专题11正方形期末复习讲义（17大核心题型精讲+知识点全归纳+进阶练习）-2025-2026学年浙教版数学八年级下学期.

专题11正方形期末复习讲义 期末复习◆目标 1.精准掌握正方形的定义、性质、判定定理，理清平行四边形、矩形、菱形、正方形的包含关系与核心差异； 2.熟练运用正方形性质，解决边角计算、线段证明、周长面积求解等基础题型，规范几何答题语言； 3.熟练掌握正方形三类判定方法，攻克定理混淆、条件缺失、跳步作答等高频失分问题； 4.重点突破正方形全等综合、折叠变换、动点探究、坐标系结合四大期末压轴题型。 核心题型◆归纳 题型1证明四边形是正方形 题型2正方形的判定定理理解 题型3添一个条件使四边形是正方形 题型4正方形性质理解 题型5根据正方形的性质求角度 题型6根据正方形的性质求线段长 题型7根据正方形的性质求面积 题型8正方形折叠问题 题型9求正方形重叠部分面积 题型10根据正方形的性质证明 题型11根据正方形的性质与判定求角度 题型12根据正方形的性质与判定求线段长 题型13根据正方形的性质与判定求面积 题型14根据正方形的性质与判定证明 题型15（特殊）平行四边形的动点问题 题型16四边形中的线段最值问题 题型17四边形其他综合问题 题型18进阶练习 重点知识◆梳理 知识点一、图形推导关系： 1.平行四边形 + 邻边相等 + 一个直角 = 正方形 2.矩形 + 一组邻边相等 = 正方形 3.菱形 + 一个内角为直角 = 正方形 知识点二、正方形性质 设正方形 ABCD，对角线 AC、BD 交于点 O。 1.边的性质:四边相等，对边平行，邻边互相垂直。 AB=BC=CD=DA,\ AB∥CD,AD∥BC,AB⊥BC 2.角的性质四个内角均为 90°，即∠A=B=C=D=90° 3.对角线性质（重难点） 对角线相等、垂直、互相平分；AC=BD,AC⊥BD,OA=OC,OB=OD 对角线平分每组内角，与边的夹角恒为 45°，∠OAB=∠OBA=∠OBC=45° 两条对角线将正方形分割为四个全等的等腰直角三角形。 4.对称性：轴对称图形：共4条对称轴（两组对边中垂线、两条对角线）；中心对称图形：对称中心为对角线交点。 5.常用计算公式： 设正方形边长为 a，对角线长为 l： 周长：C=4a；面积：S==；对角线：I=a 易错提示：对角线平方求面积公式，仅适用于正方形、菱形，不可用于矩形与普通平行四边形。 知识点 三、正方形判定定理 判定一：由矩形判定 矩形 + 一组邻边相等⟹正方形 判定二：由菱形判定 菱形 + 一个内角为直角或对角线相等⟹正方形 判定三：由平行四边形判定 平行四边形 + 邻边相等 + 一个直角⟹正方形 判定四：任意四边形终极判定 对角线互相平分、互相垂直、长度相等的四边形为正方形。 知识点四、末高频易错点提醒 1.仅对角线垂直且相等，无法判定正方形，必须满足对角线互相平分； 2.仅有直角的矩形、仅有等边的菱形，均不是正方形； 3.正方形对角线与边的夹角固定为 45°，为固定特殊角； 4.几何证明严禁跳步骤，必须先判定为平行四边形、矩形或菱形，再证正方形。 题型解析◆精准备考 题型1证明四边形是正方形 1．已知四边形是平行四边形，下列结论中不正确的是（    ） A．当时，四边形是菱形 B．当时，四边形是菱形 C．当时，四边形是矩形 D．当时，四边形是正方形 2．四初三数学志趣课活动中，老师把一张长方形纸片如图方式折一下，就可以裁出正方形纸片，你知道这是为什么吗？理由：___________的矩形是正方形． 3．如图，在中，对角线、相交于点，是等腰三角形，当满足什么条件时？四边形为正方形，并说明理由． 题型2正方形的判定定理理解 1．下列说法中，正确的是（    ） A．矩形的对角线互相垂直 B．菱形的对角线互相垂直且平分 C．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 D．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 2．在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，具有性质“两条对角线相等”的是____；具有性质“两条对角线互相垂直”的是____________________． 3．如图， 是等腰直角三角形， ，点 、分别是 、上的一 动点，且满足 ，是 的中点． (1)求证：； (2)当点运动到什么位置时，四边形是正方形，并说明理由． 题型3添一个条件使四边形是正方形 1．如图，把一个长方形纸片对折两次，然后剪下一个角．为了得到一个正方形，剪刀与折痕所成的角的度数应为（   ） A． B． C． D． 2．如图，O是矩形对角线的交点，添加一个条件___________，使矩形成为正方形（填一个即可）． 3．如图，在中，，平分，是的外角． (1)用尺规完成作图：作的角平分线，过点C作，垂足为E；（不写作法，保留作图痕迹） (2)小敏作完图后，发现四边形是矩形，请帮助她完成下列推理过程： ∵平分，平分， ∴，． ∴①________． 又∵，平分， ∴②________（三线合一）． ∴． 又∵， ∴③________． ∴四边形是矩形（三个角是直角的四边形是矩形）． (3)小敏在完成证明后进一步思考，得到结论：当等腰满足________时，矩形是正方形 题型4正方形性质理解 1．正方形具有而矩形不具有的性质是（   ） A．对角相等 B．四角相等 C．对角线互相垂直 D．对角线互相平分 2．如图，正方形的边长为，为上一点，，为上一点，，为上的一个任意一点，则的最小值为_____． 3．定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形称为“等补四边形”． (1)下列选项中一定是“等补四边形”的是 ； A．平行四边形      B．矩形     C．正方形    D．菱形 (2)如图1，在边长为的正方形中，为边上一动点（不与重合），交于点，过作交于点． ①试判断四边形是否为“等补四边形”并说明理由； ②如图2，连接，求三角形的周长． 题型5根据正方形的性质求角度 1．如图，正方形中，，交于点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．如图，在正方形中，点在对角线上，过点作于点，连接，若，则的度数为______． 3．如图，正方形中，点E、F分别在边、上，且． (1)求的度数； (2)求证：． 题型6根据正方形的性质求线段长 1．如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别相交于A、B两点，为正方形的对角线，且，则k、b的值分别是（   ） A．，2 B．， C．1，2 D．1， 2．如图，正方形的边长为，对角线，交于点，为边上一点，且，则的长为 _________________ ． 3．如图，已知线段． (1)利用圆规和无刻度直尺，以线段为对角线作正方形；（保留作图的痕迹，不写作图步骤） (2)在（1）作出的正方形中，点E是边上的一点（与B，C不重合），连接，过点B作出边上的高，延长交于点F，若，求的长． 题型7根据正方形的性质求面积 1．如图，一个矩形被分割成四部分．已知图形①②③都是正方形，且正方形①的边长为，阴影部分的面积为，则正方形③的面积为（   ） A． B． C． D． 2．如图，边长为的正方形纸片上剪去四个直径为的半圆，阴影部分的面积是________ 3．如图，在正方形网格中每个小正方形的边长均为1，线段的端点都在小正方形的顶点上，按下列要求画图并计算． (1)在图①中画以为对角线的矩形（非正方形），使矩形的面积为4． (2)在图②中画以为对角线的正方形，并直接写出正方形的面积为______． 题型8正方形折叠问题 1．如图，将边长为的正方形纸片折叠，使点落在边中点处，点落在点处，折痕为，则线段的长是（   ） A． B． C． D． 2．如图，已知正方形的边长为4，点E、F分别在边和上，将该正方形沿着翻折，点A落在处，点B恰好落在边CD上的点处，如果四边形的面积为6，那么的面积是_________． 3．在数学综合与实践活动课上，李老师对正方形纸片进行如下操作：如图1，将正方形纸片沿过点D的一条直线翻折，使点A落在点F处，折痕为，请同学们在图1的基础上进行探究． 【操作发现】 （1）如图2，小林同学延长交射线于点，连接，过点作的垂线，交的延长线于点．求证：； 【深入探究】 （2）如图3，小明在图2的基础上延长，交的延长线于点H．求证：； 【拓展应用】 （3）在（2）的条件下，若正方形纸片的边长为6，当时，请直接写出线段AH的长______． 题型9求正方形重叠部分面积 1．如图，三个边长为的正方形按如图所示的方式重叠在一起，点O是其中一个正方形的中心，则重叠部分（阴影）的面积为（   ） A． B． C． D． 2．如图，两个边长为4的正方形重叠在一起，点是其中一个正方形的中心，则图中阴影部分的面积为_____． 3．如图，四边形中，，，过点D分别作的延长线的垂线，垂足分别为点E，F，设，，，．    (1)证明：四边形是正方形； (2)用a，b，c表示四边形的面积； (3)请根据本题情境，证明：． 题型10根据正方形的性质证明 1．已知正方形的边长为5，点E，F分别在，上，，与相交于点G，点H为的中点，连接，则的长为（    ） A．3 B． C． D． 2．如图，在正方形中，E，F分别是边上的点，的周长为6，则正方形的边长为______． 3．如图，在平面直角坐标系中，正方形的两边分别在坐标轴的正半轴上，分别过的中点D，E作的平行线，相交于点F．求证：四边形为菱形． 题型11根据正方形的性质与判定求求角度 1．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC⊥BD，E，F分别是AB，CD的中点，若AC＝BD＝2，则EF的长是（　　） A．2 B． C． D． 2．直角梯形中，是边上的一点，恰好使，并且，则的长是__________． 3．在菱形中，点E是对角线上一点，点F、G在直线上，且，． (1)如图1，求证：①；②； (2)如图2，当时，判断、、的数量关系，并说明理由； (3)如图3，当时，点F在线段上，判断、、的数量关系，并说明理由． 题型12根据正方形的性质与判定求线段长 1．如图，点P的坐标为，点A，B分别在x轴，y轴的正半轴上运动，且，连接，下列结论：①；②若与的交点恰好是的中点，则四边形是正方形；③四边形的面积与周长为定值；④．其中正确的结论是（    ） A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②④ 2．如图，在直角梯形中，，，，E是上一点，连接，将沿翻折，使得点B的对应点刚好落在上，作的角平分线交于点F，若，且，则____________________． 3．综合与探究 问题情境：王老板的旧车棚老化狭窄，车辆常被雨水打湿、停放不便．为改善车辆遮护条件，他计划新建如图1所示的钢结构车棚，既提升遮雨效果，也拓宽停车空间． 方案设计：如图2是该车棚的横截面图，可以近似看成由等腰三角形和矩形构成的封闭图形，已知矩形的宽米，长米，最高点到的距离为米．    方案实施： (1)在图2中以所在直线为轴，过点作的垂线为轴，垂足为原点，建立平面直角坐标系，请在图2中画出平面直角坐标系，并求、两点的坐标及直线的函数表达式． (2)为了加固车棚，如图3，计划在车棚内安装三根支撑杆，，，其中，点，在线段和上，点，在地面上． 若四边形恰好是正方形，设点的横坐标为． ①点的横坐标为__________（用含的代数式表示）； ②请你帮王老板求出支撑杆的长度． 题型13根据正方形的性质与判定求面积 1．如图，语文中的汉语拼音书写是由等距离、等长度的四线三格平行横线组成，已知相邻两条平行线间的距离都是1，正方形的四个顶点分别在四条直线上，则正方形的面积为（    ） A． B． C．3 D．5 2．我国古代数学家赵爽巧妙地用“弦图”证明了勾股定理，成为中国古代数学成就的标志之一、如图，若弦图中四个全等的直角三角形的两条直角边长分别为，斜边长为，则中间小正方形的面积为___．（用含的代数式表示） 3．如图1，已知平行四边形，点、分别为边上的动点，连接． (1)若，证明：平分； (2)如图2，若，，，求的面积； (3)如图3，在四边形中，，用表示四边形的面积． 题型14根据正方形的性质与判定证明 1．如图，正方形的边长为1，是对角线上一动点，于点，于点，连接，给出四种情况：①若为的中点，则四边形是正方形；②点在运动过程中，始终满足；③点在运动过程中，的值为定值1；④点在运动过程中，线段的最小值为．其中正确的有（   ） A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④ 2．折叠矩形纸片时，发现可以进行如下操作： ①如图1，把翻折，点A落在边上的点F处，折痕为，点E在边上，则______； ②把纸片展开并铺平； ③如图2，再把翻折，点C落在线段上的点H处，折痕为，点G在边上，若，，则______． 3．图、图、图均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为，每个小正方形的顶点叫做格点．线段的端点在格点上．要求仅用无刻度的直尺作图，所画图形的顶点都在格点上． (1)在图中，画一个以为边，面积是的只是中心对称的四边形，要求顶点在格点上； (2)在图中，画一个以为边的既是轴对称又是中心对称的图形； (3)在图中，画一个以为对角线的矩形，且使得，． 题型15（特殊）平行四边形的动点问题 1．如图，在正方形中，，是上的一点且，连接，动点从点出发，沿着路径以的速度运动，运动到点停止，设点的运动时间为秒，当和全等时，的值是（    ） A． B． C．或 D．或 2．如图（1），点F从菱形的顶点A出发，沿以的速度匀速运动到点B，点F运动时，的面积随时间的变化关系图象如图（2），则菱形的面积为________．      （1）                   （2） 3．如图，在四边形ABCD中，，，，，，动点P从A点开始沿边以的速度向点D运动，动点Q从点C开始沿边以的速度向点B运动，P，Q分别从A，C同时出发，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为． (1)当t为何值时，四边形是矩形； (2)当t为何值时，四边形是平行四边形； (3)问：四边形是否可以为菱形？若能，求出此时的t值；若不能，请说明理由． 题型16四边形中的线段最值问题 1．如图，在中，．H、G分别是上的动点，连接，E、F分别为的中点，则的最小值是（    ） A．4 B．5 C． D． 2．如图，在面积为12的正方形中，以为一边向正方形内作等边，点是对角线上的动点，连接、，则的最小值为_________． 3．【问题原型】 如图1，在正方形中，．求证：． 【问题应用】 如图，在正方形中，，、分别是边、上的点，且． （1）如图2，连接、交于点，为的中点，连接，．当为的中点时，四边形的面积为 　　； （2）如图3，连接、，当点在边上运动时，的最小值为 　　． 题型17四边形其他综合问题 1．如图，在正方形中，以为边作等边三角形，连接，则下列结论：①；②；③和的面积比为；④．其中结论正确的序号有（    ）    A．①②④ B．②③ C．①③④ D．①②③④ 2．如图，在菱形ABCD中，，线段AD上有一动点P（点P不与点A，D重合），沿直线BP将三角形ABP翻折，使得点A落在点E处．连接CE，在点P的运动过程中，下列结论：①，②，③，④，始终成立的有______．（写出所有正确结论的序号） 3．如图，在正方形中，E是延长线上一点，连接，O为的中点，过点E作于点F，连接．设． (1)依题意补全图形； (2)求的度数（用含α的式子表示）； (3)用等式表示线段之间的数量关系，并证明． 进阶练习◆培优 一、单选题 1．如图，在中，．添加一个条件，能判定四边形是正方形的是（   ） A． B． C． D． 2．下列说法不正确的是（    ） A．平行四边形的对边相等 B．菱形的对角相等 C．矩形的对角线互相垂直 D．正方形的四条边均相等 3．如图，四边形是正方形，是等边三角形，的度数为（    ） A． B． C． D． 4．如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形．若，，则（   ） A．50 B．60 C．100 D．110 5．如图，用四根相同长度的木条制作成正方形，测得对角线长为，如果将此正方形变形为菱形，且，那么菱形对角线长为（    ） A．10 B． C． D． 二、填空题 6．在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，具有性质“两条对角线相等”的是____；具有性质“两条对角线互相垂直”的是____________________． 7．如图，菱形的对角线相交于点O，点E，F同时从O点出发在线段上以的速度反向运动（点E，F分别到达A，C两点时停止运动），设运动时间为．连接，已知是边长为的等边三角形，当______s时，四边形为正方形． 8．如图，点是正方形的边延长线上一点，连接，点是的中点，连接、，若，则的最大值为_____________． 9．如图，P是正方形对角线上的一点，直线m，n经过点P且，若四边形与四边形的面积分别是，，那么四边形与四边形的面积之和是________． 10．当一个凸四边形的一条对角线把原四边形分割成两个等腰三角形时，我们称这个四边形为“等腰四边形”，其中这条对角线称为这个四边形的“等腰线”．如果凸四边形ABCD是“等腰四边形”，对角线BD是该四边形的“等腰线”，其中∠ABC＝90°，AB＝BC＝CD≠AD，那么∠BAD的度数为______． 三、解答题 11．如图，菱形的对角线相交于点O，在上截取，顺次连接B，F，D，E四点．求证：四边形是正方形． 12．如图，已知，为线段上一动点．将沿翻折至，延长交射线于点． (1)如图1，当为的中点时，求出的长． (2)如图2，延长交于点，连接，求证：． 13．如图，在四边形中，，，，动点P从A点开始沿边以的速度向点D运动，动点Q从C点开始沿边以的速度向点B运动，P、Q分别从A、C同时出发，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为． (1)当t为何值时，四边形是矩形； (2)当t为何值时，四边形是平行四边形； (3)问：四边形是否能成菱形？若能，求出运动时间，若不能，请说明理由． 14．如图1，已知为等腰直角三角形，，点D是的中点，作正方形，使点，分别在边和上，连接，．    (1)探索线段与的数量关系，直接写出你的结论______； (2)将正方形绕点D按逆时针方向旋转一定角度（旋转角大于，小于或等于）时（如图2），（1）的结论是否仍然成立？说明理由； (3)已知，，在（2）的旋转过程中，当为最大值时，求的值． 15．如图（1），在平面直角坐标系中，轴于，轴于，点，，过点作分别交线段、于、两点． (1)若，求证：． (2)如图（2），且，，求的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11正方形期末复习讲义 期末复习◆目标 1.精准掌握正方形的定义、性质、判定定理，理清平行四边形、矩形、菱形、正方形的包含关系与核心差异； 2.熟练运用正方形性质，解决边角计算、线段证明、周长面积求解等基础题型，规范几何答题语言； 3.熟练掌握正方形三类判定方法，攻克定理混淆、条件缺失、跳步作答等高频失分问题； 4.重点突破正方形全等综合、折叠变换、动点探究、坐标系结合四大期末压轴题型。 核心题型◆归纳 题型1证明四边形是正方形 题型2正方形的判定定理理解 题型3添一个条件使四边形是正方形 题型4正方形性质理解 题型5根据正方形的性质求角度 题型6根据正方形的性质求线段长 题型7根据正方形的性质求面积 题型8正方形折叠问题 题型9求正方形重叠部分面积 题型10根据正方形的性质证明 题型11根据正方形的性质与判定求角度 题型12根据正方形的性质与判定求线段长 题型13根据正方形的性质与判定求面积 题型14根据正方形的性质与判定证明 题型15（特殊）平行四边形的动点问题 题型16四边形中的线段最值问题 题型17四边形其他综合问题 题型18进阶练习 重点知识◆梳理 知识点一、图形推导关系： 1.平行四边形 + 邻边相等 + 一个直角 = 正方形 2.矩形 + 一组邻边相等 = 正方形 3.菱形 + 一个内角为直角 = 正方形 知识点二、正方形性质 设正方形 ABCD，对角线 AC、BD 交于点 O。 1.边的性质:四边相等，对边平行，邻边互相垂直。 AB=BC=CD=DA,\ AB∥CD,AD∥BC,AB⊥BC 2.角的性质:四个内角均为 90°，即∠A=B=C=D=90° 3.对角线性质（重难点） 对角线相等、垂直、互相平分；AC=BD,AC⊥BD,OA=OC,OB=OD 对角线平分每组内角，与边的夹角恒为 45°，∠OAB=∠OBA=∠OBC=45° 两条对角线将正方形分割为四个全等的等腰直角三角形。 4.对称性：轴对称图形：共4条对称轴（两组对边中垂线、两条对角线）；中心对称图形：对称中心为对角线交点。 5.常用计算公式： 设正方形边长为 a，对角线长为 l： 周长：C=4a；面积：S==；对角线：I=a 易错提示：对角线平方求面积公式，仅适用于正方形、菱形，不可用于矩形与普通平行四边形。 知识点 三、正方形判定定理 判定一：由矩形判定 矩形 + 一组邻边相等⟹正方形 判定二：由菱形判定 菱形 + 一个内角为直角或对角线相等⟹正方形 判定三：由平行四边形判定 平行四边形 + 邻边相等 + 一个直角⟹正方形 判定四：任意四边形终极判定 对角线互相平分、互相垂直、长度相等的四边形为正方形。 知识点四、末高频易错点提醒 仅对角线垂直且相等，无法判定正方形，必须满足对角线互相平分； 仅有直角的矩形、仅有等边的菱形，均不是正方形； 正方形对角线与边的夹角固定为 45°，为固定特殊角； 几何证明严禁跳步骤，必须先判定为平行四边形、矩形或菱形，再证正方形。 题型解析◆精准备考 题型1证明四边形是正方形 1．已知四边形是平行四边形，下列结论中不正确的是（    ） A．当时，四边形是菱形 B．当时，四边形是菱形 C．当时，四边形是矩形 D．当时，四边形是正方形 【答案】D 【分析】本题考查特殊平行四边形的判定，熟练掌握菱形，矩形，正方形的判定定理是解题关键，根据判定定理对各选项逐一判断即可. 【详解】解：四边形是平行四边形， A、一组邻边相等的平行四边形是菱形，因此当时，四边形是菱形，故此选项正确，不符合题意； B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，因此当时，四边形是菱形，故此选项正确，不符合题意； C、对角线相等的平行四边形是矩形，因此当时，四边形是矩形，故此选项正确，不符合题意； D、有一个内角是直角的平行四边形是矩形，不一定是正方形，因此当时，四边形是矩形，不一定是正方形，故此选项错误，符合题意. 2．四初三数学志趣课活动中，老师把一张长方形纸片如图方式折一下，就可以裁出正方形纸片，你知道这是为什么吗？理由：___________的矩形是正方形． 【答案】有一组邻边相等 【分析】本题考查了正方形的判定，矩形与折叠等知识，熟记矩形的判定与性质、正方形的判定定理是解决问题的关键． 先由矩形性质得到，再由折叠性质得到，，从而确定四边形是矩形，再由正方形的判定定理即可得证四边形是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形），从而得到答案． 【详解】解：如图所示： 在矩形中，， 由折叠性质可得，， ， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形）， 故答案为：有一组邻边相等． 3．如图，在中，对角线、相交于点，是等腰三角形，当满足什么条件时？四边形为正方形，并说明理由． 【答案】当中时（答案不唯一），四边形为正方形，见解析 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、矩形的判定、正方形的判定，根据平行四边形的性质可知，根据对角线相等的平行四边形是矩形可证四边形是矩形，根据有一组邻边相等的矩形是正方形可知，当时，四边形是正方形． 【详解】解：当中时，四边形为正方形， 理由如下： 四边形为平行四边形， ，， 是等腰三角形， ，， 四边形为矩形， 又， 矩形为正方形． 题型2正方形的判定定理理解 1．下列说法中，正确的是（    ） A．矩形的对角线互相垂直 B．菱形的对角线互相垂直且平分 C．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 D．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的判定，平行四边形的判定，菱形的性质，矩形的性质，据此相关性质内容进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、矩形的对角线相等且平分但不一定垂直，故该选项不符合题意； B、菱形的性质是对角线互相垂直且平分，故该选项符合题意； C、对角线互相平分且垂直且相等的四边形是正方形，原说法不正确，故该选项不符合题意； D、一组对边平行另一组对边相等的四边形可能是等腰梯形，不一定是平行四边形，故该选项不符合题意； 故选：B． 2．在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，具有性质“两条对角线相等”的是____；具有性质“两条对角线互相垂直”的是____________________． 【答案】 矩形、正方形 菱形、正方形 【分析】本题考查了菱形、正方形、矩形等性质，根据正方形的对角线是互相平分、垂直、相等；矩形的对角线是互相平分、相等；菱形的对角线是互相平分、垂直等性质进行分析，即可作答． 【详解】解：∵正方形的对角线是互相平分、垂直、相等； 矩形的对角线是互相平分、相等； 菱形的对角线是互相平分、垂直 ∴具有性质“两条对角线相等”的是矩形、正方形； ∴具有性质“两条对角线互相垂直”的是菱形、正方形； 故答案为：矩形、正方形；菱形、正方形 3．如图， 是等腰直角三角形， ，点 、分别是 、上的一 动点，且满足 ，是 的中点． (1)求证：； (2)当点运动到什么位置时，四边形是正方形，并说明理由． 【答案】(1)证明见详解； (2)当点运动到的中点时，四边形是正方形 【分析】本题考查等腰三角形的性质和判定，等腰直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，全等三角形的判定，正方形的判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键； （1）连接，根据直角三角形的性质可得，从而证明，得到由，得出，从而求证； （2）若四边形是正方形，则，得到点是的中点． 【详解】（1）证明：连接， 是等腰直角三角形，是的中点， ，，， 又， ， ， ， （2）当点运动到的中点时，四边形是正方形， ， ，， 为等腰直角三角形， 当为的中点时，，即， 又，， 四边形为矩形， 又， 四边形为正方形。 题型3添一个条件使四边形是正方形 1．如图，把一个长方形纸片对折两次，然后剪下一个角．为了得到一个正方形，剪刀与折痕所成的角的度数应为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了剪纸问题、涉及矩形的性质，菱形的判定，正方形的判定，解答此类题最好动手操作，易得出答案． 根据翻折变换的性质及矩形的性质，菱形的判定，正方形的判定进行分析从而得到最后答案． 【详解】解：如图， 根据题目中的折叠方法，我们可知剪下的是一个四边相等的四边形，即菱形， ∴菱形里只要有一个角是就是正方形． 展开四边形后的角为：，即． 故选：C． 2．如图，O是矩形对角线的交点，添加一个条件___________，使矩形成为正方形（填一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查的是正方形的判定．有一组邻边相等的矩形是正方形，对角线互相垂直的矩形是正方形，再根据正方形的判定方法分析即可． 【详解】解：根据“有一组邻边相等的矩形是正方形”， 可添加：； 根据“对角线互相垂直的矩形是正方形”， 可添加：； 故答案为：（答案不唯一） 3．如图，在中，，平分，是的外角． (1)用尺规完成作图：作的角平分线，过点C作，垂足为E；（不写作法，保留作图痕迹） (2)小敏作完图后，发现四边形是矩形，请帮助她完成下列推理过程： ∵平分，平分， ∴，． ∴①________． 又∵，平分， ∴②________（三线合一）． ∴． 又∵， ∴③________． ∴四边形是矩形（三个角是直角的四边形是矩形）． (3)小敏在完成证明后进一步思考，得到结论：当等腰满足________时，矩形是正方形 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)或或 【分析】本题考查尺规作图—作垂线，作角平分线，矩形的判定，正方形的判定： （1）根据尺规作角平分线，做垂线的方法作图即可； （2）根据平角和角平分线的定义，三线合一，垂直的定义，进行作答即可； （3）根据有一组邻边相等的矩形是正方形，进行判断即可． 【详解】（1）解：（1）由题意，作图如下：    （2）∵平分，平分， ∴，． ∴． 又∵，平分， ∴（三线合一）． ∴． 又∵， ∴． ∴四边形是矩形（三个角是直角的四边形是矩形）． （3）当或或时，矩形是正方形； 当时，则：， ∵四边形是矩形， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴矩形是正方形． 题型4正方形性质理解 1．正方形具有而矩形不具有的性质是（   ） A．对角相等 B．四角相等 C．对角线互相垂直 D．对角线互相平分 【答案】C 【分析】本题考查正方形与矩形的性质，对比两种图形的性质，找出正方形具有而矩形不具有的性质即可判断． 【详解】∵正方形的性质为对角相等，四角相等，对角线互相垂直平分且相等， 矩形的性质为对角相等，四角相等，对角线互相平分且相等，对角线不互相垂直， ∴正方形具有而矩形不具有的性质是对角线互相垂直， 故选C． 2．如图，正方形的边长为，为上一点，，为上一点，，为上的一个任意一点，则的最小值为_____． 【答案】 【分析】在上取点，使，连接交于点，连接交于点，过点作于点，连接，根据正方形的性质及等腰三角形的性质说明垂直平分，得，推出，当点与点重合，即点、、共线时取“”，此时取得最小值，最小值为的长，证明四边形是矩形，得，，然后根据勾股定理得，代入数据可得答案． 【详解】解：如图，在上取点，使，连接交于点，连接交于点，过点作于点，连接， ∵正方形的边长为，是对角线， ∴，，， ∴， ∴是边上的中线，且， ∴垂直平分， ∴， ∴， 当点与点重合，即点、、共线时取“”， 此时取得最小值，最小值为的长， ∵，， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形的性质，等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，两点之间线段最短，矩形的判定和性质，勾股定理等知识点，确定的最小值为的长是解题的关键． 3．定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形称为“等补四边形”． (1)下列选项中一定是“等补四边形”的是 ； A．平行四边形      B．矩形     C．正方形    D．菱形 (2)如图1，在边长为的正方形中，为边上一动点（不与重合），交于点，过作交于点． ①试判断四边形是否为“等补四边形”并说明理由； ②如图2，连接，求三角形的周长． 【答案】(1) (2)①四边形为“等补四边形”，理由见解析；② 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质等知识，目前题意，理解新定义，找出所求问题需要的条件是解题的关键． （1）在平行四边形、矩形、正方形、菱形中，只有正方形的邻边相等且对角互补，符合等补四边形的定义，即可得到问题的答案； （2）①连接，，推出，，得到，证明，得到，最后利用“等补四边形”的定义即可证明； ②将围绕点逆时针旋转到的位置，点对应点，则，，证明，再证，得出，即可求出的周长． 【详解】（1）解：在平行四边形、矩形、正方形、菱形中，只有正方形的邻边相等且对角互补， ∴正方形是等补四边形， 故答案为：D； （2）解：①四边形为“等补四边形”，理由： 如图，连接， ∵四边形是正方形， ∴，， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ∴四边形是“等补四边形”． ②连接，由①知，为等腰直角三角形，则， 将围绕点逆时针旋转到的位置，点对应点，则，， 则， ，， ， ， 则的周长． 题型5根据正方形的性质求角度 1．如图，正方形中，，交于点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正方形的性质可证明，得到，推出，最后根据三角形的内角和定理即可求解． 【详解】解：四边形是正方形， ，，， ， ， ， ， ． 2．如图，在正方形中，点在对角线上，过点作于点，连接，若，则的度数为______． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，三角形的外角性质． 根据正方形的性质求得，根据三角形的外角性质求得，进而根据，即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形，是对角线，点在对角线上， ∴， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 故答案为：． 3．如图，正方形中，点E、F分别在边、上，且． (1)求的度数； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）由正方形得到，然后由得到，进而利用三角形内角和定理求解即可； （2）如图所示，延长到H，使得，连接，证明得到，，再证明得到，再根据线段之间的关系即可证明结论． 【详解】（1）∵四边形是正方形 ∴ ∵ ∴ ∴； （2）证明：如图所示，延长到H，使得，连接， ∵四边形是正方形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴，即， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理等知识，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 题型6根据正方形的性质求线段长 1．如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别相交于A、B两点，为正方形的对角线，且，则k、b的值分别是（   ） A．，2 B．， C．1，2 D．1， 【答案】A 【分析】利用正方形的性质和勾股定理，求出，从而得到点、的坐标，再利用待定系数法求解即可． 【详解】解：为正方形的对角线，且， ，， ， ， ，， 将点，代入得， ，解得：． 2．如图，正方形的边长为，对角线，交于点，为边上一点，且，则的长为 _________________ ． 【答案】/ 【分析】根据正方形的性质结合勾股定理求得，进而可得，结合已知可得，根据，即可求解． 【详解】解：正方形的边长为，对角线，交于点， ，，， 在中，由勾股定理得：， ， ， ， ， 的长为． 3．如图，已知线段． (1)利用圆规和无刻度直尺，以线段为对角线作正方形；（保留作图的痕迹，不写作图步骤） (2)在（1）作出的正方形中，点E是边上的一点（与B，C不重合），连接，过点B作出边上的高，延长交于点F，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】本题主要考查了基本的尺规作图—线段的垂直平分线，正方形的性质，全等三角形的性质，解题的关键是掌握以上性质． （1）根据正方形的判定定理进行作图即可； （2）根据正方形的性质得出相等的边和直角，证明，得出相等的边即可求解． 【详解】（1）解：正方形即为所求， 作线段的垂直平分线，交于点，以点为圆心，长为半径画圆，交线段的垂直平分线于点和点，连接即可； （2）解：如图所示， ∵四边形是正方形， ∴， ∵是边上的高， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型7根据正方形的性质求面积 1．如图，一个矩形被分割成四部分．已知图形①②③都是正方形，且正方形①的边长为，阴影部分的面积为，则正方形③的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式运算的应用，正方形的面积，根据阴影面积可得阴影长，进而可得正方形②的边长，利用长方形的边长的和差，即可得答案．利用线段的和差得出边长是解题的关键． 【详解】解：∵正方形①的边长为，阴影部分的面积为， ∴阴影部分的长为：， ∴正方形②的边长为： ∴正方形③的边长为：， ∴正方形③的面积为：． 故选：D． 2．如图，边长为的正方形纸片上剪去四个直径为的半圆，阴影部分的面积是________ 【答案】 【分析】本题考查列代数式．用含和的代数式表示出阴影部分的面积即可． 【详解】解：由题知， 正方形的面积为，四个直径为的半圆面积为， 所以阴影部分的面积是：． 故答案为：． 3．如图，在正方形网格中每个小正方形的边长均为1，线段的端点都在小正方形的顶点上，按下列要求画图并计算． (1)在图①中画以为对角线的矩形（非正方形），使矩形的面积为4． (2)在图②中画以为对角线的正方形，并直接写出正方形的面积为______． 【答案】(1)见解析， (2)图见解析，5 【分析】题主要考查了作图，矩形的性质，正方形的性质，勾股定理，掌握以上知识点是解题的关键． （1）画出宽为，长为的矩形即可； （2）画出边长为的正方形即可． 【详解】（1）如图： 面积为； （2）如图， 面积为， 故答案为：5． 题型8正方形折叠问题 1．如图，将边长为的正方形纸片折叠，使点落在边中点处，点落在点处，折痕为，则线段的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，勾股定理，由正方形的性质可得，，即得，由折叠得，设，则，在中利用勾股定理求出进而即可求解，掌握正方形和折叠的性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵是的中点， ∴， 由折叠得，， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴， 故选：． 2．如图，已知正方形的边长为4，点E、F分别在边和上，将该正方形沿着翻折，点A落在处，点B恰好落在边CD上的点处，如果四边形的面积为6，那么的面积是_________． 【答案】 【分析】本题考查翻折的性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． 连接，则，过点F作于点H，易证，进而得到、，设，则，根据四边形的面积为6，列方程得到关于的表达式，在中，利用勾股定理求出的值，最后利用三角形面积公式计算即可． 【详解】解：连接，则，过点F作于点H， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， 、， 设，则， 四边形的面积为6， ， 即， 解得， ， ， 由翻折的性质得：， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得， 的面积为：． 3．在数学综合与实践活动课上，李老师对正方形纸片进行如下操作：如图1，将正方形纸片沿过点D的一条直线翻折，使点A落在点F处，折痕为，请同学们在图1的基础上进行探究． 【操作发现】 （1）如图2，小林同学延长交射线于点，连接，过点作的垂线，交的延长线于点．求证：； 【深入探究】 （2）如图3，小明在图2的基础上延长，交的延长线于点H．求证：； 【拓展应用】 （3）在（2）的条件下，若正方形纸片的边长为6，当时，请直接写出线段AH的长______． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）12或． 【分析】（1）根据折叠的性质，得，证出，再根据，和，得出，即可证明； （2）根据正方形性质得出，，证明．得出，即可证明； （3）根据题意，分两种情况讨论．①当点在线段上时，如图1所示．②当点在的延长线上时，如图2所示． 【详解】（1）证明：由折叠的性质，得， ∵在正方形中，， ∴． ∵， ∴． ∵在正方形中，， ∴． ∴． ∴； （2）证明：在正方形中，，， ∴． ∵， ∴． ∴． 在和中， ， ∴． ∴． ∵， ∴， 即； （3）根据题意，分两种情况讨论． ①当点在线段上时，如图1所示．    ∵，， ∴，． ∴． 由（1）知， ∴． 由（2）知， ∴； ②当点在的延长线上时，如图所示．      同①可得，． ∴． ∴． ∴． 综上所述，线段的长为12或， 故答案为：12或． 【点睛】该题主要考查了折叠的性质，正方形的性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 题型9求正方形重叠部分面积 1．如图，三个边长为的正方形按如图所示的方式重叠在一起，点O是其中一个正方形的中心，则重叠部分（阴影）的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，连接，，由正方形的性质可得，证明可得，进而可求解． 【详解】解：连接，， 由题意知：四边形，四边形都是正方形， ，，，， ， 在和中， ， ， ， ， ． 故选：B． 2．如图，两个边长为4的正方形重叠在一起，点是其中一个正方形的中心，则图中阴影部分的面积为_____． 【答案】 【分析】连接、，证明，得到，再由，代值求解即可得到答案． 【详解】解：连接、，如图所示： ， ， 是正方形，为正方形的中心， ，， 在和中， ， ， ， ， 故答案是：4． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、正方形的性质，构造全等三角形得到阴影部分的面积等于的面积是解决问题的关键． 3．如图，四边形中，，，过点D分别作的延长线的垂线，垂足分别为点E，F，设，，，．    (1)证明：四边形是正方形； (2)用a，b，c表示四边形的面积； (3)请根据本题情境，证明：． 【答案】(1)见解析 (2)四边形的面积为 (3)见解析 【分析】（1）证明，由全等三角形的性质得出，由正方形的判定可得出结论； （2）过点作的垂线，垂足为．由直角三角形的性质及三角形面积可得出答案； （3）由全等三角形的性质得出，四边形的面积正方形的面积．设，则，即，求出，由图形的面积关系可得出结论． 【详解】（1）证明：，， ， ， 四边形为矩形， ， 又， 即， ． ， ， ， 四边形为正方形． （2）解：过点作的垂线，垂足为． 由题意得为等腰直角三角形，即点为斜边的中点．   ， ， 又，，， 四边形的面积； （3）证明：四边形为正方形， ． ， ，四边形的面积正方形的面积． 设，则， 即， ， 正方形的面积． ， 整理得， ． 【点睛】题是四边形综合题，考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、正方形的判定、平行四边形的判定、等腰直角三角形的性质等知识，熟练掌握相关图形的性质和判定定理是解题的关键． 题型10根据正方形的性质证明 1．已知正方形的边长为5，点E，F分别在，上，，与相交于点G，点H为的中点，连接，则的长为（    ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【分析】由正方形的性质可得，，证明得出，求出，由勾股定理可得，最后再由直角三角形的性质计算即可得出结果． 【详解】解：∵四边形为边长为的正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵点H为的中点， ∴． 2．如图，在正方形中，E，F分别是边上的点，的周长为6，则正方形的边长为______． 【答案】3 【分析】将绕点A顺时针旋转90度到位置，证明，可得，即可求解． 【详解】解：将绕点A顺时针旋转90度到位置，如图， ∵四边形是正方形， ∴， 由旋转的性质得：，，， ∴，即点C，B，三点共线， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， ∴， ∵的周长为6， ∴， ∴， ∴． 3．如图，在平面直角坐标系中，正方形的两边分别在坐标轴的正半轴上，分别过的中点D，E作的平行线，相交于点F．求证：四边形为菱形． 【答案】见解析 【分析】根据正方形的性质、全等三角形的判定和性质、菱形的判定进行证明即可． 【详解】证明：∵，， ∴四边形是平行四边形． ∵四边形是正方形， ∴，． ∵点D，E是的中点， ∴， 在和中，，，， ∴， ∴， ∴是菱形． 题型11根据正方形的性质与判定求求角度 1．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC⊥BD，E，F分别是AB，CD的中点，若AC＝BD＝2，则EF的长是（　　） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】分别取的中点为，连接，利用中点四边形的性质可以推出，再根据，可以推导出四边形是正方形即可求解． 【详解】解：分别取的中点为，连接， 分别是的中点， ， 又， ， 四边形是正方形， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了中点四边形的性质、正方形的判定及性质，解题的关键是作出适当的辅助线，利用题意证明出四边形是正方形． 2．直角梯形中，是边上的一点，恰好使，并且，则的长是__________． 【答案】4或6 【分析】本题考查正方形的判定与性质，旋转，全等三角形的判定与性质，勾股定理，一元二次方程，正确作出辅助线是解题的关键． 过点B作交的延长线于F，证明四边形是正方形，则把绕点B顺时针旋转得到，再，得到，设，则，，根据勾股定理，得到，求解即可． 【详解】解：如图，过点B作交的延长线于F， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， 把绕点B顺时针旋转得到， 则． ∵ ∴ ∴， ∵ ∴ ∴， ∴． 设，则， ∴． 在中， ， 即， 整理得 ， 解得， ∴的长是4或6． 故答案为：4或6． 3．在菱形中，点E是对角线上一点，点F、G在直线上，且，． (1)如图1，求证：①；②； (2)如图2，当时，判断、、的数量关系，并说明理由； (3)如图3，当时，点F在线段上，判断、、的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)，理由见解析 (3)，理由见解析 【分析】（1）①由菱形性质得到，由等腰三角形性质得到．从而有．由等量代换得到，从而可证； ②由全等的性质得出，由菱形的性质得出，从而有，最后有等量代换即可得到； （2）由菱形的性质可求出，从而得到为等边三角形，得到，从而可证结论； （3）证明四边形是正方形，得到，同（1）可证，得到，进而得到为等腰直角三角形，从而得到结论． 【详解】（1）证明∶①如图， ∵四边形是菱形， ∴． ∵， ∴， ∴． 又∵， ∴，即． ∴； ②∵， ∴． ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴．即． （2）解：． 理由如下： ∵四边形是菱形，， ∴． ∵， ∴是等边三角形， ∴． 由（1）知：， ∵， ∴． （3）解：． 理由如下： 如图， ∵四边形是菱形，， ∴四边形是正方形， ∴． ∵， ∴． ∴． 又∵， ∴，即． ∴， ∴． ∵， ∴在中，． ∵． ∴． ∴． 【点睛】本题考查了菱形的性质，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质以及勾股定理等知识，灵活运用相关性质定理和判定定理是解题的关键． 题型12根据正方形的性质与判定求线段长 1．如图，点P的坐标为，点A，B分别在x轴，y轴的正半轴上运动，且，连接，下列结论：①；②若与的交点恰好是的中点，则四边形是正方形；③四边形的面积与周长为定值；④．其中正确的结论是（    ） A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②④ 【答案】A 【分析】过作轴于，轴于，与交于点，可得四边形是矩形，进而由可得四边形是正方形，得到，，进而得到，即可证明，得到，即可判断①；由直角三角形的性质可得，可得四边形是矩形，进而由得到四边形是正方形，即可判断②；由四边形的面积四边形的面积的面积四边形的面积的面积正方形的面积，即可判断③；由与的交点恰好是的中点时，四边形是正方形，得到，即可判断④． 【详解】解：过P作轴于M，轴于N，与交于点，如图所示： ， ， ∵x轴轴， ， ，则四边形是正方形， ， ， ， 在和中， ， ， ，故①正确； ∵与的交点恰好是的中点， ， 在中，是斜边的中线， ， 在Rt中，是斜边的中线， ， ， ∴四边形是矩形， ， ∴四边形是正方形，故②正确； ， ∴四边形的面积四边形的面积的面积 四边形的面积的面积， 正方形的面积， ， ， ， ， ， ∵，且和的长度会不断的变化，故周长不是定值，故③错误； ∵若与的交点恰好是的中点时，四边形是正方形， ，故④错误； ∴正确的有①②． 2．如图，在直角梯形中，，，，E是上一点，连接，将沿翻折，使得点B的对应点刚好落在上，作的角平分线交于点F，若，且，则____________________． 【答案】 【分析】本题考查了翻折变换，直角梯形，正方形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 如图，过点A作交的延长线于点T，过点F作于点H．首先证明四边形是正方形，证明，推出，求出正方形的边长，设，利用勾股定理求出x，再利用面积法求出可得结论． 【详解】解：如图，过点A作交的延长线于点T，过点F作于点H． ∵，， ∴， ∴， 由翻折变换的性质可知，， ∵，， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， 设， 在中，， ∴， ∴， ∴．，， ∵平分，，， ∴， ∵， ∴， ∴． 3．综合与探究 问题情境：王老板的旧车棚老化狭窄，车辆常被雨水打湿、停放不便．为改善车辆遮护条件，他计划新建如图1所示的钢结构车棚，既提升遮雨效果，也拓宽停车空间． 方案设计：如图2是该车棚的横截面图，可以近似看成由等腰三角形和矩形构成的封闭图形，已知矩形的宽米，长米，最高点到的距离为米．    方案实施： (1)在图2中以所在直线为轴，过点作的垂线为轴，垂足为原点，建立平面直角坐标系，请在图2中画出平面直角坐标系，并求、两点的坐标及直线的函数表达式． (2)为了加固车棚，如图3，计划在车棚内安装三根支撑杆，，，其中，点，在线段和上，点，在地面上． 若四边形恰好是正方形，设点的横坐标为． ①点的横坐标为__________（用含的代数式表示）； ②请你帮王老板求出支撑杆的长度． 【答案】(1)图见解析；，； (2)①；②支撑杆的长度为米 【分析】（1）根据题意建立平面直角坐标系，由矩形的性质写出点的坐标，再使用待定系数法求出直线的函数表达式； （2）①由可得，点与点关于轴对称，则点与点的横坐标互为相反数； ②由（1）中的直线表达式写出点的坐标，进而表示出和，由正方形的性质可得，列方程解出的值，然后求出的长． 【详解】（1）解：建立如图所示的平面直角坐标系，    ∵四边形是矩形， ∴，， 由题意可知，， ∵， ∴． ∴点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为， 设直线的函数表达式为， 将，代入，得， ， 解得， ∴直线的函数表达式为； （2）解：①∵四边形是正方形， ∴， 由（1）可知，垂直平分， ∴垂直平分，即点与点关于轴对称， ∵点的横坐标为， ∴点的横坐标为； ②∵点在上， ∴点的坐标为， ∴， ∵点的横坐标为，点的横坐标为， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， 解得， ∴米． 答：支撑杆的长度为米．    【点睛】本题考查图形与坐标，待定系数法求函数解析式，正方形的性质，解一元一次方程，点关于坐标轴对称问题，熟练掌握相关知识是关键． 题型13根据正方形的性质与判定求面积 1．如图，语文中的汉语拼音书写是由等距离、等长度的四线三格平行横线组成，已知相邻两条平行线间的距离都是1，正方形的四个顶点分别在四条直线上，则正方形的面积为（    ） A． B． C．3 D．5 【答案】D 【分析】本题考查了正方形的性质、三角形全等的判定与性质，勾股定理等知识，过点D作，垂足为，延长交于点E，易证，根据正方形的性质可证，得到，由，利用勾股定理得出，再根据正方形的面积公式即可求解． 【详解】解：如图，过点D作，垂足为，延长交于点E， ，， ， 已知相邻两条平行线间的距离都是1，四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ， 正方形面积是， 故选：D． 2．我国古代数学家赵爽巧妙地用“弦图”证明了勾股定理，成为中国古代数学成就的标志之一、如图，若弦图中四个全等的直角三角形的两条直角边长分别为，斜边长为，则中间小正方形的面积为___．（用含的代数式表示） 【答案】 【分析】本题考查了菱形的判定与性质，正方形的判定，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据题意得出这个大四边形是菱形，再结合，得这个大四边形是正方形，再结合面积之间的关系进行列式，即可作答． 【详解】解：依题意， ∵弦图中四个全等的直角三角形的两条直角边长分别为，斜边长为， ∴， ∴， 依题意，这个大四边形的四边相等，则是菱形， ∵， 结合有一个角是度的菱形是正方形，即这个大四边形是正方形， ∴大正方形的面积为，四个直角三角形的面积是， ∴中间小正方形的面积为． 故答案为：． 3．如图1，已知平行四边形，点、分别为边上的动点，连接． (1)若，证明：平分； (2)如图2，若，，，求的面积； (3)如图3，在四边形中，，用表示四边形的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）先证出四边形是正方形，再通过延长至使构造全等三角形，先证，利用角的代换得到，再证，由全等三角形的对应角相等证得，从而证明平分． （2）取边的中点，作，交于点，连接，证四边形为正方形，利用（1）的角平分线结论结合的边角关系，通过勾股定理求出的长度，进而计算出的面积，结合正方形的面积与内部各三角形面积的数量关系求出的面积，再由是中点且证出是的中位线，得到为中点，最终将的面积转化为2倍的面积求解，核心是构造正方形实现面积拆分，利用中位线定理实现面积的倍数转化． （3）先在的延长线上取点使，连接，利用四边形内角和证得，结合四点共圆的性质证出，进而证得，得到且，由此证出为等边三角形，过作于，利用勾股定理求出的长度，再将四边形的面积转化为与的面积和，即等边的面积，最后通过三角形底乘高的面积公式求出结果． 【详解】（1）解：延长至点，使得，如图， ∵四边形是平行四边形，，， ∴四边形是正方形， ∴，， ∴，即． 在和中，， ∴， ∴，． ∵，， ∴， ∴，即． 在和中，， ∴， ∴， ∴平分； （2）解：如图，取边的中点，作，交于点，连接． ∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是矩形， ∴，． ∵， ∴四边形是矩形． ∵，， ∴四边形是正方形，面积为． 由（1）． ∴， ∴， 由勾股定理得，得， 解得， ∴． 在中，，同理，． ∴， 由（1），而， ∴． ∵是中点，， ∴是的中位线， 点是的中点， ∴. （3）解：如图，在的延长线上取点，使得，连接． ∵四边形的内角和为， ∴． ∵，， ∴． 又∵， ∴． ∵， ∴、、、四点共圆， ∵， ∴． 在和中，， ∴， ∴， 又∵， ∴为等边三角形，． 过点作于，则为的中点，． 在中，由勾股定理：， ∵，且， ∴． 【点睛】本题考查了矩形、正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理等知识，同时考查了图形面积的转化与计算，核心侧重辅助线的构造与几何图形间的边角、面积转化技巧．本题的关键是根据不同问题特征构造合适的辅助线，利用全等、特殊三角形的性质实现边角和面积的转化，将未知问题转化为已知可解的问题． 题型14根据正方形的性质与判定证明 1．如图，正方形的边长为1，是对角线上一动点，于点，于点，连接，给出四种情况：①若为的中点，则四边形是正方形；②点在运动过程中，始终满足；③点在运动过程中，的值为定值1；④点在运动过程中，线段的最小值为．其中正确的有（   ） A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】先证明四边形是矩形，再证明，则四边形是正方形，即可判定正确；连接，由四边形是矩形，得，再证明，得，再证明，推出，即可判定正确；证明，，从而得，即可判定正确；根据，所以当最小时，最小，所以当时，最小， ，求得，即得线段的最小值为，即可判定正确． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，，， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形，， ， ∴，， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴四边形是正方形，故正确； 连接， ∵四边形是矩形， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵矩形， ∵， 又∵ ∴， ∴， ∴，故正确； ∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴，即的值为定值1，故正确； ∵， ∴当最小时，最小， ∴当时，最小，在中，， ∵， ∴， ∴， ∴线段的最小值为，故正确； ∴正确的有， 故选：． 【点睛】此题考查了正方形的判定与性质，垂线段最短，三角形三边关系，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，熟练掌握正方形的判定与性质、矩形的判定与性质是解题的关键． 2．折叠矩形纸片时，发现可以进行如下操作： ①如图1，把翻折，点A落在边上的点F处，折痕为，点E在边上，则______； ②把纸片展开并铺平； ③如图2，再把翻折，点C落在线段上的点H处，折痕为，点G在边上，若，，则______． 【答案】 【分析】设，则，利用折叠的性质得，，则可判断四边形为正方形，所以，再根据折叠的性质得，则，然后根据勾股定理得到，再解方程求出即可． 【详解】解：在矩形中，， 设，则， ∵把翻折，点落在边上的点处， ， ∴四边形为正方形， ，， ∵把翻折，点落在直线上的点处，折痕为，点在边上， ， ， 当， 在中，， ， 整理得， 解得：（舍去）， 即． 3．图、图、图均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为，每个小正方形的顶点叫做格点．线段的端点在格点上．要求仅用无刻度的直尺作图，所画图形的顶点都在格点上． (1)在图中，画一个以为边，面积是的只是中心对称的四边形，要求顶点在格点上； (2)在图中，画一个以为边的既是轴对称又是中心对称的图形； (3)在图中，画一个以为对角线的矩形，且使得，． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据平行四边形的判定与性质以及题目要求作出图形即可； （2）根据正方形的判定与性质以及题目要求作出图形即可； （3）根据矩形的判定与性质以及题目要求作出图形即可． 【详解】（1）解：如图，四边形即为所求作的； ，， 四边形是以为边的平行四边形， 四边形只是中心对称图形，且四边形的面积为， 故满足要求； （2）解：如图，四边形即为所求作的； ， 四边形是菱形，， ，即， ， 四边形是正方形， 四边形是以为边的既是轴对称又是中心对称的图形； （3）解：如图，四边形即为所求作的； 由图可知，，，， 四边形是平行四边形，，即， ， 四边形是矩形， 即四边形是以为对角线的矩形，且使得，． 【点睛】本题考查作图应用与设计作图，平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，正方形的判定和性质，图形的对称性，勾股定理，解题的关键是熟练掌握各图形的性质与特征． 题型15（特殊）平行四边形的动点问题 1．如图，在正方形中，，是上的一点且，连接，动点从点出发，沿着路径以的速度运动，运动到点停止，设点的运动时间为秒，当和全等时，的值是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、动点问题．当和全等时，一定为直角三角形，点在上时，不能构成三角形；点在上时构成的不是直角三角形，此时两个三角形不能全等；当点在上时，此时点运动的路程为，根据运动的速度可以求出运动的时间；当点在上时，此时点运动的路程为，根据运动的速度求出运动的时间即可． 【详解】解：中， 当和全等时，一定为直角三角形， 当点在上时，不能构成三角形； 当点在上时，如下图所示， 构成的不是直角三角形，此时和不全等； 当点在上时，如下图所示， ， 则有， 此时点运动的路程为， 运动的时间为； 当点在上时，如下图所示， ， ， 此时点运动的路程为， 运动的时间为， 综上所述，当和全等时，的值是或． 故选：D ． 2．如图（1），点F从菱形的顶点A出发，沿以的速度匀速运动到点B，点F运动时，的面积随时间的变化关系图象如图（2），则菱形的面积为________．      （1）                   （2） 【答案】 【分析】本题主要考查了四边形的动点问题，菱形的性质，勾股定理等知识，设点A到的距离为h，根据动点函数图像求出h， 过点D作交的延长线与点E，则， 利用勾股定理求出，由菱形的性质得出，利用勾股定理求出，最后计算菱形的面积即可． 【详解】解：设点A到的距离为h， 由点F的运动轨迹和速度可知，，且， 解得：， 过点D作交的延长线与点E， 则， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， 在中，， 即， 解得：， ∴， 故答案为： 3．如图，在四边形ABCD中，，，，，，动点P从A点开始沿边以的速度向点D运动，动点Q从点C开始沿边以的速度向点B运动，P，Q分别从A，C同时出发，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为． (1)当t为何值时，四边形是矩形； (2)当t为何值时，四边形是平行四边形； (3)问：四边形是否可以为菱形？若能，求出此时的t值；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不能，见解析 【分析】此题考查了菱形的性质、勾股定理、平行四边形的判定与性质以及矩形的判定与性质，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用是解答本题的关键． （1）在四边形中，，，可得当时，四边形是矩形，即可得到方程，解此方程即可得到最后答案； （2）在四边形中，，当时，四边形是平行四边形，列方程解方程即可； （3）由四边形是菱形，则四边形是平行四边形，根据（2）中求解的答案，分析看此时能否为菱形，求出，即可得到不可能为菱形． 【详解】（1）解：根据题意得：，， ∵，， ∴， ∵在四边形中，， ∴当时，四边形是矩形， ∴解得 ∴当时，四边形是矩形； （2）当时，四边形是平行四边形， ∴解得：， ∴当时，四边形是平行四边形； （3）若四边形是菱形，则四边形是平行四边形，根据（2）得， ∴． 过点D作于点R， ∴四边形是矩形， ∴， ∴，，， ∴四边形P不可能是菱形． 题型16四边形中的线段最值问题 1．如图，在中，．H、G分别是上的动点，连接，E、F分别为的中点，则的最小值是（    ） A．4 B．5 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理，直角三角形的性质，勾股定理，垂线段最短，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 连接，过点作于，由平行四边形的性质得到，得出求出，求出，由三角形中位线定理得到，当时，有最小值，即有最小值，当点与点重合时，的最小值为，得到 的最小值为，即可得到答案． 【详解】解：如图，连接，过点作于， 四边形是平行四边形，， ， ， ， ， ， 分别为的中点， ， 当时，有最小值，即有最小值， 当点与点重合时，的最小值为， 的最小值为， 故选：D． 2．如图，在面积为12的正方形中，以为一边向正方形内作等边，点是对角线上的动点，连接、，则的最小值为_________． 【答案】 【分析】本题主要考查了轴对称，最短路线问题，根据正方形的性质得出A关于的对称点是C是解题的关键． 由四边形是正方形，可得、关于对称，则当、、共线时，的最小值为的长． 【详解】解：∵正方形的面积为12， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∵四边形是正方形， ∴、关于对称， ∴， ∴， ∴当、、共线时，的最小值为的长， ∴的最小值为． 故答案为：． 3．【问题原型】 如图1，在正方形中，．求证：． 【问题应用】 如图，在正方形中，，、分别是边、上的点，且． （1）如图2，连接、交于点，为的中点，连接，．当为的中点时，四边形的面积为 　　； （2）如图3，连接、，当点在边上运动时，的最小值为 　　． 【答案】[问题原型]见解析；[问题应用]（1）；（2） 【分析】此题重点考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、将军饮马问题，此题综合性强，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． [问题原型]证明即可； [问题应用]（1）先证，得，求证，由，，求得，则可得，即可由得解； （2）连接，可证明，得，则，延长到点，使，连接、，则，则，当、、共线时最小，求解即可． 【详解】解：[问题原型]证明：如图，设与交于点， 四边形是正方形， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ． [问题应用]（1）解：四边形是正方形，， ，， ，为的中点， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得：， 为的中点， ， ， 故答案为：． （2）解：如图，连接， ，，， 在和中， ， ， ， ， 延长到点，使，则，垂直平分， 连接、，则， ，， ， ， 的最小值是， 故答案为：． 题型17四边形其他综合问题 1．如图，在正方形中，以为边作等边三角形，连接，则下列结论：①；②；③和的面积比为；④．其中结论正确的序号有（    ）    A．①②④ B．②③ C．①③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】由正方形的性质和等边三角形的性质可得，由等腰三角形的性质可得，故①正确；利用证明，可判断②，由三角形的面积公式可得，，可得和的面积比为，故③正确；由直角三角形的性质可得，可得，故④正确，即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形，是等边三角形， ∴， ∴， ∴，故①正确；    ∵， ∴，故②正确； ∴， 过点P作于H，于G，如图所示： ∵是等边三角形，， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ， ∴和的面积比为，故③正确； 过点C作交的延长线于N，如图所示， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故④正确， 综上所述：①②③④． 故选：D．    【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质、等边三角形的性质、等腰三角形的性质与判定、直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的面积公式等知识，熟练掌握相关的性质与适当作辅助线是解答此题的关键． 2．如图，在菱形ABCD中，，线段AD上有一动点P（点P不与点A，D重合），沿直线BP将三角形ABP翻折，使得点A落在点E处．连接CE，在点P的运动过程中，下列结论：①，②，③，④，始终成立的有______．（写出所有正确结论的序号） 【答案】①③④． 【分析】①正确．利用翻折变换的性质证明PE＝PA，可得结论；②错误．利用反证法，可得结论；③正确．设∠CBE＝x，证明∠CAE＝x，可得结论；④正确．利用等腰三角形的性质以及四边形内角和定理证明即可． 【详解】解：如图，设PB交AE于点O，PB交AC于点J． 由翻折的性质可知，PA＝PE，BA＝BE， ∴∠PAE＝∠PEA，故①正确， 不妨假设∠CAE＝∠ABP， ∵BA＝BE，PA＝PE， ∴PB垂直平分线线段AE， ∴∠ABP＝∠EBP， ∴∠JAO＝∠JPR， ∵∠AJO＝∠BJR， ∴∠BRJ＝∠AOJ＝90°，显然BE与AC不垂直与已知条件矛盾，故②错误， 设∠CBE＝x， ∵四边形ABCD是菱形， ∴CD//AB，AB＝BC＝CD＝AD， ∴∠ABC+∠BCD＝180°， ∵∠BCD＝120°， ∴∠ABC＝60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴∠CAB＝60°， ∴∠ABE＝60°﹣x， ∵BA＝BE， ∴∠EAB＝（180°﹣60°+x）＝60°+x， ∠CAE＝∠EAB﹣∠CAB＝x， ∴∠CAE+∠ABP＝x+（60°﹣x）＝30°，故③正确， ∵BC＝BA＝BE， ∴∠BCE＝∠BEC，∠BEA＝∠BAE， ∵2∠BEC+2∠BEA+∠ABC＝360°， ∴2∠BEC+2∠BEA＝300°， ∴∠AEC＝∠CEB+∠AEB＝150°，故④正确． 故答案为：①③④． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了等边三角形的性质，翻折变换，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 3．如图，在正方形中，E是延长线上一点，连接，O为的中点，过点E作于点F，连接．设． (1)依题意补全图形； (2)求的度数（用含α的式子表示）； (3)用等式表示线段之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2) (3)，证明见解析 【分析】（1）根据题意画出图形即可； （2）根据正方形的性质得到，得到，根据直角三角形的性质得到，求得，根据三角形外角的性质得到； （3）求得，连接，由O为的中点，得到，求得，得到是等腰直角三角形，得到，根据全等三角形的性质即可得到结论． 【详解】（1）解：如图所示 （2）∵四边形是正方形， ∵O为的中点， ∴， ， ． （3）．理由如下 证明：， ∴， 连接， ∵O为的中点， ∴ ， ， ， ∴是等腰直角三角形，且, ∴, 即, ∴或(不符合题意，舍去)， ∵， ， ∴． 【点评】本题是四边形的综合题，考查了正方形的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握各知识点是解题的关键． 进阶练习◆培优 一、单选题 1．如图，在中，．添加一个条件，能判定四边形是正方形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质、正方形的判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据相关知识点逐项判断即可． 【详解】解：由题意知，平分， 又∵， ∴四边形是菱形； A：四边形是菱形，则必有，无法判定四边形是正方形，故该选项不合题意； B：四边形是菱形，当时，四边形是正方形，故该选项符合题意； C：四边形是菱形，则必有，无法判定四边形是正方形，故该选项不合题意； D：四边形是菱形，则必有，无法判定四边形是正方形，故该选项不合题意． 故选：B ． 2．下列说法不正确的是（    ） A．平行四边形的对边相等 B．菱形的对角相等 C．矩形的对角线互相垂直 D．正方形的四条边均相等 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形的性质，正方形的性质，菱形的性质，矩形的性质，根据平行四边形、菱形、矩形、正方形的性质，逐一判断各选项的正误 【详解】解：∵平行四边形的对边相等，∴A选项说法正确 ∵菱形是特殊的平行四边形，平行四边形对角相等，∴菱形的对角相等，B选项说法正确 ∵矩形的对角线相等且互相平分，不一定互相垂直，∴C选项说法不正确 ∵正方形的四条边均相等，∴D选项说法正确 故选：C． 3．如图，四边形是正方形，是等边三角形，的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了正方形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质， 先根据正方形和等边三角形的性质得，可求出，再根据等边对等角得出答案． 【详解】解：∵四边形是正方形，是等边三角形， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 4．如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形．若，，则（   ） A．50 B．60 C．100 D．110 【答案】B 【分析】连接，即可利用勾股定理的几何意义解答． 本题主要考查的是勾股定理的灵活运用，解答的关键是利用两个直角三角形公共的斜边． 【详解】解：连接，根据勾股定理，得， 由正方形的性质，得， 故， 又，， 则， 故选：B． 5．如图，用四根相同长度的木条制作成正方形，测得对角线长为，如果将此正方形变形为菱形，且，那么菱形对角线长为（    ） A．10 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正方形的性质以及勾股定理可得，如图，连接交于点，根据菱形的性质结合可得，再利用勾股定理得到，进而求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形，对角线长为， ∴， ∴，即 ∴ 如图，连接交于点， ∵将正方形变形为菱形， ∴，，，， ∵ ∴为等边三角形， ∴，， ， ∴． 二、填空题 6．在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，具有性质“两条对角线相等”的是____；具有性质“两条对角线互相垂直”的是____________________． 【答案】 矩形、正方形 菱形、正方形 【分析】本题考查了菱形、正方形、矩形等性质，根据正方形的对角线是互相平分、垂直、相等；矩形的对角线是互相平分、相等；菱形的对角线是互相平分、垂直等性质进行分析，即可作答． 【详解】解：∵正方形的对角线是互相平分、垂直、相等； 矩形的对角线是互相平分、相等； 菱形的对角线是互相平分、垂直 ∴具有性质“两条对角线相等”的是矩形、正方形； ∴具有性质“两条对角线互相垂直”的是菱形、正方形； 故答案为：矩形、正方形；菱形、正方形 7．如图，菱形的对角线相交于点O，点E，F同时从O点出发在线段上以的速度反向运动（点E，F分别到达A，C两点时停止运动），设运动时间为．连接，已知是边长为的等边三角形，当______s时，四边形为正方形． 【答案】3 【分析】由题意可知,即,由菱形的性质得，所以当时，四边形是正方形，而是边长为的等边三角形，则,所以据此求解即可．掌握菱形的性质以及正方形的判定是解题的关键． 【详解】解：由题意得， ∴， ∵菱形的对角线相交于点O， ∴， ∴四边形是菱形， ∴当时，四边形是正方形， ∵是边长为的等边三角形， ∴， ∴由得，解得， ∴当时，四边形是正方形， 故答案为：3． 8．如图，点是正方形的边延长线上一点，连接，点是的中点，连接、，若，则的最大值为_____________． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，勾股定理，正方形的性质，斜边上的中线等于斜边的一半，三角形三边关系，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 先理解题意，根据正方形的性质，得，又因为点是的中点，，然后将绕点逆时针旋转，得到，运用勾股定理得，结合三角形三边关系，得，当三点共线时，则，此时的最大值为，即可作答． 【详解】解：如图所示： ∵四边形是正方形， ∴， ∵点是正方形的边延长线上一点，连接，点是的中点， ∴在中，， 将绕点逆时针旋转，得到， ∴，， 则， 在中，， 即， 当三点共线时，则， 此时的最大值为， 故答案为：． 9．如图，P是正方形对角线上的一点，直线m，n经过点P且，若四边形与四边形的面积分别是，，那么四边形与四边形的面积之和是________． 【答案】 【分析】此题考查了矩形的判定和性质、正方形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，过点P作于点M，的延长线与相交于点R，过点P作于点N，的延长线与相交于点S，证明四边形的面积正方形的面积，，得到，四边形的面积正方形的面积，，则，则四边形与四边形的面积之和矩形和矩形的面积之和，即可得到答案． 【详解】解：过点P作于点M，的延长线与相交于点R，过点P作于点N，的延长线与相交于点S， ∵P是正方形对角线上的一点， ∴，， ∴四边形、都是矩形，，， ∴， ∴四边形是正方形， ∴ ∵直线m，n经过点P且， ∴ ∴， ∵， ∴ ∴， ∴四边形的面积正方形的面积 ∴， 同理可证，是正方形，， 则四边形的面积正方形的面积，， ∴四边形与四边形的面积之和矩形和矩形的面积之和，即四边形与四边形的面积之和 故答案为： 10．当一个凸四边形的一条对角线把原四边形分割成两个等腰三角形时，我们称这个四边形为“等腰四边形”，其中这条对角线称为这个四边形的“等腰线”．如果凸四边形ABCD是“等腰四边形”，对角线BD是该四边形的“等腰线”，其中∠ABC＝90°，AB＝BC＝CD≠AD，那么∠BAD的度数为______． 【答案】75° 【分析】根据“等腰四边形”定义画出图形，对角线BD是该四边形的“等腰线”，所以△CBD和△ABD为等腰三角形，由于AB＝BC＝CD≠AD，所以△ABD中分两种情形进行讨论即可； 【详解】解：∵凸四边形ABCD是“等腰四边形”，对角线BD是该四边形的“等腰线”， ∴△CBD和△ABD为等腰三角形． 由于AB≠AD，在△ABD中分两种情形：①AB＝BD，②AD＝BD． 当①AB＝BD时，如下图： ∵AB＝BC＝CD，AB＝BD． ∴BC＝CD＝BD． ∴△BDC为等边三角形． ∴∠DBC＝60°． ∵∠ABC＝90°， ∴∠ABD＝30°． ∵AB＝BD， ∴∠BAD＝∠BDA＝＝75°． 当②AD＝BD时，如下图， 过点D作DE⊥AB，过点D作DF⊥CB，交CB延长线于点F， ∵AD＝BD，DE⊥AB， ∴BE＝AB． ∵DE⊥AB，DF⊥CB，∠ABC＝90°， ∴四边形EBFD为矩形． ∴DF＝BE＝AB． ∵AB＝CD， ∴DF＝CD． 在Rt△DCF中，sin∠DCF＝＝， ∴∠DCF＝30°． ∵BC＝CD， ∴∠DBC＝∠BDC＝＝15°． ∵∠ABC＝90°， ∴∠ABD＝75°． ∵AD＝BD， ∴∠BAD＝∠ABD＝75°． 综上，∠BAD＝75°． 故答案为：75°． 【点睛】本题主要考查了四边形综合，结合等边三角形、矩形的性质求解是解题的关键． 三、解答题 11．如图，菱形的对角线相交于点O，在上截取，顺次连接B，F，D，E四点．求证：四边形是正方形． 【答案】见解析 【分析】由菱形性质得 ，；由 及 ，得 ，即 与 互相平分且相等，故四边形 是矩形；再由 ，得矩形 是正方形． 【详解】证明： 四边形 是菱形， ，． ， ． 与 互相平分，且 ． 四边形 是矩形． 又， 矩形 是正方形． 12．如图，已知，为线段上一动点．将沿翻折至，延长交射线于点． (1)如图1，当为的中点时，求出的长． (2)如图2，延长交于点，连接，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）连接，由折叠性质可知，，，证明，作于T，设，则，，在中由勾股定理得方程，于是得到结论； （2）如图2，作交延长线与K，由条件可知四边形为正方形，证明，根据全等三角形的性质即可得到结论． 【详解】（1）解：如图1．连接，由折叠性质可知， ，， ，， ， ∵当 P 为 的中点 ∴ ∴ ， ， ， 作于T，设，则，， 在中由勾股定理得， 解得：， ； （2）解：如图2，作交延长线与K，由条件可知四边形为正方形， ， ∴，， ， ， ， ， ． 【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，折叠的性质，勾股定理，作出辅助线构造出全等三角形是解本题的关键． 13．如图，在四边形中，，，，动点P从A点开始沿边以的速度向点D运动，动点Q从C点开始沿边以的速度向点B运动，P、Q分别从A、C同时出发，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为． (1)当t为何值时，四边形是矩形； (2)当t为何值时，四边形是平行四边形； (3)问：四边形是否能成菱形？若能，求出运动时间，若不能，请说明理由． 【答案】(1)当时，四边形是矩形； (2)当时，四边形是平行四边形； (3)四边形不能成菱形，理由见解析 【分析】（1）由题意可知，，，则，根据矩形的性质列方程，求出t的值即可； （2）由题意可知，，，则，根据平行四边形的性质列方程，求出t的值即可； （3）过点作于点，则四边形是矩形，由勾股定理求得，若四边形是菱形，则四边形是平行四边形，结合（2）的结果可知，，即四边形不能成菱形． 【详解】（1）解：设运动的时间为 由题意可知，，， ， ， 四边形是矩形， ， ， 解得：， 即当时，四边形是矩形； （2）解：由题意可知，，， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 解得：， 即当时，四边形是平行四边形； （3）解：四边形不能成菱形，理由如下： 如图，过点作于点， 则四边形是矩形， ，， ， 在中，， 若四边形是菱形，则四边形是平行四边形， 由（2）可知，当时，四边形是平行四边形； 此时， ， 四边形不能成菱形． 【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，平行四边形的性质，菱形的判定，一元一次方程的应用、动点问题、勾股定理，掌握特殊的四边形的性质是解题关键． 14．如图1，已知为等腰直角三角形，，点D是的中点，作正方形，使点，分别在边和上，连接，．    (1)探索线段与的数量关系，直接写出你的结论______； (2)将正方形绕点D按逆时针方向旋转一定角度（旋转角大于，小于或等于）时（如图2），（1）的结论是否仍然成立？说明理由； (3)已知，，在（2）的旋转过程中，当为最大值时，求的值． 【答案】(1) (2)成立，理由见解析 (3)5 【分析】（1）根据等腰直角三角形和正方形的性质推出条件判定，根据全等三角形的性质即可推出线段与的数量关系； （2）连接，判定，根据全等三角形的性质即可推出（1）中的结论仍然成立； （3）当旋转角是时，、、三点共线，取得最大值，根据的最大值，用勾股定理即可求出的值． 【详解】（1）解：是等腰直角三角形，点是的中点， ∴，， 是等腰直角三角形，， ， 四边形是正方形， ， ， ． 故答案为：； （2）如图2，连接，    由（1）得：， 根据旋转可得：， ， 又，， ， ． 即（1）中的结论仍然成立； （3）如图3，    当、、三点共线，，取得最大值， ， ， 又， ， 在中，，， ， 当为最大值时，的值为5． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查正方形的性质，等腰直角三角形的性质，旋转的性质和全等三角形的判定和性质等知识点，深入理解题意是解决问题的关键． 15．如图（1），在平面直角坐标系中，轴于，轴于，点，，过点作分别交线段、于、两点． (1)若，求证：． (2)如图（2），且，，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)的值为 【分析】本题是一道全等三角形的综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定方法，正确的寻找出全等的条件是解决此类问题的关键． （1）根据条件证出四边形为边长为4的正方形，然后证明即可； （2）将绕点顺时针旋转，证出，根据全等三角形的面积相等得出，然后利用进行计算即可． 【详解】（1）证明：∵轴，轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形为边长为4的正方形， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （2）解：将绕点顺时针旋转， ∴， 又∵， ∴点、、三点共线， 又∵， 则，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵由（1）知四边形为边长为4的正方形， ∴， ∴， ∴的值为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $