吉林省敦化市实验中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试卷

2024-2025学年吉林省延边州敦化实验中学高一（下）期中数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知复数z=-2+i,则（　　） A. z的虚部为i B. |z|=5 C. D. 2.已知平行四边形ABCD中，E是CD的中点，则=（　　） A. B. C. D. 3.已知△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若A：B：C=1：1：4，则a：b：c=（　　） A. 1：1： B. 2：2： C. 1：1：2 D. 1：1：4 4.若单位向量，满足，则=（　　） A. B. C. D. 5.如图，在空间四边形ABCD各边AB、BC、CD、DA上分别取点E、F、G、H，若直线EH、GF相交于点P，则（　　） A. 点P必在直线AC上 B. 点P必在直线BD上 C. 点P必在平面ABC内 D. 点P必在平面ACD内 6.tan（-877.5°）=（　　） A. B. C. D. 7.山西应县木塔，始建于1056年，是世界上现存最高大、最古老的纯木楼阁式建筑，与意大利比萨斜塔、巴黎埃菲尔铁塔并称“世界三大奇塔”.某同学为了估算木塔的高度MN，他在塔的附近找到一座建筑物AB，高为15m,在地面上点C处（B，C，N在同一水平面上且三点共线）测得木塔顶部M，建筑物顶部A的仰角分别为60°和15°，在A处测得木塔顶部M的仰角为30°，则可估算木塔的高度为（　　） A. B. C. D. 8.在△ABC中，点D满足，，点E在线段AD上，则的取值范围是（　　） A. B. C. [-2，+∞） D. [-2，0] 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。 9.下列关于空间几何体的叙述错误的是（　　） A. 底面是正方形的棱锥是正四棱锥 B. 任何一个几何体都必须有顶点、棱和面 C. 有两个面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台 D. 一个棱柱至少有5个面 10.已知是三个非零向量，则下列说法正确的是（　　） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则∥ D. 若∥，则 11.若z1，z2是复数，则下列说法错误的是（　　） A. 若|z1|=1，则 B. 若，则z1=z2 C. 若z1z2∈R，|z2|≠0，则 D. 若，则z1=z2或z1=-z2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.若向量，则向量在向量上的投影向量的坐标为______. 13.在边长为2的菱形ABCD中，M，N分别为BC，CD的中点，，则=            . 14.已知某地区某天的温度（单位：℃）随时间t（单位：h）的变化近似满足函数关系，t∈[0，24），且这天的最大温差为8℃，则A= ______；若温度不低于30℃需要开空调降温，则这天需要降温的时长为______h. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.(本小题13分) 已知向量=（-2，3），=（k,2-k）. （1）若∥，求实数k的值； （2）若+2与2-垂直，求实数k的值. 16.(本小题15分) 如图所示，O'A'B'C'为四边形OABC的斜二测直观图，其中O'A'=3，O'C'=1，B'C'=1． （1）画出四边形OABC的平面图并标出边长，并求平面四边形OABC的面积； （2）若该四边形OABC以OA为旋转轴，旋转一周，求旋转形成的几何体的体积及表面积． 17.(本小题15分) 函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）在一个周期内的图象如图所示. （1）求f（x）的解析式； （2）将f（x）的图象向左平移个单位长度后得到函数g（x）的图象，求g（x）在区间上的最大值和最小值. 18.(本小题17分) 如图，在直角梯形OABC中，OA∥CB，OA⊥OC，OA=2BC=2OC=2，M为AB上靠近点B的一个三等分点，P为线段BC上的一个动点. （1）用和表示； （2）设，求λ⋅μ的取值范围. 19.(本小题17分) 在△ABC中，D是AB边上靠近B的三等分点. （1）若CD=DB，证明：BC+2ACcos∠ACB=0； （2）若，AD=3. （i）求△ABC面积的最大值； （ii）求BC的最小值. 1.【答案】  【解析】解：由z=-2+i,得z的虚部为1，故A错误； ，故B错误； 由共轭复数的定义可知，故C正确； 由虚数不能比较大小可知，D错误． 故选：C． 由已知可得z的虚部，即可判断A；由复数模的运算即可判断B；由共轭复数的定义即可判断C；虚部不为0的复数不能比较大小，即可判断D． 