湖北孝感高级中学2025-2026学年高三下学期4月检测数学试题

**基本信息** 高三4月数学检测卷覆盖函数、几何、概率等核心模块，通过分层设计与情境化命题，强化数学思维与实践应用，适配高考二轮复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |解答题|5/77|解三角形、立体几何、概率统计、圆锥曲线、导数|17题以乒乓球比赛为情境考查概率模型与期望计算，体现数学应用；19题导数证明结合不等式，强化逻辑推理与数学表达|

2025-2026学年高三下学期4月检测数学试题 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟. 一．单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1．已知集合A＝（﹣1，4]，B＝{x∈Z||x|≤3}，则A∩B＝（　　） A．{﹣1，0，1，2} B．{0，1，2，3} C．{0，1，2} D．（﹣1，3] 2．若复数的实部与虚部相等，则a＝（　　） A．0 B．6 C．﹣6 D．36 3．已知tanα＝3，则sin2α﹣sinαcosα﹣2cos2α的值为（　　） A． B． C． D． 4．若平面向量两两的夹角相等，且，则（　　） A．3 B．4 C．3或0 D．4或1 5．已知，若f（m）＝3，则f（﹣m）＝（　　） A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3 6．已知圆C：x2+y2﹣2x﹣4y﹣20＝0与直线l：（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4＝0相交于A，B两点，当∠ACB最小时，m的值为（　　） A． B． C． D． 7．三棱锥P﹣ABC的四个顶点均在同一球面上，其中PA⊥平面ABC，△ABC是正三角形，PA＝2BC＝4，则该球的表面积是（　　） A． B． C． D． 8．若函数的定义域与区间（0，1）的交集由n个开区间组成，则n的值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 二．多项选择题：本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9．下列命题为真命题的是（　　） A．若a＞b＞0，则ac2＞bc2 B．若a＞b，则a3＞b3 C．若a＞b，则 D．若c＞a＞b＞0，则 10．下列说法正确的是（　　） A．数据6，8，3，5，10，1，8，11的第80百分位数为10 B．若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数r的值越接近于1 C．已知随机变量X服从正态分布N（μ，σ2），σ越大，则随机变量X越集中 D．若随机变量X～B（5，0.4），随机变量Y＝2X+1，则D（Y）＝4.8 11．已知双曲线为坐标原点，F1、F2分别是双曲线的左右焦点，P是双曲线位于第一象限上的点，I、G分别是△PF1F2的内心、重心，则下列说法正确的是（　　） A．I的横坐标为a B．直线PI与双曲线相切 C．|OI|的最大值是c D．若IG∥x轴，则 三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12．已知曲线在x＝1处的切线的斜率为　 　 ． 13．已知F1，F2为椭圆的两个焦点，B为椭圆短轴的一个端点，，则椭圆离心率的取值范围为　 　 ． 14．已知，若，则a1＝　 　 ． 四．解答题：共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15．已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足． （1）求A； （2）若c＝2，求锐角△ABC周长的取值范围． 16．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB∥CD，∠BAD＝90°，PA＝4，AB＝2AD＝2DC＝6，M，N分别为PB，PD的中点． （I）求证：BC⊥平面PAC； （Ⅱ）设PA∩平面． （i）求实数λ的值； （ii）求二面角B﹣CQ﹣D的正弦值． 17．甲、乙两人进行乒乓球比赛，采用五局三胜制（没有平局，先胜三局者获胜），每局比赛甲获胜的概率为p（0＜p＜1），各局结果相互独立．比赛计分规则如下：若一方以3：0或3：1获胜，则胜者得3分，败者得0分；若一方以3：2获胜，则胜者得2分，败者得1分． （1）求甲获得3分的概率； （2）若，设甲的总得分为随机变量X，求X的分布列和数学期望； （3）已知甲在比赛中的总得分X的分布列由p决定．定义意外指数为U（p）＝P（X＝1）+P（X＝2），求U（p）的最大值． 18．抛物线E：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，M为E上一点，M的纵坐标为，点N在y轴上，MN⊥y轴，线段MN的中点为P，且PF∥y轴． （1）求E的方程； （2）已知A，B，C为E上三个不同的点，点A在第一象限． （ⅰ）若点B在原点，∠BAC＝90°，|AB|＝|AC|，点A的横坐标x0满足，求n． （ⅱ）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，△ABC的重心G在x轴上，求点G的坐标． 19．已知函数f（x）＝lnx﹣ax+1的最大值为0． （1）求实数a的值； （2）若f（ex）+kx2≤0对x∈（0，+∞）恒成立，求k的取值范围； （3）证明：． 参考答案 一．选择题 1．B． 2．C． 3．B． 4．C． 5．B． 6．A． 7．D． 8．B． 二．多选题 9．BD． 10．AD． 11．ABD． 三．填空题 12．3． 13．（0，]． 14．﹣6075． 四．解答题 15．解：（1）根据题意可知， ， ∵在△ABC中有C+B＝π﹣A，∴上式可化为， 又∵sinA＞0，∴，又∵A∈（0，π），∴； （2）根据正弦定理， 可得， ∴△ABC的周长为， ∵锐角△ABC，可知， 可得，则周长为 ， 由，且， ∴，即， 故锐角△ABC周长的取值范围为． 16．解：（Ⅰ）证明：以A为原点，以、、的正方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向， 建立如图的空间直角坐标系， 则A（0，0，0），D（3，0，0），C（3，3，0），B（0，6，0），P（0，0，4），， ，即AC⊥BC， 又PA⊥平面ABCD，知PA⊥BC，由PA∩AC＝A， 则BC⊥平面PAC． （Ⅱ）（i）， 平面PAD的一个法向量为， 显然， 故CM∥平面PAD，而NQ＝平面PAD∩平面MCN， 于是CM∥NQ， 设，； （ii）由（i）， 设平面QCB的一个法向量分别为， 则，则， 取x1＝1，则y1＝1，z1＝2，即， 设平面QCD的一个法向量分别为， 则，则， 取x2＝1．则y2＝0，z＝1，即， ． 设二面角B﹣CQ﹣D的平面角为θ， 则， ∵sin2θ+cos2θ＝1， ∴，∴， ∵0＜θ＜π，∴， 即二面角B﹣CQ﹣D的正弦值为． 17．解：（1）甲、乙两人进行乒乓球比赛，采用五局三胜制（没有平局，先胜三局者获胜）， 每局比赛甲获胜的概率为p（0＜p＜1），各局结果相互独立， 甲3：0获胜时，概率为p3； 甲3：1获胜时，前3局甲胜2局输1局，第4局甲胜，概率为； 因此甲得3分的概率为P＝p3+3p3（1﹣p）＝4p3﹣3p4； （2）若，设甲的总得分为随机变量X， 则X的可能取值为0，1，2，3， ； X＝2对应甲3：2获胜，前4局甲胜2局输2局，第5局甲胜： ； X＝1对应乙3：2获胜，前4局乙胜2局输2局，第5局乙胜： ； X＝0对应乙3：0或3：1获胜，； X的分布列为： X 0 1 2 3 P 根据离散型随机变量的期望公式可得； （3）由定义U（p）＝P（X＝1）+P（X＝2）， 代入得U（p）＝6p2（1﹣p）3+6p3（1﹣p）2＝6p2（1﹣p）2[（1﹣p）+p]＝6p2（1﹣p）2， 由基本不等式，当且仅当p＝1﹣p，即时取等号， 因此，即U（p）的最大值为． 18．解：（1）将代入E的方程，得，因此， 因此，解得，故E的方程为y2＝x； （2）（ⅰ）设，，因此， 因为，因此，即，① 又BC的中点为，因此，， 由AQ⊥BC，得，与①联立可得． 又，因此， 令f（t）＝t3﹣4t2﹣4t﹣1（t＞0），因此f′（t）＝3t2﹣8t﹣4， 设方程f′（t）＝0的两根分别为t1，t2（t1＜t2）， 得，， 因此f（t）在区间（0，t2）内单调递减，在区间（t2，+∞）内单调递增， 又f（4）＜0，f（5）＞0，即4＜x0＜5，因此n＝4； （ⅱ）有△ABC为等腰三角形， 设重心G（m，0），A（x0，y0），B（x1，y1），C（x2，y2），BC的中点为D（x′，y′）， 因此由，得，， 直线BC的斜率， 由tanB＝tanC，B，C∈（0，π）得∠B＝∠C，即|AB|＝|AC|，可知AD⊥BC， 因此kAG•kBC＝﹣1，即，即，因此， 因此， 因此直线BC的方程为，即，， 联立，整理得， 因此y1+y2＝﹣y0，， 因此， 由，得，解得，因此， 故点G的坐标为． 19．解：（1）函数f（x）＝lnx﹣ax+1的定义域为（0，+∞）， 求导得，令f′（x）＝0，解得（a＞0，否则f（x）单调递增，无最大值）， 当0＜x＜时，f′（x）＞0，f（x）单调递增； 当时，f′（x）＜0，f（x）单调递减， 故为极大值点，也是最大值点， 最大值为， 由题意﹣lna＝0，得a＝1． （2）由（1）可知，f（x）＝lnx﹣x+1，故f（ex）＝lnex﹣ex+1＝x﹣ex+1， 不等式f（ex）+kx2≤0，化简为x﹣ex+1+kx2≤0， 即ex﹣kx2﹣x﹣1≥0在（0，+∞）上恒成立， 设g（x）＝ex﹣kx2﹣x﹣1，x∈（0，+∞），求导得g'（x）＝ex﹣2kx﹣1， 令h（x）＝ex﹣2kx﹣1，求导得h'（x）＝ex﹣2k， 当时，h'（x）＝ex﹣2k＞0在（0，+∞）上恒成立，h（x）在（0，+∞）上单调递增， 所以h（x）＞h（0）＝0，即g′（x）＞0，g（x）在（0，+∞）上单调递增， g（x）＞g（0）＝0，符合题意； 当时，令h′（x）＝0，解得x＝ln2k， 0＜x＜ln2k时，h′（x）＜0，h（x）单调递减；x＞ln2k时，h′（x）＞0，h（x）单调递增， 又h（0）＝0，则h（x）＜0在（0，ln2k）上恒成立，即g′（x）＜0在（0，ln2k）上恒成立， g（x）在（0，ln2k）上单调递减， 又g（0）＝0，所以存在x0∈（0，ln2k），使g（x0）＜0，与已知矛盾，不合题意． 综上，实数k的取值范围为． （3）证明：由（2）知，当时，在（0，+∞）上恒成立， 所以， 即， 两边取对数得，x＞2ln（2x+1）﹣3ln2， 令，得， 2ln2ln2ln2ln3nln2＜1， 左边 ＝2ln3nln2＝2[ln（n+1）（n+2）﹣ln2]﹣3nln2 ＝2ln（n2+3n+2）﹣（3n+2）ln2， 即． 学科网（北京）股份有限公司 $