精品解析：湖北孝感高级中学2025-2026学年高三下学期4月检测数学试题

2025-2026学年高三下学期4月检测数学试题 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回. 满分150分，考试用时120分钟. 一.单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数的实部与虚部相等，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 若平面向量两两的夹角相等，且，则（ ） A. 3 B. 4 C. 3或0 D. 4或1 5. 已知，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 3 6. 已知圆与直线相交于两点，当最小时，的值为（ ） A. B. C. D. 7. 三棱锥的四个顶点均在同一球面上，其中平面，是正三角形，，则该球的表面积是（ ） A. B. C. D. 8. 若函数的定义域与区间的交集由个开区间组成，则n的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二.多项选择题：本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 下列说法正确的是（ ） A. 数据，，，，，，，的第80百分位数为10 B. 若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数的值越接近于1 C. 已知随机变量服从正态分布，越大，则随机变量越集中 D. 若随机变量，随机变量，则 11. 已知双曲线为坐标原点，分别是双曲线的左右焦点，是双曲线位于第一象限上的点，分别是的内心、重心，则下列说法正确的是（ ） A. 的横坐标为 B. 直线与双曲线相切 C. 的最大值是 D. 若轴，则 三.填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 已知曲线在处的切线的斜率为__________. 13. 已知，为椭圆（）的两个焦点，B为椭圆短轴的一个端点，，则椭圆离心率的取值范围为____________. 14. 已知，若，则_______． 四.解答题：共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15. 已知的内角的对边分别为，且满足. （1）求； （2）若，求锐角周长的取值范围. 16. 如图，在四棱锥中，平面，分别为的中点． （1）求证：平面； （2）设平面． （i）求实数的值； （ii）求二面角的正弦值． 17. 甲、乙两人进行乒乓球比赛，采用五局三胜制（没有平局，先胜三局者获胜），每局比赛甲获胜的概率为，各局结果相互独立．比赛计分规则如下：若一方以或获胜，则胜者得分，败者得分；若一方以获胜，则胜者得分，败者得分． （1）求甲获得分的概率； （2）若，设甲的总得分为随机变量，求的分布列和数学期望； （3）已知甲在比赛中的总得分的分布列由决定．定义意外指数为，求的最大值． 18. 抛物线E：的焦点为F，M为E上一点，M的纵坐标为，点N在y轴上，轴，线段MN的中点为P，且轴． （1）求E的方程； （2）已知A，B，C为E上三个不同的点，点A在第一象限． （ⅰ）若点B在原点，，，点A的横坐标满足，求n． （ⅱ）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，的重心G在x轴上，求点G的坐标． 19. 已知函数的最大值为0． （1）求实数的值. （2）若对恒成立，求k的取值范围. （3）证明： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高三下学期4月检测数学试题 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回. 满分150分，考试用时120分钟. 一.单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由结合集合的交集运算即可求解. 【详解】， 所以， 故选：B 2. 若复数的实部与虚部相等，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的运算化简复数，结合题意可得出的值. 【详解】因为，且复数的实部与虚部相等，所以． 3. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用三角函数的平方关系式得到关于的齐次式，再利用三角函数的商数关系式即可得解. 【详解】因为， 所以. 故选：B. 4. 若平面向量两两的夹角相等，且，则（ ） A. 3 B. 4 C. 3或0 D. 4或1 【答案】C 【解析】 【分析】由的夹角均为和夹角均为，两类情况讨论，通过求模的平方即可求解. 【详解】当的夹角均为时， 则 ， ； 当的夹角均为时， 所以 综上或0； 故选：C 5. 已知，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】设，通过对数运算证明得为奇函数，并以构建等式即可求得. 【详解】设，则， 则，故为奇函数， 由题得，所以， 则，所以. 故选：B. 6. 已知圆与直线相交于两点，当最小时，的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由方程确定直线过定点，圆的圆心为，半径为.过圆心作交直线于点，分析可知，当重合时，取得最大值，此时取得最大值，从而取得最大值.由斜率公式及两垂直直线斜率乘积为可得的值. 【详解】，得. ，解得. 所以直线过定点. 由，得. 所以圆心的坐标为，圆的半径为. 过圆心作交直线于点，因为，所以. 所以当最小时，也最小. ，，且在上单调递减， 所以当最小时，最大. 显然，当，即重合时，取得最大值. 此时，直线的斜率为， 所以直线的斜率为，解得. 故选：A. 7. 三棱锥的四个顶点均在同一球面上，其中平面，是正三角形，，则该球的表面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】找到三棱锥的外接球的球心，在三角形中求得球半径，从而求得表面积. 【详解】取的外接圆圆心为，过点作底面， 为三棱锥外接球球心，设该球半径为， 由平面，则，连接、、， 由是正三角形，，故， 由，，则， 故有， 故该球的表面积. 故选：D. 8. 若函数的定义域与区间的交集由个开区间组成，则n的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】先求解在区间上的根，将区间进行分区，在每一个区间内利用函数的图象研究函数的正负，从而得出结果. 【详解】函数的定义域需要满足， 可以先考虑， 因为， 当时，； 当时，； 当时，或； 这时区间自然就被分为五个区间，分别为，，，，，然后对每一个区域分析函数的符号， 根据图象可得，当时， ，，，， 所以，故满足题意； 同理可得时，，故不满足题意； 时，，故满足题意； 时，，故不满足题意； 时，，故满足题意. 故选：B. 二.多项选择题：本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BD 【解析】 【分析】根据不等式的性质，判断A，C；由的单调性判断B；利用作差法判断D. 【详解】A项：当时，命题不成立，所以A错误； B项：为上的增函数，且，所以B正确； C项：时，命题不成立，例如，，所以C错误； D项：， 若，则，所以， 即，所以D正确. 故选：BD. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 数据，，，，，，，的第80百分位数为10 B. 若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数的值越接近于1 C. 已知随机变量服从正态分布，越大，则随机变量越集中 D. 若随机变量，随机变量，则 【答案】AD 【解析】 【分析】根据百分位数的计算公式即可求解求解A，根据相关系数的性质即可求解B，根据正态分布中的含义和性质即可求解C，根据二项分布的期望公式以及期望的性质即可求解D. 【详解】对于A，将数据，，，，，，，从小到大排列为，由于，故第80百分位数为第7个数10，A正确， 对于B，若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数的绝对值越接近于1，B错误， 对于C，正态分布，表示标准差，故越大，随机变量越分散，C错误， 对于D，随机变量，则,故随机变量，则，D正确， 故选：AD 11. 已知双曲线为坐标原点，分别是双曲线的左右焦点，是双曲线位于第一象限上的点，分别是的内心、重心，则下列说法正确的是（ ） A. 的横坐标为 B. 直线与双曲线相切 C. 的最大值是 D. 若轴，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】如图所示，内切圆与三边的切点分别为，延长交于，连接．对于A选项：由内切圆的性质求解；对于B选项：与的外角平分线相互垂直，由双曲线的光学性质得解；对于C：设内切圆的半径为，，化简可得，通过计算得解；对于D选项：利用重心的性质及角平分线定理及余弦定理求出，通过计算得到的范围. 【详解】如图所示，内切圆与三边的切点分别为， 延长交于，连接． 对于A选项：由题意可知、、， ，，可知， ，所以内心的横坐标为，故A正确； 对于B选项：与的外角平分线相互垂直， 由双曲线的光学性质可知直线是双曲线在点处的切线，故B正确； 对于C：设，则有， 其中为双曲线的离心率，设内切圆的半径为， 则有，化简可得， 两边同时平方，代入， 化简可得，所以，故C错误； 对于D选项：轴，由重心的性质可知， 由题意及角平分线定理可知， 则， 在中，由余弦定理可知， 代入数据可得 ， 因为，所以， 所以，故D正确． 故选：ABD. 三.填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 已知曲线在处的切线的斜率为__________. 【答案】3 【解析】 【详解】对 求导得. 代入 得 因此,切线的斜率为3. 13. 已知，为椭圆（）的两个焦点，B为椭圆短轴的一个端点，，则椭圆离心率的取值范围为____________. 【答案】 【解析】 【分析】根据条件，在 内运用余弦定理求解. 【详解】 设 ， ，由条件知： ， …① 在 中，由余弦定理知： ， 由①得： ； 故答案为： . 14. 已知，若，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】令、求得的值，再结合二项展开式的通项公式可求得答案. 【详解】令，得， 再令，则 ， 所以，则， 所以的通项为， 令，可得. 故答案为：. 四.解答题：共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15. 已知的内角的对边分别为，且满足. （1）求； （2）若，求锐角周长的取值范围. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】利用正弦定理边化角，再利用三角恒等变形即可求解角； 利用正弦定理边化角，再借助三角恒等变形转化为正切函数的取值范围，最后可求周长的取值范围. 【小问1详解】 由， 因为在中有，所以上式可化为， 又因为，所以，又因为，所以； 【小问2详解】 由正弦定理得：， 可得， 所以的周长为， 因为锐角，可知， 可得，则周长可化为：， ， 由，且， 所以，即， 故锐角周长的取值范围为. 16. 如图，在四棱锥中，平面，分别为的中点． （1）求证：平面； （2）设平面． （i）求实数的值； （ii）求二面角的正弦值． 【答案】（1）证明：以为原点，以、、的正方向分别为轴、轴、轴的正方向， 建立如图的空间直角坐标系，则： ，即． 又平面知，由，则平面． （2）（i）；（ii）． 【解析】 【分析】（1）证明：利用空间向量法求解，求出，求出即，由平面知，利用线面垂直的判定定理得到平面． （2）（i）求出，求出平面的一个法向量，得到，从而得到平面，利用线面平行的性质定理得到，设，求出 ，利用求出的值； （ii）由（i）求出，分别求出平面和平面的一个法向量，利用向量的数量积求出 ．设二面角的平面角为，利用同角关系式求出，从而得到二面角的正弦值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （i），平面的一个法向量为，显然， 故平面，而平面平面，于是， 设； （ii）由（i）， 设平面的一个法向量分别为， 则：， 取，则，即． 设平面的一个法向量分别为， ， 取．则，即， ． 设二面角的平面角为，则， ，，， ，， 即二面角的正弦值为． 【点睛】 17. 甲、乙两人进行乒乓球比赛，采用五局三胜制（没有平局，先胜三局者获胜），每局比赛甲获胜的概率为，各局结果相互独立．比赛计分规则如下：若一方以或获胜，则胜者得分，败者得分；若一方以获胜，则胜者得分，败者得分． （1）求甲获得分的概率； （2）若，设甲的总得分为随机变量，求的分布列和数学期望； （3）已知甲在比赛中的总得分的分布列由决定．定义意外指数为，求的最大值． 【答案】（1） （2）的分布列为： ​ 数学期望为. （3） 【解析】 【分析】（1）甲获得分，有和获胜两种情况，根据事件的相互独立性和互斥事件的加法即可求解； （2）先确定随机变量的所有可能取值，再分别计算每个取值的概率，列出分布列，最后根据数学期望的公式计算； （3）先求出的表达式，再利用均值不等式得到表达式的最大值. 【小问1详解】 根据题意，每局比赛甲获胜的概率为，各局结果相互独立． 甲获胜时，概率为； 甲获胜时，前局甲胜局输局，第局甲胜，概率为； 因此甲得分的概率为. 【小问2详解】 甲的总得分的可能取值为，  ；​ 对应甲获胜，前局甲胜局输局，第局甲胜：  ；​ 对应乙获胜，前局乙胜局输局，第局乙胜：  ；​ 对应乙或获胜，.​ 的分布列为： ​ 数学期望为. 【小问3详解】 由定义， 代入得 由基本不等式​，当且仅当即​时取等号. 因此 ，即的最大值为. 18. 抛物线E：的焦点为F，M为E上一点，M的纵坐标为，点N在y轴上，轴，线段MN的中点为P，且轴． （1）求E的方程； （2）已知A，B，C为E上三个不同的点，点A在第一象限． （ⅰ）若点B在原点，，，点A的横坐标满足，求n． （ⅱ）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，的重心G在x轴上，求点G的坐标． 【答案】（1） （2）（ⅰ）；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）先求出点的横坐标，由轴，可得，进而可求出，即可得解； （2）（ⅰ）设，，由，可得，即可求出的关系，设的中点为，由，可得，即可求出的关系，再求出的范围即可得解； （ⅱ）先根据判断得出，设重心，，，，的中点为，求出点的坐标，求出直线的方程，联立方程，利用韦达定理求出，，再利用弦长公式求出，进而可求出，即可得解. 【小问1详解】 将代入E的方程，得，所以， 所以，解得，故E的方程为； 【小问2详解】 （ⅰ）设，，则， 因为，所以，即，① 又BC的中点为，所以，， 由，得，与①联立可得． 又，则， 令，则， 设方程的两根分别为， 得，， 所以在区间内单调递减，在区间内单调递增， 又，，即，所以； （ⅱ）有为等腰三角形， 设重心，，，，BC的中点为， 则由，得，， 直线BC的斜率， 由得，即，可知， 所以，即，即，所以， 则， 所以直线BC的方程为，即，， 联立，整理得， 则，， 所以， 由，得，解得，所以， 故点G的坐标为． 19. 已知函数的最大值为0． （1）求实数的值. （2）若对恒成立，求k的取值范围. （3）证明： 【答案】（1） （2） （3） 证明：由（2）知，当时，在上恒成立， 所以， 即， 两边取对数得，， 令，得， ， 左边 即. 【解析】 【分析】（1）利用导数求函数最大值点，由最大值求实数的值； （2）问题转化为对恒成立，令，利用导数讨论函数的单调性和恒成立的条件，可求k的取值范围； （3）由（2）知，，可得，利用累加法结合对数式的运算证明不等式. 【小问1详解】 函数的定义域为， 求导得，令，解得，（，否则单调递增，无最大值)， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 故为极大值点，也是最大值点， 最大值为， 由题意，得. 【小问2详解】 由（1）可知，，故， 不等式化简为， 即在上恒成立， 设，求导得， 令，求导得， 当时，在上恒成立，在上单调递增， 所以，即，在上单调递增， ，符合题意； 当时，令，解得， 时，，单调递减；时，，单调递增， 又，则在上恒成立，即在上恒成立， 在上单调递减， 又，所以存在，使，与已知矛盾，不合题意. 综上，实数k的取值范围为. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $