专题09矩形期末复习讲义（13大核心题型+知识点全归纳+进阶练习）-2025-2026学年浙教版数学八年级下学期.

专题09矩形期末复习讲义 期末复习◆目标 1. 精准掌握矩形的定义、核心性质与判定定理，明晰矩形与普通平行四边形的从属关系与性质差异； 2. 熟练运用矩形性质完成角度、边长、对角线的计算与几何证明，规范书写几何推理过程； 3. 突破易错误区，熟练解决矩形折叠、动态几何、平面直角坐标系综合等期末压轴基础题型。 核心题型◆归纳 题型1矩形性质理解 题型2利用矩形的性质求角度 题型3根据矩形的性质求线段长 题型4根据矩形的性质求面积 题型5利用矩形的性质证明 题型6求矩形在坐标系中的坐标 题型7矩形与折叠问题 题型8证明四边形是矩形 题型9矩形的判定定理理解 题型10添一条件使四边形是矩形 题型11根据矩形的性质与判定求角度 题型12根据矩形的性质与判定求线段长 题型13根据矩形的性质与判定求面积 题型14进阶练习 重点知识◆梳理 知识点一、矩形定义 有一个内角为直角的平行四边形，叫做矩形。 几何语言： ∵ 四边形ABCD是平行四边形， ∠A=90° ∴ 四边形ABCD为矩形 知识点二、矩形性质 1. 具有平行四边形通用性质  边：对边平行且相等，即AB∥CD，AD∥BC，AB=CD，AD=BC；  角：对角相等，邻角互补， 对角线：对角线互相平分，即对角线交点O满足OA=OC，OB=OD。 2.矩形特有性质 矩形的四个内角均为直角 矩形对角线相等且互相平分 是中心对称图形和轴对称图形 知识点三、矩形判定定理 判定1：定义法 文字定理：有一个角是直角的平行四边形是矩形。 几何语言： ∵ 四边形ABCD是平行四边形，∠ A=90° ∴ 四边形ABCD是矩形 判定2：角度判定法 文字定理：有三个内角是直角的四边形是矩形。 适用场景： ∵∠A=∠B=∠C=90°∴ 四边形ABCD是矩形 判定三：对角线判定法（平行四边形基础） 文字定理：对角线相等的平行四边形是矩形。 几何语言∵ 四边形ABCD是平行四边形，AC=BD ∴ 四边形ABCD是矩形 知识点四、矩形拓展结论 定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。（证明过程如下图） 推导依据：由矩形对角线相等且互相平分得出上述结论，为矩形核心衍生考点★ 延伸结论： 1. 直角三角形斜边中线可将原三角形分割为两个等腰三角形； 2. 该定理仅适用于直角三角形，普通三角形不成立。 知识点五、矩形面积、周长 1.面积公式：S=长×宽；周长公式：C=2（长+宽） 2.矩形两条对角线相交，将矩形分割成四个全等的等腰三角形； 3.若矩形对角线夹角为60°或120°，图形中必然存在等边三角形 知识点六、易错点汇总 性质混淆：普通平行四边形对角线仅互相平分，不相等；矩形对角线既平分又相等； 定理误用：斜边中线定理专属直角三角形，不可套用在普通三角形中； 判定缺步：用对角线证矩形时，必须先证四边形是平行四边形，缺一不可； 概念混淆：矩形仅有2条对称轴，正方形有4条，不可混淆； 角度误区：矩形所有内角固定为90°，无锐角、钝角。 题型解析◆精准备考 题型1矩形性质理解 1．矩形是特殊的平行四边形，下面是矩形具有而平行四边形不具有的性质的是（   ） A．矩形的对角线互相平分 B．矩形的对边相等 C．矩形的对边平行 D．矩形的四个角相等 【答案】D 【分析】本题考查了矩形与平行四边形的性质，根据两者共有的性质和矩形特有的性质逐一判断即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：、∵矩形的对角线互相平分，平行四边形的对角线互相平分， ∴矩形与平行四边形都具有，不符合题意； 、∵矩形的对边相等，平行四边形的对边相等， ∴矩形与平行四边形都具有，不符合题意； 、∵矩形的对边平行，平行四边形的对边平行， ∴矩形与平行四边形都具有，不符合题意； 、∵矩形是特殊的平行四边形，除具备平行四边形的所有性质外，还具有四个角均为直角（即四个角相等）的性质， ∴矩形具有而平行四边形不具有，符合题意； 故选：． 2．如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，点的坐标为，点的坐标为，点在轴上．直线经过点且平分矩形的周长，则直线的解析式为__________． 【答案】 【分析】此题考查了待定系数法求一次函数解析式和矩形的性质等知识．先求出矩形的对称中心为，根据过矩形对称中心的直线平分矩形的周长，再利用待定系数法求出直线的解析式即可． 【详解】解：∵四边形是矩形，点的坐标为，点的坐标为，点在轴上． ∴矩形的对称中心为， 设直线的解析式为，把和代入得到， 解得 ∴直线的解析式为， 故答案为： 3．在的方格纸中，点都在格点上，按要求画图：（保留画图痕迹） (1)在图1中为内一格点（仅用无刻度的直尺），，为边上的点，使四边形是平行四边形． (2)在图2中仅用无刻度的直尺，过点作的平行线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【详解】（1）解：如图，找到格点 点，连接与交于点，连接与交于点，四边形即为所求； 根据可得到，， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴， 根据格点性质可知， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴四边形是平行四边形． （2）解：如图，找到两点，连接与交于点，即为所求； 利用格点图的性质易知四边形为矩形， ∴， 又通过格点图特点易知为中点， ∴为三角形的中位线， ∴． 题型2利用矩形的性质求角度 1．如图，点是矩形外一点，且在上方，连接，点在边上，连接交边于点F．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的性质，三角形的外角性质，先由矩形得出，然后结合三角形的外角性质列式，代入数值进行计算，即可作答． 【详解】解：∵四边形是矩形， ，， ，， ， ， 故选：A． 2．如图，在矩形中，、相交于点O，平分分别交、于点F、E，若，则的度数为________． 【答案】 【分析】本题考查矩形的性质，三角形外角性质，掌握相关知识是解决问题的关键．因为在矩形中，所以，因为平分，所以，因为，，由矩形的性质可知，利用三角形外角的性质即可求． 【详解】解：∵在矩形中， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 由矩形的性质可知， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 3．如图，矩形中，对角线与交于点，若．求的度数．    【答案】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，解题关键是熟练掌握矩形的对角线相等且相互平分的性质． 先由矩形的对角线相等且互相平分推知，结合三角形外角的性质和等腰三角形的性质即求解． 【详解】解：四边形是矩形，对角线与交于点， ，，，， ∴． ． ，． ， ． ． 题型3根据矩形的性质求线段长 1．如图，在矩形中，，，以点为圆心、的长为半径画弧，交于点，再分别以点，为圆心、大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，则的长为（   ） A．4 B．5 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，角平分线的定义，基本作图，熟练掌握以上知识点是关键．连接，可证，得到，再根据勾股定理得到，由线段和差得到，在中，利用勾股定理建立方程求出即可得到的长． 【详解】解：如图，连接， 由作图步骤可知，是的平分线， ， 在和中， ， ， ， 在中，，， ， ， 设，则， 由勾股定理得，， 解得，即． 2．如图，矩形的对角线交于点O， ， ，则________．   【答案】12 【分析】证明为等边三角形，进而得到，即可． 【详解】解：∵矩形， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴． 3．如图，点E是矩形的边上的一点，且． (1)F是上一点，且满足，请用尺规作图法作出点F；（保留作图痕迹，不要求写作法） (2)在（1）的条件下，若，连接，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查尺规作图—作角平分线，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）根据等底等高的两个三角形的面积相等，作的角平分线交于点，即可； （2）连接，矩形的性质结合勾股定理求出的长，进而求出的长，证明，得到，设，则，勾股定理列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：如图，作的平分线交于F，F即为所求； （2）连接， ∵点E是矩形的边上的一点， ∴，，， ∴， ∴， 由（1）知平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得， 即． 题型4根据矩形的性质求面积 1．如图，长方形的面积为，那么三角形的面积是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查矩形的性质及三角形面积，熟练掌握矩形的性质是解题关键．连接，根据矩形的性质得出，由图可知，利用三角形面积公式即可得答案． 【详解】解：如图，连接， ∵长方形的面积为， ∴， 由图可知， ∴，即， 解得：． 故选：A． 2．如图，矩形中，，对角线和相交于点O，且，过点D作的平行线，过点C作的平行线，两平行线交于点E，那么四边形的面积是_________． 【答案】 【分析】证明出是等边三角形，得到，利用勾股定理求出，然后求出矩形的面积，得到，证明出四边形是平行四边形，进而求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形 ∴， ∵ ∴ ∴是等边三角形 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵， ∴四边形是平行四边形 ∴． 3．求图中阴影部分的面积（图中长度单位：米）． 【答案】平方米 【详解】解：米， 米， 平方米． 题型5利用矩形的性质证明 1．如图，在矩形中进行如下操作：①以点为圆心，长为半径作弧交于点，连接；②再以为圆心，长为半径作弧交于点，连接．下列结论不一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是理解作图过程，熟练运用矩形的性质解题．根据作图过程和矩形的性质可以证明，进而可得线段与线段的位置关系以及与的数量关系，进一步推导与，与的数量关系即可． 【详解】解：如图，连接， ∵矩形中，，，，， ∴， 由题意得，， ∴，，故A正确， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴，，故B、D正确． 无法证明；C不一定成立； 故选：C． 2．如图，点E为矩形的边上的一点，作于点F，且满足．对于下面四个结论：①；②的面积与的面积相等：③；④，所有正确的结论是______（只写序号）． 【答案】①③④ 【分析】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质等知识；熟练掌握矩形的性质，证明三角形全等是解题的关键．根据矩形的性质证明，得③正确；证明得出①正确；得出，④正确，过点B作于H，由三角形的面积公式可得，故②错误；即可得出结论． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，③正确； ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴，故①正确； ∴， ∴， ∴，故④正确； 过点B作于H， ∵， ∴， ∴， ∴，故②错误； 故答案为：①③④． 3．如图，在矩形中，点是边上一点，，于点． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)10 【分析】（1）证明，得到，即可得出结论； （2）设，则，根据勾股定理得出，即，求出，即可求出结果． 【详解】（1）证明：∵矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）解：设，则， 在中，根据勾股定理得：， 即， 解得：， ∴． 题型6求矩形在坐标系中的坐标 1．如图，矩形的三个顶点的坐标分别为．若直线平分矩形的周长，则b的值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接相交于点E，根据四边形是矩形，可得点E是的中点，即可求出，再将代入即可求出b的值． 【详解】解：连接相交于点E，如下图所示，    ∵， ∴轴， ∵四边形是矩形，相交于点E， ∴，点E是的中点， ∴，即， ∵直线平分矩形的周长， ∴直线经过点， ∴，解得， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质和一次函数，求出点E的坐标是解题的关键． 2．如图，四边形是矩形，其中点和点分别在轴和轴上，连接，点的坐标为，的平分线与轴相交于点，则点的坐标为__________．    【答案】 【分析】利用勾股定理求出，作于点E，如图，根据角平分线的性质可得，证明，推出，得到，设，利用勾股定理构建方程求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形，点的坐标为， ∴， ∴， 作于点E，如图， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在直角三角形中，根据勾股定理可得：， 即，解得， ∴点的坐标为； 故答案为：．    【点睛】本题考查了矩形的性质、角平分线的性质、全等三角形的判定和性质以及勾股定理等知识，熟练掌握相关图形的性质定理、构建方程是解题的关键． 3．如图，已知直线与直线相交于点C，分别交x轴于A、B两点．矩形的顶点D、E分别在直线上，顶点F、G都在x轴上，且点G与点B重合． (1)方程组的解是______； (2)求的面积； (3)求点E的坐标； (4)若矩形从B点出发，沿x轴的反方向平移2个单位长度，写出此时矩形与重叠部分的面积S的值． 【答案】(1) (2)36 (3) (4)20 【分析】本题考查一次函数的交点问题，解二元一次方程组，一次函数图象上点的坐标特征，三角形面积公式，掌握相关知识点是解题的关键． （1）解方程组即可； （2）根据（1）中方程组的解求得交点C的坐标，分别令直线的解析式中，求出x的值，从而得出点A、B的坐标，再结合点C的坐标利用三角形的面积公式即可求出的面积； （3）把代入直线的解析式即可求得D点的坐标为，然后把代入直线的解析式即可求得点E的坐标； （4）利用，根据三角形面积公式即可求解． 【详解】（1）解：， 得： ， 解得：， 把代入②得：， 解得：， 所以方程组的解是； 故答案为：； （2）解：由（1）可知交点C的坐标为． 令直线中，，则，解得， ∴； 令直线中，，则，解得， ∴． ∴． （3）解：∵点G与点B重合， ∴， ∵四边形是矩形， 把代入直线得， ∴， 把代入得，解得， ∴； （4）解：∵， ∴， 矩形从B点出发，沿x轴的反方向平移2个单位长度，此时矩形与重叠部分为五边形，如图， ∵， ∴， 当时，， 当时，， ∴， ∴． 题型7矩形与折叠问题 1．如图，在矩形中，，．是边上一点，将沿所在直线折叠，使得点恰好落在边上点处，则的长是（   ） A．4 B．5 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查矩形的性质、折叠的性质以及勾股定理的应用．关键是利用折叠的性质得到对应边相等，再结合勾股定理逐步计算线段长度．首先根据折叠的性质得出，；然后在中，利用勾股定理求出的长度，进而得到的长度；最后设，表示出的长度，在中运用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形，，， ∴，，； ∵将沿折叠，点落在边上的点处， ∴，； 在中，由勾股定理得： ， ∴； 设，则，， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：，即； 故选：B． 2．如图，在矩形中，为上一动点，为上一动点．将沿直线折叠，点B的对应点落在矩形的内部，将沿直线折叠，使点C的对应点落在射线上，当点到的距离为1时，的长为_____． 【答案】或 【分析】过作于，过作于，连接，设，由两次折叠性质得、，由到距离为1得．在、、中列勾股等式，化简得，进行求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， 设， 由折叠可得，，，，；，， 由图可得，，，， ∴， 如图，过作于，过作于，连接，则， ∴， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴，， 在中， 则 解得， ∵， ∴， 在中， 则 在中， 则， ∴ 解得． 【点睛】本题以矩形两次折叠为载体，融合折叠性质、勾股定理，通过设参建立方程求解，考查几何转化与代数运算能力，体现了数形结合、方程思想． 3．如图，将长方形沿着对角线折叠，使点落在处，交于点，，． (1)求的面积； (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用折叠的性质和平行线的性质证得，得到，设，则，，在中，由勾股定理求出的值，再由三角形的面积公式求出面积的值； （2）根据勾股定理和三角形面积公式可求的边上的高，再乘以2即可得到的长． 【详解】（1）解：由折叠可知，， 四边形是矩形， ，， ， ， ， 设，则，， 在中，由勾股定理得：即， 解得：， ； （2）解：在中，， 连接，交于， ，关于对称， ，， ， 故的长为． 题型8证明四边形是矩形 1．如图，工人师傅在做矩形零件的时候，为了确保四边形零件是矩形，除了要测量四边形的边长，还要测量四边形的对角线是否相等，其原理是（   ） A．对角线相等的四边形是矩形 B．两点之间，线段最短 C．对角线相等的平行四边形是矩形 D．两点确定一条直线 【答案】C 【分析】本题主要考查了矩形的判定，根据对角线相等的平行四边形为矩形，进行判断即可． 【详解】解：由题意，其中的道理是对角线相等的平行四边形为矩形． 故选：C ． 2．如图，在中，，，当______时，四边形是矩形． 【答案】10 【分析】本题考查了矩形的判定，解题的关键是掌握矩形的判定方法． 根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，证出即可． 【详解】解：当时， ， ， 四边形是矩形， 故答案为：10． 3．如图，中，是斜边的中线，延长到E，使，连接，，求证：四边形为矩形． 【答案】见解析 【分析】先由对角线互相平分证明四边形为平行四边形，再由直角即可证明为矩形． 【详解】证明：∵中，为斜边的中线， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形． 又∵， ∴平行四边形为矩形． 题型9矩形的判定定理理解 1．数学课上，老师让班里的学生判断一个四边形门框是否为矩形．下面是某合作小组的4位学生拟定的方案，其中正确的是（   ） A．测量对角线是否互相平分 B．测量两组对边是否分别相等 C．测量一组对角是否都为直角 D．测量三个角是否都为直角 【答案】D 【分析】根据矩形的判定定理，逐一分析各选项的方案是否能判定该四边形为矩形． 【详解】解：∵对角线互相平分的四边形是平行四边形，不一定是矩形，∴A选项错误； ∵两组对边分别相等的四边形是平行四边形，不一定是矩形，∴B选项错误； ∵一组对角为直角的四边形，另外两个内角和为，但这两个角不一定都是直角，无法判定为矩形，∴C选项错误； ∵四边形内角和为，若三个角为直角，则第四个角为，四个角都是直角的四边形是矩形，∴D选项正确； 故选：D． 2．如图，一个书架的两条侧边、上下底边的长度分别相等．为了检查该书架的四个角是否都是直角，小亮先用绳子连接一组对角的顶点，在绳子上记录一条对角线的长度，再连接另一组对角的顶点，检验两条对角线长度是否一致．检查过程中用到一个你学过的几何定理，请写出该定理的具体内容：_________________．    【答案】对角线相等的平行四边形是矩形，矩形的四个角都是直角 【分析】本题考查矩形的判定和矩形的性质．判断平行四边形为矩形是解题的关键． 根据矩形的判定方法和性质即可得出答案． 【详解】解：∵书架的两条侧边、上下底边的长度分别相等， ∴书架是平行四边形， ∵书架得对角线相等， ∴书架是矩形， ∴书架是四个角都是直角， 故答案为：对角线相等的平行四边形是矩形，矩形的四个角都是直角． 3．如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为，点B与点A关于x轴对称． (1)点B的坐标是________，________； (2)现将点B、点A都向右平移5个单位长度分别得到对应点C和D，顺次连接这四个点得到一个四边形，请在坐标系中画出四边形，并判断四边形的形状________． 【答案】(1)，4 (2)矩形，见解析； 【分析】本题考查了平面直角坐标系基础、作图-平移变换及矩形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． （1）先求点B的坐标，求解的纵坐标的差即可求； （2）先分别画出平移后的对应点C和D，再顺次连接，结合矩形的判定可得答案． 【详解】（1）解：∵A、B关于x轴对称，， ∴，． （2）如图，点B、点A都向右平移5个单位长度分别得到对应点C和D ∴ ∵轴，点B、点A都向右平移5个单位长度， ∴，，， ∴四边形是矩形． 题型10添一条件使四边形是矩形 1．在下列条件中，能够判定是矩形的是（   ） A． B． C． D．平行于 【答案】A 【分析】本题考查矩形的判定条件，根据对角线相等的平行四边形是矩形，即可得到答案． 【详解】A、在平行四边形中，对角线，则平行四边形是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形），符合题意； B、是平行四边形的对边相等，不能判定矩形，不符合题意； C、不能判定是矩形，不符合题意； D、平行于不能判定是矩形，不符合题意． 故选：A． 2．如下图，在平行四边形中，增加一个条件后，平行四边形就成为矩形，这个条件可以是___________ 【答案】(答案不唯一) 【分析】本题考查矩形的判定．需要知道及矩形的判定定理，比如有一个角是直角的平行四边形是矩形，对角线相等的平行四边形是矩形．本题从这两个判定角度去考虑添加条件． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， 若， 根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，此时平行四边形就成为矩形， 故答案为：． 3．如图，四边形中，，相交于点O，O是的中点，． (1)请你添加一个条件（不另加辅助线）要使四边形是矩形，还添加的一个条件是_________； (2)求证：四边形是矩形． 【答案】(1)（或或，，） (2)见解析 【分析】（1）根据矩形的判定方法添加条件即可； （2）证明，得到，从而证明四边形是平行四边形，再利用添加的条件证明即可． 【详解】（1）解：添加：（或或，，）； （2）证明：证明：∵， ∴， ∵O是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又， ∴四边形是矩形． 【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 题型11根据矩形的性质与判定求角度 1．如图，在直角三角形中，，，，，动点D在线段上运动（不与端点重合），点D关于边，的对称点分别为E，F，连接，点C在上，则在点D的运动过程中，线段长度的最小值是（） A． B． C．10 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，矩形的判定与性质，直角三角形斜边中线的性质等知识，熟知轴对称的性质是解题的关键． 根据题意得出四边形为矩形，再由轴对称的性质得出点C为的中点，据此得出，最后由时，取得最小值即可解决问题． 【详解】解：连接， 点D关于边，的对称点分别为E，F， ，，， 又， ，， 四边形为矩形， ， ， ， 当时，取得最小值， 由面积法可知，， 的最小值为． 故选：A． 2．如图，在四边形ABCD中，，，垂足为，延长EF交AD于点，与互余，则____________． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形，矩形的判定与性质，轴对称，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 过点作，且，连接，由，推导出，即与关于对称，可得，在直角三角形内根据面积公式可求得，同时根据已有的边与直角可推导出四边形是矩形，继而证明，，则，即可解答． 【详解】解：过点作，且，连接，如图 ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ， 即与关于对称， ∴， ∵， ∴F，E，共线，且， 在中，， ∴， ∵，， ， ∴四边形是矩形，且D，C，F共线， ∴，即，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 3．如图，四边形中，对角线，相交于点O，，，且． (1)求证：四边形是矩形； (2)过点B作于点E，若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查矩形的判定与性质，等边对等角，综合运用相关知识是解题的关键． （1）由，，得到四边形是平行四边形，进而，结合，可得，得证结论； （2）由，，得到，，根据可求出，根据矩形的性质得到，进而得到，最后根据角的和差即可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴是矩形． （2）解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵在矩形中，，，， ∴， ∴， ∴． 题型12根据矩形的性质与判定求线段长 1．如图，在中，，，，P为边上一动点，于E，于，为的中点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了矩形的判定与性质、勾股定理、垂线段最短以及直角三角形斜边上的中线性质，用勾股定理解三角形等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．证四边形是矩形，得，再由垂线段最短和三角形面积求出的长，即可解决问题． 【详解】解：如图，连接， ，，， ， ，， ， 四边形是矩形， ， 是的中点， ， 根据垂线段最短可知，当时，最短，则也最短， 此时，， ， 即最短时，， 的最小值， 故选：C． 2．如图，在矩形中，，，点是上一个动点（点与点，不重合），过点分别作于点，交于点，连接，则的最小值为______． 【答案】 【分析】连接，利用勾股定理求出，判断出四边形是矩形；根据矩形的对角线相等可得，再根据垂线段最短可得时，线段的值最小，然后根据三角形的面积公式列出方程求解即可． 【详解】如图，连接． ∵矩形中，，，， ∴， ∵于点E， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 由垂线段最短可得时，线段最短，即的值最小， 此时，， 即， 解得， ∴， 即的最小值为． 3．如图，已知，延长到，使，连接，，，若． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（）由四边形是平行四边形，则，，又得四边形是平行四边形及，结合可得，由此可得平行四边形是矩形； （）连接，由（）得，，，所以，则，又四边形是矩形，故有，，然后通过勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形； （2）解：如图，连接， 由（）得，，， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴． 题型13根据矩形的性质与判定求面积 1．如图，将长为，宽为的长方形先向右平移，再向下平移，得到长方形，则阴影部分的面积为（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平移的性质、矩形的性质，根据平移的性质求出空白部分的长和宽，根据矩形的面积公式计算，得到答案．解题的关键是掌握平移的性质：平移不改变图形的大小、形状，只改变图形的位置；图形上的每个点都平移了相同的距离，对应点之间的距离就是平移的距离；连接各组对应点的线段平行（或在同一直线上）且相等． 【详解】解：∵将长为，宽为的长方形先向右平移，再向下平移，得到长方形， ∴，， ∴空白部分是平行四边形， ∵， ∴空白部分是矩形，且长为：，宽为：， ∴阴影部分的面积为：， 即阴影部分的面积为． 故选：D． 2．如图，在六边形中，已知，，，，六边形的面积为_______． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质．注意求不规则图形的面积可以分割成规则图形，根据面积公式进行计算．连接交于G，交于H，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，得平行四边形和．易得．计算该六边形的面积可以分成3部分计算，即平行四边形的面积三角形的面积三角形的面积． 【详解】解：如图，连接交于G，交于H， 平行且等于，平行且等于， ∴四边形是平行四边形，四边形是平行四边形， ， ， ， ∴四边形是矩形， ， ， ． ∴六边形的面积平行四边形的面积+三角形的面积三角形的面积 ， 故答案为： 3．如图，直线与x 轴，y轴分别交于点A 和点B，点 A 的坐标为，且． (1)求直线解析式； (2)如图，将向右平移3个单位长度，得到，求线段的长； (3)在(2)中扫过的面积是　　　． 【答案】(1) (2) (3)7 【分析】（1）先求出点B的坐标，设直线解析式为，利用待定系数法求解即可； （2）根据平移的性质求出点的坐标，再根据两点之间的距离公式求解即可； （3）根据三角形和矩形面积公式求解即可． 【详解】（1）∵， ∴， ∵， ∴， 设直线的解析式为， 把和分别代入中得 ， 解得 ， ∴ 直线解析式为； （2）∵， ∴， 由平移得 在中，由勾股定理得 即线段的长是； （3）∵扫过的面积等于矩形与的面积的和， ∴扫过的面积 【点睛】本题考查了一次函数的问题，掌握一次函数的性质、平移的性质、两点之间距离公式、三角形面积公式、矩形面积公式是解题的关键． 进阶练习◆培优 一、单选题 1．下列关于矩形叙述正确的是（    ） A．对角线相等且互相垂直 B．对角线互相垂直的平行四边形 C．对角线相等且互相平分的四边形 D．矩形的对角线平分一组对角 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质，解题的关键是熟练掌握矩形对角线的性质． 根据矩形的性质，逐一分析每个选项是否正确． 【详解】A．矩形的对角线相等，但互相垂直仅当矩形为正方形时成立，故A错误； B．对角线互相垂直的平行四边形是菱形，而非矩形，故B错误； C．对角线互相平分的四边形是平行四边形，若对角线相等，则此平行四边形为矩形，故C正确； D．矩形的对角线平分一组对角仅当其为正方形时成立，普通矩形不满足，故D错误． 故选：C． 2．如图，在长方形中，点是边的中点，点在边上，，，则的值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查矩形的性质，三角形面积公式，列代数式，用代数式表示边长和面积是解题关键． 设，，，用代数式依次表示矩形、、、、的面积，然后求出与的关系． 【详解】解：设，，，则， ∵点是边的中点， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ， ， ， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 3．如图，在矩形中，点E在的延长线上，与交于点G，点F是的中点，若要知道的面积，则需要知道（   ） A．的长 B．矩形的面积 C．梯形的面积 D．的度数 【答案】B 【分析】本题考查矩形的性质，三角形的面积，关键是由矩形的性质、三角形的面积公式推出． 连接，由矩形的性质以及三角形的面积公式推出，即可得到答案． 【详解】解：连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵F是中点， ∴， ∴， ∴， ∴要知道的面积，则需要知道矩形的面积． 故选：B． 4．如图，在矩形中，E为边上的一点，连结，过点D作，垂足为F，若，，，则的长为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【分析】本题考查了三角形全等的性质与判定，矩形的性质和勾股定理，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题的关键； 连接，可证，得，利用的面积推出，然后在中利用勾股定理列方程求解． 【详解】如图，连接， 四边形为矩形，， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， ， 设，则， 在中，， 由勾股定理得，， 即，解得， ， 故选：A． 5．翻花绳是中国民间流传的儿童游戏，在中国不同的地域，有不同的称呼，如线翻花、翻花鼓、挑绷绷、解股等等，图1是翻花绳的一种图案，可以将其简化成图2，在矩形中，，的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了矩形的性质、平行四边形的判定与性质等知识点，灵活运用相关判定和性质定理是解题的关键．由矩形的性质可得，进而可得；再根据三角形内角和定理可得；然后再证四边形是平行四边形，由平行四边形的性质可得，最后由对顶角相等即可解答． 【详解】解：如图：∵矩形中， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴． 故选：C． 二、填空题 6．木工师傅要做一张长方形的桌面．完成后，量得桌面的长为100cm，宽为80cm，对角线为130cm，则做出的这个桌面______．（填“合格”或“不合格”） 【答案】不合格 【分析】只要算出桌面的长与宽的平方和是否等于对角线的平方，如果相等可得长、宽、对角线构成的是直角三角形，由此可得到每个角都是直角，根据矩形的判定：有三个角是直角的四边形是矩形，可得此桌面合格． 【详解】解：不合格， 理由：∵802+1002=16400≠1302， 即：AB2+BC2≠AC2， ∴∠B≠90°， ∴四边形ABCD不是矩形， ∴这个桌面不合格． 故答案为：不合格． 【点睛】本题考查的是勾股定理逆定理在实际中的应用，以及矩形的判定，关键是熟练掌握勾股定理逆定理与矩形的判定方法；勾股定理逆定理：在一个三角形中，两条边的平方和等于另一条边的平方，那么这个三角形就是直角三角形；矩形的判定方法：①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；②有三个角是直角的四边形是矩形；③对角线相等的平行四边形是矩形． 7．如图，在矩形AOBC中，A（–2，0），B（0，1）．若正比例函数y=kx的图象经过点C，则k的值为______． 【答案】/-0.5 【分析】根据矩形的性质得出点C的坐标，再将点C坐标代入解析式求解可得． 【详解】解：∵A（﹣2，0），B（0，1）． ∴OA＝2、OB＝1， ∵四边形AOBC是矩形， ∴AC＝OB＝1、BC＝OA＝2， 则点C的坐标为（﹣2，1）， 将点C（﹣2，1）代入y＝kx，得：1＝﹣2k， 解得：k， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握矩形的性质和待定系数法求函数解析式． 8．如图，已知四边形为平行四边形，对角线与交于点，试添加一个条件________，使为矩形． 【答案】或（或或或）（答案不唯一） 【分析】本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定，根据矩形的判定推理即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴当时，平行四边形是矩形； 当（或或或）时，平行四边形是矩形； 故答案为：或（或或或）（答案不唯一） ． 9．如图，矩形的边在x轴上，且过原点，连接．将沿翻折，点B的对应点恰好落在边上．若点的坐标为，则点C的坐标为____________． 【答案】 【分析】由点的坐标得到和的长，根据勾股定理求出，由折叠得到，，设，根据勾股定理计算即可． 【详解】解：∵点的坐标为， ∴，， ∴在中，， ∵将沿翻折，点的对应点恰好落在边上， ∴，， ∴， ∴在矩形中，，，， 设，则， ∵在中，， ∴， 解得， ∴， ∴点的坐标为． 10．如图，是等腰直角三角形，，，点P是上的一个动点（点P与点A、B不重合），过点P分别作于点E，于点F，连接． （1）四边形的形状是_______． （2）线段的最小值为_______． 【答案】 矩形 【分析】本题主要考查了矩形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、垂线段最短的性质、勾股定理等知识点；判断出当时，线段的值最小是解题的关键． （1）先证，再由即可解答； （2）连接，由勾股定理可求得，再由矩形的性质可得，然后根据垂线段最短可得时，线段的值最小，最后由三角形的等面积求解即可解答． 【详解】解：（1）∵于点，于点， ∴ 又∵， ∴四边形是矩形； （2）如图，连接， ∵，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， 由垂线段最短可得时，线段的值最小， 此时，， 即， ∴， ∴长的最小值为， 故答案为：矩形，． 三、解答题 11．如图，在矩形中，点分别在边上，连接．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质． 根据矩形的性质得到，，进而得到，证明，即可得到． 【详解】证明：四边形是矩形， ，， ， ， 在和中， ， ， ． 12．如图，在中，过点作于点，点在边上，，连接，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，平分，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)的长是5 【分析】（1）根据平行四边形的性质，得到，由，证得四边形是平行四边形，再根据，即可证得平行四边形是矩形； （2）根据角的关系得到，从而推出，在中，根据勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴， ∴平行四边形是矩形； （2）解：∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵平行四边形是矩形，， ∴， 又∵， ∴在中，， ∴， ∴的长是5． 13．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点A，B，C的坐标分别是，，，若经过一次平移后得到，点A，B，C的对应点分别为点，已知点的坐标为根据以上条件，请解决下列问题： (1)请画出平移后的； (2)四边形______平行四边形填“是”或“不是”； (3)在平移过程中，边扫过的面积为______． 【答案】(1)见解析 (2)是 (3)16 【分析】本题考查了作图-平移变换，勾股定理，矩形的判定和性质，正确地作出图形是解题的关键． （1）根据平移的性质画出图形即可； （2）根据勾股定理求得，，于是得到结论； （3）根据勾股定理和矩形的性质即可得到结论． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：，，，， ，， 四边形是平行四边形， 故答案为：是； （3）解：由题意知，边扫过的四边形是矩形， ，， 边扫过的面积为， 故答案为： 14．如图，为中的一条射线，点P在边上，于H，交于点Q，交于点M，于点D，交于点R，连接交于点S． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，试探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 【分析】（1）根据垂直于同一直线的两直线平行可得，再根据平行于同一直线的两直线平行可得，然后求出四边形是平行四边形，再求出，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形证明即可； （2）根据矩形的对角线互相平分可得，然后求出，根据等边对等角的性质可得，再根据两直线平行，同位角相等可得，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出，然后整理即可得解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为矩形； （2）解：．理由如下： ∵四边形为矩形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， 即． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，等边对等角的性质，两直线平行，同位角相等的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键． 15．如图1，将矩形沿过点的直线折叠，使得点的对应点落在边上，折痕与交于点． (1)判断四边形的形状，并说明理由． (2)如图2，点是的中点，勤学小组的同学将矩形沿直线折叠，点的对应点为，连接并延长，交于点． ①试判断四边形的形状，并说明理由． ②连接交于点，点是的中点，若点是的三等分点，，直接写出的长． 【答案】(1)正方形，理由见解析； (2)①平行四边形，理由见解析；②的长为或． 【分析】本题主要考查了矩形的性质、折叠的性质、正方形和平行四边形的判定以及勾股定理的应用． （1）根据矩形和折叠的性质判断四边形的形状； （2）①利用矩形和平行线的性质以及折叠性质来判定四边形的形状； ②根据点是的三等分点分情况讨论，结合勾股定理求出的长度． 【详解】（1）四边形为正方形． 理由:矩形， ， 折叠， ，， 四边形是正方形； （2）①四边形为平行四边形． 理由：矩形， ， 点是的中点， ， 折叠， ，， ， ，， ， ， ， 四边形是平行四边形； ②四边形是平行四边形， ， 点是的中点， ， ，，， 是矩形， 当是的下方的三等分点时， ，点是的中点， ， 是矩形， ∴， 由折叠可得， ，，， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 当是的上方的三等分点时， ，点是的中点， ， ，，， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 综上所述，的长为或． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09矩形 期末复习讲义 期末复习◆目标 1. 精准掌握矩形的定义、核心性质与判定定理，明晰矩形与普通平行四边形的从属关系与性质差异； 2. 熟练运用矩形性质完成角度、边长、对角线的计算与几何证明，规范书写几何推理过程； 3. 突破易错误区，熟练解决矩形折叠、动态几何、平面直角坐标系综合等期末压轴基础题型。 核心题型◆归纳 题型1矩形性质理解 题型2利用矩形的性质求角度 题型3根据矩形的性质求线段长 题型4根据矩形的性质求面积 题型5利用矩形的性质证明 题型6求矩形在坐标系中的坐标 题型7矩形与折叠问题 题型8证明四边形是矩形 题型9矩形的判定定理理解 题型10添一条件使四边形是矩形 题型11根据矩形的性质与判定求角度 题型12根据矩形的性质与判定求线段长 题型13根据矩形的性质与判定求面积 题型14进阶练习 重点知识◆梳理 知识点一、矩形定义 有一个内角为直角的平行四边形，叫做矩形。 几何语言： ∵ 四边形ABCD是平行四边形， ∠A=90° ∴ 四边形ABCD为矩形 知识点二、矩形性质 1. 具有平行四边形通用性质  边：对边平行且相等，即AB∥CD，AD∥BC，AB=CD，AD=BC；  角：对角相等，邻角互补， 对角线：对角线互相平分，即对角线交点O满足OA=OC，OB=OD。 2.矩形特有性质 矩形的四个内角均为直角 矩形对角线相等且互相平分 是中心对称图形和轴对称图形： 知识点三、矩形判定定理 判定1：定义法 文字定理：有一个角是直角的平行四边形是矩形。 几何语言： ∵ 四边形ABCD是平行四边形，∠ A=90° ∴ 四边形ABCD是矩形 判定2：角度判定法 文字定理：有三个内角是直角的四边形是矩形。 适用场景： ∵∠A=∠B=∠C=90°∴ 四边形ABCD是矩形 判定三：对角线判定法（平行四边形基础） 文字定理：对角线相等的平行四边形是矩形。 几何语言∵ 四边形ABCD是平行四边形，AC=BD ∴ 四边形ABCD是矩形 知识点四、矩形拓展结论 定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。（证明过程如下图） 推导依据：由矩形对角线相等且互相平分得出上述结论，为矩形核心衍生考点★ 延伸结论： 1. 直角三角形斜边中线可将原三角形分割为两个等腰三角形； 2. 该定理仅适用于直角三角形，普通三角形不成立。 知识点五、矩形面积、周长 1.面积公式：S=长×宽；周长公式：C=2（长+宽） 2.矩形两条对角线相交，将矩形分割成四个全等的等腰三角形； 3.若矩形对角线夹角为60°或120°，图形中必然存在等边三角形 知识点六、易错点汇总 性质混淆：普通平行四边形对角线仅互相平分，不相等；矩形对角线既平分又相等； 定理误用：斜边中线定理专属直角三角形，不可套用在普通三角形中； 判定缺步：用对角线证矩形时，必须先证四边形是平行四边形，缺一不可； 概念混淆：矩形仅有2条对称轴，正方形有4条，不可混淆； 角度误区：矩形所有内角固定为90°，无锐角、钝角。 题型解析◆精准备考 题型1矩形性质理解 1．矩形是特殊的平行四边形，下面是矩形具有而平行四边形不具有的性质的是（   ） A．矩形的对角线互相平分 B．矩形的对边相等 C．矩形的对边平行 D．矩形的四个角相等 2．如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，点的坐标为，点的坐标为，点在轴上．直线经过点且平分矩形的周长，则直线的解析式为__________． 3．在的方格纸中，点都在格点上，按要求画图：（保留画图痕迹） (1)在图1中为内一格点（仅用无刻度的直尺），，为边上的点，使四边形是平行四边形． (2)在图2中仅用无刻度的直尺，过点作的平行线． 题型2利用矩形的性质求角度 1．如图，点是矩形外一点，且在上方，连接，点在边上，连接交边于点F．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．如图，在矩形中，、相交于点O，平分分别交、于点F、E，若，则的度数为________． 3．如图，矩形中，对角线与交于点，若．求的度数．    题型3根据矩形的性质求线段长 1．如图，在矩形中，，，以点为圆心、的长为半径画弧，交于点，再分别以点，为圆心、大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，则的长为（   ） A．4 B．5 C． D． 2．如图，矩形的对角线交于点O， ， ，则________．   3．如图，点E是矩形的边上的一点，且． (1)F是上一点，且满足，请用尺规作图法作出点F；（保留作图痕迹，不要求写作法） (2)在（1）的条件下，若，连接，求的长． 题型4根据矩形的性质求面积 1．如图，长方形的面积为，那么三角形的面积是（    ）． A． B． C． D． 2．如图，矩形中，，对角线和相交于点O，且，过点D作的平行线，过点C作的平行线，两平行线交于点E，那么四边形的面积是_________． 3．求图中阴影部分的面积（图中长度单位：米）． 题型5利用矩形的性质证明 1．如图，在矩形中进行如下操作：①以点为圆心，长为半径作弧交于点，连接；②再以为圆心，长为半径作弧交于点，连接．下列结论不一定成立的是（　　） A． B． C． D． 2．如图，点E为矩形的边上的一点，作于点F，且满足．对于下面四个结论：①；②的面积与的面积相等：③；④，所有正确的结论是______（只写序号）． 3．如图，在矩形中，点是边上一点，，于点． (1)求证：． (2)若，，求的长． 题型6求矩形在坐标系中的坐标 1．如图，矩形的三个顶点的坐标分别为．若直线平分矩形的周长，则b的值为（    ）    A． B． C． D． 2．如图，四边形是矩形，其中点和点分别在轴和轴上，连接，点的坐标为，的平分线与轴相交于点，则点的坐标为__________．    3．如图，已知直线与直线相交于点C，分别交x轴于A、B两点．矩形的顶点D、E分别在直线上，顶点F、G都在x轴上，且点G与点B重合． (1)方程组的解是______； (2)求的面积； (3)求点E的坐标； (4)若矩形从B点出发，沿x轴的反方向平移2个单位长度，写出此时矩形与重叠部分的面积S的值． 题型7矩形与折叠问题 1．如图，在矩形中，，．是边上一点，将沿所在直线折叠，使得点恰好落在边上点处，则的长是（   ） A．4 B．5 C． D． 2．如图，在矩形中，为上一动点，为上一动点．将沿直线折叠，点B的对应点落在矩形的内部，将沿直线折叠，使点C的对应点落在射线上，当点到的距离为1时，的长为_____． 3．如图，将长方形沿着对角线折叠，使点落在处，交于点，，． (1)求的面积； (2)求的长． 题型8证明四边形是矩形 1．如图，工人师傅在做矩形零件的时候，为了确保四边形零件是矩形，除了要测量四边形的边长，还要测量四边形的对角线是否相等，其原理是（   ） A．对角线相等的四边形是矩形 B．两点之间，线段最短 C．对角线相等的平行四边形是矩形 D．两点确定一条直线 2．如图，在中，，，当______时，四边形是矩形． 3．如图，中，是斜边的中线，延长到E，使，连接，，求证：四边形为矩形． 题型9矩形的判定定理理解 1．数学课上，老师让班里的学生判断一个四边形门框是否为矩形．下面是某合作小组的4位学生拟定的方案，其中正确的是（   ） A．测量对角线是否互相平分 B．测量两组对边是否分别相等 C．测量一组对角是否都为直角 D．测量三个角是否都为直角 2．如图，一个书架的两条侧边、上下底边的长度分别相等．为了检查该书架的四个角是否都是直角，小亮先用绳子连接一组对角的顶点，在绳子上记录一条对角线的长度，再连接另一组对角的顶点，检验两条对角线长度是否一致．检查过程中用到一个你学过的几何定理，请写出该定理的具体内容：_________________．    3．如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为，点B与点A关于x轴对称． (1)点B的坐标是________，________； (2)现将点B、点A都向右平移5个单位长度分别得到对应点C和D，顺次连接这四个点得到一个四边形，请在坐标系中画出四边形，并判断四边形的形状________． 题型10添一条件使四边形是矩形 1．在下列条件中，能够判定是矩形的是（   ） A． B． C． D．平行于 2．如下图，在平行四边形中，增加一个条件后，平行四边形就成为矩形，这个条件可以是___________ 3．如图，四边形中，，相交于点O，O是的中点，． (1)请你添加一个条件（不另加辅助线）要使四边形是矩形，还添加的一个条件是_________； (2)求证：四边形是矩形． 题型11根据矩形的性质与判定求角度 1．如图，在直角三角形中，，，，，动点D在线段上运动（不与端点重合），点D关于边，的对称点分别为E，F，连接，点C在上，则在点D的运动过程中，线段长度的最小值是（） A． B． C．10 D． 2．如图，在四边形ABCD中，，，垂足为，延长EF交AD于点，与互余，则____________． 3．如图，四边形中，对角线，相交于点O，，，且． (1)求证：四边形是矩形； (2)过点B作于点E，若，求的度数． 题型12根据矩形的性质与判定求线段长 1．如图，在中，，，，P为边上一动点，于E，于，为的中点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．如图，在矩形中，，，点是上一个动点（点与点，不重合），过点分别作于点，交于点，连接，则的最小值为______． 3．如图，已知，延长到，使，连接，，，若． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，，求的长． 由（）得，，， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴． 题型13根据矩形的性质与判定求面积 1．如图，将长为，宽为的长方形先向右平移，再向下平移，得到长方形，则阴影部分的面积为（   ）． A． B． C． D． 2．如图，在六边形中，已知，，，，六边形的面积为_______． 3．如图，直线与x 轴，y轴分别交于点A 和点B，点 A 的坐标为，且． (1)求直线解析式； (2)如图，将向右平移3个单位长度，得到，求线段的长； (3)在(2)中扫过的面积是　　　． 进阶练习◆培优 一、单选题 1．下列关于矩形叙述正确的是（    ） A．对角线相等且互相垂直 B．对角线互相垂直的平行四边形 C．对角线相等且互相平分的四边形 D．矩形的对角线平分一组对角 2．如图，在长方形中，点是边的中点，点在边上，，，则的值为（    ）． A． B． C． D． 3．如图，在矩形中，点E在的延长线上，与交于点G，点F是的中点，若要知道的面积，则需要知道（   ） A．的长 B．矩形的面积 C．梯形的面积 D．的度数 4．如图，在矩形中，E为边上的一点，连结，过点D作，垂足为F，若，，，则的长为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 5．翻花绳是中国民间流传的儿童游戏，在中国不同的地域，有不同的称呼，如线翻花、翻花鼓、挑绷绷、解股等等，图1是翻花绳的一种图案，可以将其简化成图2，在矩形中，，的度数为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 6．木工师傅要做一张长方形的桌面．完成后，量得桌面的长为100cm，宽为80cm，对角线为130cm，则做出的这个桌面______．（填“合格”或“不合格”） 7．如图，在矩形AOBC中，A（–2，0），B（0，1）．若正比例函数y=kx的图象经过点C，则k的值为______． 8．如图，已知四边形为平行四边形，对角线与交于点，试添加一个条件________，使为矩形． 9．如图，矩形的边在x轴上，且过原点，连接．将沿翻折，点B的对应点恰好落在边上．若点的坐标为，则点C的坐标为____________． 10．如图，是等腰直角三角形，，，点P是上的一个动点（点P与点A、B不重合），过点P分别作于点E，于点F，连接． （1）四边形的形状是_______． （2）线段的最小值为_______． 三、解答题 11．如图，在矩形中，点分别在边上，连接．求证：． 12．如图，在中，过点作于点，点在边上，，连接，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，平分，求的长． 13．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点A，B，C的坐标分别是，，，若经过一次平移后得到，点A，B，C的对应点分别为点，已知点的坐标为根据以上条件，请解决下列问题： (1)请画出平移后的； (2)四边形______平行四边形填“是”或“不是”； (3)在平移过程中，边扫过的面积为______． 14．如图，为中的一条射线，点P在边上，于H，交于点Q，交于点M，于点D，交于点R，连接交于点S． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，试探究与的数量关系，并说明理由． 15．如图1，将矩形沿过点的直线折叠，使得点的对应点落在边上，折痕与交于点． (1)判断四边形的形状，并说明理由． (2)如图2，点是的中点，勤学小组的同学将矩形沿直线折叠，点的对应点为，连接并延长，交于点． ①试判断四边形的形状，并说明理由． ②连接交于点，点是的中点，若点是的三等分点，，直接写出的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $