精品解析：2026年广东省汕头市龙湖区中考一模考试数学试题

2026年初中学业水平模拟考试 九年级数学 说明： 1．本试卷共6页，23小题，答题卡8面，满分为120分，考试用时为120分钟． 2．答题前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔填写相关项目，用2B铅笔填涂对应号码． 3．选择题必须用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净再进行选涂． 4．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目的指定区域内相应位置上，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案．不准使用涂改液，不按要求作答的答案无效． 一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）每小题给出四个选项中只有一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑． 1. 比大1的数是（ ） A. B. 2027 C. D. 2025 【答案】C 【解析】 【分析】求比一个数大1的数，只需用这个数加1，再根据有理数加法法则计算即可得到结果． 【详解】解：， 比大1的数是． 2. 下列交通标志既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ） A. 禁止驶入 B. 两侧变窄 C. 环岛行驶 D. 两侧通行 【答案】A 【解析】 【详解】解：A、既是轴对称图形也是中心对称图形，故符合题意； B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意； C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意； D、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意． 3. 2026年春节假期，汕头全市累计实现旅游收入约71.56亿元．这一亮眼成绩得益于汕头以非遗民俗点燃年味，用潮汕美食征服味蕾，通过全域联动汇聚人气，强势跻身全国最热门旅游目的地之一．71.56亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为，其中，为整数，解题关键是正确确定和的值． 【详解】解：71.56亿用科学记数法表示为． 4. 如果将一副三角板按如图方式叠放，那么等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是三角形外角性质，灵活运用“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和”是解题的关键．根据三角板的角度特征得到，进而求出式子的值． 【详解】解：如图， ， ． 故选：． 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘除法，积的乘方运算，根据合并同类项，同底数幂的乘除法，积的乘方运算，逐项分析判断即可求解，掌握以上运算法则是解题的关键． 【详解】解：A、，故该选项不正确，不符合题意； B、，故该选项不正确，不符合题意； C、，故该选项正确，符合题意； D、，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 6. “二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”，小杰购买了四张“二十四节气”主题邮票，其中“夏至”有两张，“雨水”和“惊蛰”各一张，从中随机抽取一张恰好抽到“夏至”的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查概率公式，熟练掌握概率公式是解题的关键．根据概率公式进行计算即可． 【详解】解：从中随机抽取一张，有四种等可能的情况， 其中抽到“夏至”有两种等可能的情况， ． 故选C． 7. 完全相同的4个正方形面积之和是100，则正方形的边长是（ ） A. 2 B. 5 C. 10 D. 20 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了算术平方根的应用，先求出一个正方形的面积，再根据正方形的面积计算公式求出对应的边长即可． 【详解】解：∵完全相同的4个正方形面积之和是100， ∴一个正方形的面积为， ∴正方形的边长为， 故选：B． 8. 若点，，都在反比例函数的图象上，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵点，，都在反比例函数的图象上， ∴，，， ∴． 9. 一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径，水面宽，则截面圆心O到水面的距离是（　　） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】根据垂径定理求出，根据勾股定理求出即可． 【详解】解：连接，则，过圆心点， ， 在中，由勾股定理得：， 故选：A． 【点睛】本题考查了勾股定理和垂径定理的应用；由垂径定理求出是解决问题的关键． 10. 已知抛物线如图所示，那么下列各式中不成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系．根据对称轴和函数图像判断a、b、c的符号是解题的关键． 由抛物线的开口方向判断a的大小，由抛物线与y轴的交点判断c的大小，根据对称轴与x轴交点情况、抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：A． ∵抛物线开口向上， ∴， ∴A成立，不符合题意； B． ∵抛物线的对称轴，，， ∴， ∴B不成立，符合题意； C． ∵抛物线交y轴负半轴， ∴， ∴C成立，不符合题意； D． 由图象知：当时，， ∴D成立，不符合题意． 故选：B． 二、填空题（本大题共5小题，每题3分，共15分）将正确答案写在答题卡相应的位置上． 11. 古语有言“逸一时，误一世”，其意是教导青少年要珍惜时光，切勿浪费时间，浪费青春，其数字谐音为1，1，4，5，1，4．有关这一组数，众数是______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查了众数，解题的关键是掌握众数的定义． 根据众数的定义进行求解即可，众数是一组数据中出现次数最多的数． 【详解】解：数据为1，1，4，5，1，4，其中1出现3次，4出现2次，5出现1次，故众数为1． 故答案为：1． 12. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查同分母分式的加法运算，根据同分母分式加法法则计算后，约分化简即可得到结果． 【详解】解：原式 13. 一个关于 的一元一次不等式组的解在数轴上的表示如图所示，则该不等式组的解是__________． 【答案】 【解析】 【分析】数轴的某一段上面，表示解集的线的条数，与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．实心圆点包括该点，空心圆圈不包括该点，大于向右小于向左．两个不等式的公共部分就是不等式组的解集． 【详解】解：由图示可看出，从1出发向右画出的线且1处是实心圆，表示x≥1； 从3出发向右画出的线且3处是空心圆，表示x>3，不等式组的解集是指它们的公共部分， 所以这个不等式组的解为：， 故答案为： ． 【点睛】等式的解集在数轴上表示的方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示． 14. 已知关于x的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【详解】解：由题意得：， 解得． 15. 如图，为的内切圆，切点分别为，已知，则的半径为__________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了三角形内切圆，切线的性质，勾股定理等知识﹒ 连接证明四边形为正方形﹒设的半径为r，则﹒根据切线长定理得到，在中，根据勾股定理得到方程，解方程，舍去不合题意解即可﹒ 【详解】解：如图，连接﹒ ∵为切线， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∵， ∴矩形为正方形﹒ 设的半径为r，则﹒ ∵为的内切圆， ∴， ∴在中，根据勾股定理得， 解得（舍去）﹒ ∴的半径为1﹒ 故答案为：1 三、解答题（一）（本大题3小题，每小题7分，共21分） 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解：原式． 17. 如图，在中，，． （1）实践与操作：用尺规作图法作线段的垂直平分线，交于点D，交于点E（保留作图痕迹，不要求写作法）； （2）应用与计算：在（1）的条件下，连接，若，则的长为 ． 【答案】（1）画图见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用基本作图，作线段的垂直平分线即可； （2）先根据线段垂直平分线的性质得到，所以，进一步得到，再证明，可得，再根据勾股定理求得，即可求得答案． 【小问1详解】 解：如图，直线就是线段的垂直平分线； 【小问2详解】 解：直线是线段的垂直平分线， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 18. 综合与实践 【主题】制作圆锥 【素材】直径为的圆形卡纸、剪刀、透明胶． 【实践操作】 步骤1：如图1，把直径为的圆形卡纸剪出一个圆心角为的最大扇形（图2）． 步骤2：如图3，将剪下的扇形卡纸无缝隙、不重叠地围成一个圆锥．并用透明胶粘住接合处． 【实践探索】 （1）求剪下的扇形的半径． （2）如图3，求此圆锥形卡纸的底面圆的半径． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了求圆锥底面圆半径，解直角三角形，等边三角形的性质与判定，圆周角定理，熟知相关知识是解题的关键． （1）连接，过点O作于H，可证明是等边三角形，得到，由圆周角定理可得，则由三线合一定理可得，，解直角三角形求出的长即可得到答案； （2）根据圆锥的底面圆周长等于其侧面展开图得到的扇形弧长计算求解即可． 【小问1详解】 解：如图所示，连接，过点O作于H， ∵扇形的圆心角为， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴剪下的扇形的半径为； 【小问2详解】 解：， ∴此圆锥形卡纸的底面圆的半径为． 四、解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分） 19. 每年的4月23日是世界读书日．某校为了解学生进行课外阅读的情况，在该校学生中随机抽取部分学生展开关于每周课外阅读时长的调查（每人必选其中一项），其中A：每周课外阅读小于1小时，B：每周课外阅读小时，C：每周课外阅读小时，D：每周课外阅读5小时以上．将参加调查的学生的数据整理后，依据样本数据得到如下两幅不完整的条形图和扇形图． 请根据图中所给出的信息解答下列问题： （1）本次调查的样本容量是______，______； （2）直接补全条形统计图； （3）扇形统计图中“C”部分对应扇形的圆心角为______， （4）若该校有2000名学生，请你估计每周阅读时长不少于3小时的学生有多少人． 【答案】（1）50，32 （2）见解析 （3） （4）每周阅读时长不少于3小时的学生约有1040名 【解析】 【分析】（1）用A的人数除以占比即可求出样本容量；用B的人数除以样本容量即可求出n； （2）用样本容量乘以D的占比求出D的人数，然后求出C的人数，然后补全统计图； （3）用乘以C的占比即可求出对应扇形的圆心角； （4）用2000乘以C和D的占比即可求解． 【小问1详解】 解：本次调查的样本容量是； ∴； 【小问2详解】 解：D的人数为（人） ∴C的人数为（人） 补全条形统计图如下： 【小问3详解】 解：扇形统计图中“C”部分对应扇形的圆心角为； 【小问4详解】 解：（名）． 答：每周阅读时长不少于3小时的学生约有1040名． 20. 中秋节是我国的传统节日．月饼是中秋节的一种美食之一，月饼寓意着团 圆和完 美．“豆沙饼”是某地的特色月饼，深受当地人们的喜爱．某商店在中秋节来临之前，去当地的玉猫饼家订购普通豆沙月饼和蛋黄豆沙月饼两种进行试销．已知蛋黄豆沙月饼的单价是普通豆沙饼单价的倍，用元购进蛋黄豆沙饼的数量比用元购进普通豆沙月饼的数量多个． （1）普通豆沙月饼和蛋黄豆沙月饼的单价分别是多少？ （2）若某商店把蛋黄豆沙月饼以元销售时，那么半个月可以售出个．根据销售经验，把这个蛋黄豆沙月饼的单价每提高元，销量会相应减少个．将售价定为多少元时，才能使半个月获得的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）普通豆沙饼的单价是元，蛋黄豆沙饼的单价是元 （2）当售价定为元时，才能使半个月获得的利润最大，最大利润是元 【解析】 【分析】本题考查分式方程的应用，二次函数的应用， （1）设普通豆沙饼的单价是元，则蛋黄豆沙饼的单价是元，根据“用元购进蛋黄豆沙饼的数量比用元购进普通豆沙月饼的数量多个”列出分式方程求解即可； （2）设售价定为元，利润为元，根据题意列出关于的二次函数，结合二次函数的性质求解即可； 解题的关键：（1）正确理解题意，列出方程；（2）正确列出函数关系式． 【小问1详解】 解：设普通豆沙饼的单价是元，则蛋黄豆沙饼的单价是元， 依题意，得：， 解得：， 经检验：是所列方程的解且符合题意， ∴（元）， 答：普通豆沙饼的单价是元，蛋黄豆沙饼的单价是元； 【小问2详解】 设售价定为元，利润为元， 依题意，得：， ∵ ∴二次函数的图像开口向下，函数有最大值， ∴当时，有最大值，最大值为元， 答：当售价定为元时，才能使半个月获得的利润最大，最大利润是元． 21. 在中，已知为直径，点是弧上一点，弦，且弦，连交于点，点在的延长线上，． （1）求证：是的切线； （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）15 【解析】 【分析】（1）连接，由等腰三角形的性质得出，．证出，即，即可得出结论； （2）连接，证出为的直径．由垂径定理得出，得出．求出，由勾股定理得出．设，则．在和中，由勾股定理得出方程，解方程求出，由勾股定理即可得出答案． 【小问1详解】 证明：连接，如图1所示： ∵， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∵是半径， ∴是的切线． 【小问2详解】 连接，如图2所示： ∵， ∴ ∴为的直径． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， 由（1）知．设，则． 在和中，由勾股定理，得：， 即， 解得：， ∴． ∴， ∴． 【点睛】本题考查切线的判定、勾股定理、圆周角定理、等腰三角形的性质、解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 五、解答题（三）（本大题2小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 综合与实践：纸张中藏着丰富的数学奥秘．某数学学习小组围绕“神奇的纸”开展主题学习． 【阅读资料】 纸张大小的设计不仅要有美感，还应具有实用性．纸是我们常见的矩形打印纸，将纸沿它的一条对称轴折叠（如图1），展开后，折痕两侧的两个小矩形称为纸，它们与原来的矩形相似，以其中一个为例，可记为矩形矩形；将纸类似地对折，得到与之相似的纸…，纸的大小设计能在纸张的剪裁中避免浪费，且方便缩放打印，可谓兼具强大的功能性与视觉美感． 【初探结论】 （1）如图1，设，求纸的长与宽的比值； 【作图再探】 （2）如图2，在（1）的条件下，连接，过点E作交于点G．试说明点G为边的中点； 【拓展应用】 （3）如图3，在（1）的条件下，再次折叠纸片，使点B落在上的点E处，折痕为，连接．试探究线段与的数量关系与位置关系． （4）如图4，在（1）的条件下，动点P，Q分别在边，上运动，连接P，Q，将四边形沿翻折得到四边形，调整点P和点Q的位置使得线段始终经过顶点D，是点到的距离，则的最大距离是 ．（用含的式子表示，保留根号） 【答案】（1） （2）见详解 （3），，理由见详解 （4） 【解析】 【分析】（1）设，利用相似矩形的性质，构建方程求解； （2）证明，得出，可得即可证明； （3）设，在中，，构建方程求出y，再证明可得结论． （4）设，由折叠的性质可知：，则有，然后可得，根据勾股定理可得，进而可得，最后问题可求解． 【小问1详解】 解：设， ∵，矩形矩形， ∴， ∴， ， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ∵， ∴，即点G为边的中点； 【小问3详解】 解：结论：，． 理由：如图3中，连接交于点O． 由翻折变换的性质可知，， 设， 在中，， ∴， 解得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问4详解】 解：设， 由折叠的性质可知：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 在中，由勾股定理可得：， 整理得：， ∴ ， ∵ ，， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∴ ，当且仅当取等号，即 ， ∴的最大距离是 ． 23. 请根据小明的数学探究活动单，完成下列任务． 研究内容：“变换” 提出概念：已知点，如果点满足，那么称点是点P的“变换”点． 理解概念： （1）如图1，已知点和点，当时，求点P，Q对应的“变换”点，并在图1中画出线段． 探究性质： （2）研究发现：线段可由线段通过一次图形变换得到； 请描述这种图形变换（如果是平移请说明平移方向，距离；如果是轴对称请说明对称轴，如果是旋转请说明旋转中心，旋转方向，旋转角度）． （3）线段是线段的“变换”线，，请你求出直线的“变换”线，． 运用性质： （4）如图2，在平面直角坐标系中，菱形的顶点A，B，C的坐标分别为，，，曲线是反比例函数图象的“变换”线，，交边于点M，N，直线，分别交边于点E，F，记，，，的面积分别为，，，，求的值． 【答案】（1），图见详解 （2）线段可由线段通过绕原点逆时针旋转变换得到 （3） （4） 【解析】 【分析】（1）代入给出的方程组求解，然后在坐标系中画出图形即可； （2）根据（1）可进行求解； （3）设直线上的任意一点坐标为，，则“变换”后的，然后可得，进而把代入进行求解即可； （4）由题意易得曲线l的解析式为，然后可得直线的解析式为，则有，进而根据菱形的性质及两点距离公式可得，最后问题可求解． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴，， ∴， 所作线段如图所示： 【小问2详解】 解：如图，由（1）可知：， ∴P点绕点O逆时针旋转得到点，Q点绕点O逆时针旋转得到； 综上可知：线段绕点O逆时针旋转得到线段； 【小问3详解】 解：设直线上的任意一点坐标为，，则“变换”后的， ∴， 解得：， 代入直线得： ， 整理得：， ∴直线的“变换”线为； 【小问4详解】 解：设反比例函数上任意一点P为，点P的“变换”点， ∵， ∴，解得：， 代入反比例函数得，， 整理得：， 由图象可知：， ∴， ∴曲线的表达式为， 设直线的解析式为， ∴，解得：， ∴直线的解析式为， 当时，解得：， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，， ∵，，， ∴ ， ∴， ∴， 设O点到的距离为h， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴， 由菱形是中心对称图形可知：， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年初中学业水平模拟考试 九年级数学 说明： 1．本试卷共6页，23小题，答题卡8面，满分为120分，考试用时为120分钟． 2．答题前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔填写相关项目，用2B铅笔填涂对应号码． 3．选择题必须用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净再进行选涂． 4．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目的指定区域内相应位置上，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案．不准使用涂改液，不按要求作答的答案无效． 一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）每小题给出四个选项中只有一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑． 1. 比大1的数是（ ） A. B. 2027 C. D. 2025 2. 下列交通标志既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ） A. 禁止驶入 B. 两侧变窄 C. 环岛行驶 D. 两侧通行 3. 2026年春节假期，汕头全市累计实现旅游收入约71.56亿元．这一亮眼成绩得益于汕头以非遗民俗点燃年味，用潮汕美食征服味蕾，通过全域联动汇聚人气，强势跻身全国最热门旅游目的地之一．71.56亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如果将一副三角板按如图方式叠放，那么等于（ ） A. B. C. D. 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. “二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”，小杰购买了四张“二十四节气”主题邮票，其中“夏至”有两张，“雨水”和“惊蛰”各一张，从中随机抽取一张恰好抽到“夏至”的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 完全相同的4个正方形面积之和是100，则正方形的边长是（ ） A. 2 B. 5 C. 10 D. 20 8. 若点，，都在反比例函数的图象上，则（ ） A. B. C. D. 9. 一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径，水面宽，则截面圆心O到水面的距离是（　　） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 10. 已知抛物线如图所示，那么下列各式中不成立的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5小题，每题3分，共15分）将正确答案写在答题卡相应的位置上． 11. 古语有言“逸一时，误一世”，其意是教导青少年要珍惜时光，切勿浪费时间，浪费青春，其数字谐音为1，1，4，5，1，4．有关这一组数，众数是______． 12. 计算：______． 13. 一个关于 的一元一次不等式组的解在数轴上的表示如图所示，则该不等式组的解是__________． 14. 已知关于x的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是______． 15. 如图，为的内切圆，切点分别为，已知，则的半径为__________． 三、解答题（一）（本大题3小题，每小题7分，共21分） 16. 计算：． 17. 如图，在中，，． （1）实践与操作：用尺规作图法作线段的垂直平分线，交于点D，交于点E（保留作图痕迹，不要求写作法）； （2）应用与计算：在（1）的条件下，连接，若，则的长为 ． 18. 综合与实践 【主题】制作圆锥 【素材】直径为的圆形卡纸、剪刀、透明胶． 【实践操作】 步骤1：如图1，把直径为的圆形卡纸剪出一个圆心角为的最大扇形（图2）． 步骤2：如图3，将剪下的扇形卡纸无缝隙、不重叠地围成一个圆锥．并用透明胶粘住接合处． 【实践探索】 （1）求剪下的扇形的半径． （2）如图3，求此圆锥形卡纸的底面圆的半径． 四、解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分） 19. 每年的4月23日是世界读书日．某校为了解学生进行课外阅读的情况，在该校学生中随机抽取部分学生展开关于每周课外阅读时长的调查（每人必选其中一项），其中A：每周课外阅读小于1小时，B：每周课外阅读小时，C：每周课外阅读小时，D：每周课外阅读5小时以上．将参加调查的学生的数据整理后，依据样本数据得到如下两幅不完整的条形图和扇形图． 请根据图中所给出的信息解答下列问题： （1）本次调查的样本容量是______，______； （2）直接补全条形统计图； （3）扇形统计图中“C”部分对应扇形的圆心角为______， （4）若该校有2000名学生，请你估计每周阅读时长不少于3小时的学生有多少人． 20. 中秋节是我国的传统节日．月饼是中秋节的一种美食之一，月饼寓意着团 圆和完 美．“豆沙饼”是某地的特色月饼，深受当地人们的喜爱．某商店在中秋节来临之前，去当地的玉猫饼家订购普通豆沙月饼和蛋黄豆沙月饼两种进行试销．已知蛋黄豆沙月饼的单价是普通豆沙饼单价的倍，用元购进蛋黄豆沙饼的数量比用元购进普通豆沙月饼的数量多个． （1）普通豆沙月饼和蛋黄豆沙月饼的单价分别是多少？ （2）若某商店把蛋黄豆沙月饼以元销售时，那么半个月可以售出个．根据销售经验，把这个蛋黄豆沙月饼的单价每提高元，销量会相应减少个．将售价定为多少元时，才能使半个月获得的利润最大？最大利润是多少？ 21. 在中，已知为直径，点是弧上一点，弦，且弦，连交于点，点在的延长线上，． （1）求证：是的切线； （2）若，求的长． 五、解答题（三）（本大题2小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 综合与实践：纸张中藏着丰富的数学奥秘．某数学学习小组围绕“神奇的纸”开展主题学习． 【阅读资料】 纸张大小的设计不仅要有美感，还应具有实用性．纸是我们常见的矩形打印纸，将纸沿它的一条对称轴折叠（如图1），展开后，折痕两侧的两个小矩形称为纸，它们与原来的矩形相似，以其中一个为例，可记为矩形矩形；将纸类似地对折，得到与之相似的纸…，纸的大小设计能在纸张的剪裁中避免浪费，且方便缩放打印，可谓兼具强大的功能性与视觉美感． 【初探结论】 （1）如图1，设，求纸的长与宽的比值； 【作图再探】 （2）如图2，在（1）的条件下，连接，过点E作交于点G．试说明点G为边的中点； 【拓展应用】 （3）如图3，在（1）的条件下，再次折叠纸片，使点B落在上的点E处，折痕为，连接．试探究线段与的数量关系与位置关系． （4）如图4，在（1）的条件下，动点P，Q分别在边，上运动，连接P，Q，将四边形沿翻折得到四边形，调整点P和点Q的位置使得线段始终经过顶点D，是点到的距离，则的最大距离是 ．（用含的式子表示，保留根号） 23. 请根据小明的数学探究活动单，完成下列任务． 研究内容：“变换” 提出概念：已知点，如果点满足，那么称点是点P的“变换”点． 理解概念： （1）如图1，已知点和点，当时，求点P，Q对应的“变换”点，并在图1中画出线段． 探究性质： （2）研究发现：线段可由线段通过一次图形变换得到； 请描述这种图形变换（如果是平移请说明平移方向，距离；如果是轴对称请说明对称轴，如果是旋转请说明旋转中心，旋转方向，旋转角度）． （3）线段是线段的“变换”线，，请你求出直线的“变换”线，． 运用性质： （4）如图2，在平面直角坐标系中，菱形的顶点A，B，C的坐标分别为，，，曲线是反比例函数图象的“变换”线，，交边于点M，N，直线，分别交边于点E，F，记，，，的面积分别为，，，，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $