精品解析：湖北省随州市随县第一高级中学2025-2026学年高三第四次月考数学试题

2025-2026学年高三第四次月考数学试题 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟. 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的运算性质即可求解. 【详解】解：. 故选：A. 2. 已知集合，则满足的非空集合B的个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 7 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】先化简集合，然后利用子集的定义进行求解即可 【详解】 所以满足的非空集合B有，，，故个数为3， 故选：A 3. 样本的平均数为，样本的平均数为，那么样本的平均数为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题意可知，所以所求平均数为 考点：样本平均数 4. 日常生活中的饮用水通常是经过净化的.随着水的纯净度的提高，所需净化费用不断增加.已知将1吨水净化到纯净度为时所需费用（单位：元）为.若1吨饮用水的售价为528.4元，要使净化的饮用水可以获得利润，则净化到的纯净度应该低于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知列不等式，求解即可得. 【详解】由题意，得，解得，所以净化到的纯净度应该低于. 故选：B 5. 已知某圆锥的底面和某圆台的下底面相同，它们的高均为2，且圆台的上、下底面圆的半径之比是1︰2，圆锥的侧面积是，则该圆台的侧面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】 设圆台的上底面圆的半径为，则圆锥的底面圆和圆台的下底面圆的半径均为， 圆锥的母线， 圆锥的侧面积是，，得，解得; 圆台的母线， 圆台侧面积为． 6. 已知函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为，且关于点对称，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据对称轴的性质，结合正弦型函数的周期公式、对称性进行求解即可. 【详解】因为函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为， 所以该函数的最小正周期为， 又因为，所以有，即， 因为该函数关于点对称， 所以， 因为， 所以令， 故选：B 7. 阿基米德不仅在物理学方面贡献巨大，还享有“数学之神”的称号，圆锥曲线上任意两点M，N处的切线交于点Q，称为“阿基米德三角形”.已知抛物线的焦点为F，过F的直线l交抛物线C于A，B两点，且，抛物线C在A，B处的切线交于点P，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设直线的方程为，联立方程利用，得到，以及直线的方程，对两边求导得到，求得方程为，方程为，联立方程得到，利用点到直线的距离公式求得点到直线的距离为，，再利用面积公式求解即可. 【详解】设过的直线的方程为， 联立方程，得到， 不妨设， 由韦达定理得到， 因为，所以， 又因为，即 ， 所以，即， 所以，得到 即，解得，所以 即，解得，所以， 所以,得到， 所以直线的方程为，即. 对两边求导得到， 所以点的切线斜率， 所以方程为即， 同理可得方程为， 联立方程得到，解得， 所以点到直线的距离为， ， 所以 . 8. 已知数列满足，且中小于0的项有10项，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由递推式可证是等差数列，进而表示出，由的项数列出关于的不等式求解. 【详解】由，得，所以是公差为的等差数列， 所以，即， 由，得，所以 因为中小于的项有项，所以， 解得. 【点睛】易错点：构造新数列时易漏除，或在确定的不等式边界时混淆 “小于 0 的项有 10 项” 的等号方向. 二、多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知双曲线的离心率为，则（ ） A. B. 双曲线的焦点坐标为和 C. 点在双曲线上 D. 若为双曲线的右焦点，为双曲线右支上任意一点，则 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A，根据离心率公式得到方程，求出；对于B，求出焦点坐标为和；对于C，代入可得，从而得到点不在双曲线；对于D，根据双曲线性质得到D正确. 【详解】对于A，由，可得，故A正确； 对于B，由于，故焦点坐标为和，故B错误； 对于C，由，可得点不在双曲线上，故C错误； 对于D，由双曲线的性质，有，，故D正确. 故选：AD. 10. 已知，且，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】由正切关系得到正余弦关系，结合，分别求出和，判断出AB选项，再由二倍角公式和和差角公式判断出CD选项. 【详解】∵，即， ∴， ∴， ∴，B选项正确， ∴，A选项错误， ∴ ，C选项正确 ， ∵，∴，∴，D选项正确. 故选：BCD 11. 设函数的定义域为，满足，且当时，，则下列说法正确的是（ ） A. 有最大值，无最小值 B. 存在负数，使得 C. 当时， D. 当时， 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据函数在时的图象，结合类周期函数的性质，作图，结合图象可逐项分析可得. 【详解】 当时，,此时,当时，函数取得这段区间内的最小值. 由,可知以此类推， 所以有最大值0,无最小值，且当时，. 故A正确，B错误； 当时，，则，故C正确； 当时，，，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知数列中，，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】先判断出数列是等差数列，求出其首项和公差，再利用公式求和即可. 【详解】因为， 所以， 所以， 所以数列是等差数列，首项为6，公差为3， 所以 13. 若函数恰有两个零点，则实数的取值范围是______. 【答案】或 【解析】 【分析】求解方程的根，即可分情况讨论求解. 【详解】令，得，令，解得或. 函数的零点只能从中产生. 要使恰有两个零点，分以下情况讨论： 1) 零点为和，需满足，解得. 2) 零点为和，需满足，即，解得. 3) 零点为和，需满足，即，该不等式组无解. 综上，实数的取值范围是或. 故答案为：或. 14. 在中，，，，，且与交于点F，则______（用表示），若，则的最大值为______． 【答案】 ①. ； ②. . 【解析】 【分析】①先设，再由向量的线性运算及三点共线可得，从而可得；②再由，由向量的数量积为零可得关于的余弦值，再用基本不等式可得角的最大值. 【详解】如图： 设，则，且，所以. 又因为，所以，. 因为三点共线，设，则，即， 因为不共线，由平面向量基本定理得，解得 所以，. 若，设，则，即， ，，， 又因为，且在上单调递减， 所以，故的最大值为. 故答案为：；. 四、解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 如图，四棱锥的底面是边长为4的菱形，，，，，是的中点． （1）证明：； （2）若点为线段上动点，是否存在这样的点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析 （2）不存在，理由见解析 【解析】 【分析】（1）通过证明线面垂直来证明线线垂直，通过证明平面，从而证明. （2）通过建立坐标系来确定各点的坐标，然后通过线面角的公式来求得未知点的坐标，最后通过判断点的坐标是否可能在上，从而判断点是否存在. 【小问1详解】 连接AC， 由题意可知：是等边三角形，且是的中点，， 则，， 因为，，则，， 又因为，则，可知， 且，平面，可得平面， 且平面，所以. 【小问2详解】 以为原点，为轴，为轴，过作垂直于底面的直线为轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 可得，，，， 设平面的法向量为，则， 令，则，可得， 设，则， 设为与平面的夹角为， 则, 整理可得，解得， 且，所以线段上不存在满足条件的点. 16. 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，. （1）求c； （2）求和的值. 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理和余弦定理求解；（2）利用同角三角函数关系式，结合二倍角的正余弦公式以及两角和的正弦公式求解. 【小问1详解】 因为，由正弦定理可得， 由余弦定理可得， 故. 【小问2详解】 因为且为内角，故， 故， 故， 故. 17. 某超市每天以4元/千克购进某种有机蔬菜，然后以7元/千克出售．若每天下午6点以前所购进的有机蔬菜没有全部销售完，则对未售出的有机蔬菜降价处理，以2元/千克出售，并且降价后能够把剩余所有的有机蔬菜全部处理完毕，且当天不再进货．该超市整理了过去两个月（按60天计算）每天下午6点前这种有机蔬菜的日销售量（单位：千克），得到如下统计数据．（注：视频率为概率，） 每天下午6点前的销售量/千克 250 300 350 400 450 天数 10 10 5 （1）求1天下午6点前的销售量不少于350千克的概率； （2）在接下来的2天中，设为下午6点前的销售量不少于350千克的天数，求的分布列和数学期望． 【答案】（1） （2）的分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）由表格中的数据，结合对立事件的概率公式，即可求解； （2）根据题意，得到随机变量的可能值为，结合独立重复试验的概率计算公式，求得相应的概率，列出分布列，利用期望公式，即可求解． 【小问1详解】 解：由表格中的数据，可得1天下午6点前的销售量不小于350千克的概率为． 【小问2详解】 解：依题意，1天下午6点前的销售量不少于350千克的概率， 随机变量的可能值为， 可得：， ， ， 所以随机变量的分布为： 0 1 2 所以的数学期望． 18. 已知函数. （1）若，求函数在点处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）证明：当时，. 【答案】（1）； （2）当时，在上为单调递减函数； 当时，在上为单调递减函数，在上为单调递增函数； （3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）求，，，利用点斜式得到函数在点处的切线方程； （2）求，按照和讨论求解，当时，解出的解为的单调递减区间；解出的解为在上为单调递增区间； （3） 利用时的的单调性得到的最小值为，要证明，只需证明，构造函数，即，求，求出的解为的单调递增区间；求出的解为的单调递减函区间；从而得到的最小值，继而得到证明的结论. 【小问1详解】 ，，， ，， ， 函数在点处的切线方程为， 即； 【小问2详解】 ，， 当时，，在上为单调递减函数； 当时，，解得， 在上为单调递减函数； ，解得，在上为单调递增函数； 综上所述，当时，在上为单调递减函数； 当时，在上为单调递减函数，在上为单调递增函数； 【小问3详解】 ， 当时，在上为单调递减函数，在上为单调递增函数； 则在处取最小值，且最小值为， 要证明，只需证明， 设，即， ，， 的解为，故在上为单调递增函数； 的解为，故在上为单调递减函数； 则在处取最小值，且最小值为， ， ，，. 19. 已知椭圆C：. （1）若C的焦距为2，求C的方程； （2）设C的右顶点为A，点在y轴正半轴上. （ⅰ）若，且C上存在一点T，满足，求m的值； （ⅱ）设线段AM的垂直平分线l的斜率为3，且l与椭圆C交于P，Q两点.若∠PMQ为钝角，求a的取值范围. 【答案】（1） （2）（ⅰ）；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）由题意求得得椭圆方程； （2）（ⅰ）结合（1）得椭圆方程，由向量的关系得出点坐标，代入椭圆方程求解； （ⅱ）由垂直得，设线段AM的中点为B，那么，设，，写出直线方程，代入椭圆方程后，应用韦达定理得，代入可得参数范围. 【小问1详解】 根据题意可得，，，因此， 故的方程为； 【小问2详解】 （ⅰ）如图，作出符合题意的图形， 若，那么C的方程为， 由于，所以，且， 将代入，解得. （ⅱ）如图，作出符合题意的图形， 由于AM⊥l，那么，即. 设线段AM的中点为B，那么， 可得直线l为，即. 设，，联立， 那么可得， 根据韦达定理可得，. 又因为，， 因此 ， 又，所以解得. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高三第四次月考数学试题 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟. 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. （ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，则满足的非空集合B的个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 7 D. 8 3. 样本的平均数为，样本的平均数为，那么样本的平均数为 A. B. C. D. 4. 日常生活中的饮用水通常是经过净化的.随着水的纯净度的提高，所需净化费用不断增加.已知将1吨水净化到纯净度为时所需费用（单位：元）为.若1吨饮用水的售价为528.4元，要使净化的饮用水可以获得利润，则净化到的纯净度应该低于（ ） A. B. C. D. 5. 已知某圆锥的底面和某圆台的下底面相同，它们的高均为2，且圆台的上、下底面圆的半径之比是1︰2，圆锥的侧面积是，则该圆台的侧面积是（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为，且关于点对称，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 阿基米德不仅在物理学方面贡献巨大，还享有“数学之神”的称号，圆锥曲线上任意两点M，N处的切线交于点Q，称为“阿基米德三角形”.已知抛物线的焦点为F，过F的直线l交抛物线C于A，B两点，且，抛物线C在A，B处的切线交于点P，则的面积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知数列满足，且中小于0的项有10项，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知双曲线的离心率为，则（ ） A. B. 双曲线的焦点坐标为和 C. 点在双曲线上 D. 若为双曲线的右焦点，为双曲线右支上任意一点，则 10. 已知，且，，则（ ） A. B. C. D. 11. 设函数的定义域为，满足，且当时，，则下列说法正确的是（ ） A. 有最大值，无最小值 B. 存在负数，使得 C. 当时， D. 当时， 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知数列中，，则___________． 13. 若函数恰有两个零点，则实数的取值范围是______. 14. 在中，，，，，且与交于点F，则______（用表示），若，则的最大值为______． 四、解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 如图，四棱锥的底面是边长为4的菱形，，，，，是的中点． （1）证明：； （2）若点为线段上动点，是否存在这样的点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由． 16. 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，. （1）求c； （2）求和的值. 17. 某超市每天以4元/千克购进某种有机蔬菜，然后以7元/千克出售．若每天下午6点以前所购进的有机蔬菜没有全部销售完，则对未售出的有机蔬菜降价处理，以2元/千克出售，并且降价后能够把剩余所有的有机蔬菜全部处理完毕，且当天不再进货．该超市整理了过去两个月（按60天计算）每天下午6点前这种有机蔬菜的日销售量（单位：千克），得到如下统计数据．（注：视频率为概率，） 每天下午6点前的销售量/千克 250 300 350 400 450 天数 10 10 5 （1）求1天下午6点前的销售量不少于350千克的概率； （2）在接下来的2天中，设为下午6点前的销售量不少于350千克的天数，求的分布列和数学期望． 18. 已知函数. （1）若，求函数在点处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）证明：当时，. 19. 已知椭圆C：. （1）若C的焦距为2，求C的方程； （2）设C的右顶点为A，点在y轴正半轴上. （ⅰ）若，且C上存在一点T，满足，求m的值； （ⅱ）设线段AM的垂直平分线l的斜率为3，且l与椭圆C交于P，Q两点.若∠PMQ为钝角，求a的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $