，得， 故， ∴， ∵和同高， 故​， 又， ∴， ∴​， ∴， ， ∴当时，​​取最大值， 此时的纵坐标为， ∴​​最大时，点坐标为 【小问3详解】 设， ∵P、D、B、C四点构成平行四边形， ∴分三种对角线情况： 情况1：与为对角线， ∵对角线中点相同： 中点：，中点为，即 中点：，即， ∴， 即， ∴， 解得或， 当，，，与C重合，舍去； 当，， 情况2：与为对角线， 中点：，即 中点：，即 ∴， 即， ∴， ∴，， 解得， 当，，； 当，， 情况3：与为对角线， 中点：，即， 中点：，即， ∴，即， ∴， 解得或， 当，，与C重合，舍去； 当，，． 故符合条件的点坐标为：、、、． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 肇庆市第一中学教育集团（初中部） 2025-2026学年九年级数学第一次模拟检测题 一、选择题（下列各题的四个选项中，只有一项最符合题意，每题3分，共30分） 1. 的算术平方根是（ ） A. 4 B. 2 C. D. 2. 研究表明，某种甲型流感球形病毒细胞的直径约为，用科学记数法表示这个数据为（ ） A. B. C. D. 3. 某物体如图所示，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 4. 函数中自变量的取值范围在数轴上可表示为（　　） A. B. C. D. 5. 下列各式中，运算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 关于x的一元二次方程 的根的情况说法正确的是（ ） A. 只有一个实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 无实数根 7. 【背景材料】人的眼皮有单眼皮与双眼皮，这是由对应的基因决定的．研究表明：决定眼皮单双的基因有两种，一种是显性基因（记为B），另一种是隐性基因（记为b）；一个人的基因总是成对出现（如，，，），在成对的基因中，一个来自父亲，另一个来自母亲，父母亲提供基因时均为随机的．只要出现了显性基因B，那么这个人就一定是双眼皮．即基因，，均为双眼皮． 【知识应用】现有一对夫妻，两人成对的基因都是，若不考虑其他因素，则他们的孩子是单眼皮的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 有9个互不相等的数组成了一组数据，其平均数与这9个数都不相等．把和这9个数组成一组新的数据，下列结论正确的是（ ） A. 新数据的平均值比原数据的平均值小 B. 新数据的方差比原数据的方差大 C. 这两组数据的中位数可能相同 D. 以上结论都不正确 9. 如图，直线交坐标轴于，两点，等边三角形的边在轴上，且点为线段的中点，若将沿轴竖直向上平移，当点落在直线上时，点的坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，点A，B依次在反比例函数（常数，）的图象上，，分别垂直x轴于点C，D，轴于点E，于点F，若，阴影部分面积为12，则k的值为（ ） A. 8 B. 6 C. 5 D. 4 二、填空题（共5小题，每题3分，共15分） 11. 分解因式：_________________． 12. 《九章算术》中记载：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？现有一类似问题：今有人组团购一物，如果每人出10元，则多了6元；如果每人出8元，则少了8元，问组团人数和物价各是多少？若设x人参与组团，物价为y元，请列出方程组_______． 13. 如图，在中，，，以为圆心，任意长为半径画弧，交于点，交于点，分别以为圆心，大于为半径画弧交于点，连接并延长，交于点，连接，恰好有，则的长为_____． 14. 如图，正八边形和正六边形的边长均为2，以顶点为圆心，的长为半径画圆，则阴影部分的面积为______．（结果保留） 15. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于C点．动点P从点B出发，沿x轴负方向以每秒2个单位的速度运动．过点P作直线，垂足为Q，再将绕点P旋转，设点P的运动时间为t秒．若旋转后的点Q落在该抛物线上，则t的值为______． 三、解答题（共8小题，16-18每小题7分，19-21每小题9分，22题13分，23题14分，共75分） 16. 解答下列各题： （1）计算：； （2）解方程：. 17. 习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．”某市图书馆为推广全民阅读活动，决定加大图书购置经费的投入．一月份投入图书购置经费50万元，三月份投入图书购置经费72万元． （1）求该市这两个月投入图书购置经费的平均增长率． （2）如果按（1）中经费投入的平均增长率计算，该市计划四月份用不超过当月图书购置经费的购买电脑和实物投影仪共15台，捐赠给乡镇学校阅览室．若购买一台电脑需3300元，一台实物投影仪需2400元，则最多可购买电脑多少台？ 18. 如图①，生活中人们常常利用定滑轮来升降物体．如图②，某物体的初始位置在水平地面上的处，此时在将绳子拉直的处测得定滑轮点的仰角为．继续向后水平移动到处测得定滑轮点的仰角为，此时物体上升到处．已知，均垂直于地面，，物体和定滑轮大小忽略不计，运动过程中绳子总长不变，求物体与定滑轮的距离的长（结果精确到，参考数据：，，，）． 19. 如图，已知是的直径，C是上一点，，垂足为D，连接，过点A作的切线与的延长线相交于点E． （1）求证：； （2）若的半径为4，，求的长． 20. 如图，在四边形中，对角线与相交于点，点是、的中点，点在四边形外，且． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求矩形的面积 21. 百度推出了“文心一言”聊天机器人（以下简称甲款），抖音推出了“豆包”聊天机器人（以下简称乙款）．有关人员开展了对甲，乙两款聊天机器人的使用满意度评分测验，并分别随机抽取份评分数据，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用表示，分为四个等级： ：，：，：，：， 下面给出了部分信息： 甲款评分数据中“满意”的数据：64，70，75，76，78，78，85，85，85，85，86，89，90，90，94，95，98，98，99，100． 乙款评分数据中组包含的所有数据：84，86，87，87，87，88，90，90．甲、乙款评分统计表： 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中_______， _______， _______． （2）在此次测验中，有人对甲款进行评分、人对乙款进行评分．请通过计算，估计其中对甲、乙两款聊天机器人非常满意的用户总人数． （3）（简称丙款）推出后引发广泛讨论．现有甲、乙、丙三款聊天机器人，小明和小红各自随机选择其中一款进行体验测评．请用列表法或树状图法，求两人都选择同款聊天机器人的概率． 22. 小明在学习了矩形与旋转的知识后，对矩形的一条边进行旋转探究，下面是他的探究过程，请你对下列问题进行解答： 如图，在矩形中，，，边绕点A顺时针旋转得到，作平分交于点，连接． （1）初步探究 如图1，将矩形纸片沿直线对折，使点与点重合，然后展开铺平，得到折痕，当落在上时，求的值． （2）深入探究 如图2，当落在对角线上时，求点到的距离． （3）拓展探究 若与矩形的对角线垂直，求的长． 23. 已知：在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线经过B、C两点，与x轴另一交点为点A （1）如图1，求抛物线的解析式； （2）如图2，点D为直线上方抛物线上一动点，连接，设直线交线段于点E，的面积为，的面积为，当最大值时，求点D的坐标； （3）如图1，点P在x轴上，点D在抛物线上，当P、D、B、C四点能构成平行四边形时，P点坐标是多少，不写过程，直接写出P点坐标 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $