专题01二次根式期末复习讲义（17大题型精讲+知识点全归纳+进阶练习）-2025-2026学年浙教版数学八年级下学期.

专题01二次根式期末复习讲义 题型全归纳 题型1二次根式的识别................................................................................... 题型2求二次根式中的参数.......................................................................... 题型3二次根式有意义的条件...................................................................... 题型4求二次根式的值.................................................................................. 题型5利用二次根式的性质化简................................................................... 题型6最简二次根式的判断........................................................................... 题型7化为最简二次根式............................................................................... 题型8已知最简二次根式求参数................................................................... 题型9二次根式的乘除法............................................................................... 题型10分母有理化......................................................................................... 题型11复合二次根式的化简.......................................................................... 题型12同类二次根式...................................................................................... 题型13二次根式的混合运算.......................................................................... 题型14已知字母的值，化简求值.................................................................. 题型15已知条件式，化简求值...................................................................... 题型16比较二次根式的大小.......................................................................... 题型17二次根式的应用................................................................................. 知识点速记 一、二次根式定义 形如的式子叫二次根式 必备条件：带根号、被开方数非负数 二、二次根式有意义的条件 有意义:a≥0 有意义：a≥0且b≠0 有意义： a≥0,b>0) 三、二次根式三大性质（必考） ）2=a(a≥0）； =｜a｜=； =·(a≥0,b≥0); =(a≥0,b>0)。 四、最简二次根式标准 被开方数不含分母 被开方数不含能开得尽方的因数或因式 根号内无小数、无分数 五、同类二次根式 化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式才能合并、加减运算 六、二次根式四则运算 加减法 先化简→找同类二次根式→系数相加减，根号部分不变 乘除法 乘法：·=(a≥0,b≥0)，结果化为最简 除法：= (a≥0,b>0) 系数乘系数，根式乘根式，最后化最简 混合运算 先乘方开方→再乘除→最后加减；有括号先算括号可用平方差、完全平方公式简便计算 7、 常见易错点 ≠a,一定是|a| 根号内负数无意义 不是同类二次根式不能直接合并 运算结果必须化成最简二次根式 常考题型◆精讲 题型1二次根式的识别. 1．下列式子中，是二次根式的是（　　） A． B． C． D． 2．下列是二次根式的是（ ） A． B． C． D． 3．解答下列各题： (1)下列各式不是二次根式的是（    ） A．    B．    C．     D． (2)当满足 时，二次根式在实数范围内有意义． (3)当满足 时，在实数范围内有意义． 题型2求二次根式中的参数 1．若二次根式有意义，则正整数的值是（   ） A．1 B．0 C．2 D．3 2．若二次根式，则_______． 3．若，则的平方根． 题型3二次根式有意义的条件 1．若二次根式有意义，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．已知有理数，满足，则的算术平方根是___________． 3．计算求值： (1)已知a，b为实数，且，求a，b的值． (2)已知实数m满足，求的值． 题型4求二次根式的值 1．当时，二次根式的值为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 2．当时，二次根式的值是______． 3．计算：． 题型5利用二次根式的性质化简 1．下列式子错误的是（　　） A．B．C． D． 2．已知实数在数轴上对应的点如图所示，则___________． 3．用长为的铁丝围成一个等腰三角形，底边长为，一腰长为． (1)写出表示y与x的函数关系的式子，指出自变量及其取值范围； (2)当等腰三角形的底边长为时，求出该等腰三角形的面积． 题型6最简二次根式的判断 1．下列是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 2．下列各式：①，②，③，④，⑤中，最简二次根式有____________个． 3．在下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是？对不是最简二次根式的式子进行化简． 题型7化为最简二次根式 1．下列各式中，错误的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，垂直平分，若，，则的长为_____． 3．如图，在离水面高度为的岸上处（米），有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长为，此人以1米/秒的速度收绳，4秒后船移动到点的位置，问船向岸边移动了多少米？（假设绳子一直保持是直的，结果保留根号） 题型8已知最简二次根式求参数 1．若最简二次根式能与合并，则a的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 2．若是最简二次根式，则正整数n的值可以是_____（写出一个符合条件的即可）． 3．已知最简二次根式与是同类二次根式，求的值． 题型9二次根式的乘除法 1．估算的值在（    ） A．3与4之间 B．4与5之间 C．5与6之间 D．6与7之间 2．计算：______． 3．计算：． 题型10分母有理化 1．将分母有理化的结果为（   ） A． B． C． D． 2．若b，c分别为直角三角形两条直角边，且b，c满足（其中b，c为有理数），则该直角三角形的斜边长为______． 3．定义：若两个二次根式满足，且是有理数，则称与是关于的共轭二次根式． (1)若与是关于的共轭二次根式，则___________； (2)若与是关于4的共轭二次根式，求的值； (3)若与是关于24的共轭二次根式，求的值． 题型11复合二次根式的化简 1．满足不等式的整数m的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．化简：____________；____________． 3．【方法理解】在学习二次根式时，我们可以利用完全平方公式将部分含根号的式子化为完全平方式， 例如：； 【类比应用】 (1)请仿照上述方法，将化为一个式子的平方； (2)请仿照上述方法，化简：； (3)若，其中，且，，均为正整数，求的值． 题型12同类二次根式 1．下列各式中，化简后能与合并的是（   ） A． B． C． D． 2．写出一个可以与合并的二次根式：_____． 3．先化简，再求值． ，其中，． 题型13二次根式的混合运算 1．的值在两个连续整数，之间，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．计算的结果为________． 3．计算：． 题型14已知字母的值，化简求值 1．已知，则代数式的值为（   ） A．14 B．30 C．35 D．48 2．若，则的值为______． 3．若，求下列各式的值： (1)； (2)． 题型15已知条件式，化简求值 1．已知，则代数式的值为（    ） A． B． C． D． 2．已知，则的值为_________． 3．【阅读材料】小华在学习二次根式的时候，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如： ； ． (1)【类比归纳】请你仿照上面的方法将化成另一个式子的平方； (2)【类比归纳】若，其中，且a，m，n均为正整数，求的值． 题型16比较二次根式的大小 1．比较大小：与，正确的是（   ） A．B． C． D．不确定 2．比较大小：________． 3．判断大小并说明理由 (1)用“＝”“＞”或“＜”填空：_______________． (2)由（1）中各式猜想与的大小，并说明理由． 题型17二次根式的应用 1．如图，在长方形内，正方形和正方形的面积分别为20和5，则长方形的面积为（   ） A．27 B．30 C．32 D．40 2．若三角形三边长分别为，记，则三角形的面积为，此公式被称为海伦－秦九韶公式，请你利用海伦－秦九韶公式计算以下的面积为______． 3．有一块长方形木板，木工甲采用如图的方式，将木板的长增加（即），宽增加（即）．得到一个面积为的正方形． (1)求长方形木板的面积； (2)木工乙想从长方形木板中裁出一个面积为，宽为的长方形木料，请通过计算说明木工乙的想法是否可行． 进阶练习◆培优 一、单选题 1．下列式子中，属于最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 2．已知n是正整数，是整数，则n的最小值为（   ） A．1 B．2 C．5 D．18 3．若，则的结果是（   ） A． B． C． D． 4．伽利略在比萨斜塔上做了“两个铁球同时落地”的实验，物理学把这一运动称为“自由落体运动”，物体在做自由落体运动时，下落时间（s）和下落高度（m）之间满足关系式，其中（不考虑空气阻力），当物体从高处做自由落体运动时，下落的时间介于（   ） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 5．在图示的方格中，横向、纵向及对角线方向上的三个实数相乘得出的结果都一样，则两个空格中的实数之积为（   ） 1 3 2 6 A． B． C．6 D． 二、填空题 6．计算：__________． 7．当时，二次根式的值为_____ ． 8．计算：___________；___________． 9．若与最简二次根式能合并，则___________． 10．如果，那么的值是_________． 三、解答题 11．阅读与思考 下面是小颖同学数学笔记中的内容，请认真阅读并完成相应的任务． 构造和差对偶式解决复杂代数问题对偶法，是一种通过发现和构造在代数结构上具有某种对称关系的一对或者一组式子，然后对这些式子进行恰当的运算进而获得结论的数学方法．有时，我们可以根据问题中代数式的结构，构造形如和的和差对偶形式．具体探究如下： 探究：例题：已知，求的值． 解：我们从这个式子的结构出发，构造（为实数）的对偶式． ． 应用：…… 任务： (1)材料中的例题解答过程中体现的一个数学思想是___________． A．分类讨论思想    B．转化思想    C．数形结合思想 (2)已知，请根据材料中构造和差对偶式的思路，求的值． (3)已知，求的值． 12．如图正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，在如图的网格格点处取，，三点，使，，． (1)在图中画出满足条件的； (2)点到线段的距离为________． 13．下面是博学小组的学习笔记，请认真阅读，并完成相应的任务． 在实数的运算中，灵活运用多种方法，会给运算带来方便．比如：运用公式法，整体代入法等． 例：计算，可以用公式来进行运算．即： ． 例：已知，求代数式的值． 解：由得：，所以，所以，所以，整体代入得：． 任务： (1)已知，求代数式 的值； (2)计算： 14．比较两个数的大小，我们常采用作差或作商的方法，其实有时候用“平方法”来比较大小也会取得很好的效果．例如，比较和的大小，我们可以把和分别平方．，，则，． 阅读以上材料，解决下面问题： (1)已知，，则_______（填写“”“”或“”）． (2)比较，的大小，并说明理由． (3)判断，（，且为正整数）的大小，并说明理由． 15．小明同学每次回家进入电梯间时，总能看见如图所示的提示“高空抛物害人害己”．为进一步研究高空抛物的危害，小明请教了物理老师，得知高空抛物下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足（不考虑风速的影响，，） (1)已知小明家住21层，每层的高度近似为3m，假如从小明家坠落一个物品，求该物品落地的时间；（结果保留根号） (2)小明查阅资料得知，伤害无防护人体只需要64焦的动能，高空抛物动能（焦）物体质量（千克）高度（米），某质量为0.1千克的玩具在高空被抛出后，最少经过几秒落地就可能会伤害到楼下的行人? 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01二次根式期末复习讲义 题型全归纳 题型1二次根式的识别................................................................................... 题型2求二次根式中的参数.......................................................................... 题型3二次根式有意义的条件...................................................................... 题型4求二次根式的值.................................................................................. 题型5利用二次根式的性质化简................................................................... 题型6最简二次根式的判断........................................................................... 题型7化为最简二次根式............................................................................... 题型8已知最简二次根式求参数................................................................... 题型9二次根式的乘除法............................................................................... 题型10分母有理化......................................................................................... 题型11复合二次根式的化简.......................................................................... 题型12同类二次根式...................................................................................... 题型13二次根式的混合运算.......................................................................... 题型14已知字母的值，化简求值.................................................................. 题型15已知条件式，化简求值...................................................................... 题型16比较二次根式的大小.......................................................................... 题型17二次根式的应用................................................................................. 知识点速记 一、二次根式定义 形如的式子叫二次根式 必备条件：带根号、被开方数非负数 二、二次根式有意义的条件 有意义:a≥0 有意义：a≥0且b≠0 有意义： a≥0,b>0) 3、 二次根式三大性质（必考） ）2=a(a≥0）； =｜a｜=； =·(a≥0,b≥0); =(a≥0,b>0)。 四、最简二次根式标准 被开方数不含分母 被开方数不含能开得尽方的因数或因式 根号内无小数、无分数 五、同类二次根式 化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式才能合并、加减运算 六、二次根式四则运算 加减法 先化简→找同类二次根式→系数相加减，根号部分不变 乘除法 乘法：·=(a≥0,b≥0)，结果化为最简 除法：= (a≥0,b>0) 系数乘系数，根式乘根式，最后化最简 混合运算 先乘方开方→再乘除→最后加减；有括号先算括号可用平方差、完全平方公式简便计算 7、 常见易错点 ≠a,一定是|a| 根号内负数无意义 不是同类二次根式不能直接合并 运算结果必须化成最简二次根式 常考题型◆精讲 题型1二次根式的识别. 1．下列式子中，是二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次根式满足的两个条件：根指数为2，被开方数为非负数，逐一判断选项即可. 【详解】解：选项A中，根指数为2，被开方数，符合二次根式定义； 选项B中，被开方数，二次根式无意义，不符合要求； 选项C中是三次根式，根指数为3，不符合要求； 选项D中是整式，不含二次根号，不符合要求. 2．下列是二次根式的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次根式的定义判断各选项的被开方数是否恒为非负数即可解答． 【详解】解：选项A中被开方数，即不是二次根式； 选项B中a的符号不确定，当时被开方数为负数，即不一定是二次根式； 选项C中，即，被开方数恒为非负数，符合二次根式定义，故 选项C是二次根式； 选项D中，当时，，被开方数为负数，故不一定是二次根式． 3．解答下列各题： (1)下列各式不是二次根式的是（    ） A．    B．    C．     D． (2)当满足 时，二次根式在实数范围内有意义． (3)当满足 时，在实数范围内有意义． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据二次根式“被开方数非负”的定义，逐一判断选项； （2）根据二次根式有意义的条件，列不等式求解； （3）根据分式有意义（分母不为0）和二次根式有意义（被开方数非负）的条件，列不等式求解． 【详解】（1）解：，则是二次根式； 是二次根式； ，则不是二次根式； ，则是二次根式． 故选． （2）解：在实数范围内有意义， ，即． （3）解：在实数范围内有意义， 则，， 即， 解得． 题型2求二次根式中的参数 1．若二次根式有意义，则正整数的值是（   ） A．1 B．0 C．2 D．3 【答案】A 【分析】先根据二次根式有意义的条件求的取值范围，再取正整数解即可． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴，解得， ∵为正整数， ∴． 2．若二次根式，则_______． 【答案】 【分析】将等式两边同时平方，转化为一元一次方程求解，再验证二次根式有意义的条件即可得到结果． 【详解】解：对两边同时平方， 得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为，得， 验证：当时，，满足二次根式有意义的条件． 3．若，则的平方根． 【答案】 【分析】分式值为零的条件是分子等于零且分母不为零，根据条件求出的值． 【详解】解：若，其中， 则， 即， 由，解得：（舍去） 由，解得：， ， 的平方根为， 故答案是：． 【点睛】本题考查零分式值为零的条件及平方根的性质，解题的关键是：分母不为零的条件不能少． 题型3二次根式有意义的条件 1．若二次根式有意义，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次根式有意义的条件和一元一次不等式，根据二次根式被开方数为非负数，列不等式求解即可得到的取值范围． 【详解】解：由题可知， 解得：． 2．已知有理数，满足，则的算术平方根是___________． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的非负性、解一元一次方程以及代数式的化简与求值，由二次根式的非负性得出的值，进而求出的值，再将，的值代入即可求出． 【详解】解：由二次根式的非负性可知，解得， ， ， 解得， ． 3．计算求值： (1)已知a，b为实数，且，求a，b的值． (2)已知实数m满足，求的值． 【答案】(1)， (2)2025 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件是正确解答的关键． （1）根据二次根式有意义的条件可得出的值，再根据非负数的和为0得出的值即可； （2）根据二次根式有意义的条件可得的取值范围，再根据绝对值的定义将原式化为，两边平方即可． 【详解】（1）解：（1）和均有意义， 且， 即且， ， 当时，， 可得， ，即， ，； （2）有意义， ， ， 因此，可变为， 即， ， 即， 的值是2025． 题型4求二次根式的值 1．当时，二次根式的值为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【详解】解：当时，． 2．当时，二次根式的值是______． 【答案】 【详解】解：当时，. 3．计算：． 【答案】9 【分析】本题主要考查实数的混合运算，涉及到绝对值、二次根式化简以及负整数指数幂，熟练掌握相关运算法则并正确求解是解答的关键． 先计算绝对值、二次根式、负整数指数幂，其中负整数指数幂根据计算，再加减运算即可求解． 【详解】解： 题型5利用二次根式的性质化简 1．下列式子错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：选项，左边，右边，， 等式错误，符合题意； 选项，左边，右边，左边右边， 等式正确，不符合题意； 选项，左边右边， 等式正确，不符合题意； 选项，左边右边， 等式正确，不符合题意． 2．已知实数在数轴上对应的点如图所示，则___________． 【答案】1 【分析】由数轴可得，即；再根据绝对值、二次根式的性质化简，然后再运算即可． 【详解】解：由数轴可得：， ∴， ∴． 3．用长为的铁丝围成一个等腰三角形，底边长为，一腰长为． (1)写出表示y与x的函数关系的式子，指出自变量及其取值范围； (2)当等腰三角形的底边长为时，求出该等腰三角形的面积． 【答案】(1)，自变量为，其取值范围是 (2) 【分析】（1）根据等腰三角形的周长腰长底边长，可得出y与x的函数关系式，根据，可求出自变量及其取值范围； （2）把自变量的值代入函数关系式，求出，根据三线合一和勾股定理求出底边上的高，然后利用三角形面积公式可得答案． 【详解】（1）解：由已知，得，，． ∴， ， ∴， ∴ ∴y关于x的函数表达式是，自变量x的取值范围是； （2）解：当时，， 如图，，作于H， ∴， ∴， ∴等腰三角形的面积是． 题型6最简二次根式的判断 1．下列是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据最简二次根式的定义，判断每个选项是否满足“被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数或因式”两个条件，即可得到答案. 【详解】解：最简二次根式需满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式； 选项A，，被开方数是小数，不是最简二次根式； 选项B，，被开方数含分母，不是最简二次根式； 选项C，，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式； 选项D，的被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数，满足最简二次根式的条件. 故选：D. 2．下列各式：①，②，③，④，⑤中，最简二次根式有____________个． 【答案】2 【分析】根据最简二次根式的定义，即被开方数不含分母，且不含能开得尽方的因数或因式，逐一判断各二次根式是否符合条件即可． 【详解】①：被开方数不含分母，且不含能开得尽方的因数，为最简二次根式； ②，不是最简二次根式； ③，不是最简二次根式； ④，不是最简二次根式； ⑤：被开方数不含分母，且不含能开得尽方的因式，故为最简二次根式． 综上，最简二次根式有个． 3．在下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是？对不是最简二次根式的式子进行化简． 【答案】是最简二次根式；其余的式子都不是最简二次根式，化简见解析 【分析】本题考查最简二次根式的定义．最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是． 【详解】解： 是最简二次根式 题型7化为最简二次根式 1．下列各式中，错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次根式化简、平方根与立方根的计算，对各选项逐一计算即可找出错误的选项． 【详解】解：选项A．，计算错误； 选项B．，计算正确； 选项C．，，计算正确； 选项D．，，计算正确． 2．如图，在中，，垂直平分，若，，则的长为_____． 【答案】 【分析】先结合勾股定理得，又因为垂直平分，得，，最后由勾股定理列式计算，即可作答． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵垂直平分， ∴， 则， ∴． 3．如图，在离水面高度为的岸上处（米），有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长为，此人以1米/秒的速度收绳，4秒后船移动到点的位置，问船向岸边移动了多少米？（假设绳子一直保持是直的，结果保留根号） 【答案】米 【分析】利用勾股定理求出的长，进而求出的长即可得到答案． 【详解】解：由题意得，米，， 在中，由勾股定理得米， 在中，由勾股定理得米， ∴米， 答：船向岸边移动了米． 题型8已知最简二次根式求参数 1．若最简二次根式能与合并，则a的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】A 【分析】先化简，再根据可合并的最简二次根式是同类二次根式求解． 【详解】解：， ∵最简二次根式能与合并， ∴． 2．若是最简二次根式，则正整数n的值可以是_____（写出一个符合条件的即可）． 【答案】1（答案不唯一） 【分析】根据最简二次根式的定义，得到被开方数不含能开得尽方的因数，由此确定正整数的取值，写出一个符合条件的结果即可． 【详解】解：已知是最简二次根式，为正整数， 分解得， 因此不能含有能开得尽方的因数，即不含因数和，且本身不含平方因数． 取符合条件的正整数， 此时，是最简二次根式，符合要求． 3．已知最简二次根式与是同类二次根式，求的值． 【答案】1 【分析】根据最简二次根式和同类二次根式的定义求得a，b的值，再代入计算即可； 【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴， 解得：， ∴（a+b）a＝（0+2）0＝1； 【点睛】本题考查了最简二次根式的定义： 被开方数的因数是整数，字母因式是整式， 被开方数不含能开得尽方的因数或因式；还考查了二元一次方程组和零指数幂；掌握最简二次根式的定义是解题关键． 题型9二次根式的乘除法 1．估算的值在（    ） A．3与4之间 B．4与5之间 C．5与6之间 D．6与7之间 【答案】B 【分析】先根据二次根式的乘法运算法则化简原式，再估算的取值范围，由此即可得． 【详解】解：， ∵， ∴，即， ∴， 即． 2．计算：______． 【答案】 【详解】解：． 3．计算：． 【答案】 【分析】根据二次根式的乘除运算法则，分别计算式子中的除法、乘法和二次根式的化简，再进行加减运算． 【详解】解： ． 题型10分母有理化 1．将分母有理化的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解： 对进行分母有理化，需给分子分母同乘， ． 2．若b，c分别为直角三角形两条直角边，且b，c满足（其中b，c为有理数），则该直角三角形的斜边长为______． 【答案】 【分析】先对等式左边进行分母有理化，整理后根据为有理数得到对应系数相等，解方程组求出两条直角边的长，再利用勾股定理计算斜边长即可． 【详解】解： 将上述结果代入原等式得： 整理得： 因为为有理数，为无理数， 因此等式两边对应系数相等，可得方程组： 化简第一个方程得， 将该式与相加得， 解得， 将代入， 解得， 因为是直角三角形的两条直角边，根据勾股定理，斜边长为： 3．定义：若两个二次根式满足，且是有理数，则称与是关于的共轭二次根式． (1)若与是关于的共轭二次根式，则___________； (2)若与是关于4的共轭二次根式，求的值； (3)若与是关于24的共轭二次根式，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查的是新定义的含义，二次根式的乘法与除法运算； （1）由新定义可得，再计算即可； （2）由新定义可得，再计算即可； （3）由新定义可得，再进一步计算即可； 【详解】（1）解：， ∴； （2）解：， ； （3）解：与是关于24的共轭二次根式， ． ． 题型11复合二次根式的化简 1．满足不等式的整数m的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】此题考查了无理数的估算，完全平方公式，二次根式的性质，首先利用完全平方公式得到，然后利用二次根式的性质化简得到，然后计算其近似值，确定整数m的范围． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴； ∵， ∴， ∴； ∴整数m的值为1或2或3，共3个． 故选：B． 2．化简：____________；____________． 【答案】 【分析】由二次根式性质、分母有理化、完全平方公式求解即可． 【详解】解：； ． 3．【方法理解】在学习二次根式时，我们可以利用完全平方公式将部分含根号的式子化为完全平方式， 例如：； 【类比应用】 (1)请仿照上述方法，将化为一个式子的平方； (2)请仿照上述方法，化简：； (3)若，其中，且，，均为正整数，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据题干中的方法变形即可； （2）把变形为即可求出答案； （3）求出，或即可求出答案． 【详解】（1）解：； （2）解： （3）解： ， 为正整数， ∵，且，，均为正整数， ∴或， 或 ∴当时，； 当时，， 或． 题型12同类二次根式 1．下列各式中，化简后能与合并的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】能与合并的二次根式是同类二次根式，即化简为最简二次根式后被开方数为，将各选项化简后判断即可． 【详解】解：同类二次根式化简后被开方数相同才可合并 对各选项依次化简： 选项A，，被开方数为，不能与合并； 选项B，，被开方数为，能与合并； 选项C，，被开方数为，不能与合并； 选项D，，被开方数为，不能与合并； 2．写出一个可以与合并的二次根式：_____． 【答案】（答案不唯一） 【分析】可以合并的二次根式是同类二次根式，先将化为最简二次根式，再写出一个被开方数相同的同类二次根式即可． 【详解】解： 因此只要被开方数为的二次根式都符合要求，例如（答案不唯一）． 3．先化简，再求值． ，其中，． 【答案】； 【分析】利用完全平方公式将原式化简，然后再代入计算即可． 【详解】 ， 当，时， 原式 ． 题型13二次根式的混合运算 1．的值在两个连续整数，之间，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先结合二次根式的混合运算法则进行计算，再比较得出计算值的取值范围即可找到符合条件的两个连续整数，． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， 即， 两个连续整数，分别为和， ，选项符合题意． 2．计算的结果为________． 【答案】2 【分析】因为符合平方差公式的结构，所以可采用平方差公式进行计算． 【详解】原式． 3．计算：． 【答案】 【详解】解：原式 ． 题型14已知字母的值，化简求值 1．已知，则代数式的值为（   ） A．14 B．30 C．35 D．48 【答案】B 【分析】因为已知，所以先对其进行变形，求出的值，同时推导的整式关系式，用于降次．如果得到的整式关系式，那么利用该关系式对进行降次化简，最后将降次后的结果与的计算结果合并，代入求值． 【详解】解：已知 ， 移项，得 ， 两边平方，得， 展开得， ∴ ， ∴， ∴ ． 对 分母有理化， ∴ ∴ 原式． 2．若，则的值为______． 【答案】2 【分析】根据得出，，进而代入代数式，即可求解． 【详解】解：∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴，． ∴． 3．若，求下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1)28 (2) 【分析】（1）先根据已知求得，再代入求解即可； （2）先根据已知求得，再代入求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴ （2）解：∵，， ∴， ∴． 题型15已知条件式，化简求值 1．已知，则代数式的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先对二次代数式配方变形，简化代入计算即可求解． 【详解】解： 又∵ ∴ 将代入变形后的式子得原式． 2．已知，则的值为_________． 【答案】 【分析】利用完全平方公式进行变形，然后代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴，代入得， ． 3．【阅读材料】小华在学习二次根式的时候，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如： ； ． (1)【类比归纳】请你仿照上面的方法将化成另一个式子的平方； (2)【类比归纳】若，其中，且a，m，n均为正整数，求的值． 【答案】(1) (2)32或16 【分析】（1）将式子转化为，即可得出答案； （2）先将展开得到，从而得到，，结合，且a，m，n均为正整数，即可得出答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： 由题意得， ， ，， ，且a，m，n均为正整数， ∴m，n的值可能为15，1或5，3， ∴当、时，， 则； 当、时，， 则； 综上，的值为32或16． 题型16比较二次根式的大小 1．比较大小：与，正确的是（   ） A． B． C． D．不确定 【答案】B 【分析】两个数都是正数，可通过比较平方的大小判断原数大小，正数的平方越大，原数越大． 【详解】解： ， ，，， ∵， ∴． 2．比较大小：________． 【答案】 【分析】对于两个正无理数，可利用平方法比较大小，两个正数比较大小，平方后结果更大的原数也更大，分别计算两个数的平方，比较平方结果即可得到原数的大小关系. 【详解】解∵，，， . 3．判断大小并说明理由 (1)用“＝”“＞”或“＜”填空：_______________． (2)由（1）中各式猜想与的大小，并说明理由． 【答案】(1)＞；＞；＝ (2)，见解析 【分析】（1）根据二次根式的乘法法则、算术平方根解题即可．（2）根据完全平方公式、算术平方根、偶次方的非负性解题即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴． ∵，， ∴． ∵，， ∴． （2）解：，理由如下： 当时，， ， ． 【点睛】本题主要考查二次根式的乘法、算术平方根、完全平方公式、偶次方的非负性，熟练掌握二次根式的乘法法则、算术平方根、完全平方公式、偶次方的非负性是解决本题的关键． 题型17二次根式的应用 1．如图，在长方形内，正方形和正方形的面积分别为20和5，则长方形的面积为（   ） A．27 B．30 C．32 D．40 【答案】B 【分析】根据正方形的面积公式可求出两个正方形的边长，进而可求出长方形的长和宽，再由长方形的面积公式可得答案． 【详解】解：∵正方形和正方形的面积分别为20和5， ∴正方形和正方形的边长分别为， ∴， ∴长方形的面积． 2．若三角形三边长分别为，记，则三角形的面积为，此公式被称为海伦－秦九韶公式，请你利用海伦－秦九韶公式计算以下的面积为______． 【答案】 【分析】根据图形确定三角形的三边长，利用公式求出半周长的值，再将及三边长代入海伦－秦九韶公式进行计算，最后化简二次根式即可． 【详解】解：由图可知，的三边长分别为，，， 令，，，则， 代入海伦－秦九韶公式 ． 3．有一块长方形木板，木工甲采用如图的方式，将木板的长增加（即），宽增加（即）．得到一个面积为的正方形． (1)求长方形木板的面积； (2)木工乙想从长方形木板中裁出一个面积为，宽为的长方形木料，请通过计算说明木工乙的想法是否可行． 【答案】(1) (2)木工乙的想法可行，理由见解析 【分析】（1）先求出正方形的边长，然后再求出长方形的长和宽，再计算长方形的面积即可； （2）根据长方形的面积公式求出需要裁出的长方形的长，然后比较大小即可． 【详解】（1）解：∵长增加（即），宽增加（即），得到一个面积为的正方形． ∴正方形的边长为， ∴，， ∴长方形木板的面积为； （2）解：木工乙的想法可行，理由如下： ∵要从长方形木板中裁出一个面积为，宽为的长方形木料， ∴裁出的长方形的长为， 由（1）得长方形的长为，宽为， ，， ， ∴，， ∴可以裁出所求的长方形木料，即木工乙的想法可行． 进阶练习◆培优 一、单选题 1．下列式子中，属于最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】最简二次根式需满足两个条件：被开方数不含能开得尽方的因数或因式，被开方数不含分母； 【详解】解：A：，被开方数含能开得尽方的因数，∴A不是最简二次根式； B：满足最简二次根式的两个条件，∴B是最简二次根式； C：的被开方数是小数，∴C不是最简二次根式； D：，被开方数含能开得尽方的因数，∴D不是最简二次根式． 2．已知n是正整数，是整数，则n的最小值为（   ） A．1 B．2 C．5 D．18 【答案】B 【分析】根据二次根式为整数的条件，即被开方数为完全平方数，即可求出最小正整数． 【详解】解：，且是整数，n是正整数． 是整数，即为完全平方数． 当取最小正整数时，，此时． 因此的最小值为． 3．若，则的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次根式有意义的条件可确定的值，然后将的值代入已知式子中，即可确定的值，代入到所求代数式中，根据有理数的乘方运算法则计算即可． 【详解】解：根据二次根式有意义的条件可得，，， ，， ， ，即， ， ． 4．伽利略在比萨斜塔上做了“两个铁球同时落地”的实验，物理学把这一运动称为“自由落体运动”，物体在做自由落体运动时，下落时间（s）和下落高度（m）之间满足关系式，其中（不考虑空气阻力），当物体从高处做自由落体运动时，下落的时间介于（   ） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 【答案】A 【分析】将已知的h和g代入公式得到t的表达式，再利用估算算术平方根的方法确定t的范围即可 【详解】解：∵ ，， 代入公式 得： ， 又∵ ，，且 ， ∴ ，即 ， ∴ 介于和之间 5．在图示的方格中，横向、纵向及对角线方向上的三个实数相乘得出的结果都一样，则两个空格中的实数之积为（   ） 1 3 2 6 A． B． C．6 D． 【答案】C 【分析】先根据已知完整行的三个数，求出所有横向纵向对角线的共同乘积，再分别计算两个空格内的实数，最后计算两实数的乘积，用到二次根式的乘除运算． 【详解】∵横向三个数乘积相同，第二行三个数已知完整， ∴所有方向的共同乘积为 ， 设第一行第三格的数为a，第三行第一格的数为b， ∵第一行乘积等于共同乘积， ∴， 解得：， ∵第三行乘积等于共同乘积， ∴， 解得：， ∴两个空格中的实数之积为． 二、填空题 6．计算：__________． 【答案】/ 【详解】解：． 7．当时，二次根式的值为_____ ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了二次根式的求值等知识点，掌握二次根式的计算成为解题的关键． 将代入二次根式，然后求解即可． 【详解】解：当时，． 故答案为：2． 8．计算：___________；___________． 【答案】 【分析】根据二次根式和（）的性质分别计算即可. 【详解】解：； . 9．若与最简二次根式能合并，则___________． 【答案】2 【分析】能合并的二次根式是同类二次根式，同类二次根式的定义为：化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式．本题中已经是最简二次根式，因此令被开方数相等，即可求出． 【详解】解：与最简二次根式能合并， 与是同类二次根式， 根据同类二次根式的定义，可得． 10．如果，那么的值是_________． 【答案】 【分析】通过换元法，令，，（），将原方程中的用表示后代入等式，再通过配方将方程整理为三个平方项相加等于的形式，利用“非负数之和为则每一项均为”的性质求出的值，进而反推得到的值，最后计算的结果． 【详解】解：令，，（）， ∴，，， ∵， ∴， 移项整理得：， ， 即：， ∴， ∴， ∴，，， ∴． 三、解答题 11．阅读与思考 下面是小颖同学数学笔记中的内容，请认真阅读并完成相应的任务． 构造和差对偶式解决复杂代数问题对偶法，是一种通过发现和构造在代数结构上具有某种对称关系的一对或者一组式子，然后对这些式子进行恰当的运算进而获得结论的数学方法．有时，我们可以根据问题中代数式的结构，构造形如和的和差对偶形式．具体探究如下： 探究：例题：已知，求的值． 解：我们从这个式子的结构出发，构造（为实数）的对偶式． ． 应用：…… 任务： (1)材料中的例题解答过程中体现的一个数学思想是___________． A．分类讨论思想    B．转化思想    C．数形结合思想 (2)已知，请根据材料中构造和差对偶式的思路，求的值． (3)已知，求的值． 【答案】(1)B (2)86 (3)17 【分析】（1）根据转化思想解答即可； （2）仿照材料中的例题解答过程解答即可； （3）仿照材料中的例题解答过程解答即可． 【详解】（1）解：材料中的例题解答过程中体现的一个数学思想是转化思想； （2）解：我们从这个式子的结构出发，构造（为实数）的对偶式． ； （3）解：我们从这个式子的结构出发，构造（）的对偶式． ． 12．如图正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，在如图的网格格点处取，，三点，使，，． (1)在图中画出满足条件的； (2)点到线段的距离为________． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）借助网格，根据勾股定理画出合适的线段； （2）利用勾股定理的逆定理得出直角三角形，然后利用等面积法列出算式，最后利用二次根式的运算法则求解． 【详解】（1）解：如图所示即为所求， 由勾股定理得，，； （2）解：∵，，，且， ∴为直角三角形，， 利用等面积可得，点到线段的距离为． 13．下面是博学小组的学习笔记，请认真阅读，并完成相应的任务． 在实数的运算中，灵活运用多种方法，会给运算带来方便．比如：运用公式法，整体代入法等． 例：计算，可以用公式来进行运算．即： ． 例：已知，求代数式的值． 解：由得：，所以，所以，所以，整体代入得：． 任务： (1)已知，求代数式 的值； (2)计算： 【答案】(1) (2) 【分析】（）仿照题例解答即可求解； （）仿照题例解答即可求解； 本题考查了完全平方公式的应用，二次根式的化简及化简求值，看懂题意是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴原式； （2）解： ． 14．比较两个数的大小，我们常采用作差或作商的方法，其实有时候用“平方法”来比较大小也会取得很好的效果．例如，比较和的大小，我们可以把和分别平方．，，则，． 阅读以上材料，解决下面问题： (1)已知，，则_______（填写“”“”或“”）． (2)比较，的大小，并说明理由． (3)判断，（，且为正整数）的大小，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)，理由见解析 【分析】（1）先求出，再结合即可得； （2）先求出，再得出，结合即可得； （3）先求出，再计算可得，结合即可得． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∴， 又∵， ∴． （2）解：，理由如下： ∵，， ∴， ， 又∵，，且， ∴， ∴，即， 又∵， ∴． （3）解：，理由如下： ∵， ∴， ∵，， ∴， ， ∴ ， ∴， 又∵， ∴． 15．小明同学每次回家进入电梯间时，总能看见如图所示的提示“高空抛物害人害己”．为进一步研究高空抛物的危害，小明请教了物理老师，得知高空抛物下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足（不考虑风速的影响，，） (1)已知小明家住21层，每层的高度近似为3m，假如从小明家坠落一个物品，求该物品落地的时间；（结果保留根号） (2)小明查阅资料得知，伤害无防护人体只需要64焦的动能，高空抛物动能（焦）物体质量（千克）高度（米），某质量为0.1千克的玩具在高空被抛出后，最少经过几秒落地就可能会伤害到楼下的行人? 【答案】(1) (2)最少经过3.5776秒落地就可能会伤害到楼下的行人 【分析】（）先计算出楼的高度，再代入公式计算即可； （）先计算玩具最低落下的高度，再求出高空抛物下落的时间即可． 【详解】（1）解：∵小明家住21层，每层的高度近似为3m， ∴， ∴， ∴该物品落地的时间为． （2）解：该玩具最低的下落高度为， ∴． ∴最少经过3．5776秒落地就可能会伤害到楼下的行人． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $