精品解析：广东省汕头龙湖区2025年九年级数学一模试卷　

2025年初中学业水平模拟考试 数学 说明： 1．全卷满分120分，考试用时120分钟． 2．选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡对应选项的信息点涂黑． 3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔写在答题卡相应位置，不准使用铅笔和涂改液，不按要求作答的答案无效． 一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）每小题给出四个选项中只有一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑 1. 的倒数是（ ） A. 2025 B. C. D. 2. 我国古代数学家刘徽用“牟合方盖”找到了球体体积的计算方法．“牟合方盖”是由两个圆柱分别从纵横两个方向嵌入一个正方体时两圆柱公共部分形成的几何体．如图所示的几何体是可以形成“牟合方盖”的一种模型，则它的俯视图是（　　） A. B. C. D. 3. 截至2025年4月3日，动画电影《哪吒之魔童闹海》全球累计票房已破亿元，暂列全球影史票房榜前五．“亿”这个数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，直线，一把含角的直角三角尺按所示位置摆放，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 计算的结果是（ ） A. 3 B. C. 2 D. 6. 如图1，以O为位似中心，作出的位似，使与的相似比为．图2和图3分别为珍珍和明明的作法，两人的作法中均保证，则下列说法正确的是（ ） A. 只有珍珍的作法正确 B. 只有明明的作法正确 C. 两个人的作法都正确 D. 两个人的作法都不正确 7. 如图，在中，，以和为边向两边分别作正方形，面积分别为和．已知，且，则的值为（ ） A. 14 B. 10 C. 44 D. 100 8. 不等式组的解集是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，一次函数的图象与反比例函数（为常数且）的图象都经过，结合图象，则不等式的解集是（　　） A. B. C. 或 D. 或 10. 烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物．通常用碳原子的个数命名为甲烷、乙烷、丙烷等，当碳原子数目超过10个时即用汉文数字表示（如十一烷、十二烷等），甲烷的化学式为，乙烷的化学式为，丙烷的化学式为，其分子结构模型如图所示，按照此规律，十五烷的化学式为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5小题，每题3分，共15分）将正确答案写在答题卡相应的位置上． 11. 分解因式：________． 12. 方程的根是________ 13. 综合实践小组的同学们利用自制密度计测量溶液的密度，当密度计悬浮在不同的液体中时，浸在溶液中的高度是液体的密度的反比例函数，其图象如图所示，当溶液密度时，密度计浸在溶液中的高度h为________． 14. 2024年7月27日，“北京中轴线——中国理想都城秩序的杰作”被正式列入《世界遗产名录》．中轴线上的故宫博物院是深受大众喜爱的旅游景点之一，据统计2024年国庆假期共接待观众万人次，2026年国庆假期接待的观众预期达到58万人次，求国庆假期接待观众人次的年平均增长率．设国庆假期接待观众人次的年平均增长率为x，则可列方程为______． 15. 如图，，是平行四边形的边上的两点，连接，交于点，的面积为，的面积为，四边形的面积为，则图中阴影部分的面积为________． 三、解答题（一）（本大题3小题，每小题7分，共21分） 16. 计算：． 17. 如图，在中，，，． （1）利用尺规在上找到一点E，使得（保留作图痕迹，不写作法）； （2）连接，则的面积为________． 18. 列方程解决实际问题： 2024年12月2日，中央广播电视总台《2025年春节联欢晚会》发布官方吉祥物形象“巳（sì）升升”，祝福全球华人在新的一年如意康宁，好事连连．2025蛇年春晚吉祥物的设计是从中华传统文化中寻找的灵感，整体造型参考甲骨文中的“巳”字，其形象既憨态可掬，又富有古意． 某商店销售A，B两款“巳升升”吉祥物，已知A款吉祥物的单价比B款吉祥物的单价高20元．若顾客花800元购买A款吉祥物的数量与花600元购买B款吉祥物的数量相同，则A，B两款吉祥物的单价分别是多少元？ 四、解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分） 19. 某校为了解全校学生对新闻、体育、动画、娱乐、戏曲五类电视节目的喜爱情况，随机选取该校部分学生进行调查，要求每名学生从中只选出一类最喜爱的电视节目，以下是根据调查结果绘制的统计图表的一部分． 类别 A B C D E 节目类型 新闻 体育 动画 娱乐 戏曲 人数 12 30 m 54 9 请你根据以上的信息，回答下列问题： （1）被调查学生的总数为 人，统计表中m的值为 ，统计图中n的值为 ； （2）在统计图中，E类所对应扇形的圆心角的度数为 ； （3）喜爱体育电视节目的学生中有4人（甲、乙、丙、丁）在学校参加体育训练，现要从4个人中选拔两人代表参加市运动会，求出甲丙同时被选中的概率是多少．（用列表法或树状图法求概率） 20. 小明从科普读物中了解到，光从真空射入介质发生折射时，入射角的正弦值与折射角的正弦值的比值叫做介质的“绝对折射率”，简称“折射率”．它表示光在介质中传播时，介质对光作用的一种特征． （1）若光从真空射入某介质，入射角为，折射角为，且，，求该介质的折射率； （2）现有一块与（1）中折射率相同的长方体介质，如图①所示，点A，B，C，D分别是长方体棱的中点，若光线经真空从矩形对角线交点O处射入，其折射光线恰好从点C处射出．如图②，已知，，求截面的面积． 21. 如图，是的直径，点C在上，是的切线，平分交于点D，交于点F． （1）求证：． （2）若，求的长． 五、解答题（三）（本大题2小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 【知识技能】 （1）如图1，在矩形中，，，点是边的中点，点是边上的一个动点，将沿直线翻折，点落在点处．求证：． 【数学理解】 （2）在（1）的条件下，连接，若，求的最小值． 【拓展延伸】 （3）如图2，在（1）的条件下，若，连接，延长交对角线于点，当时，求的长． 23. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过、两点，在第一象限的抛物线上取一点，过点作轴于点，交于点． （1）求这条抛物线所对应的函数表达式； （2）是否存在点，使得和相似？若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由； （3）是第一象限内抛物线上的动点（不与点重合），过点作轴的垂线交于点，连接，当四边形为菱形时，求点的横坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年初中学业水平模拟考试 数学 说明： 1．全卷满分120分，考试用时120分钟． 2．选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡对应选项的信息点涂黑． 3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔写在答题卡相应位置，不准使用铅笔和涂改液，不按要求作答的答案无效． 一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）每小题给出四个选项中只有一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑 1. 的倒数是（ ） A. 2025 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了倒数，理解倒数的概念是解题的关键．倒数的定义是乘积为1的两个数互为倒数，根据倒数的定义回答即可． 【详解】解：∵ 一个数 的倒数为 ， ∴ 的倒数为 ＝ ， 故选 ：B 2. 我国古代数学家刘徽用“牟合方盖”找到了球体体积的计算方法．“牟合方盖”是由两个圆柱分别从纵横两个方向嵌入一个正方体时两圆柱公共部分形成的几何体．如图所示的几何体是可以形成“牟合方盖”的一种模型，则它的俯视图是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了简单几何体的三视图，根据俯视图即从物体的上面观察得得到的视图，进而得出答案． 【详解】解：该几何体左边是一个圆柱，从上面看，看到的是一个长方形，该几何体右边下部分是正方体，上部分是圆柱，看到的是一个正方形内里镶嵌一个圆， 即该几何体的俯视图是：． 故选：A． 3. 截至2025年4月3日，动画电影《哪吒之魔童闹海》全球累计票房已破亿元，暂列全球影史票房榜前五．“亿”这个数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值大于与小数点移动的位数相同． 【详解】解：亿， 故选：C． 4. 如图，直线，一把含角的直角三角尺按所示位置摆放，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，根据已知易得：，然后利用平行线的性质可得，从而利用角的和差关系进行计算即可解答． 【详解】解：如图： ∵，， ∴， ∵直线， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 5. 计算的结果是（ ） A. 3 B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】同分母分式相加，分母不变，分子相加，进行计算即可． 【详解】解：； 故选A． 【点睛】本题考查分式的加减．熟练掌握同分母分式相加，分母不变，分子相加，是解题的关键．注意结果要化为最简分式或整式． 6. 如图1，以O为位似中心，作出的位似，使与的相似比为．图2和图3分别为珍珍和明明的作法，两人的作法中均保证，则下列说法正确的是（ ） A. 只有珍珍的作法正确 B. 只有明明的作法正确 C. 两个人的作法都正确 D. 两个人的作法都不正确 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查已知位似中心画位似图形，对应边满足比值等于位似比，根据此解题即可． 【详解】解：确定位似中心；分别连接并延长位似中心和顶点；根据相似比，确定对应点的位似图形的点；顺次连接各点，得到位视图形；而珍珍和明明画的位似图形，对应边满足比值等于位似比，则珍珍和明明都正确． 故选：C． 7. 如图，在中，，以和为边向两边分别作正方形，面积分别为和．已知，且，则的值为（ ） A. 14 B. 10 C. 44 D. 100 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查正方形的面积以及勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据题意求出的长，再由勾股定理求出，即可得到答案． 【详解】解：， ， ， ， ， 故选D． 8. 不等式组的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出不等式组中两个不等式的解集，再求出两个不等式解集的公共部分即可得到答案． 【详解】解： 解①得， 解②得 ∴原不等式组的解集为：， 故选：B． 【点睛】本题考查不等式组的解集，解题的关键是掌握解不等式组的基本步骤． 9. 如图，一次函数的图象与反比例函数（为常数且）的图象都经过，结合图象，则不等式的解集是（　　） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】根据一次函数图象在反比例函数图象上方的的取值范围便是不等式的解集． 【详解】解：由函数图象可知，当一次函数的图象在反比例函数（为常数且）的图象上方时，的取值范围是：或， ∴不等式的解集是或. 故选C． 【点睛】本题是一次函数图象与反比例函数图象的交点问题：主要考查了由函数图象求不等式的解集．利用数形结合是解题的关键． 10. 烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物．通常用碳原子的个数命名为甲烷、乙烷、丙烷等，当碳原子数目超过10个时即用汉文数字表示（如十一烷、十二烷等），甲烷的化学式为，乙烷的化学式为，丙烷的化学式为，其分子结构模型如图所示，按照此规律，十五烷的化学式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查图形类的变化类，根据图形，可以写出C和H的个数，然后即可发现C和H的变化特点，从而可以写出十六烷的化学式． 【详解】解：由图可得， 甲烷的化学式中的C有1个，H有（个）， 乙烷的化学式中的C有2个，H有（个）， 丙烷的化学式中的C有3个，H有（个）， ， 十六烷的化学式中的C有15个，H有（个）， 即十五烷的化学式为， 故选：B． 二、填空题（本大题共5小题，每题3分，共15分）将正确答案写在答题卡相应的位置上． 11. 分解因式：________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了分解因式，利用完全平方公式分解即可，熟练掌握完全平方公式是解此题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 方程的根是________ 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程．根据因式分解求解即可． 【详解】解：因式分解得， ∴，， 解得，， 故答案为：，． 13. 综合实践小组的同学们利用自制密度计测量溶液的密度，当密度计悬浮在不同的液体中时，浸在溶液中的高度是液体的密度的反比例函数，其图象如图所示，当溶液密度时，密度计浸在溶液中的高度h为________． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，由题意可得，设，把代入解析式即可求出k的值，再代入即可求出答案． 【详解】解：设h关于的函数解析式为， 把代入解析式，得， h关于的函数解析式为， 当时，， 故答案为：10． 14. 2024年7月27日，“北京中轴线——中国理想都城秩序的杰作”被正式列入《世界遗产名录》．中轴线上的故宫博物院是深受大众喜爱的旅游景点之一，据统计2024年国庆假期共接待观众万人次，2026年国庆假期接待的观众预期达到58万人次，求国庆假期接待观众人次的年平均增长率．设国庆假期接待观众人次的年平均增长率为x，则可列方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程：熟悉增长率模型列方程是解决问题的关键．利用增长率模型列出一元二次方程即可． 【详解】解：设国庆假期接待观众人次的年平均增长率为x， 根据题意得： 故答案为： 15. 如图，，是平行四边形的边上的两点，连接，交于点，的面积为，的面积为，四边形的面积为，则图中阴影部分的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，熟记平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质是解题的关键．连接．根据相似三角形的面积比等于相似比的平方得出．得出三角形的面积，推出的面积．从而推出结果． 【详解】解：如图，连接． ， ． 的面积为，的面积为， ． ， 的面积为． 的面积为． 又的面积为，的面积为，四边形的面积为， 阴影部分的面积． 故答案为：． 三、解答题（一）（本大题3小题，每小题7分，共21分） 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】先根据一个数的负指数幂等于正指数幂的倒数，一个不等于零的数的零指数幂为１，一个数的绝对值是非负数，特殊角三角函数值sin60°=，求出各项的值即可． 【详解】解：原式 【点睛】本题考查实数的混合运算；特殊角三角函数值． 17. 如图，在中，，，． （1）利用尺规在上找到一点E，使得（保留作图痕迹，不写作法）； （2）连接，则的面积为________． 【答案】（1） 如图，点E即为所求； （2）6 【解析】 【分析】本题考查作图，三角形的面积，线段垂直平分线的性质，勾股定理等知识； （1）作线段的垂直平分线交于点E，连接即可； （2）设，利用勾股定理构建方程求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接，如图： 设， ∵，， 在中，则有， ∴， ∴， ∴的面积． 故答案为：6． 18. 列方程解决实际问题： 2024年12月2日，中央广播电视总台《2025年春节联欢晚会》发布官方吉祥物形象“巳（sì）升升”，祝福全球华人在新的一年如意康宁，好事连连．2025蛇年春晚吉祥物的设计是从中华传统文化中寻找的灵感，整体造型参考甲骨文中的“巳”字，其形象既憨态可掬，又富有古意． 某商店销售A，B两款“巳升升”吉祥物，已知A款吉祥物的单价比B款吉祥物的单价高20元．若顾客花800元购买A款吉祥物的数量与花600元购买B款吉祥物的数量相同，则A，B两款吉祥物的单价分别是多少元？ 【答案】每个B款吉祥物的售价为60元，每个A款吉祥物的售价为80元 【解析】 【分析】本题考查了分式方程实际应用问题，根据题意找到相等关系是解题的关键． 设一个B款吉祥物的售价为x元，则一个A款吉祥物的售价为元，根据顾客花800元购买A款吉祥物的数量与花600元购买B款吉祥物的数量相同，即可列出等量关系求解． 【详解】解：设一个B款吉祥物的售价为x元，则一个A款吉祥物的售价为元． 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合实际意义， ∴． 答：每个B款吉祥物的售价为60元，每个A款吉祥物的售价为80元． 四、解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分） 19. 某校为了解全校学生对新闻、体育、动画、娱乐、戏曲五类电视节目的喜爱情况，随机选取该校部分学生进行调查，要求每名学生从中只选出一类最喜爱的电视节目，以下是根据调查结果绘制的统计图表的一部分． 类别 A B C D E 节目类型 新闻 体育 动画 娱乐 戏曲 人数 12 30 m 54 9 请你根据以上的信息，回答下列问题： （1）被调查学生的总数为 人，统计表中m的值为 ，统计图中n的值为 ； （2）在统计图中，E类所对应扇形的圆心角的度数为 ； （3）喜爱体育电视节目的学生中有4人（甲、乙、丙、丁）在学校参加体育训练，现要从4个人中选拔两人代表参加市运动会，求出甲丙同时被选中的概率是多少．（用列表法或树状图法求概率） 【答案】（1）150，45，36 （2）21.6° （3） 【解析】 【分析】（1）用B类别人数除以其所占百分比可得被调查学生的总数，即可解决问题； （2）用360°乘以E类别人数所占比例即可； （3）画树状图，共有12种等可能的结果，其中甲丙同时被选中的结果有2种，再由概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：被调查的学生总数为：30÷20%＝150（人）， 则m＝150﹣（12＋30＋9＋54）＝45，n%＝54÷150×100%＝36%， ∴n＝36， 故答案为：150，45，36； 【小问2详解】 解：E类所对应扇形的圆心角的度数为360°×＝21.6°， 故答案为：21.6°； 【小问3详解】 解：画树状图，如图所示： 共有12种等可能的结果，其中甲丙同时被选中的结果有2种， ∴甲丙同时被选中的概率为＝． 【点睛】本题考查统计与概率，涉及到扇形统计图、树状图或列表法求概率，解决问题的关键是掌握扇形统计图及画树状图或列表求概率的方法． 20. 小明从科普读物中了解到，光从真空射入介质发生折射时，入射角的正弦值与折射角的正弦值的比值叫做介质的“绝对折射率”，简称“折射率”．它表示光在介质中传播时，介质对光作用的一种特征． （1）若光从真空射入某介质，入射角为，折射角为，且，，求该介质的折射率； （2）现有一块与（1）中折射率相同的长方体介质，如图①所示，点A，B，C，D分别是长方体棱的中点，若光线经真空从矩形对角线交点O处射入，其折射光线恰好从点C处射出．如图②，已知，，求截面的面积． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，勾股定理等知识， （1）根据，设，则，利用勾股定理求出，进而可得，问题即可得解； （2）根据折射率与（1）的材料相同，可得折射率为，根据，可得，则有，在中，设，，问题随之得解． 【小问1详解】 ∵， ∴如图， 设，则，由勾股定理得，， ∴， 又∵， ∴， ∴折射率为：． 【小问2详解】 根据折射率与（1）的材料相同，可得折射率为， ∵， ∴， ∴． ∵四边形是矩形，点O是中点， ∴，， 又∵， ∴， 在中，设，， 由勾股定理得，， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴截面的面积为：． 21. 如图，是的直径，点C在上，是的切线，平分交于点D，交于点F． （1）求证：． （2）若，求的长． 【答案】（1）证明：如图，由BE平分∠ABC， 是的直径， 是的切线 ． （2） 【解析】 【分析】（1）根据角平分线的定义可得，根据对顶角相等可得，根据直径所对的圆周角是直角可得，根据切线的性质可得，进而可得，根据等角对等边即可证明， （2）过点作于点，可得，设，则，在中，利用勾股定理建立方程，解方程求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，过点作于点， 平分 ， 设，则 在中 解得 当时，，不合题意，舍去 ， 即CD的长为． 五、解答题（三）（本大题2小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 【知识技能】 （1）如图1，在矩形中，，，点是边的中点，点是边上的一个动点，将沿直线翻折，点落在点处．求证：． 【数学理解】 （2）在（1）的条件下，连接，若，求的最小值． 【拓展延伸】 （3）如图2，在（1）的条件下，若，连接，延长交对角线于点，当时，求的长． 【答案】（1）证明：∵是的中点， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， ∴； （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）根据折叠可得，，进而根据三角形内角和定理得出，进而根据内错角相等两直线平行，即可得证； （2）连接，，则在以为直径，为圆心的圆上运动，当在上时， 的值最小．勾股定理求得的长，即可求解； （3）过点作于点，勾股定理求得，根据，则，设，则，，根据得出，即可得出，根据，即可求解． 【详解】（1）略 （2）如图，连接，， ∵， ∴在以为直径，为圆心的圆上运动， ∴当在上时， 的值最小． ∵，， ∴，则， ∴的最小值为； （3）在矩形中，，， ∴四边形是正方形， 如图，过点作于点， ∵是正方形的对角线，， ∴， ∴是等腰直角三角形， 则， ∵， 由（2）可得是的直径，在上，则， ∴， ∵， ∴， 设，则，， ∴， ∴，则． ∴． 23. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过、两点，在第一象限的抛物线上取一点，过点作轴于点，交于点． （1）求这条抛物线所对应的函数表达式； （2）是否存在点，使得和相似？若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由； （3）是第一象限内抛物线上的动点（不与点重合），过点作轴的垂线交于点，连接，当四边形为菱形时，求点的横坐标． 【答案】（1） （2）点的坐标为或 （3）或 【解析】 【分析】（1）先求出A、B的坐标，然后代入，求出b、c的值即可； （2）由对顶角的性质性质知，若存在和相似，则有和两种情况，然后分情况讨论，利用相似三角形的性质求解即可； （3）设点，，，，则，，根据菱形的性质得出，可求出，过点作于，可得，利用等角的余弦值相等得出，求出，根据菱形的性质得出，解方程求出m的值即可． 【小问1详解】 解：令，则，则；令，则 ∴， 把，代入，得： 解得： ∴这条抛物线所对应的函数表达式为：； 【小问2详解】 解：存在点，使得和相似． 设点，则，， ∴，，，， ∵和相似， ∴或 ①如图1，当时， ∴ ∴点纵坐标为6 ∴，解得：或 ∴ ②如图2，当时， 过B作于H ∴ ∴ ∴ ∴，解得：（舍去）或 ∴ 综上所述，点的坐标为或． 【小问3详解】 如图3，∵四边形为菱形 ∴，， 设点，，， ∴， ∴，即 ∵ ∴，即或 ∵， ∴， ∴ 过点作于 ∴ ∴ ∴，即 ∴ ∵ ∴ 解得：或（不合题意已舍去） ∴点D的横坐标为或． 【点睛】本题是常见的中考数学压轴题型，综合性比较强，涉及到知识点较多；主要考查了待定系数法求二次函数的解析式，相似三角形的性质，菱形的性质；解题时要能够灵活运用所学的数学知识，要会分类讨论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $