贵州铜仁市碧江区2025-2026学年九年级下学期5月期中数学试题

绝密★启用前 数学 卷I(选择题) 一、选择题（本大题12小题，每小题3分，共36分） 1-6:ACCBAD 7-12:BDBADC 卷Ⅱ（非选择题） 二、填空题（本大题4个小题，每小题4分，共16分） 13.√5 14.2500 15.y=2x-2 16.12025 提示：：△4BC是等边三角形，AB=6, ∴.AB=BC=AC=6,∠ABD=∠BCE=60°. 又：BD=CE, ∴.△ABD≌△BCE(SAS) .∠BAD=∠CBE. ∴.∠AFB=∠CBE+∠ADB=∠BAD+∠ADB. :在△ABD中，∠BAD+∠ADB=180°-∠ABD=120°， .∠AFB=120°. 如答图所示，点F的运动路径是以点O为圆心的AB, 且∠40B=2(180°-∠AFB)=120°，连接0A、OB、0C、OE .OA=OB,AC=BC,OC=OC, ∴.△AOC2△BOC(SSS) .∠OAC=∠OBC,∠ACO=∠BCO=30° :∠AOB+∠ACB=120°+60°=180°， ∴.∠OBC=90° 答图 ∴.在RtAOBC中，OB=号OC. 由勾股定理，得OB2+BC2=OC2, 即0B2+6=(20B)},解得0B=25或-2N5(舍)， 此时OF=OB=2√3，OC=20B=4V5. 点F在AB上运动，总有CF≥OC-OF,即CF≥2N3, 当O、F、C三点共线时，线段CF的长最小，最小值为2√ 三、解答题（本大题9个小题，共98分解答时每小题必须给出必要的演算过程 或推理步骤，画出必要的图形) 17.（本题满分12分) 解：（)原式=之+2×212 (2)选①x2-1=0, 移项，得x2=1,解得x1=1,x2=-1. 选②x2+3x-0, 分解因式，得x(x+3)=0, .x=0或x+3=0. x=0,x2=-3. 选③x2+2x-1=0, 这里a=1,b=2,c=-1. :△=b2-4ac=22-4×1×(-1)=8>0, x24s21.k=2-82-1 2 18.(本题满分10分) 解：(1)作出(1)班前10名学生成绩的折线统计图如答图1所示. 学生人数/名 5: ·一（1)班 .…。…(2)班 7073808590成绩/分 答图1 (2)(1)班前5名总成绩为90+2×85+2×80=420（分），(2)班前5名总成绩 为2×90+85+2×80=425（分）. .420<425, ∴.应从(2)班选拔更为合理 (3)画树状图如答图2所示 开始 B B2 B: A2 B B2 B3 A1 B B2 B3 A A2 B2 B3 A1 A2 B1 B3 A A2 B B2 答图2 .共有20种等可能的结果，其中恰好抽到一男一女的有12种 二恰好抽到一男一女的概率为号 (列表法略) 19.(本题满分10分) 解：(1)>. (2).AC⊥y轴，垂足为点C,BD⊥x轴，垂足为点D,∠COD=90°， ∴.四边形OCED是矩形 .∴.OC=DE,OD=CE. .A(2,y)、B(5,y2), .C(0,)、E(5,)、D(5,0) ∴.OD=5,OC= ,四边形OCED的面积为20， .0D.0C=5y=20,解得y1=4. .A(2,4). 又：点A(2,4)在反比例函数y=k>0)的图象上， =k,解得k=8 .4=2 2 一反比例函数的表达式为y=8 20.(本题满分10分) 解：(1)：在平行四边形ABCD中，AC⊥BD, .平行四边形ABCD为菱形 六A0=C0-2AC=5,B0=D0-2BD=4 在Rt△4OB中，AB2=A02+B02=25+16=41, .AB=41 ∴.C菱形ABCD4AB=4W4 (2)过点A作AE⊥BD,垂足为点E,如答图所示 B ,四边形ABCD为平行四边形， 在R4OE中，Sin∠AOE=4E AO' 4E=40.sim∠406=40.sin60°=5x5_55 22 答图 54m0DABx4×4x5,5x4206. 2 2 21.(本题满分10分) 解：（1)设“天眼号”的速度是xm/s,则“花江号”的速度是(x-1)m/s. 根据行驶时间相等，得00-100-10 x x-1 解得x-10m/s. 经检验，=10是原分式方程的解， ∴.x1=9m/s. 答：“天眼号”的速度是10m/s,“花江号”的速度是9m/s. (2)我不赞同甲队同学的看法.理由：按甲队同学的操作，“天眼号”需行驶110m, “花江号”仍行驶100m,两车速度不变 ÷“天眼号”所用时间：01“花江号”所用时间：罗吋 10 吋 ∴两车不能同时到达终点 22.(本题满分10分) 解：(1)53° (2)过点A作AF⊥EH于点F,交MN于点G,如答图所示. 则四边形MGFE为矩形 .EF =MG,GF ME MD+DE=6+22=28 cm. 在RIMAMG中，sin37=4G M,cos37°= MG AM' :AG=AM:sin37°≈10x2=6cm,MG=AM:cos37°≈10× 4 =8cm. ∴.EF=8cm,AF=AG+GF≈6+28=34cm. A 在△MAN中，∠MAN=90°， ∴.∠AMN+∠ANM=90°. 在△AGN中，∠AGN=90°， ∴，∠GAN+∠ANM=90°. E F ∴.∠FAC=∠AMN=37°. :CF=AF.tan37°≈34×3-51-25.5cm 答图 4-2 ∴.CH=EH-EF-CF=50-8-25.5=16.5cm 答：落水点距水池边缘的距离CH的长度约为16.5cm. 23.（本题满分12分) (1)证明：：点D为AC的中点， :AD=DC. .∠ABD=∠DBC :BD是∠ABC的角平分线. 又DF⊥AB,DE⊥BE, ∴DE-DF. 解：(2)DE与⊙O相切. 理由：如答图所示，连接OD. 由(1)知∠EBD=∠OBD. OD=OB, .∠ODB=∠OBD. .∠ODB=∠EBD ∴OD∥EB B ∠DEB=90°， .∠ODE=90. 又：OD是⊙O的半径， 答图 :DE与⊙O相切 (3)由(1)知DE=DF DE=√3， ∴.DF=DE=V5. ∠ABD=30°， .∠D0A=60°」 ..OF=_ DE =1,OD= =2 tan60° sin60° “图中阴影部分的面积为60m×2_1 3602 V3x1=2πV5 32 24.(本题满分12分) 解：(1)根据题意，得抛物线顶点坐标为(20,8)， 设抛物线的关系式为y=a(x-20)+8. 将A0,0)代入关系式，得400a+8=0, 1 ∴.4=- 50 铁圈抛物线的函数关系式为y=0:-20+8或=0专 4 (2)一艘露出水面CD10.5m高的航船不能在不触碰桥面AB的情况下安全通过 该拱桥理由如下： 分别过点C、D作CE⊥AB、DF⊥AB,垂足分别为点E、点F,如答图所示 根据对称性可知，AE=BF-6040=10. 2 .c=-10. B 答图 ÷=-（-10-202+8=-10,即CB=10 50 10.5>10, ∴这艘航船不能在不触碰桥面AB的情况下安全通过该拱桥. (3)20÷5=4, “从左起第4根垂直吊杆在抛物线的对称轴上 ①当41≤4时，0+5-20+8- （5-20+8=0.5 解得t=3. 即从左起第3根与第4根吊杆高度差为0.5m. ②当t≥4时，根据抛物线的对称性，从左起第3根与第5根吊杆的高度相等， 第4根与第5根的高度差也为0.5米. .t=4 综上所述，t的值为3或4. 25.(本题满分12分) 解：(I)BC-CE+CE 提示：连接OB,如答图1所示. :∠ABC=∠a=90°， .菱形ABCD是正方形 又= 1 B A .点O为正方形ABCD对角线的交点 .O'B=O'C,∠O'BE=∠O'CF,∠BO'C=90° B ,菱形AB'C'O与菱形ABCD形状、大小完全相同， 答图1 ∴.∠AO'C=∠B0'C=90° .∠FOC+∠A'O'C=∠EO'B+∠A'O'C,即∠FO'C=∠EO'B. .△BOE≌△COF(ASA): ..BE=CF. .BC=CE+BE=CE+CF. (2)如答图2所示，过点O'作O'G∥AB,交BC于点G ,四边形ABCD和四边形ABCO是形状、大小完全相同的菱形，且边长为8， a=60°， ∴.AB=BC=CD=AD=A'B=B'C=C'O=OA=8,∠D=∠B=∠AOC=∠B=60°. ∴，△ABC和△4CD均为等边三角形， ∴，∠BAC=∠ACB=∠ACD=60°，AC=AB=8. O'G∥AB, ∴.∠COG=∠BAC=60°=∠OCG. ∴.△O'CG是等边三角形 ∴.OG=CG=OC=k,AC=8k. B ∠EO'G+∠COE=∠COE+∠C0F=60°， ∴.∠EO'G=∠COF 答图2 ∴，△OEG≌△OFC(ASA): ..EG=CF. CE+EG=CG ..CE+CF =8k. D (3)连接OB,连接BD交AC于点O,如答图3所示 四边形ABCD是菱形， AC⊥BD,即∠BOC=90°. E :0C=14c= 21 C=4. 2 .OB2=BC2-OC2=48. 00=V0B2-0B2=V72-48=1. 答图3 当点0在线段A0上时，如答图3所示，则0C=O0+OC=1+4=5. ÷k=0e5 AC-8 由(2)可知CE+CF=8k, :.CE+CF=8x5=5. 8 CF=5 7 CE=5-7=18 5=5 当点0在线段OC上时，连接0B,如答图4所示，则OC=OC-O0=4-1=3. k=0c.3 D AC 8 ∴，CE+CF=8 33 8 CE=3-CF=3-7_8 551 E 综上所述，CE的长度为或 少 答图4 数学 同学，你好！答题前请认真阅读以下内容： 1．全卷共4页，三个大题，满分150分，考试时间为120分钟，考试形式为闭卷． 2．一律在答题卡相应位置作答，在试卷上答题视为无效． 3．不能使用计算器． 卷Ⅰ（选择题） 一、选择题（以下每个小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，请用2B铅笔在答题卡相应位置作答，每小题3分，共36分） 1．若，则的值为 A． B． C． D． 2．下列4个汉字中，可以看作轴对称图形的是 A． B． C． D． 3．小宇和小恒各收集了一些邮票，已知小恒收集了枚邮票，小宇收集的邮票数量比小恒的3倍多2枚，则小宇收集的邮票数量为 A． B． C． D． 4．某节体育课上，同学们进行跳远项目测试．如图所示，直线为起点，点为小明的落点，则小明最终的跳远成绩是 A．线段的长度 B．线段的长度 C．线段的长度 D．线段的长度 5．在单词“apple”中随机选择一个字母，选到的字母是“p”的概率是 A． B． C． D． 6．若分式在实数范围内有意义，则实数的取值范围是 A． B． C． D． 7．如图是红、黄两队某局冰壶比赛结束后的冰壶分布图．以大本营内的中心点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系．按比赛规则，更靠近原点的冰壶为本局胜方，则获胜的冰壶所在位置位于 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 8．如图所示，为了测量一颗玻璃球的体积，小明进行了下列操作：①将300 mL的水倒进一个容量为570 mL的杯子中；②将5颗相同的玻璃球放入水中，结果水没有满；③再将一颗相同的玻璃球放入水中，结果水满溢出．根据以上过程，推测这样一颗玻璃球的体积范围在 A．36 mL以上，45 mL以下 B．54 mL以上，63 mL以下 C．50 mL以上，60 mL以下 D．45 mL以上，54 mL以下 9．如图，在矩形中，对角线、交于点．若，，则矩形的面积为 A．28 B．48 C．50 D．120 10．“二十四节气”是华夏祖先历经千百年的实践创造出来的宝贵遗产，它与白昼时长密切相关，已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产名录，是反映气候和物候变化、指导农事活动、把握农时的重要依据．如图所示是北半球某地一年中部分节气所对应的白昼时长示意图．下列选项中白昼时长超过14小时的节气是 A．芒种 B．白露 C．立冬 D．惊蛰 11．如图，在中，，分别以点、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于、两点，连接交于点，连接．若，，则的长为 A． B．2 C．2.5 D． 12．如图1为亮度可调节的台灯，在电压一定的情况下，该台灯的电流与电阻之间的函数关系如图2所示，根据图象获得下列信息： ①与的函数解析式是；②当时，； ③在第一象限，随的增大而减小；④当时，的取值范围是．其中正确的结论个数是 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 卷Ⅱ（非选择题） 二、填空题（本大题4个小题，每小题4分，共16分） 13．计算的结果是________． 14．学完《概率的进一步认识》后，小敏为了知道池塘中鱼的数量，捕捞了100条鱼进行标记后放回池塘．一周后，小敏又随机捕捞50条鱼，发现有2条鱼有标记，则小敏估计池塘中鱼的数量为________条． 15．将“”和“”按如图所示的方式有规律地排列．设图中“”的个数为，“”的个数为，写出与之间的函数关系式为________． 16．已知，如图1，是等边三角形，，点、分别为边、上的两个动点（不与端点重合），且，连接、交于点，则________；若连接，如图2所示，则线段的最小值为________． 三、解答题（本大题9个小题，共98分．解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形） 17．（本题满分12分） （1）计算：； （2）从下列三个方程中任选一个方程，并用适当的方法解方程： ①；②；③． 18．（本题满分10分）为迎接3月14日国际数学日，某校举办了数学素养大赛，如表所示是八年级（1）班和（2）班前10名学生的成绩（单位：分）： （1）班 70 80 75 90 85 80 80 75 80 85 （2）班 70 75 80 70 90 80 80 80 85 90 表格中的数据可以用折线统计图直观展示，如图所示（不完整）． 请根据上述信息，解答下列问题： （1）请在图中作出（1）班前10名学生成绩的折线统计图； （2）现要在同一个班中选出5名学生参加全区八年级数学素养团体大赛，并尽可能取得好成绩，请通过计算分析，确定应从哪个班级选拔更为合理； （3）参赛的5名同学中，有、两名男生，、、三名女生． 若从中随机抽取两名同学担任团队的队长，请利用画树状图或列表的方法，求恰好抽到一男一女担任队长的概率． 19．（本题满分10分）如图，点、在反比例函数的图象上，轴，垂足为点，轴，垂足为点，延长交的延长线于点． （1）根据图象，直接比较、的大小：____（选填“>”“<”或“=”）； （2）若四边形的面积为20，求反比例函数的表达式． 20．（本题满分10分）如图，已知在平行四边形中，对角线和相交于点，，． （1）若，试求四边形的周长； （2）若与的夹角，求四边形的面积． 21．（本题满分10分）贵州省某初中科技社团甲、乙两个小组各制作了两台遥控小车，分别命名为“天眼号”和“花江号”，在100 m跑道测试中，两车从起点同时出发，已知“天眼号”的速度比“花江号”的速度快，当“天眼号”到达终点时，“花江号”离终点还差10 m． （1）求两车的速度； （2）甲队的同学认为：既然“天眼号”到达终点时，“花江号”距离终点10 m，那么“天眼号”从原起点向后退10 m作为新起点出发，“花江号”从原起点出发，通过这样的操作，两车就能同时出发，且同时到达终点，你赞同甲队同学的看法吗？通过计算说明理由． 22．（本题满分10分）如图1，小明家的洗手盆上装有一种抬启式水龙头，图2为洗手盆及水龙头的示意图，完全开启后，把手与水平线的夹角为，此时把手端点、出水口点和落水点在同一直线上．其相关数据，，，，，，点、、、、、、、均在同一平面内．（参考数据：，，） （1）水流和水池底面的夹角的度数是_________； （2）求落水点距水池边缘的距离的长度． 23．（本题满分12分）如图，为的直径，点为上的一点，连接，点为的中点，过点分别作、的垂线，交于点、交的延长线于点，连接． （1）证明：； （2）试判断与的位置关系，并说明理由； （3）若，，求图中阴影部分的面积． 24．（本题满分12分）截至2025年，贵州省已建和在建的桥梁总数超3万座，世界前100座高桥中近半数位于贵州，贵州省被誉为“世界桥梁博物馆”．为了更好地研究桥梁的结构，某数学兴趣小组借助电脑绘图工具，绘制了一幅桥梁模拟图，如图1所示，拱桥是抛物线的一部分，拱顶到桥面的距离为8 m，桥面与河面平行，，，以为原点，所在直线为轴，过点且垂直于的直线为轴，建立平面直角坐标系． （1）求拱圈抛物线的函数关系式； （2）一艘露出水面10.5 m高的航船能否在不触碰桥面的情况下安全通过该拱桥？请通过计算说明理由；（不考虑航船的宽度） （3）如图2，为确保拱桥的稳固性，需在桥面与拱圈之间每隔5 m处设置1根垂直吊杆，若从左起第根与第根吊杆的高度差为0.5 m，求的值． 25．（本题满分12分）在菱形中，，点在对角线上运动（点不与点、点重合），，以点为顶点作菱形，且菱形与菱形的形状、大小完全相同，即，，在菱形绕点旋转的过程中，与边交于点，与边交于点． 【特例感知】 （1）如图1，当，时，则、、之间满足的数量关系是________； 【类比探究】 （2）如图2，菱形的边长为8，，求的值（用含的代数式表示）； 【拓展应用】 （3）在（2）的条件下，连接，且，，请补全图形并求的长度． 学科网（北京）股份有限公司 $