本题考查复数的基本概念，考查复数模的求法，是基础题． 2.【答案】  【解析】解：利用已知条件：则． 故选：A． 根据给定条件，利用向量的线性运算计算判断． 本题考查的知识点：向量的线性运算，主要考查学生的运算能力，属于基础题． 3.【答案】  【解析】解：△ABC中，A：B：C=1：1：4， 所以三个内角分别为30°，30°，120°； 则a：b：c=sinA：sinB：sinC =：： =1：1：．  故选：A． 根据三角形内角和定理与正弦定理，即可求得a：b：c的值． 本题考查了三角形内角和定理与正弦定理的应用问题，是基础题． 4.【答案】  【解析】解：因为，为单位向量，，得+9+=， 所以，则． 故选：D． 先根据向量的模求出，再进行求解即可． 本题主要考查平面向量的模的计算，属于基础题． 5.【答案】  【解析】解：因为EH在面ABD上， 而GF在面BCD上，且EH、GF能相交于点P， 所以P在面ABD与面BCD的交线上， 而BD是面ABD与面BCD的交线， 所以点P必在直线BD上， 故选：B． 根据平面的基本性质公理，利用两个平面的公共点在两平面的公共直线上来判断即可． 本题考查平面的基本性质及其推论，是基础题． 6.【答案】  【解析】解：由题意可得tan（-877.5°）=-tan（2×360°+157.5°）=-tan157.5°=tan22.5°， 因为， 所以tan222.5°+2tan22.5°-1=0， 解得或（舍去）． 故选：C． 根据诱导公式化简可得tan（-877.5°）=tan22.5°，即可利用正切的二倍角公式求解． 本题考查了诱导公式，正切的二倍角公式在三角函数求值中的应用，考查了转化思想和方程思想，属于基础题． 7.【答案】  【解析】解：因为， 在Rt△ABC中，， 在△ACM中，∠ACM=180°-60°-15°=105°，∠MAC=30°+15°=45°， 则∠AMC=180°-∠ACM-∠MAC=30°， 由正弦定理，得， 所以=， 在Rt△MNC中，． 故选：D． 在Rt△ABC中，得，在△ACM中，得，在Rt△MNC中得，代入数值即可求得MN的值． 本题考查正弦定理的应用，属于中档题． 8.【答案】  【解析】解：因为，所以， 即，所以点D为BC的中点， 所以， 所以 ≥， 当且仅当点E为AD中点时取等号，且， 故的取值范围是[-2，0]． 故选：D． 根据已知可得点D为BC的中点，再应用向量加法几何意义及共线向量定义，利用基本不等式求数量积的范围． 本题考查了平面向量数量积的性质及运算，属于中档题． 9.【答案】  【解析】解：根据题意，依次分析选项： 对于A，底面是正方形，且顶点在底面上的射影为底面正方形的中心的四棱锥是正四棱锥，A错误； 对于B，球没有顶点和棱，B错误； 对于C，将两个相同的棱台的底面重合得到的多面体满足有两个面互相平行，其余各面都是梯形，但是这样的多面体不是棱台，C错误； 对于D，棱柱的底面至少有3条边，所以一个棱柱至少有5个面，D正确． 故选：ABC． 根据空间几何体的定义和特点逐个选项判断即可． 本题考查棱锥、棱台、棱柱的结构特征，注意棱锥、棱台、棱柱的定义，属于基础题． 10.【答案】  【解析】解：对于A，由，所以，不一定有，故A错误； 对于B，因为，两边同时平方得：，解得，所以，故B正确； 对于C，因为，两边同时平方得：， 所以，所以，又，所以，所以∥，故C正确； 对于D，因为∥，所以存在实数λ，使得， 此时，即，故D正确． 故选：BCD． 根据平面向量数量积的定义即可判断A；对等式两边同时平方可得，，即可判断B，C；根据共线向量和数量积的运算律计算即可判断D． 本题考查平面向量的数量积与夹角运算，涉及平行与垂直的性质，属于中档题． 11.【答案】  【解析】解：A选项，设z1=a+bi,a,b∈R，由|z1|=1， 得，故A选项正确； B选项，当时，满足，但z1≠z2，故B选项错误； C选项，当z1=1+i,z2=1-i时，满足z1z2=（1+i）（1-i）=2∈R， 但，故C选项错误； D选项，当z1=1，z2=i时，满足，但z1≠±z2，故D选项错误． 故选：BCD． 根据复数的乘、除法运算即可判断A；举例说明，结合复数的乘方计算即可判断BCD． 本题考查了复数的乘方计算，属于中档题． 12.【答案】  【解析】解：向量， 所以向量在向量上的投影向量的坐标为： ．． 故答案为：． 利用投影向量的计算公式得到答案． 本题主要考查投影向量的公式，属于基础题． 13.【答案】  【解析】【分析】 本题考查平面向量的线性运算与数量积运算，属于基础题． 由平面向量的线性运算将用表示出来，由求出，再由平面向量的数量积计算即可． 【解答】 解：因为边长为2的菱形ABCD中， M，N分别为BC，CD的中点， 所以， ， 因为， 所以， 所以， 因为 = ​​​​​​​==． 故答案为：． 14.【答案】  【解析】解：对于函数，其最小正周期，最大值为A+28，最小值为-A+28， 因为这天的最大温差为8℃， 所以（A+28）-（-A+28）=2A=8，解得A=4； 令f（t）≥30，则，即， 因为t∈[0，24），所以∈[，）， 所以或，解得， 所以一天中需要降温的时长为：小时． 故答案为：4；6． 根据f（t）的最大值和最小值，结合最大温差，即可求得A；令f（t）≥30，求解三角不等式，即可求得降温的时长． 本题考查三角函数的实际应用，熟练掌握正弦型函数的图象与性质是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题． 15.【答案】  【解析】解：向量=（-2，3），=（k,2-k）． （1）∥，可得-2（2-k）-3k=0，解得k=-4； （2）+2与2-垂直， 可得（+2）•（2-）=0，即2+3•-2=0， 即2[（-2）2+32]+3[-2k+3（2-k）]-2[k2+（2-k）2]=0，整理得：4k2+7k-36=0，解得k=-4或k=． （1）根据向量共线的性质求解即可； （2）根据向量垂直的性质求解即可． 本题主要考查向量共线和垂直的性质应用，考查计算能力，属于基础题． 16.【答案】  【解析】本题考查平面图形的直观图与斜二测画法，组合体体积和表面积的计算，属于基础题． （1）根据题意画出平面四边形OABC的平面图，可知平面四边形OABC为直角梯形，计算面积即可； ​​​​​​​（2）旋转而成的几何体可以看成圆柱加上一个同底的圆锥，结合（1）中数据即可求解． 17.【答案】  【解析】解：（1）函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）在一个周期内的图象如图所示， 由最值得A=2， 由相邻两个对称中心之间的距离得，则，即ω=2， 此时f（x）=2sin（2x+φ）， f（x）图象的一个最高点坐标为，代入f（x）=2sin（2x+φ）得， 则，即， 又因为0＜φ＜π，所以， 故函数的解析式为； （2）将f（x）的图象向左平移个单位长度后得到函数g（x）的图象， 由题意得， 因为，所以， 又y=sinx在上单调递减，在上单调递增， 所以当，即时，g（x）取到最小值，为-2； 当时，即时，g（x）取到最大值，为． （1）根据三角函数的最值，周期和“五点法”，求解析式中的系数，即可求解； （2）首先求平移后函数g（x）的解析式，再利用代入法，结合三角函数的图象和性质，即可求解． 本题考查了三角函数的图象和性质，属于中档题． 18.【答案】  【解析】（1）根据条件可得出，然后进行向量的数乘运算即可用表示出； （2）可得出，设（0≤k≤1），从而可得出，然后根据平面向量基本定理得出，然后根据0＜k≤1即可求出λ•μ的取值范围． 本题考查了向量加法、减法和数乘的几何意义，向量的数乘运算，共线向量和平面向量基本定理，考查了计算能力，属于基础题． 19.【答案】  【解析】（1）证明：因为D是AB边上靠近B的三等分点， 所以=，即-=（-），化简得=+． 设△ABC内角A、B、C的对边分别为a、b、c,则， 因为，所以，即c2=b2+4a2+4abcos∠ACB…①， 在△ABC中，由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos∠ACB…②， ①②两式消去c,可得a2+b2-2abcos∠ACB=b2+4a2+4abcos∠ACB， 化简得a+2bcos∠ACB=0，即BC+2ACcos∠ACB=0； （2）解：（i）在△ACD中，， 由余弦定理AD2=AC2+CD2-2AC•CD•cos∠ACD=3，化简得AC2+CD2-AC•CD=3， 由基本不等式得AC2+CD2≥2AC•CD，当且仅当AC=CD时，等号成立． 所以3=AC2+CD2-AC•CD≥AC•CD，当AC=CD时，AC•CD取得最大值3． 根据点D是AB边上靠近B的三等分点，可得S△ABC=S△ACD， 所以，当AC=CD时，△ABC面积的最大值为． （ii）在△ACD中，， 由正弦定理得， 结合，可得CD=2sinA，AC=2sin∠ADC=2sin（-A）=cosA+sinA． 由∠ADC+∠BDC=π，可得cos∠ADC+cos∠BDC=0， 根据余弦定理，可得， 将AD=2BD=代入上式，化简得，BC2=+CD2-AC2， 所以= ==，其中， 当，即sin（2A+φ）=1时，BC2取得最小值=，可知BC的最小值为． （1）根据=化简出，两边平方整理，结合余弦定理推导出a2+b2-2abcos∠ACB=b2+4a2+4abcos∠ACB，进而证出BC+2ACcos∠ACB=0； （2）（i）在△ACD中，由余弦定理算出3=AC2+CD2-AC•CD，结合基本不等式算出AC•CD≤3，然后根据三角形的面积公式，结合S△ABC=S△ACD求得△ABC面积的最大值； （ii）在△ACD中，由正弦定理得，根据cos∠ADC+cos∠BDC=0，利用余弦定理算出，化简得BC2=，结合正弦函数的性质求出BC的最小值，可得答案． 本题主要考查正弦定理与余弦定理、平面向量数量积的定义与运算性质、运用基本不等式求最值等知识，属于中档题． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$