精品解析：2026年广西壮族自治区钦州市第一中学一模数学试题

数学一模 一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的．） 1. 下表统计了某年欧盟部分成员国某商品的出口额比上年的增长率： 法国 意大利 德国 西班牙 则增长率最低的是（ ） A. 法国 B. 意大利 C. 德国 D. 西班牙 2. 如图，在平面内将三角形标志绕其中心旋转后得到的图案（ ） A. B. C. D. 3. 要使分式有意义，的取值范围满足（ ） A. B. C. D. 4. 光年是天文学上的一种距离单位，一光年是指光在一年内走过的路程，约等于．据探测某星体距离地球约为2光年，则2光年用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 5. 若关于x的一元二次方程有两个实数根，，则（ ） A. 6 B. 3 C. D. 6. 某校机器人编程团队参加广东省创意机器人大赛，7位评委给出的分数为95，92，96，94，95，88，95．这组数据的中位数、众数分别是（ ） A. 92，94 B. 95，95 C. 94，95 D. 95，96 7. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，直线于，直线交于，，则等于（ ） A. B. C. D. 9. 若一次函数的图象平移后经过原点，下列平移方式正确的是（ ） A. 向左平移5个单位 B. 向右平移5个单位 C. 向下平移5个单位 D. 向上平移5个单位 10. 如图，为直径，交弦AD于点E，若E点为AD中点，则说法错误的是（ ） A. B. C. D. 11. 某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出相同数目的小分支，主干、支干、小分支的总数是111．若设每个支干长出的小分支的个数是x，则下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 12. 如图所示，E、F、G、H分别为正方形的边上的点，且，则图中阴影部分的面积与正方形的面积之比为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．） 13. 二元一次方程组的解是_______． 14. 小智利用空的薯片筒、塑料膜等器材，自制了一个可以探究小孔成像特点的物理实验装置，如图，他在薯片筒的底部中央打上一个小圆孔，再用半透明的塑料膜蒙在空筒的口上作光屏，可知得到的像与蜡烛火焰位似，其位似中心为，其中薯片筒的长度为．蜡烛火焰高为，若像高为，则蜡烛到薯片筒打小孔的底部的距离为_____． 15. 现有六张分别标有数字的卡片，其中标有数字的卡片在甲手中，标有数字的卡片在乙手中．两人各随机出一张卡片，甲出的卡片数字比乙大的概率是________． 16. 市民广场有一个直径16 m的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头（喷水头高度忽略不计），各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物OA的顶端A处汇合，水柱离中心3 m处达最高5 m，如图所示建立直角坐标系．王师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高1.8 m的他站立时必须在离水池中心O______m以内． 三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. （1）计算：； （2）化简： 18. 如图，网格中每个小正方形的边长均为，线段，线段的端点均在小正方形的顶点上． （1）在图中画以为斜边的等腰直角，顶点在小正方形的格点上且在下方； （2）在（1）的条件下，在图中以为边画直角，点在小正方形的格点上，使，且的面积为6，连接，并直接写出长． 19. 2025年2月，广东省教育厅发布《关于保障中小学生每天综合体育活动时间不低于两小时的通知》．某校为更好地落实文件精神并了解学生参加体育活动的情况，随机抽取部分学生进行问卷调查，并对所得数据进行处理．部分信息如下： 调查问卷 整理与描述 1．你每天参加体育活动（含体育课）的时间（单位：小时）（ ）（单选） A． B． C． D． 2．随着体育活动时间的延长，学校拟增设体育活动项目，你希望增设的活动项目有（ ）（可多选） E．球类 F．田径类 G．体操类 H．水上类 希望增设的活动项目统计表 活动项目 球类 田径类 体操类 水上类 百分比 根据以上信息，解答下列问题： （1）求参与这次问卷调查的学生人数． （2）估计该校1000名学生中每天参加体育活动时间不低于两小时的学生人数． （3）基于上述两项调查的数据，提炼出一条信息，并向学校提出相应的建议． 20. 如图，四边形内接于，且的半径为r，． （1）若，求的长． （2）若，求证：． 21. 探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，观察分析图象特征，概括函数的性质．小丽结合已有的经验探究的图象及性质． （1）绘制函数图象； ①列表：下表是x与y的几组对应值，其中m__________，n__________； ②描点：根据表中的数值描点，并描出了一部分点，请补充描出点； x … 0 1 2 3 4 5 6 … … n 2 m 2 1 … ③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，请画出函数图象； （2）探究函数性质；请写出函数的一条性质：________________________， （3）根据函数图象，写出不等式解集是________． 22. 根据以下素材，探索完成任务． 材料 如图，某经济开发区计划在道路上方搭建一座抛物线形彩虹桥，已知道路的宽为（路内侧两边各有宽的绿化带，其余路面正常通行），桥面最高处与路面的距离为． （1）任务1：以所在直线为轴，以的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，求该抛物线形彩虹桥的解析式． （2）任务2：按计划在该彩虹桥下方需对称安置两个支撑柱进行支撑，若要确保道路的正常通行，求支撑柱的最大高度． （3）任务3：若在该彩虹桥下方有一个限高的横杆，现要在横杆上方悬挂一个长、宽的横幅，在不超出桥面的情况下，横幅能否按计划悬挂（不考虑横杆的宽度）？请通过计算说明． 23. 如图，已知和均为等腰直角三角形． （1）如图①，连接，，则与的数量关系为________；直线与所夹角的度数为________． （2）将绕点逆时针旋转一周，当旋转至如图②所示的位置时，取，的中点分别为，，连接，． ①试问：的值是否随的旋转而变化？若不变，请求出该值；若变化，请说明理由． ②已知，且在旋转的过程中，面积的最大值为，则在旋转的过程中，线段的最大值为________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学一模 一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的．） 1. 下表统计了某年欧盟部分成员国某商品的出口额比上年的增长率： 法国 意大利 德国 西班牙 则增长率最低的是（ ） A. 法国 B. 意大利 C. 德国 D. 西班牙 【答案】D 【解析】 【详解】本题考查有理数的大小比较，只需将四个增长率排序，找出最小增长率对应的国家即可． 【点睛】解：、、， ， ， 因此，增长率最低的是西班牙． 2. 如图，在平面内将三角形标志绕其中心旋转后得到的图案（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据旋转的性质可进行求解． 【详解】解：由旋转的性质可知只有D选项符合题意； 故选D． 【点睛】本题主要考查旋转，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 3. 要使分式有意义，的取值范围满足（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据分式有意义的条件进行求解即可． 【详解】解：∵要使分式有意义， ∴， ∴， 故选B． 【点睛】本题主要考查了分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分母不为0是解题的关键． 4. 光年是天文学上的一种距离单位，一光年是指光在一年内走过的路程，约等于．据探测某星体距离地球约为2光年，则2光年用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先计算出2光年的值等于，再用科学记数法表示该数即可． 【详解】， ． 故选：C． 【点睛】本题考查科学记数法，熟练掌握科学记数法的形式，其中为整数是解题的关键． 5. 若关于x的一元二次方程有两个实数根，，则（ ） A. 6 B. 3 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查根与系数的关系．根据一元二次方程根与系数的关系， 即可求解． 【详解】解：关于x的一元二次方程有两个实数根，， 根据根与系数的关系得 故选：A． 6. 某校机器人编程团队参加广东省创意机器人大赛，7位评委给出的分数为95，92，96，94，95，88，95．这组数据的中位数、众数分别是（ ） A. 92，94 B. 95，95 C. 94，95 D. 95，96 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中位数和众数，熟知中位数和众数的定义是解题的关键．中位数是将数据从小到大排列后位于中间位置的数；众数是出现次数最多的数，据此即可求解． 【详解】解：将7个评委分数从小到大排列为：88，92，94，95，95，95，96， 中位数为第4个数，即95； 数据中出现次数最多的数是95（出现3次），故众数为95； ∴这组数据的中位数、众数分别是95，95． 故选：B． 7. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据积的乘方计算法则即可判断A；根据负整数指数幂的计算法则即可判断B；根据单项式乘以多项式的计算法则即可判断C；根据多项式除以单项式的计算法则即可判断D． 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算正确，符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选B． 【点睛】本题主要考查了积的乘方，负整数指数幂，多项式除以单项式，单项式乘以多项式，熟知相关计算法则是解题的关键． 8. 如图，直线于，直线交于，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据垂直的定义得到，则，由此根据对顶角相等可得． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了垂直的定义，对顶角相等，灵活运用所学知识是解题的关键． 9. 若一次函数的图象平移后经过原点，下列平移方式正确的是（ ） A. 向左平移5个单位 B. 向右平移5个单位 C. 向下平移5个单位 D. 向上平移5个单位 【答案】C 【解析】 【分析】平移后相当于x不变y减少了5个单位，由此可得出答案． 【详解】解：要平移后经过原点，只需将函数的图象向下平移5个单位． 故选：C． 【点睛】本题考查了一次函数平移的问题，掌握一次函数平移的性质是解题的关键． 10. 如图，为直径，交弦AD于点E，若E点为AD中点，则说法错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据垂径定理的推论和垂径定理进行判断即可． 【详解】解：∵为直径，E点为AD中点， ∴， ∴，， 故选：D． 【点睛】本题考查了垂径定理，解题关键是熟练运用垂径定理及推论进行证明推导． 11. 某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出相同数目的小分支，主干、支干、小分支的总数是111．若设每个支干长出的小分支的个数是x，则下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设每个支干长出x个小分支，则主干生出x个支干，而x个支干每个又生出x个小分支，所以一共有个，从而可列出方程． 【详解】解：设每个支干长出x个小分支， 依题意可列方程： 故选C． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用．理解题意，找出等量关系是解题关键． 12. 如图所示，E、F、G、H分别为正方形的边上的点，且，则图中阴影部分的面积与正方形的面积之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先证明，证得，同理可得，，，同理可以证明是全等的直角三角形，它们的面积相等，证明四边形是平行四边形，则，则，令正方形的边长是a，，得到正方形的面积是，的面积是，由得到，则阴影的面积＝，即可得到答案． 【详解】解：如图， ∵四边形是正方形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理：， ∴， ∴， ∴， 同理可以证明是全等的直角三角形，它们的面积相等， ∵，，，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 令正方形的边长是a，，则， ∴正方形的面积是，的面积是， ∵， ∴， ∵阴影的面积＝， ∴阴影部分的面积与正方形的面积的比是． 故选：A． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理、正方形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质和平行线分线段成比例定理是解题的关键． 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．） 13. 二元一次方程组的解是_______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了解二元一次方程组，由得，，解得，把代入①得，，解得，即可得到答案． 【详解】解： 得，， 解得， 把代入①得，， 解得， ∴， 故答案为：． 14. 小智利用空的薯片筒、塑料膜等器材，自制了一个可以探究小孔成像特点的物理实验装置，如图，他在薯片筒的底部中央打上一个小圆孔，再用半透明的塑料膜蒙在空筒的口上作光屏，可知得到的像与蜡烛火焰位似，其位似中心为，其中薯片筒的长度为．蜡烛火焰高为，若像高为，则蜡烛到薯片筒打小孔的底部的距离为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查位似，相似的性质，连接，过点O作于点E，于点F，先判定，即可得对应高之比等于相似比，即可得，即可求解． 【详解】解：如图，连接，过点O作于点E，于点F， 由像与蜡烛火焰位似，其位似中心为， ∴， ∵相似比为：， ∴对应高的比为：， ∴， ∴蜡烛到薯片筒打小孔的底部的距离为， 故答案为：． 15. 现有六张分别标有数字的卡片，其中标有数字的卡片在甲手中，标有数字的卡片在乙手中．两人各随机出一张卡片，甲出的卡片数字比乙大的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了树状图或列表法求解概率，正确画出树状图或列出表格是解题的关键． 先画出树状图得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】解：画树状图为： 由树状图可知一共有9种等可能性的结果数，其中甲出的卡片数字比乙大的结果数有4种， ∴甲出的卡片数字比乙大的概率是． 故答案为： 16. 市民广场有一个直径16 m的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头（喷水头高度忽略不计），各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物OA的顶端A处汇合，水柱离中心3 m处达最高5 m，如图所示建立直角坐标系．王师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高1.8 m的他站立时必须在离水池中心O______m以内． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，根据题意可得第一象限内抛物线的最高点为，且经过，用待定系数法可求出，当时，即可求解；能从实际意义中找出顶点坐标，会用待定系数法求出解析式，理解不被淋湿的条件是解题的关键． 【详解】解：由题意得 第一象限内抛物线的最高点为，且经过， 可设， ， 解得：， ， 当时， ， 解得：，（舍去）， 当时， ， 第二象限的抛物线同理可求， 不被淋湿， 他站立时必须在离水池中心O以内； 故答案：． 三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. （1）计算：； （2）化简： 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合运算、分式的混合运算等知识点，灵活运用相关知识点成为解题的关键． （1）先算乘方，然后再运用有理数四则混合运算法则计算即可； （2）直接运用分式的混合运算法则计算即可． 【详解】解：（1） ． （2） ． 18. 如图，网格中每个小正方形的边长均为，线段，线段的端点均在小正方形的顶点上． （1）在图中画以为斜边的等腰直角，顶点在小正方形的格点上且在下方； （2）在（1）的条件下，在图中以为边画直角，点在小正方形的格点上，使，且的面积为6，连接，并直接写出长． 【答案】（1）见解析 （2），图见解析 【解析】 【分析】（1）以为斜边画出等腰直角三角形即可； （2）根据要求画出，利用勾股定理求出的长即可． 【小问1详解】 等腰直角如图所示， 【小问2详解】 如图所示， ， ， ， 如图：． 【点睛】本题考查作图——应用与设计，勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，体现了数形结合的思想． 19. 2025年2月，广东省教育厅发布《关于保障中小学生每天综合体育活动时间不低于两小时的通知》．某校为更好地落实文件精神并了解学生参加体育活动的情况，随机抽取部分学生进行问卷调查，并对所得数据进行处理．部分信息如下： 调查问卷 整理与描述 1．你每天参加体育活动（含体育课）的时间（单位：小时）（ ）（单选） A． B． C． D． 2．随着体育活动时间的延长，学校拟增设体育活动项目，你希望增设的活动项目有（ ）（可多选） E．球类 F．田径类 G．体操类 H．水上类 希望增设的活动项目统计表 活动项目 球类 田径类 体操类 水上类 百分比 根据以上信息，解答下列问题： （1）求参与这次问卷调查的学生人数． （2）估计该校1000名学生中每天参加体育活动时间不低于两小时的学生人数． （3）基于上述两项调查的数据，提炼出一条信息，并向学校提出相应的建议． 【答案】（1）200人 （2）375人 （3）见解析（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图的信息关联，用样本估计总体，统计表等知识点，正确理解题意是解题的关键． （1）根据条形统计图得到参加体育活动（合体育课）的时间人数，再相加即可； （2）用1000人乘以每天参加体育活动时间不低于两小时的学生人数占比即可； （3）答案不唯一，合理即可． 【小问1详解】 解：这次问卷调查的学生人数为：（人）， 答：参与这次问卷调查的学生人数有200人； 【小问2详解】 解：（人）， 答：每天参加体育活动时间不低于两小时的学生人数为人； 【小问3详解】 解：从第二项活动可看出学生更加喜欢球类活动，建议：学校可以适当的增加有关球类活动的项目和设施．（答案不唯一） 20. 如图，四边形内接于，且的半径为r，． （1）若，求的长． （2）若，求证：． 【答案】（1） （2）见解析 【解析】 【分析】（1）连接，，根据圆内接四边形的性质得到，由圆周角定理得到，根据弧长的公式即可得到结论； （2）根据，得，根据，得，所以，，可得为等边三角形，即可得出结论． 【小问1详解】 解：连接，，， 四边形内接于，， ， ， 的长为； 【小问2详解】 证明：， ， ， ， ， ， ， 为等边三角形， ． 【点睛】本题考查的是圆周角定理、弧长的计算、圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 21. 探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，观察分析图象特征，概括函数的性质．小丽结合已有的经验探究的图象及性质． （1）绘制函数图象； ①列表：下表是x与y的几组对应值，其中m__________，n__________； ②描点：根据表中的数值描点，并描出了一部分点，请补充描出点； x … 0 1 2 3 4 5 6 … … n 2 m 2 1 … ③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，请画出函数图象； （2）探究函数性质；请写出函数的一条性质：________________________， （3）根据函数图象，写出不等式解集是________． 【答案】（1）①4，1；②描点见解析；③函数图象见解析 （2）当时，函数有最大值，最大值为4 （3） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质，从函数图象获取信息， （1）①分别把，分别代入，进行计算即可得；②按照点的坐标描点即可；③连线画出图象即可得； （2）根据函数图象即可得； （3）根据函数图像得当时，函数值为1，当时，函数值为1，即可得； 掌握一次函数的性是解题的关键． 【小问1详解】 解：①当时，； 当时，， 故答案为：4，1； ②描点如下图；③函数图像如下图： 【小问2详解】 解：根据函数图象得，当时，函数有最大值，最大值为4， 故答案为：当时，函数有最大值，最大值为4； 【小问3详解】 解：根据函数图象得，当时，函数值为1，当时，函数值为1， 即不等式解集是， 故答案为：． 22. 根据以下素材，探索完成任务． 材料 如图，某经济开发区计划在道路上方搭建一座抛物线形彩虹桥，已知道路的宽为（路内侧两边各有宽的绿化带，其余路面正常通行），桥面最高处与路面的距离为． （1）任务1：以所在直线为轴，以的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，求该抛物线形彩虹桥的解析式． （2）任务2：按计划在该彩虹桥下方需对称安置两个支撑柱进行支撑，若要确保道路的正常通行，求支撑柱的最大高度． （3）任务3：若在该彩虹桥下方有一个限高的横杆，现要在横杆上方悬挂一个长、宽的横幅，在不超出桥面的情况下，横幅能否按计划悬挂（不考虑横杆的宽度）？请通过计算说明． 【答案】（1） （2） （3）横幅能按计划悬挂，见解析 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的图象性质是解题的关键． （1）根据题意建立平面直角坐标系，确定抛物线顶点坐标和点坐标，利用待定系数法求解即可； （2）根据“确保道路正常通行”确定支撑柱的横坐标范围，代入抛物线解析式求解即可； （3）根据横幅的高度确定其顶部离地面的距离，令函数值等于该距离，求出对应的横坐标，计算此时桥面的宽度，与横幅宽度进行比较即可． 【小问1详解】 解：根据题意建立平面直角坐标系，如图所示： 、， 顶点，点， 设该抛物线的解析式为， 将代入得：， 解得：， 该抛物线形彩虹桥的解析式为； 【小问2详解】 解：要确保道路的正常通行， 两个支撑柱之间的距离最少为， 支撑柱对称安置且要确保道路正常通行， 支撑柱到的距离至少为， 令，则， 支撑柱的最大高度为； 【小问3详解】 解：横幅能按计划悬挂，理由如下： 由题意得：横幅的上边沿离路面的距离为， 令，则， 解得，， ， ， 横幅能按计划悬挂． 23. 如图，已知和均为等腰直角三角形． （1）如图①，连接，，则与的数量关系为________；直线与所夹角的度数为________． （2）将绕点逆时针旋转一周，当旋转至如图②所示的位置时，取，的中点分别为，，连接，． ①试问：的值是否随的旋转而变化？若不变，请求出该值；若变化，请说明理由． ②已知，且在旋转的过程中，面积的最大值为，则在旋转的过程中，线段的最大值为________． 【答案】（1）； （2）①不变，；② 【解析】 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质证明，则；延长交于点，交于点，利用三角形内角和定理求出直线与所夹角的度数； （2）①连接、，利用等腰直角三角形斜边中线的性质得到、、、之间的数量关系及夹角关系，进而证明，据此求解即可； ②根据三角形面积公式确定点到的最大距离，结合点N的运动轨迹求出长，进而求出长，利用三角形三边关系求出的最大值． 【小问1详解】 解：和均为等腰直角三角形， 、、， ， ， 在和中， ， ， ； 如图，延长交于点，交于点， ， ， ， 即直线与所夹角的度数为； 【小问2详解】 解：不变，理由如下： 如图，连接、， 和均为等腰直角三角形，，的中点分别为，， 、、、， 、， ， 、， ， ， ； 解：，为等腰直角三角形，点为的中点， 、， 设点到的距离为， ， 的最大值为， 的最大值为， 由旋转可知，点N绕点A旋转，其轨迹是以点A为圆心，为半径的圆， 当A、M、N三点共线且M在A、N之间时，有最大值，最大值为， ， ， 在等腰直角中，， ， 在中，， 当B、A、D三点共线，且点A在B、D之间时，取值最大值， 的最大值为． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质、解直角三角形，熟练掌握相关性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $