精品解析：2025年广东省肇庆市高要区实验中学中考数学一模试题

2025年初中毕业生适应性学业检测 数 学 满分：120分 考试时间：120分钟 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 的绝对值是（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查绝对值和相反数，根据绝对值的定义，负数的绝对值是它的相反数求解即可． 【详解】解：∵ ∴， 故选：C． 2. 音乐是人类文化中不可或缺的一部分，它充满魅力，能够唤起人们各种各样的情感体验．下列音乐符号中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念，进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 本题考查了中心对称图形，轴对称图形的甄别，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：A．不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意； B．是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项合题意； C．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意； D．既不是轴对称图形又不是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选：B． 3. 2025年1月15日，广东省十四届人大三次会议召开省直部门专场记者会．省商务厅在会上介绍的数据显示，去年全省外贸进出口9.11万亿元，增长，净增量8133亿元，迈上了9万亿元标志性大台阶．数据9.11万亿用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数，据此写出结论即可． 【详解】解：9.11万亿． 故选：C． 4. 如图，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三角形外角的性质，掌握三角形外角等于不相邻的两个内角和是解题关键． 根据三角形外角等于不相邻的两个内角和列式计算即可． 【详解】解：∵是的一个外角， ∴． 故选：C． 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了同底数幂相乘除，幂的乘方，同类项，先根据同底数幂相乘除法则计算判断A，C，再根据幂的乘方计算判断B，然后根据合并同类项法则计算判断D． 【详解】因为，所以A正确； 因为，所以不正确； 因为，所以C不正确； 因为不是同类项，不能合并，所以不正确． 故选：A． 6. 解方程，去分母后正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】方程两边同乘以即可得． 【详解】解：， 方程两边同乘以，得， 故选：B． 【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握去分母的方法是解题关键． 7. 从数学家（高斯）名字中任意选择一个字母，该字母是s的概率是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查概率公式，根据题意，可以写出任意选择一个字母的所有可能性和选择的字母是s的可能性，从而可以求出相应的概率． 【详解】解：在数学家（高斯）名字中任意选择一个字母一共有种可能性，其中字母为“s”的可能性有种， ∴任意选择一个字母，字母为“s”的概率是， 故选：D． 8. 如图，已知正方体展开图中线段的长是10，则正方体的棱长在（　　） A. 1与2之间 B. 2与3之间 C. 3与4之间 D. 4与5之间 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，无理数的估算，先根据勾股定理求出正方体的棱长，再估算大小即可． 【详解】解：如图， 设正方体的棱长为，则，， 中，由勾股定理可得， ∴， 整理得， ∴（负值舍去）， ∵， ∴， 即正方体的棱长在2与3之间， 故选：B． 9. 点均在二次函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质．由抛物线解析式可得抛物线开口方向及对称轴，进而求解． 【详解】解：， 抛物线对称轴为直线，抛物线开口向下， ∴点为顶点，其纵坐标为最大值；点、在对称轴右侧， 时，随增大而减小， ， ， ， 故选：C． 10. 如图，矩形的顶点A，B分别在反比例函数和的图象上，顶点E，F都在x轴上，交y轴于点D．若点C在y轴上，且，则（　　） A. B. C. 4 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的比例系数的几何意义，反比例函数图像上点的坐标特征，矩形的性质，熟练掌握反比例函数中k的几何意义，是解答本题的关键．根据k值的几何意义得出，，根据，得出，从而得出，最后求出k值即可． 【详解】解：∵矩形的顶点A，B分别在反比例函数和的图象上， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：． 故选：D． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 如图是广州市2025年1月1日-1月7日每天最高气温（）的统计结果，这7天最高气温的众数是___________． 【答案】23 【解析】 【分析】本题考查了确定一组数据的众数，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．根据众数的定义求解． 【详解】解：因为最高气温出现了4次，出现的次数最多， 这7天最高气温的众数是． 故答案为：23． 12. 关于的不等式组的解集在数轴上表示如图所示，则不等式组解集为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据数轴上表示的解集确定出所求即可．此题考查了在数轴上表示不等式的解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出来，向右画；，向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“”，“ ”要用实心圆点表示；“”，“ ”要用空心圆点表示． 【详解】解：关于的不等式组的解集在数轴上表示如图所示， 则不等式组解集为， 故答案为： 13. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是________． 【答案】且 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的判别式可进行求解． 【详解】解：由题意得： 且， ∴且， 故答案为：且． 【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键，注意容易漏掉二次项系数不为零这一条件． 14. 已知实数，满足，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式求值，分式运算，由，得，则，然后代入即可求解，熟练掌握相关知识的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 如图，在中，，，点M是上一点，且平分，连接，将绕点M顺时针旋转，点A的对应点N落在上．若点N恰好是的三等分点（靠近点C），则___________． 【答案】14 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，旋转的性质，解直角三角形，等腰三角形的性质和判定，过点作,垂足为点，即可得到，进而求出和长，再根据角平分线的定义和平行线的性质得到,即可得到，然后根据勾股定理求出的长，再过点作于点,求出和长解答即可． 【详解】解：若点恰好是的三等分点(靠近点)，则， 过点作,垂足为点,如图, ∵是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， 则,， ∵,平分, ∴, ∴， ， ， ， 过点作于点, 在中,,， 在中, ， 故答案为：． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 计算：． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算，先根据零指数幂、算术平方根、特殊角的三角函数值化简，再计算即可． 【详解】解：原式． 17. 如图，点，在线段上，且，，． （1）求证：； （2）在线段，上分别找出点，，依次连接点，，，，使得到的四边形为菱形．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，标明字母） 【答案】（1）见解析； （2）见解析． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，作垂直平分线，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由，得，然后证明，再由“”证明即可得出结论； （）作垂直平分线即可，然后通过菱形的判定方法即可求证． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴ 在和中， ， ∴， ∴； 【小问2详解】 如图，四边形即为所求； 理由：由作图可知，垂直平分， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， ∴四边形即为所求． 18. 第十五届中国国际航空航天博览会于2024年11月12日在广东珠海开幕．本届航展，飞行表演盛况空前，一批航空航天领域“大国重器”集中亮相，见证着跨越发展能力．飞机的机翼产生升力以支持飞机在空中飞行，它还起一定的稳定和操纵作用．机翼的平面形状多种多样，常用的有矩形翼、梯形翼、三角翼、双三角翼、箭形翼、边条翼等．如图，四边形是某种型号飞机机翼的平面形状，已知，，，请你结合图中所标的数据计算的长度．（结果保留1位小数．参考数据：） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用、等腰直角三角形的判定与性质等知识：将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）．求出，，得出的长，即可得出答案． 【详解】解：∵，，， ∴，． 如图，过点作于点，则四边形是矩形， ∴，． ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 答：的长度约为． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. “心理健康”越来越受到人们的关注，某中学为调查学生对心理健康知识的了解程度，随机选取了部分学生进行问卷调查，并根据收集到的数据进行统计，绘制了下面两幅尚不完整的统计图． 根据图中信息回答下列问题： （1）选取的学生共有___________人，条形统计图中m的值为___________． （2）求出扇形统计图中“了解很少”部分所对应扇形的圆心角的度数； （3）若该校有3000名学生，估计全校不了解心理健康知识的学生人数． 【答案】（1）60，10 （2） （3）500人 【解析】 【分析】本题考查扇形图和条形图的综合应用，从统计图中有效地获取信息，是解题的关键： （1）用“基本了解”的人数除以所占的百分比，求出选取的人数，总人数减去其他组的人数求出的值； （2）360度乘以“了解很少”的人数所占的比例，进行求解即可； （3）利用样本估计总体的思想进行求解即可． 【小问1详解】 选取的学生共有：（人）． ； 【小问2详解】 ． 答：扇形统计图中“了解很少”部分所对应扇形的圆心角的度数为． 【小问3详解】 3000×（人）． 答：估计全校不了解心理健康知识的学生有500人． 20. 2025年正值中国传统农历乙巳蛇年，某画室计划购买蛇宝宝毛绒玩具和蛇形挂件装饰画室，已知购买4个蛇宝宝毛绒玩具和1个蛇形挂件共需256元，购买6个蛇宝宝毛绒玩具和3个蛇形挂件共需408元． （1）求每个蛇宝宝毛绒玩具和每个蛇形挂件的价格； （2）该画室用320元购买了蛇宝宝毛绒玩具和蛇形挂件，分别求购买蛇宝宝毛绒玩具和蛇形挂件的数量． 【答案】（1）每个蛇宝宝毛绒玩具的价格是60元，每个蛇形挂件的价格是16元 （2）购买4个蛇宝宝毛绒玩具，5个蛇形挂件 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，二元一次方程的整数解. （1）设每个蛇宝宝毛绒玩具的价格是m元，每个蛇形挂件的价格是n元，根据“购买4个蛇宝宝毛绒玩具和1个蛇形挂件共需256元，购买6个蛇宝宝毛绒玩具和3个蛇形挂件共需408元”列方程组求解即可； （2）设购买a个蛇宝宝毛绒玩具，b个蛇形挂件，根据“用320元购买了蛇宝宝毛绒玩具和蛇形挂件”得到，再求正整数解即可． 【小问1详解】 解：设每个蛇宝宝毛绒玩具的价格是m元，每个蛇形挂件的价格是n元， 根据题意得 解得 答：每个蛇宝宝毛绒玩具的价格是60元，每个蛇形挂件的价格是16元． 【小问2详解】 解：设购买a个蛇宝宝毛绒玩具，b个蛇形挂件， 根据题意得， ∴． ∵a，b是正整数， ∴， 答：购买4个蛇宝宝毛绒玩具，5个蛇形挂件． 21. 综合与实践主题：确定筝形的重心位置． 素材：如图（1），筝形薄板中，，，． 实践操作一：如图（2），过悬挂点A将薄板用细线悬挂起来，静止后，过点A沿细线所在直线画一条射线；然后将悬挂点换成B，用同样的方法画出过点B的射线，两射线的交点就是筝形薄板的重心G，已知筝形的重心在其对称轴上． （1）连接，求证：点G在上． 实践操作二：如图（3），连接，分别作出的重心和的重心J，连接，则与的交点就是筝形薄板的重心G．已知三角形的重心到顶点的距离是重心到对边中点的距离的2倍． （2）判断与的位置关系并证明． （3）求的值． 【答案】（1）见解析；（2），见解析；（3） 【解析】 【分析】（1）证明得到筝形关于直线对称，再根据点是筝形的重心得到结论即可； （2）由得到，再证明，得到，根据重心的性质得到，则，最后利用等腰三角形“三线合一”得到； （3）根据重心和勾股定理得到，，， ，，设，则，根据勾股定理得到，据此列方程求解即可． 【详解】（1）证明：连接， ∵， ∴， ∴筝形关于直线对称， ∵点是筝形的重心， ∴点在上； （2）． 证明：∵， ∴， 由重心可知点分别是的中点，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵点分别是和的重心， ∴，即， ∴， ∴（依据：等腰三角形“三线合一”）； （3）解：∵，由重心可知点是的中点， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， 设，则， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了三角形重心的定义和性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，理解重心的概念是解答本题的关键． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 如图（1），在中，是直径，为弦，，相交于点，直线与相切于点B，且． （1）求证：点是的中点． （2）如图（2），是的直径，连接，，线段上存在一点，满足，求证：． （3）如图（3），将绕点顺时针旋转得到，连接，当的面积最大时，求的大小 ． 【答案】（1）证明：直线与相切于点B，为直径， ， ∵， 即， 点F是的中点． （2）证明：如图，连接， 由（1）可知， 为直径， ， ， ． 又， ． ， ， ， ， ， ， ， ． （3） 【解析】 【分析】（1）根据切线的性质和平行线的性质可得，根据垂径定理即可得到结论； （2）连接，可以推导得到，即可得到，进而得到，然后证明，得到，根据等量代换得到结论即可； （3）根据旋转可得，当点F到的距离最大时，的面积取得最大值，即，即可得到旋转角的度数． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：将绕点顺时针旋转得到， ， 面积点F到的距离点到的距离， 当点F到的距离最大时，的面积取得最大值． 如图（3），分析可知，当时，点到的距离最大，此时的面积最大． ， ． 【点睛】本题考查切线的性质，圆周角定理，垂径定理，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，掌握切线的性质是解题的关键． 23. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与y轴交于点A，与x轴的一个交点为B，点是抛物线上的一点． （1）求m的值； （2）轴于点D，与交于点E，求的值； （3）在（2）的条件下，在x轴上找一点P，使，求点P的坐标． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）将点代入抛物线计算即可； （2）先由抛物线解析式得出，，则，，结合（1）得，，方法一：如图（1），过点B作轴交于点Q，根据待定系数法求得所在直线的解析式为，进而得，由勾股定理得，，证明得，进而可求，进而可得答案；方法二：如图（1），过点E作轴于点F，分别证明，，得出，，再证明，得． （3）先利用勾股定理求的长，分析可知，可分点P在点B右侧和左侧两种情况进行讨论．先证得，再结合，可知当点P在点B右侧时，点P，D重合，从而求得点P的坐标；当点P在点B左侧时，过点P作于点H，设，先利用锐角三角函数求出，，再根据线段的数量关系列方程求x的值，从而求得点P的坐标． 【小问1详解】 解：∵点是抛物线上一点， ∴； 【小问2详解】 解：对于， 当时，， 解得或， 当时，， ∴，， ∴，， 由（1）知， ∵轴于点D， ∴，， 方法一：如图（1），过点B作轴交于点Q， ∵，， ∴所在直线的解析式为， 当时，， 即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴； 方法二：如图（1），过点E作轴于点F， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：∵在中，，， ∴， 可分点P在点B右侧和左侧两种情况进行讨论： ①当点P在点B右侧时， ， ， ， ， ，即， 此时点P与点D重合，如图（2）， 点P的坐标为； ②当点P在点B左侧时，如图（3），过点P作于点H， 设， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， 点P的坐标是． 综上，点P的坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用等知识． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年初中毕业生适应性学业检测 数 学 满分：120分 考试时间：120分钟 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 的绝对值是（ ） A. 2 B. C. D. 2. 音乐是人类文化中不可或缺的一部分，它充满魅力，能够唤起人们各种各样的情感体验．下列音乐符号中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 2025年1月15日，广东省十四届人大三次会议召开省直部门专场记者会．省商务厅在会上介绍的数据显示，去年全省外贸进出口9.11万亿元，增长，净增量8133亿元，迈上了9万亿元标志性大台阶．数据9.11万亿用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 4. 如图，若，则（ ） A. B. C. D. 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 解方程，去分母后正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 从数学家（高斯）名字中任意选择一个字母，该字母是s的概率是（　　） A. B. C. D. 8. 如图，已知正方体展开图中线段的长是10，则正方体的棱长在（　　） A. 1与2之间 B. 2与3之间 C. 3与4之间 D. 4与5之间 9. 点均在二次函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，矩形的顶点A，B分别在反比例函数和的图象上，顶点E，F都在x轴上，交y轴于点D．若点C在y轴上，且，则（　　） A. B. C. 4 D. 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 如图是广州市2025年1月1日-1月7日每天最高气温（）的统计结果，这7天最高气温的众数是___________． 12. 关于的不等式组的解集在数轴上表示如图所示，则不等式组解集为______． 13. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是________． 14. 已知实数，满足，则______． 15. 如图，在中，，，点M是上一点，且平分，连接，将绕点M顺时针旋转，点A的对应点N落在上．若点N恰好是的三等分点（靠近点C），则___________． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 计算：． 17. 如图，点，在线段上，且，，． （1）求证：； （2）在线段，上分别找出点，，依次连接点，，，，使得到的四边形为菱形．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，标明字母） 18. 第十五届中国国际航空航天博览会于2024年11月12日在广东珠海开幕．本届航展，飞行表演盛况空前，一批航空航天领域“大国重器”集中亮相，见证着跨越发展能力．飞机的机翼产生升力以支持飞机在空中飞行，它还起一定的稳定和操纵作用．机翼的平面形状多种多样，常用的有矩形翼、梯形翼、三角翼、双三角翼、箭形翼、边条翼等．如图，四边形是某种型号飞机机翼的平面形状，已知，，，请你结合图中所标的数据计算的长度．（结果保留1位小数．参考数据：） 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. “心理健康”越来越受到人们的关注，某中学为调查学生对心理健康知识的了解程度，随机选取了部分学生进行问卷调查，并根据收集到的数据进行统计，绘制了下面两幅尚不完整的统计图． 根据图中信息回答下列问题： （1）选取的学生共有___________人，条形统计图中m的值为___________． （2）求出扇形统计图中“了解很少”部分所对应扇形的圆心角的度数； （3）若该校有3000名学生，估计全校不了解心理健康知识的学生人数． 20. 2025年正值中国传统农历乙巳蛇年，某画室计划购买蛇宝宝毛绒玩具和蛇形挂件装饰画室，已知购买4个蛇宝宝毛绒玩具和1个蛇形挂件共需256元，购买6个蛇宝宝毛绒玩具和3个蛇形挂件共需408元． （1）求每个蛇宝宝毛绒玩具和每个蛇形挂件的价格； （2）该画室用320元购买了蛇宝宝毛绒玩具和蛇形挂件，分别求购买蛇宝宝毛绒玩具和蛇形挂件的数量． 21. 综合与实践主题：确定筝形的重心位置． 素材：如图（1），筝形薄板中，，，． 实践操作一：如图（2），过悬挂点A将薄板用细线悬挂起来，静止后，过点A沿细线所在直线画一条射线；然后将悬挂点换成B，用同样的方法画出过点B的射线，两射线的交点就是筝形薄板的重心G，已知筝形的重心在其对称轴上． （1）连接，求证：点G在上． 实践操作二：如图（3），连接，分别作出的重心和的重心J，连接，则与的交点就是筝形薄板的重心G．已知三角形的重心到顶点的距离是重心到对边中点的距离的2倍． （2）判断与的位置关系并证明． （3）求的值． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 如图（1），在中，是直径，为弦，，相交于点，直线与相切于点B，且． （1）求证：点是的中点． （2）如图（2），是的直径，连接，，线段上存在一点，满足，求证：． （3）如图（3），将绕点顺时针旋转得到，连接，当的面积最大时，求的大小 ． 23. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与y轴交于点A，与x轴的一个交点为B，点是抛物线上的一点． （1）求m的值； （2）轴于点D，与交于点E，求的值； （3）在（2）的条件下，在x轴上找一点P，使，求点P的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $