专题02 菱形重难点题型（九大题型）数学浙教版新教材八年级下册

专题02 菱形重难点题型 （九大题型） 【题型01 利用菱形的性质求角度】 【题型02 根据菱形的性质求线段长】 【题型03 根据菱形的性质求面积】 【题型04 添一条件使四边形是矩形】 【题型05 菱形的判定】 【题型06 菱形的性质与判定综合】 【题型07 利用菱形的性质求最小值】题 【题型08 菱形中动点问题】题型6 复合】 【题型09 中点四边形】题型6 复合】二次根式的化简 】 【题型01 利用菱形的性质求角度】 1．如图，在菱形中，，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据菱形的性质得到，进而得到，利用三角形内角和定理求出的度数即可． 【详解】解：四边形是菱形， ， ， ， ． 2．如图，以的顶点为圆心，任意长为半径作弧．分别交的两边，于点，，再分别以点，为圆心，长为半径作弧，两弧相交于点（非点）．连接，，连接，交于点．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据作图痕迹可得，从而判定四边形 为菱形，利用菱形的性质及等腰三角形的性质求出 ∠AOB 的度数，再根据平行线的性质求解即可． 【详解】由作图可知,， ∴， ∴四边形 为菱形， ∴， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查尺规作图推导出图形的特征，熟练掌握菱形的性质和判定方法，等腰三角形的性质以及平行线的性质是解决本题的关键． 3．如图，在菱形中，过点C作交对角线于点E，已知，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由菱形的性质可得，再根据直角三角形两锐角互余即可解答． 【详解】解：∵在菱形中，， ∴， ∵， ∴． 4．如图所示的木制活动衣帽架是由三个全等的菱形构成的，根据实际需要可以调节，间的距离．若，间的距离调节到，菱形的边长，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图所示，连接，根据菱形的性质可得，可得是等边三角形，可算出，根据，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵衣帽架是由三个全等的菱形构成的，间的距离调节到， ∴， ∵菱形的边长， ∴， ∴是等边三角形，则， ∵四边形是菱形， ∴． 5．如图，四边形是菱形，对角线，相交于点，于点，连接，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据菱形性质得到，，，根据直角三角形斜边中线定理得出，根据等边对等角求出，，根据三角形的内角和定理求出，即可求解． 【详解】解：四边形是菱形， ，，， ， ，， ， ，， ， ， 又， ， ， . 【题型02 根据菱形的性质求线段长】 6．如图，在菱形中，对角线和相交于点O．若，，则的长为（  ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】C 【分析】根据菱形的对角线互相垂直且平分，结合勾股定理进行求解即可. 【详解】解：∵在菱形中，对角线和相交于点O， ∴，， ∵， ∴. 7．如图，菱形的对角线，相交于点，过点作于点，连接．若，菱形的面积为，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据菱形的对角线互相平分得到，点为的中点，根据菱形的面积公式可求出的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得答案． 【详解】解：∵菱形的对角线，相交于点， ∴，点为的中点， ∵菱形的面积为， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴ ． 8．如图，在菱形中，E、F分别是的中点，如果，那么菱形的周长为（    ） A．32 B．24 C．16 D．12 【答案】A 【分析】根据中位线定理得出，进而根据菱形性质求出菱形周长． 【详解】解：∵E、F分别是的中点，， 是的中位线， ， 在菱形中，， 则菱形的周长为． 9．四边形是菱形，对角线，，于点H，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据勾股定理，得，利用菱形面积的两种表示法建立等式求解即可． 【详解】解：因为四边形是菱形，对角线，， ，，， ， ， ， ， 解得． 10．如图，在菱形中，过点作于点，连接．若，，则的长为（    ） A． B． C．5 D．6 【答案】B 【分析】连接交于点，根据勾股定理求得，则，进而根据菱形的面积公式得出，代入数据，即可求解． 【详解】解：如图，连接交于点， ∵菱形中，，， ∴，，，， 在中，， ∴， ∵， ∴菱形的面积为， ∴． 11．如图所示，在菱形中，，，对角线交于点O．过点D作，交的延长线于点E，则线段的长为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，菱形的面积，设对角线的交点为，根据菱形的性质和勾股定理求出，，根据菱形的面积底高对角线乘积的一半求出，然后利用勾股定理求解即可，熟练运用菱形的性质，面积公式，灵活运用勾股定理是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选D． 【题型03 根据菱形的性质求面积】 12．如图，菱形的对角线、的长分别为和，则菱形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的面积，熟练掌握菱形的面积公式是解决问题的关键．根据菱形的面积公式“菱形的面积等于两对角线乘积的一半”即可求解． 【详解】四边形是菱形，两条对角线、的长分别为和， 由菱形的面积公式得：菱形的面积， 故选：． 13．如图，菱形的对角线，相交于点O，过点D作，垂足为点E，连接，若，，则的长为（    ） A．2 B． C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了菱形的性质，斜边的中线等于斜边的一半，解题关键是掌握菱形的面积公式为两条对角线的乘积的一半． 根据菱形的面积公式求出的长，再根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半直接求出． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴，解得， ∵菱形的对角线，相交于点O，， ∴菱形的面积为， ∴， 解得：， ∵， ∴在中，． 故选：A． 14．如图，菱形的对角线相交于点O，过点D作于点H，连接，若，，则菱形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了菱形的性质，直角三角形的性质，菱形的面积公式，关键是根据直角三角形的性质求得． 根据菱形的性质得为的中点，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得的长度，最后由菱形的面积公式求得面积． 【详解】解：四边形是菱形， ，，， ， ， ， ， ， ， ， 菱形的面积． 故选：B． 15．中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴，徐明家有一个菱形中国结装饰如图，测得，直线交两对边于点E，F，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查菱形的性质，勾股定理．根据菱形对角线互相平分且垂直，可得，，由勾股定理计算出，再根据菱形的面积公式列等式，即可求解． 【详解】解：菱形中对角线交于点O，， ，， ， ， ， ， 菱形的面积， ， 解得， 故选A． 【题型04 添一条件使四边形是矩形】 16．如图，的对角线与相交于点O．要使它成为矩形，需再添加的条件是（   ） A． B． C． D．平分 【答案】B 【分析】根据矩形的判定定理和菱形的判定定理逐项判断即可． 【详解】A.四边形ABCD是平行四边形，∴，无法判断其为矩形，故此选项不符合题意； B.四边形ABCD是平行四边形，， 是矩形，故符合题意； C.四边形ABCD是平行四边形，， 是菱形，故不符合题意； D.四边形ABCD是平行四边形，平分， 是菱形，故不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定，菱形的判定，熟练掌握知识点是解题的关键． 17．已知四边形中，对角线与相交于点O，，，再添加一个条件使四边形是菱形，添加条件不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了证明四边形是菱形、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的判定与性质，证明，得出，从而可得垂直平分，由线段垂直平分线的性质可得，，再结合各选项逐项分析即可得解，熟练掌握菱形的判定定理是解此题的关键． 【详解】解：如图： ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴，， A、∵， ∴， ∴四边形是菱形，故不符合题意； B、∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形，故不符合题意； C、∵，， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形，故不符合题意； D、添加不能说明四边形是菱形，故符合题意； 故选：D． 18．如图，在平行四边形中，对角线，交于点O．下列条件不能判定平行四边形为菱形的是（    ） A． B． C．平分 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查菱形的判定，掌握菱形的判定定理是解题的关键．根据菱形的判定定理判断即可． 【详解】解：A、∵四边形是平行四边形，， ∴平行四边形为菱形，故A不符合题意； B、∵四边形是平行四边形，， ∴平行四边形为菱形，故B不符合题意； C、∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形为菱形，故C不符合题意； D、∵四边形是平行四边形，， 故不能判定平行四边形为菱形，故D符合题意； 故选：D． 19．如图，要使成为菱形，需要添加的条件可以是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查菱形的判定，平行四边形的性质等知识．根据菱形的判定方法即可解决问题． 【详解】解：根据对角线垂直的平行四边形是菱形，可知选项B正确， 故选：B． 20．下列命题正确的是（　　 ） A．一组邻边相等的四边形是菱形 B．对角线互相垂直的四边形是菱形 C．对角线互相垂直且相等的四边形是菱形 D．对角线互相垂直且平分的四边形是菱形 【答案】D 【分析】根据菱形的判定定理即可判断求解． 【详解】A一组邻边相等的平行四边形是菱形，故命题错误； B.对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故命题错误； C.对角线互相垂直且相等的四边形不一定是菱形，故命题错误； D.对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，正确 故选D． 【点睛】此题主要考查菱形的判定，解题的关键是熟知菱形的判定定理． 【题型05 菱形的判定】 21．如图，是的对角线，点E、F分别是边、的中点，连接、，平分．试判断四边形是否为菱形，并说明理由． 【答案】四边形是菱形，理由见解析 【分析】根据平行四边形的性质得出，，结合线段中点的定义可得出，则可判断四边形是平行四边形，根据平行线的性质和角平分线的定义可得出，根据等角对等边得出，然后根据菱形的判定即可得出结论. 【详解】解：四边形是菱形， 理由：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵点E、F分别是边、的中点， ∴，， ∴， 又， ∴四边形是平行四边形，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形. 22．如图，在平行四边形中，、相交于点O，过点O作，分别交、于点E、F，连接、．求证： (1)； (2)四边形是菱形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据平行四边形的性质证明即可得出结论； （2）先证明四边形是平行四边形，再利用线段垂直平分线的性质证明邻边相等． 【详解】（1）证明：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴； （2）证明：由（1）得，， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴垂直平分线段， ∴， ∴平行四边形是菱形． 23．如图，在四边形中，，，，为的中点，连接．判断四边形的形状，并证明． 【答案】菱形，见解析 【分析】根据“在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半”以及并结合已知条件易证四边形为平行四边形，进而根据“有一组邻边相等的平行四边形为菱形”可证结论． 【详解】解： E为的中点，且． 又 四边形为平行四边形． 四边形为菱形． 24．如图，在平行四边形中，点为边上的一点，连接、交于点，，如果，求证：四边形是菱形． 【答案】见解析 【分析】先根据平行四边形的性质得出，故，再由结合，证明， 等量代换证得， 最后根据等角对等边证明即可得证． 【详解】证明：四边形是平行四边形， ， ． ， ． ， ． ， ， ， ， 四边形是菱形． 25．用一张矩形纸片可以折出一个菱形．如图，沿矩形的对角线折出，，得到四边形．求证：四边形是菱形； 【答案】见解析 【分析】先证明四边形是平行四边形，再证明即可． 【详解】证明：四边形是矩形， ， ， ，， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是菱形． 【题型06 菱形的性质与判定综合】 26．如图，在中，，分别是，的中点，连接，是上一点，且点到，的距离相等，连接，过点作交于点． (1)求证：四边形是菱形． (2)若四边形B的周长为，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由三角形的中位线定理，得到，结合，证明四边形平行四边形，平行结合角平分线，推出，即可得证； （2）根据三角形的中位线定理，得到，结合菱形的性质，线段的和差关系，求出的长，即可求解． 【详解】（1）证明：∵在中，点、分别是的中点， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 点到，的距离相等， 平分， ， ， ， 四边形是菱形； （2）解：由（1）知：，四边形是菱形， ∵菱形的周长为， ∴，， ∴， ∴， ∴． 27．如图，矩形中，，点是对角线的中点，过点的直线分别交边于点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当时，则 ． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】（1）证明，得到，即可得出结论； （2）证明四边形是菱形，得到，设，则，根据勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形，点是对角线的中点， ∴， ，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵， ∴四边形是菱形， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得：， ∴． 28．如图，在中，点D是边上一点，过点D分别作交于点E，交于点F，连接，平分． (1)求证：四边形是菱形； (2)连接交于点O，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了菱形的判定和性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质，熟练掌握各知识点是解题的关键． （1）先证四边形是平行四边形，再通过等角对等边证，即可得出结论； （2）先证明是等边三角形，则，根据菱形的性质得到，然后由勾股定理求解，即可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形； （2）解：∵四边形是菱形，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 在中，， ∴． 29．如图所示的一张矩形纸片，将纸片折叠一次，使点与点重合，再展开，折痕交边于点，交边于点，分别连结和． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求矩形纸片的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查的是矩形的折叠，菱形的判定和性质，勾股定理等知识，熟练掌握折叠的性质和特殊四边形的性质是关键． （1）由四边形是矩形与折叠的性质，易证得，即可得，则可证得四边形是平行四边形，又由，则可证得四边形是菱形； （2）根据菱形的性质得到，根据勾股定理得到，得到，即可求出矩形的面积． 【详解】（1）证明：四边形的形状是菱形，理由如下： ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 由折叠的性质可得：， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； （2）∵四边形是菱形， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴矩形纸片的面积为． 30．如图，矩形中，点为边上任意一点，连结，点为线段的中点，过点作与、分别相交于点、，连结、． (1)求证：四边形为菱形； (2)若，当时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由矩形的性质易证明，则有；再由可得四边形为平行四边形；结合，即可证明四边形为菱形； （2）由菱形的性质得；在中利用勾股定理求得的长，再由即可求得结果． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ， ，； 为的中点， ； 在和中， ， ， ； ， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是菱形． （2）解：四边形是矩形， ， 四边形是菱形， ， 在中，， ， ． 【点睛】本题考查了矩形的性质，菱形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，利用菱形的判定与性质是解题的关键． 【题型07 利用菱形的性质求最小值】题 31．如图，点是边长为1的菱形对角线上的一个动点，点，分别是，边上的中点，则的最小值是（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】作点关于的对称点，连接交于，此时有最小值，最小值为的长，然后证明四边形为平行四边形，即可求出． 【详解】解：作点关于的对称点，连接交于，此时有最小值，最小值为的长． ∵菱形关于对称，是边上的中点， 是的中点， 是边上的中点， ， 四边形是平行四边形， ， ，即的最小值为1． 32．如图，在菱形中，对角线，点E、F分别是边、的中点，点P在上运动过程中，的最小值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】设交于O，作E关于的对称点N，连接，交于P，则此时的值最小，可得的最小值为的长，证明四边形是平行四边形，可得，再根据勾股定理求出的长，即可求解． 【详解】解：设交于O，作E关于的对称点N，连接，交于P，则此时的值最小， ∵四边形是菱形， ∴关于对称，，， ∴，，且点N在上， ∴，即的最小值为的长， ∵E为的中点， ∴N为的中点， ∵，N为中点，F为中点， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵四边形是菱形，， ∴， ∴， ∴， 即的最小值为5． 33．如图，在菱形中，，，点分别为边上的动点，且始终保持．连接，点为的中点，连接．则线段长度的最小值为（   ） A． B．2 C．3 D． 【答案】C 【分析】证明，根据等边三角形的性质，要求线段长度的最小值，即求的最小值，当时，最小，即线段长度最小． 【详解】在菱形中，， ， 为等边三角形，， ，， ， ， ， ， 为等边三角形， 点为的中点， ，， ， 要求线段长度的最小值，即求的最小值，当时，最小， 当时，为等边三角形， ， ， 则， 即线段长度的最小值为． 34．如图，在菱形中，，．E是边上一动点，过点E分别作于点F，于点G，连接，则的最小值为（　　） A．2.4 B．3 C．4.8 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，矩形的判定和性质，掌握特殊四边形的判定和性质是解题关键．由菱形的性质和勾股定理，得出，证明四边形是矩形，得到，当时，有最小值，利用三角形面积公式，求出的长，即可得到答案． 【详解】解：如图，连接， 四边形是菱形，，． ，，， ， ，， ， 四边形是矩形， ， 当时，有最小值， ， ， 的最小值为2.4， 故选：A． 35．如图，菱形，点A、B、C、D均在坐标轴上，，点，点E是的中点，点P是上的一动点，则的最小值是（   ） A．4 B．5 C． D． 【答案】A 【分析】连接，利用菱形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，垂线段最短解答即可． 本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，垂线段最短，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵菱形，点A、B、C、D均在坐标轴上，，点， ∴，，， ∴， ∴，是等边三角形， ∵点E是的中点， ∴， ∵点D与点B关于对称， 故连接，交于点， 当点P与点重合时，的值最小， 且最小值为的长， 由是等边三角形， 故， ∴， ∴， 故的最小值为4， 故选：A． 【题型08 菱形中动点问题】题型6 复合】 36．如图，矩形中，，，点从点出发向点运动，同时点从点出发向点运动，运动速度都是1cm/s，设运动时间为（），若四边形是菱形，则的值为___________． 【答案】 【分析】先得到四边形是平行四边形，则当时，四边形是菱形，然后表示出，再对运用勾股定理建立方程求解． 【详解】解：由题意得，，则， ∵四边形是矩形 ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴当时，四边形是菱形， ∵ ∴， 解得 ∴四边形是菱形，则的值为． 37．如图所示，在菱形中，，点以的速度沿边由A向B匀速运动，同时点F以的速度沿边由C向B运动，F到达点B时两点同时停止运动．当点运动___________秒时，为等边三角形． 【答案】6 【分析】连接．易证，即可推出，列出方程即可解决问题． 【详解】解：连接．如图： ∵四边形是菱形，， ∴，， ∴，都是等边三角形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：6． 【点睛】本题考查菱形的性质、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定与性质、一元一次方程等知识，解题的关键是利用全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 38．如图，在矩形中，，．点从点出发向点运动，运动到点即停止；同时，点从点出发向点运动，运动到点即停止，点，的运动速度都是，连接，，．设点，的运动时间为． (1)当为何值时，四边形是矩形？ (2)当为何值时，四边形是菱形？ 【答案】(1)当时，四边形是矩形 (2)当时，四边形是菱形 【分析】（1）当四边形是矩形时，由，据此求解得出的值即可； （2）当四边形是菱形时，得，结合勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）解：∵在矩形中，，， ∴，，，， ∴， 当时，四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是矩形， ∵点从点出发向点运动，运动到点即停止；同时，点从点出发向点运动，运动到点即停止，点，的运动速度都是，设点，的运动时间为， ∴此时， 解得：． 答：当时，四边形是矩形； （2）解：∵，， ∴四边形是平行四边形， 当时，四边形为菱形． 设秒后，，四边形为菱形， 根据勾股定理得：， 即， 解得：． 答：当时，四边形是菱形． 39．如图，在四边形ABCD中，，，，，，点P从点A出发，以1cm/s的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以3cm/s的速度向点B运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t． (1)_______．______（用含t的代数式表示）； (2)在整个运动过程中是否存在t值，使得四边形是矩形？若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由； (3)在整个运动过程中，是否存在一个时间，使得四边形是菱形？如果存在，求出时间t的值，如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)存在，当时，四边形是矩形，理由见解析 (3)不存在，理由见解析 【分析】（1）可求，，从而得到答案； （2）四边形是矩形，从而可得，可求解； （3）可求，，从而可求解． 【详解】（1）解：由题意得：，， ∵， ∴ 故答案为：， （2）解：存在， 在四边形中：，， 当时，四边形是矩形， 解得：， 当时，四边形是矩形； （3）解：不存在， 如图，过点D作，垂足为E， 则四边形为矩形， ，， 由题意得： ，， ，，， ， 当时，，， ， ， ∴当时，四边形为平行四边形， ， ， 四边形不可能为菱形． 【点睛】本题考查了平行四边形、矩形、菱形的判定方法及性质、勾股定理等知识，掌握相关的判定方法及性质是解题的关键． 【题型09 中点四边形】题型6 】40．在四边形中，分别是边的中点，对角线，则四边形是什么图形（    ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 【答案】B 【分析】先根据三角形的中位线定理证明四边形是平行四边形，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形证明即可． 【详解】∵点、为、的中点 ∴是的中位线， ∴，， 同理，，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∵，， ∴， 四边形是矩形． 41．顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形，菱形的中点四边形是（    ） A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形 【答案】C 【分析】本题主要考查了中点四边形，菱形的性质，矩形的判定，平行线的性质，三角形中位线定理，解题的关键是熟练掌握菱形的性质和矩形的判定方法． 连接、，根据中位线性质得出，，证明四边形为平行四边形，根据平行线的性质，证明，得出四边形为矩形． 【详解】解：如图，E，F，G，H是菱形四条边的中点，连接、，如图所示：    ∵四边形为菱形，、、G、H分别为、、、的中点， ∴，， 同理得：，， ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∵四边形为菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为矩形． 故选：C． 42．已知：顺次连结矩形各边的中点，得到一个菱形，如图①：再顺次连结菱形各边的中点，得到一个新的矩形，如图②；然后顺次连结新的矩形各边的中点，得到一个新的菱形，如图③；如此反复操作下去，则第2025个图形中直角三角形的个数有（   ） A．4052个 B．2025个 C．1013个 D．8100个 【答案】A 【分析】本题考查了图形规律探索，根据题意得出规律是解题的关键．先写出前几个图形中的直角三角形的个数，并找出规律，当为奇数时，直角三角形的个数是，当为偶数时，直角三角形的个数是，根据此规律求解即可． 【详解】解：第1个图形，有4个直角三角形， 第2个图形，有4个直角三角形， 第3个图形，有8个直角三角形， 第4个图形，有8个直角三角形， …， 依此类推，第个图形，当为奇数时，直角三角形的个数是，当为偶数时，直角三角形的个数是， 第2025个图形中直角三角形的个数是． 故选：A． 43．如图，点E、F、G、H分别为矩形ABCD各边中点，已知AD＝8，AB＝6，四边形EFGH的面积为（　　） A．48 B．24 C．16 D．12 【答案】B 【分析】连接EG、FH，根据矩形的性质得到，求出，，，根据三角形的面积公式计算，得到答案． 【详解】解：连接EG、FH， ∵四边形ABCD为矩形， ∴，，． ∵E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA的中点， ∴，， ， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查的是矩形的性质，中点四边形的性质，三角形的面积，掌握矩形的性质是解题的关键． 44．在四边形ABCD中，AC＝BD＝8，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点EG2＋FH2的值为（    ） A．72 B．64 C．48 D．36 【答案】B 【分析】作辅助线，构建四边形EFGH，证明它是菱形，利用对角线互相垂直和勾股定理列等式，再利用中位线性质等量代换可得结论． 【详解】解：连接EF、FG、GH、EH， ∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点， ∴EF∥AC，HG∥AC，， ∴EF∥HG， 同理EH∥FG， ∴四边形EFGH为平行四边形， ∵AC=BD， ∴EF=FG， ∴平行四边形EFGH为菱形， ∴EG⊥FH，EG=2OG，FH=2OH， ∴EG2+FH2=（2OE）2+（2OH）2=4（OE2+OH2）=4EH2=, 故选：B． 【点睛】本题考查了中点四边形，运用了三角形中位线的性质，将三角形和四边形有机结合，把边的关系由三角形转化为四边形中，可以证明四边形为特殊的四边形；对于线段的平方和可以利用勾股定理来证明． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 菱形重难点题型 （九大题型） 【题型01 利用菱形的性质求角度】 【题型02 根据菱形的性质求线段长】 【题型03 根据菱形的性质求面积】 【题型04 添一条件使四边形是矩形】 【题型05 菱形的判定】 【题型06 菱形的性质与判定综合】 【题型07 利用菱形的性质求最小值】题 【题型08 菱形中动点问题】题型6 复合】 【题型09 中点四边形】题型6 复合】二次根式的化简 】 【题型01 利用菱形的性质求角度】 1．如图，在菱形中，，则的度数为（  ） A． B． C． D． 2．如图，以的顶点为圆心，任意长为半径作弧．分别交的两边，于点，，再分别以点，为圆心，长为半径作弧，两弧相交于点（非点）．连接，，连接，交于点．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．如图，在菱形中，过点C作交对角线于点E，已知，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．如图所示的木制活动衣帽架是由三个全等的菱形构成的，根据实际需要可以调节，间的距离．若，间的距离调节到，菱形的边长，则的度数是（    ） A． B． C． D． 5．如图，四边形是菱形，对角线，相交于点，于点，连接，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【题型02 根据菱形的性质求线段长】 6．如图，在菱形中，对角线和相交于点O．若，，则的长为（  ） A．8 B．7 C．6 D．5 7．如图，菱形的对角线，相交于点，过点作于点，连接．若，菱形的面积为，则的长为（   ） A． B． C． D． 8．如图，在菱形中，E、F分别是的中点，如果，那么菱形的周长为（    ） A．32 B．24 C．16 D．12 9．四边形是菱形，对角线，，于点H，则的长为（   ） A． B． C． D． 10．如图，在菱形中，过点作于点，连接．若，，则的长为（    ） A． B． C．5 D．6 11．如图所示，在菱形中，，，对角线交于点O．过点D作，交的延长线于点E，则线段的长为（   ） A． B．1 C． D． 【题型03 根据菱形的性质求面积】 12．如图，菱形的对角线、的长分别为和，则菱形的面积为（   ） A． B． C． D． 13．如图，菱形的对角线，相交于点O，过点D作，垂足为点E，连接，若，，则的长为（    ） A．2 B． C．3 D．4 14．如图，菱形的对角线相交于点O，过点D作于点H，连接，若，，则菱形的面积为（   ） A． B． C． D． 15．中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴，徐明家有一个菱形中国结装饰如图，测得，直线交两对边于点E，F，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 【题型04 添一条件使四边形是矩形】 16．如图，的对角线与相交于点O．要使它成为矩形，需再添加的条件是（   ） A． B． C． D．平分 17．已知四边形中，对角线与相交于点O，，，再添加一个条件使四边形是菱形，添加条件不正确的是（　　） A． B． C． D． 18．如图，在平行四边形中，对角线，交于点O．下列条件不能判定平行四边形为菱形的是（    ） A． B． C．平分 D． 19．如图，要使成为菱形，需要添加的条件可以是（　　） A． B． C． D． 20．下列命题正确的是（　　 ） A．一组邻边相等的四边形是菱形 B．对角线互相垂直的四边形是菱形 C．对角线互相垂直且相等的四边形是菱形 D．对角线互相垂直且平分的四边形是菱形 【题型05 菱形的判定】 21．如图，是的对角线，点E、F分别是边、的中点，连接、，平分．试判断四边形是否为菱形，并说明理由． 22．如图，在平行四边形中，、相交于点O，过点O作，分别交、于点E、F，连接、．求证： (1)； (2)四边形是菱形． 23．如图，在四边形中，，，，为的中点，连接．判断四边形的形状，并证明． 24．如图，在平行四边形中，点为边上的一点，连接、交于点，，如果，求证：四边形是菱形． 25．用一张矩形纸片可以折出一个菱形．如图，沿矩形的对角线折出，，得到四边形．求证：四边形是菱形； 【题型06 菱形的性质与判定综合】 26．如图，在中，，分别是，的中点，连接，是上一点，且点到，的距离相等，连接，过点作交于点． (1)求证：四边形是菱形． (2)若四边形B的周长为，，求的长． 27．如图，矩形中，，点是对角线的中点，过点的直线分别交边于点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当时，则 ． 28．如图，在中，点D是边上一点，过点D分别作交于点E，交于点F，连接，平分． (1)求证：四边形是菱形； (2)连接交于点O，若，，求的长． 29．如图所示的一张矩形纸片，将纸片折叠一次，使点与点重合，再展开，折痕交边于点，交边于点，分别连结和． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求矩形纸片的面积． 30．如图，矩形中，点为边上任意一点，连结，点为线段的中点，过点作与、分别相交于点、，连结、． (1)求证：四边形为菱形； (2)若，当时，求的长． 【题型07 利用菱形的性质求最小值】题 31．如图，点是边长为1的菱形对角线上的一个动点，点，分别是，边上的中点，则的最小值是（    ） A． B．1 C． D．2 32．如图，在菱形中，对角线，点E、F分别是边、的中点，点P在上运动过程中，的最小值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 33．如图，在菱形中，，，点分别为边上的动点，且始终保持．连接，点为的中点，连接．则线段长度的最小值为（   ） A． B．2 C．3 D． 34．如图，在菱形中，，．E是边上一动点，过点E分别作于点F，于点G，连接，则的最小值为（　　） A．2.4 B．3 C．4.8 D．4 35．如图，菱形，点A、B、C、D均在坐标轴上，，点，点E是的中点，点P是上的一动点，则的最小值是（   ） A．4 B．5 C． D． 【题型08 菱形中动点问题】题型6 复合】 36．如图，矩形中，，，点从点出发向点运动，同时点从点出发向点运动，运动速度都是1cm/s，设运动时间为（），若四边形是菱形，则的值为___________． 37．如图所示，在菱形中，，点以的速度沿边由A向B匀速运动，同时点F以的速度沿边由C向B运动，F到达点B时两点同时停止运动．当点运动___________秒时，为等边三角形． 38．如图，在矩形中，，．点从点出发向点运动，运动到点即停止；同时，点从点出发向点运动，运动到点即停止，点，的运动速度都是，连接，，．设点，的运动时间为． (1)当为何值时，四边形是矩形？ (2)当为何值时，四边形是菱形？ 39．如图，在四边形ABCD中，，，，，，点P从点A出发，以1cm/s的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以3cm/s的速度向点B运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t． (1)_______．______（用含t的代数式表示）； (2)在整个运动过程中是否存在t值，使得四边形是矩形？若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由； (3)在整个运动过程中，是否存在一个时间，使得四边形是菱形？如果存在，求出时间t的值，如果不存在，请说明理由． 【题型09 中点四边形】题型6 】40．在四边形中，分别是边的中点，对角线，则四边形是什么图形（    ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 41．顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形，菱形的中点四边形是（    ） A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形 42．已知：顺次连结矩形各边的中点，得到一个菱形，如图①：再顺次连结菱形各边的中点，得到一个新的矩形，如图②；然后顺次连结新的矩形各边的中点，得到一个新的菱形，如图③；如此反复操作下去，则第2025个图形中直角三角形的个数有（   ） A．4052个 B．2025个 C．1013个 D．8100个 43．如图，点E、F、G、H分别为矩形ABCD各边中点，已知AD＝8，AB＝6，四边形EFGH的面积为（　　） A．48 B．24 C．16 D．12 44．在四边形ABCD中，AC＝BD＝8，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点EG2＋FH2的值为（    ） A．72 B．64 C．48 D．36 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $