数学（江苏镇江卷）学易金卷：2026年中考考前最后一卷

**基本信息** 2026年中考数学考前最后一卷，通过基础巩固、能力提升、创新应用三级梯度设计，融合文化传承（如“四君子”国画概率题）与生活实践（如越野车后备厢高度计算）情境，全面覆盖中考核心知识点，适配模拟预测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|实数、分式、统计等|如科学记数法结合地球表面积，考查数感与应用意识| |填空题|6/18|方程、函数综合等|如抛物线性质多结论判断，体现推理能力与抽象思维| |解答题|10/72|几何证明、统计应用、函数与几何综合|如动态几何压轴题（旋转中CE长计算），融合空间观念与创新意识；统计图表分析题，培养数据意识与模型观念|

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026年中考考前最后一卷 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．﹣6的相反数是（　　） A．﹣6 B． C．6 D． 2．要使分式有意义，x必须满足的条件是（　　） A．x≠0 B．x≠1 C．x≠﹣2 D．x≠﹣2且x≠1 3．下列计算错误的是（　　） A．x2•x3＝x5 B．（﹣x2y）2＝x4y2 C．x6÷x3＝x2 D．（x2）3＝x6 4．地球的表面积约为510000000平方千米，用科学记数法可以把数字510000000表示为（　　） A．51×107 B．510×106 C．5.1×108 D．5.1×109 5．如图是某几何体的展开图，该几何体是（　　） A． B． C． D． 6．在体育考核中，成绩分为优秀、合格、不合格三个档次，某班有48名学生，达到优秀的有15人，合格的有21人，则这次体育考核中，不合格人数的频率是（　　） A．12 B．0.25 C．36 D．0.75 7．如图，四边形ABCD与四边形EFGH位似，其位似中心为点O，且，则（　　） A． B． C． D． 8．如图，点C是反比例函数（x＜0）的图象上的一个动点，且CA⊥x轴于点A，AB∥OC交y轴于点B．则四边形ABOC的面积是（　　） A．12 B．9 C．6 D．3 9．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，以点B为圆心，BC的长为半径画弧，交AC于点D，连接BD，则∠ABD的度数是（　　） A．30° B．45° C．60° D．75° 10．给定一列数，把这列数中的第一个数记为a1，第二个数记为a2，第三个数记为a3，以此类推，第n个数记为an（n为正整数）．已知a1＝x，并规定（k为正整数），下列说法： ①x＝2时，； ②a1+a3＝2时，； ③不存在实数x，使a1a2a3…a2026+2＝0． 其中正确的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11．若式子有意义，则实数x的取值范围是　 　 ． 12．某校兴趣小组对二维码开展数学实验，已知某二维码的边长为2，同学们通过计算机随机点作了大量的重复实验后，发现落点落在黑色区域的频率稳定在0.35左右，由此可以估计二维码黑色部分的面积约为　　 　 ． 13．分解因式：xy2﹣4xy+4x＝　 　 ． 14．已知关于x的一元二次方程ax2+4x﹣1＝0有两个相等的实数根，则a＝　 　 ． 15．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为斜边AB上一点，以DB为直径的圆与AC相切于点E．若AD＝5，AE＝10，则BC的长为　 　 ． 16．抛物线y＝ax2+bx+4（a，b是常数，a＜0）与x轴交于（﹣2，0），（m，0）两点，其中2＜m＜3．下列五个结论：①b＝2a+2；②当x＞0时，y随x的增大而减小；③关于x的方程4x2﹣bx+a＝0，其一个根是；④0＜b；⑤使关于x的不等式ax2+bx+4≥n的整数解恰好有5个，则n可以取5个整数值．其中正确的是　 　 （填写序号）． 三、解答题（本大题共10个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（5分）计算：． 18．（5分）解方程：． 19．（6分）如图，A、D、B、E四点在同一条直线上，AD=BE，BC∥EF，BC=EF． （1）求证：AC=DF； （2）若CD为∠ACB的平分线，∠A=25°，∠E=71°，求∠CDF的度数． 20．（6分）中国文化中的“四君子”指的是梅、兰、竹、菊，它们各自代表的品质是傲、幽、坚、淡．它们不仅是自然界中的美丽景象，更是中国人借物喻志的代表，广泛出现在咏物诗文和艺人字画中．小明和小亮是中国国画爱好者，小明先从如图所示的四幅主题分别为梅、兰、竹、菊的国画中随机选择一幅进行临摹，小亮再从剩下的三幅国画中随机选择一幅进行临摹． （1）小明选择的是“竹”的概率为　 　 ． （2）请用列表或画树状图的方法，求小明和小亮恰好有一人选择“竹”的概率， 21．（6分）我市某校开展了“珍爱生命，预防溺水”知识竞赛活动，从七、八年级各随机抽取了20名学生进行测试（百分制），测试成绩共分成五组：A．50≤x＜60，B．60≤x＜70，C．70≤x＜80，D．80≤x＜90，E．90≤x≤100，绘制了如下不完整的统计图表： 测试成绩数据分析表： 成绩 平均数 中位数 众数 七年级 84.8 88.5 n 八年级 81.8 m 74 七年级20名学生的测试成绩分别为：51，66，68，73，75，78，86，88，88，88，89，89，89，89，92，96，97，97，98，99． 八年级学生测试成绩在C组和D组的分别为：73，74，74，74，74，76，83，88，89． 根据以上信息完成下列问题： （1）填空：m＝　 　 ，n＝　 　 ，并补全频数分布直方图； （2）求扇形统计图中“E组”对应扇形的圆心角度数； （3）如果该校七年级有学生900名，八年级有学生920名，这两个年级本次测验成绩不低于90分的学生共有约多少人？ 22．（6分）如图1是某越野车的侧面示意图，折线段ABC表示车后盖，已知AB＝1m，BC＝0.6m，∠ABC＝120°，该车的高度AO＝1.7m，打开后备厢如图2，车后盖ABC落在AB'C'处．AB'与水平面的夹角∠B'AD＝30°． （1）求汽车底盘的高度，即点C到l的距离； （2）求打开后备厢后，车后盖最高点B'到地面l的高度． 23．（6分）菱形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中A（﹣4，0），D（﹣1，4），反比例函数的图象经过点C． （1）求此反比例函数的解析式； （2）在x轴的下方作矩形ABMN，使S矩形ABMN＝S菱形ABCD，请你通过计算说明点N在反比例函数的图象上． 24．（10分）（1）如图，△ABC中，∠C＝90°，用直尺和圆规作⊙P，使它满足以下条件：圆心P在边AB上，经过点A，且与边BC相切．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若∠B＝30°，⊙P半径为1，求圆与三角形重合部分的面积． 25．（10分）综合探究 （1）△ABC和△ADE的位置如图1所示，已知△ABC和△ADE都是等边三角形，连接BD，CE，则BD与CE之间的数量关系是　 　 ； （2）△ABC和△ADE的位置如图2所示，△ABC和△ADE都是直角三角形，且∠ABC＝∠ADE＝90°，，连接BD，CE，求的值； （3）如图3，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，AB＝5，AD＝3．连接BD，CE，将△ADE绕点A旋转，在旋转过程中，当B，D，E三点共线时，直接写出CE的长． 26．（12分）抛物线y＝x2﹣3x﹣4与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接AC，BC． （1）求△ABC的面积． （2）点P是抛物线上一点，设点P的横坐标为a． ①当抛物线上P，C两点之间的部分（含点P，C）的高度（最高点与最低点的纵坐标之差）为10时，求点P的坐标． ②当点P位于第四象限时，过点P分别作PE⊥BC于点E，PF⊥y轴于点F，当PE+PF取得最大值时，求a的值． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考考前最后一卷 数学·全解全析 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．﹣6的相反数是（　　） A．﹣6 B． C．6 D． 【答案】C 【分析】利用相反数的定义判断即可． 【解答】解：﹣6的相反数是6， 故选：C． 2．要使分式有意义，x必须满足的条件是（　　） A．x≠0 B．x≠1 C．x≠﹣2 D．x≠﹣2且x≠1 【答案】B 【分析】要使分式有意义，分式的分母不能为0． 【解答】解：要使分式有意义， 则x﹣1≠0， 解得x≠1， 故选：B． 3．下列计算错误的是（　　） A．x2•x3＝x5 B．（﹣x2y）2＝x4y2 C．x6÷x3＝x2 D．（x2）3＝x6 【答案】C 【分析】根据同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方、同底数幂的除法逐项分析判断即可． 【解答】解：根据同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方、同底数幂的除法逐项分析判断如下： 选项A：x2•x3＝x2+3＝x5，计算正确，不符合题意； 选项B：（﹣x2y）2＝x4y2，计算正确，不符合题意； 选项C：x6÷x3＝x6﹣3＝x3≠x2，计算错误，符合题意； 选项D：（x2）3＝x2×3＝x6，计算正确，不符合题意； 故选：C． 4．地球的表面积约为510000000平方千米，用科学记数法可以把数字510000000表示为（　　） A．51×107 B．510×106 C．5.1×108 D．5.1×109 【答案】C 【分析】科学记数法的形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，据此可得到答案． 【解答】解：根据科学记数法的表示形式可知： 510000000＝5.1×108． 故选：C． 5．如图是某几何体的展开图，该几何体是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三视图即可求解． 【解答】解：展开图中有两个三角形，三个四边形，是三棱柱的组成， ∴这个几何体是三棱柱． 故选：B． 6．在体育考核中，成绩分为优秀、合格、不合格三个档次，某班有48名学生，达到优秀的有15人，合格的有21人，则这次体育考核中，不合格人数的频率是（　　） A．12 B．0.25 C．36 D．0.75 【答案】B 【分析】根据频率的计算公式：频率＝频数除以总数进行计算即可． 【解答】解：不合格的人数：48﹣15﹣21＝12， 不合格人数的频率：12÷48＝0.25， 故选：B． 7．如图，四边形ABCD与四边形EFGH位似，其位似中心为点O，且，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意求出，根据位似图形的概念得到EF∥AB，FG∥BC，进而得出△OEF∽△OAB，△OGF∽△OCB，根据相似三角形的性质计算即可． 【解答】解：∵， ∴， ∴EF∥AB，FG∥BC， ∴△OEF∽△OAB，△OGF∽△OCB， ∴， ∴． 故选：B． 8．如图，点C是反比例函数（x＜0）的图象上的一个动点，且CA⊥x轴于点A，AB∥OC交y轴于点B．则四边形ABOC的面积是（　　） A．12 B．9 C．6 D．3 【答案】C 【分析】根据k值的几何意义，得到S△CAO＝3，证明四边形ABOC为平行四边形，即可得出结果． 【解答】解：由条件可知，AC∥OB， ∵AB∥OC， ∴四边形ABOC为平行四边形， ∴四边形ABOC的面积＝2S△CAO＝6． 故选：C． 9．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，以点B为圆心，BC的长为半径画弧，交AC于点D，连接BD，则∠ABD的度数是（　　） A．30° B．45° C．60° D．75° 【答案】B 【分析】根据等腰三角形两底角相等求出∠ABC＝∠ACB，再求出∠CBD，然后根据∠ABD＝∠ABC﹣∠CBD计算即可得解． 【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝30°， ∴∠ABC＝∠ACB（180°﹣∠A）（180°﹣30°）＝75°， ∵以B为圆心，BC的长为半径圆弧，交AC于点D， ∴BC＝BD， ∴∠BDC＝∠ACB， ∴∠CBD＝180°﹣2∠ACB＝180°﹣2×75°＝30°， ∴∠ABD＝∠ABC﹣∠CBD＝75°﹣30°＝45°． 故选：B． 10．给定一列数，把这列数中的第一个数记为a1，第二个数记为a2，第三个数记为a3，以此类推，第n个数记为an（n为正整数）．已知a1＝x，并规定（k为正整数），下列说法： ①x＝2时，； ②a1+a3＝2时，； ③不存在实数x，使a1a2a3…a2026+2＝0． 其中正确的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】根据所给规定，依次求出a2，a3，a4，…，发现规律即可解决问题． 【解答】解：由题知， 因为a1＝x， 所以，，，，…， 由此可见，这列式子从a1开始按循环出现． 因为7÷4＝1余， 所以． 当x＝2时， ，， 所以． 故①正确； 由a1+a3＝2得， ， 则， 所以， 则． 故②正确； 由题知， ， 即从a1开始这列式子中连续四个式子的积为1． 因为2026÷4＝506余2， 则由a1a2a3…a2026+2＝0得， ， 整理得，x2﹣x+2＝0， 因为Δ＝（﹣1）2﹣4×1×2＝﹣7＜0， 所以此方程没有实数根， 即不存在实数x，使a1a2a3…a2026+2＝0． 故③正确． 故选：D． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11．若式子有意义，则实数x的取值范围是　　 ． 【答案】． 【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式即可得到实数x的取值范围． 【解答】解：由题意得2x﹣1≥0， 解得：． 故答案为：． 12．某校兴趣小组对二维码开展数学实验，已知某二维码的边长为2，同学们通过计算机随机点作了大量的重复实验后，发现落点落在黑色区域的频率稳定在0.35左右，由此可以估计二维码黑色部分的面积约为　1.4　 ． 【答案】1.4． 【分析】根据落点落在黑色区域的频率稳定在0.35左右，再乘以大正方形的面积即可解答． 【解答】解：根据题意，落点落在黑色区域的频率稳定在0.35左右， 因为大正方形的面积为2×2＝4， 所以由此可以估计二维码黑色部分的面积约为4×0.35＝1.4， 故答案为：1.4． 13．分解因式：xy2﹣4xy+4x＝x（y﹣2）2 ． 【答案】x（y﹣2）2． 【分析】先提公因式，再利用完全平方公式法进行因式分解即可． 【解答】解：xy2﹣4xy+4x ＝x（y2﹣4y+4） ＝x（y﹣2）2． 故答案为：x（y﹣2）2． 14．已知关于x的一元二次方程ax2+4x﹣1＝0有两个相等的实数根，则a＝　﹣4　 ． 【答案】﹣4． 【分析】利用一元二次方程根的判别式进行计算即可． 【解答】解：由题知， 因为关于x的一元二次方程ax2+4x﹣1＝0有两个相等的实数根， 所以Δ＝42﹣4×a×（﹣1）＝0且a≠0， 解得a＝﹣4． 故答案为：﹣4． 15．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为斜边AB上一点，以DB为直径的圆与AC相切于点E．若AD＝5，AE＝10，则BC的长为　12　 ． 【答案】12． 【分析】根据切线的性质得到OE⊥AC，结合勾股定理求出圆的半径，再利用平行线判定△OAE∽△BAC，进而求出BC的长． 【解答】解：设圆心为O，连接OE， 设⊙O的半径为r， ∵以DB为直径的圆与AC相切于点E， ∴OE⊥AE， 在Rt△AOE中，（5+r）2＝r2+102， 解得：r＝7.5， ∴OA＝12.5，AB＝20， ∵∠C＝90°， ∴OE∥BC， ∴△OAE∽△BAC， ∴， 即， 解得：BC＝12， 故答案为：12． 16．抛物线y＝ax2+bx+4（a，b是常数，a＜0）与x轴交于（﹣2，0），（m，0）两点，其中2＜m＜3．下列五个结论：①b＝2a+2；②当x＞0时，y随x的增大而减小；③关于x的方程4x2﹣bx+a＝0，其一个根是；④0＜b；⑤使关于x的不等式ax2+bx+4≥n的整数解恰好有5个，则n可以取5个整数值．其中正确的是　①③⑤　 （填写序号）． 【答案】①③⑤． 【分析】①将（﹣2，0）代入抛物线解析式化简整理即可作出判断； ②计算对称轴的范围即可作出判断； ③将（m，0）代入抛物线解析式变形整理即可作出判断； ④根据抛物线对称轴公式、m的取值范围以及a与b的等量关系，求出b的取值范围即可作出判断； ⑤根据不等式ax2+bx+4≥n的几何含义，计算得出n的取值范围即可作出判断； 【解答】解：①∵抛物线y＝ax2+bx+4与x轴交于（﹣2，0）， ∴4a﹣2b+4＝0． ∴2b＝4a+4，则b＝2a+2，故①正确； ②∵抛物线过（﹣2，0），（m，0）两点， ∴对称轴是直线x． ∵2＜m＜3， ∴0＜﹣2+m＜1． ∴0． ∵a＜0， ∴当0＜x时，y随x的增大而增大， 当x时，y随x的增大而减小，故②错误； ③∵y＝ax2+bx+4与x轴交于（m，0）点， ∴am2+bm+4＝0， ∵m≠0， ∴， ∴是方程4x2﹣bx+a＝0的一个根，故③正确； ④由题意，∵抛物线的对称轴是直线x，且0， ∴0， ∵a＜0， ∴0＜b＜﹣a． ∵b＝2a+2， ∴a． ∴0＜b． ∴0＜b，故④错误； ⑤当n＝0时，不等式ax2+bx+4≥0的解集为﹣2≤x≤m， ∵2＜m＜3． ∴不等式ax2+bx+4≥0的整数解为﹣2，﹣1，0，1，2，恰好5个， ∴要使不等式ax2+bx+4≥n的整数解恰好有5个，则必有n≤0， 不等式ax2+bx+4≥n的几何意义可以用下图来表示： 由题意知方程ax2+bx+4＝0的两根为﹣2，m， ∴由韦达定理可知：﹣2m， ∴， ∵2＜m＜3， ∴﹣1＜a， 当x＝﹣3时，y＝ax2+bx+4＝9a﹣3b+4＝9a﹣3（2a+2）+4＝3a﹣2， 当x＝3时，y＝ax2+bx+4＝9a+3b+4＝9a+3（2a+2）+4＝15a+10， ∴15a+10﹣（3a﹣2）＝12（a+1）＞0， ∴分析x＝3处的约束条件即可， 要使不等式ax2+bx+4≥n的整数解恰好有5个，则n＞15a+10， ∵15a+10＞﹣5， ∴n＞﹣5， ∴﹣5＜n≤0， ∴n可以取0，﹣1，﹣2，﹣3，﹣4，共5个整数值． 故⑤正确； 故答案为：①③⑤． 三、解答题（本大题共10个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（5分）计算：． 【分析】先代入特殊角的三角函数计算，再算绝对值和零指数幂，最后进行加减运算即可解答． 【解答】解：原式 ＝﹣1（5分）． 18．（5分）解方程：． 【分析】将原方程去分母后化为整式方程，解得x的值后并检验即可． 【解答】解：原方程去分母得：1＝﹣1+2x﹣4， 解得：x＝3，（4分） 检验：当x＝3时，x﹣2≠0， 故原方程的解为x＝3．（5分） 19．（6分）如图，A、D、B、E四点在同一条直线上，AD=BE，BC∥EF，BC=EF． （1）求证：AC=DF； （2）若CD为∠ACB的平分线，∠A=25°，∠E=71°，求∠CDF的度数． 【分析】（1）由“SAS”可证△ABC≌△DEF，可得AC=DF； （2）由全等三角形的性质可得∠ABC=∠E=71°，∠A=∠FDE=25°，由三角形内角和定理可求∠ACB=84°，由角平分线的性质和外角的性质可求∠CDF的度数． 【解答】证明：（1）∵AD=BE ∴AB=DE ∵BC∥EF ∴∠ABC=∠DEF，且AB=BE，BC=EF ∴△ABC≌△DEF（SAS）（2分） ∴AC=DF（3分） （2）∵△ABC≌△DEF ∴∠ABC=∠E=71°，∠A=∠FDE=25° ∴∠ACB=180°-∠A-∠ABC=84°（4分） ∵CD为∠ACB的平分线 ∴∠ACD=42°=∠BCD（5分） ∵∠CDB=∠A+∠ACD=∠CDF+∠EDF ∴∠CDF=42°（6分） 20．（6分）中国文化中的“四君子”指的是梅、兰、竹、菊，它们各自代表的品质是傲、幽、坚、淡．它们不仅是自然界中的美丽景象，更是中国人借物喻志的代表，广泛出现在咏物诗文和艺人字画中．小明和小亮是中国国画爱好者，小明先从如图所示的四幅主题分别为梅、兰、竹、菊的国画中随机选择一幅进行临摹，小亮再从剩下的三幅国画中随机选择一幅进行临摹． （1）小明选择的是“竹”的概率为　　 ． （2）请用列表或画树状图的方法，求小明和小亮恰好有一人选择“竹”的概率， 【分析】（1）直接利用概率公式即可求解； （2）画树状图可得出所有等可能的结果数以及小明和小亮恰好有一人选择“竹”的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【解答】解：（1）共有梅、兰、竹、菊为主题的四幅国画，任意选择一幅进行临摹，则小明选择的是“竹”的结果有1种， ∴小明选择的是“竹”的概率为；（2分） （2）将梅、兰、竹、菊这四幅国画分别记为A，B，C，D， 画树状图如下： （4分） ∴共有12种等可能的结果，其中小明和小亮恰好有一人选择“竹”的结果有6种，（5分） ∴小明和小亮恰好有一人选择“竹”的概率为．（6分） 21．（6分）我市某校开展了“珍爱生命，预防溺水”知识竞赛活动，从七、八年级各随机抽取了20名学生进行测试（百分制），测试成绩共分成五组：A．50≤x＜60，B．60≤x＜70，C．70≤x＜80，D．80≤x＜90，E．90≤x≤100，绘制了如下不完整的统计图表： 测试成绩数据分析表： 成绩 平均数 中位数 众数 七年级 84.8 88.5 n 八年级 81.8 m 74 七年级20名学生的测试成绩分别为：51，66，68，73，75，78，86，88，88，88，89，89，89，89，92，96，97，97，98，99． 八年级学生测试成绩在C组和D组的分别为：73，74，74，74，74，76，83，88，89． 根据以上信息完成下列问题： （1）填空：m＝　79.5　 ，n＝　89　 ，并补全频数分布直方图； （2）求扇形统计图中“E组”对应扇形的圆心角度数； （3）如果该校七年级有学生900名，八年级有学生920名，这两个年级本次测验成绩不低于90分的学生共有约多少人？ 【分析】（1）由频数分布直方图求得七年级D组频数，由数据出现次数确定众数n，由扇形统计图及已知数据确定八年级各组人数进而求中位数m； （2）先求E组人数，再按360°乘以频率计算圆心角； （3）用样本比例估计总体人数后求和，即可． 【解答】解：（1）七年级20名学生的测试成绩分别为：51，66，68，73，75，78，86，88，88，88，89，89，89，89，92，96，97，97，98，99． ∵七年级A组频数为1， ∴B组频数为2， ∴C组频数为3， ∴E组频数为6， ∴D组频数为20﹣1﹣2﹣3﹣6＝8， （1分） 又∵七年级成绩中89出现次数最多， ∴n＝89，（2分） ∵八年级A组占10%， ∴A组人数为20×10%＝2， ∵八年级B组占10%， ∴B组人数为20×10%＝2， ∵八年级C组成绩为73，74，74，74，74，76， ∴C组人数为6， ∵八年级D组成绩为83，88，89， ∴D组人数为3， ∴八年级成绩从小到大排列后第10个数据为76，第11个数据为83， ∴；（3分） 故答案为：79.5，89； （2）∵八年级E组人数为20﹣2﹣2﹣6﹣3＝7， ∴E组所占比例为， ∴圆心角度数为；（4分） （3）∵七年级不低于90分的比例为， ∴估计七年级人数为，（5分） ∵八年级不低于90分的比例为， ∴估计八年级人数为， ∴两个年级共约有270+322＝592人．（6分） 22．（6分）如图1是某越野车的侧面示意图，折线段ABC表示车后盖，已知AB＝1m，BC＝0.6m，∠ABC＝120°，该车的高度AO＝1.7m，打开后备厢如图2，车后盖ABC落在AB'C'处．AB'与水平面的夹角∠B'AD＝30°． （1）求汽车底盘的高度，即点C到l的距离； （2）求打开后备厢后，车后盖最高点B'到地面l的高度． 【分析】（1）过点B作BE⊥OA于点E，首先证明∠ABE＝30°，利用三角函数解得AE的长度，再确定EF的值，即可获得答案； （2）过点B′作B′H⊥AD于点H，由旋转的性质可知AB′＝AB＝1m，利用三角函数解得B′H的长度，即可获得答案． 【解答】（1）解：已知AB＝1m，BC＝0.6m，∠ABC＝120°，该车的高度AO＝1.7m，如图1，过点B作BE⊥OA于点E， 根据题意，可知BC∥OA， ∵BE⊥OA，即∠FEB＝∠AEB＝90°， ∴∠CBE＝∠AEB＝90°， ∴∠ABE＝∠ABC﹣∠CBE＝30°， ∴AE＝AB×sin∠ABE＝1×sin30°＝0.5（m），（1分） ∵∠FEB＝∠CBE＝∠C＝90°， ∴四边形BCFE为矩形，（2分） ∴EF＝BC＝0.6m， ∴FO＝OA﹣AE﹣EF＝1.7﹣0.5﹣0.6＝0.6（m）， ∴车底盘的高度，即点C到l的距离为0.6m；（3分） （2）如图2，过点B′作B′H⊥AD于点H， 由旋转的性质可知AB′＝AB＝1m，（4分） 又∵∠B′AD＝30°， ∴B′H＝AB′×sin∠B′AD＝1×sin30°＝0.5（m），（5分） ∴打开后备厢后，车后盖最高点B′到地面l的高度h＝0.5+1.7＝2.2（m）．（6分） 23．（6分）菱形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中A（﹣4，0），D（﹣1，4），反比例函数的图象经过点C． （1）求此反比例函数的解析式； （2）在x轴的下方作矩形ABMN，使S矩形ABMN＝S菱形ABCD，请你通过计算说明点N在反比例函数的图象上． 【分析】（1）如图，过点D作DH⊥AB，过点C作CG⊥AB，根据菱形的性质和已知点坐标利用勾股定理求出AD＝AB＝BC＝5，AO＝4，DH＝4，OH＝1，证明△DAH≌△CBG（AAS），得出CG＝DH＝4，BG＝AH＝3，即可得B（1，0），C（4，4），再利用待定系数法求解即可； （2）求出S矩形ABMN＝S菱形ABCD＝20，则AN＝4，N（﹣4，﹣4），验证即可． 【解答】解：（1）如图，过点D作DH⊥AB，过点C作CG⊥AB， 由条件可知： AD∥BC，， ∴∠DAH＝∠CBG，OB＝1，AH＝4﹣1＝3，（1分） ∵∠DAH＝∠CBG，∠DHA＝∠CGB＝90°，AD＝BC， ∴△DAH≌△CBG（AAS）， ∴CG＝DH＝4，BG＝AH＝3，（2分） ∴B（1，0），C（4，4）， ∴， ∴k＝16， ∴反比例函数解析式为．（3分） （2）∵D（﹣1，4），AB＝5， ∴S菱形ABCD＝5×4＝20， ∴S矩形ABMN＝S菱形ABCD＝20，（4分） ∴AN＝4， ∴N（﹣4，﹣4）， ∵﹣4×（﹣4）＝16， ∴点N在反比例函数的图象上．（6分） 24．（10分）（1）如图，△ABC中，∠C＝90°，用直尺和圆规作⊙P，使它满足以下条件：圆心P在边AB上，经过点A，且与边BC相切．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若∠B＝30°，⊙P半径为1，求圆与三角形重合部分的面积． 【分析】（1）作∠BAC的平分线交BC于点Q，过点Q作PQ⊥BC交AB于点P，再以点点P为圆心，以PA为半径作⊙P为所求； （2）设⊙P与AB相交于点M，与AC相交于点N，连接PN，过点P作PR⊥AC于点R，先根据直角三角形性质得∠BAC＝60°，再根据⊙P的半径为1得PA＝PN＝PM＝1，然后再分别求出S△PAN，S扇形MPN即可得出圆与三角形重合部分的面积． 【解答】解：（1）①以点A为圆形，以适当的长为半径画弧交AB，AB于点E，F， ②分别以点E，F为圆心，以大于EF的长为半径画弧，两弧交于点D， ③过点A，D作射线AD交BC于点Q， ④以点Q为圆心，以适当的长为半径画弧交BC于点H，K， ⑤分别以点H，K为圆心，以大于HK的长为半径画弧，两弧交于点T， ⑥过点Q，T作射线交AB于点P， ⑦以点P为圆心，以PA为半径作⊙P为所求，如图1所示： （5分） 理由如下： 由作图可知：AQ平分∠BAC，PQ⊥BC，PA为⊙P半径， ∴∠CAQ＝∠PAQ，∠PQB＝90°， ∵∠C＝90°， ∴∠PQB＝∠C＝90°， ∴PQ∥AC， ∴∠PQA＝∠CAQ， ∴∠PQA＝∠PAQ， ∴PQ＝PA， ∴PQ为⊙P半径， 又∵PQ⊥BC， ∴⊙P与边BC相切， 故⊙P符合条件； （2）设⊙P与AB相交于点M，与AC相交于点N，连接PN，过点P作PR⊥AC于点R，如图2所示： 在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°， ∴∠BAC＝90°﹣∠B＝60°， ∵⊙P的半径为1， ∴PA＝PN＝PM＝1， ∴△PAN是等边三角形，（6分） ∴AN＝PA＝PN＝1，∠APN＝60°， ∵PR⊥AC于点R， ∴ARAN， 在Rt△APR中，由勾股定理得：PR， ∴S△PANAN•PR，（7分） ∵∠APN＝60°， ∴∠MPN＝180°﹣∠APN＝120°， ∵S扇形MPN，（9分） ∴圆与三角形重合部分的面积为：S△PAN+S扇形MPN．（10分） 25．（10分）综合探究 （1）△ABC和△ADE的位置如图1所示，已知△ABC和△ADE都是等边三角形，连接BD，CE，则BD与CE之间的数量关系是BD＝CE ； （2）△ABC和△ADE的位置如图2所示，△ABC和△ADE都是直角三角形，且∠ABC＝∠ADE＝90°，，连接BD，CE，求的值； （3）如图3，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，AB＝5，AD＝3．连接BD，CE，将△ADE绕点A旋转，在旋转过程中，当B，D，E三点共线时，直接写出CE的长． 【分析】（1）根据等边三角形的性质得出相等的线段和角，利用SAS证明△ABD≌△ACE，即可得出结论； （2）根据相似三角形的性质得出相等的角，证明△ADE∽△ABC，得出对应边成比例，令AB＝8x，BC＝15x，利用勾股定理求出AC＝17x，即可求解； （3）根据题意，画出图形，分两种情况进行讨论，利用等腰直角三角形的性质得出相等的角以及边之间的数量关系，证明△DAB∽△EAC，确定直角三角形，最后利用勾股定理进行求解． 【解答】解：（1）结论：BD＝CE． 理由：∵△ABC和△ADE都是等边三角形， ∴AD＝AE，AB＝AC，∠DAE＝∠BAC＝60°， ∴∠DAE﹣∠BAE＝∠BAC﹣∠BAE， 即∠BAD＝∠CAE，（1分） 在△ABD和△ACE中， ， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴BD＝CE．（3分） 故答案为：BD＝CE； （2）∵∠ABC＝∠ADE＝90°，， ∴△ADE∽△ABC， ∴∠DAE＝∠BAC， ∴∠DAE﹣∠BAE＝∠BAC﹣∠BAE， 即∠BAD＝∠CAE，（4分） ∵△ADE∽△ABC， ∴， ∴△ABD∽△ACE， ∴， ∵， ∴令AB＝8x，BC＝15x，（5分） 由勾股定理得， ∴；（6分） （3）①如图所示，B，D，E三点共线， ∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形， ∴∠DAE＝∠BAC＝45°，， ∴∠DAB＝∠EAC， ∴△DAB∽△EAC， ∴∠AEC＝∠D＝90°， 由勾股定理得AE2＝AD2+DE2＝9+9＝18，AC2＝AB2+BC2＝25+25＝50， ∴；（8分） ②如图所示，B，D，E三点共线， 此时，∠ADB＝∠ADE＝90°， ∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形， ∴∠DAE＝∠BAC＝45°，， ∴∠DAB＝∠EAC， ∴△DAB∽△EAC， ∴∠AEC＝∠ADB＝90°， 由勾股定理得AE2＝AD2+DE2＝9+9＝18，AC2＝AB2+BC2＝25+25＝50， ∴；（10分） 综上，CE的长为． 26．（12分）抛物线y＝x2﹣3x﹣4与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接AC，BC． （1）求△ABC的面积． （2）点P是抛物线上一点，设点P的横坐标为a． ①当抛物线上P，C两点之间的部分（含点P，C）的高度（最高点与最低点的纵坐标之差）为10时，求点P的坐标． ②当点P位于第四象限时，过点P分别作PE⊥BC于点E，PF⊥y轴于点F，当PE+PF取得最大值时，求a的值． 【分析】（1）先求抛物线与x轴、y轴交点坐标，再用三角形面积公式计算； （2）①分点P在y轴左侧和对称轴右侧两种情况，根据高度差列方程求坐标； ②先求直线BC方程，用点到直线距离公式表示PE，PF为横坐标，求和后用二次函数性质求最值． 【解答】解：（1）对于y＝x2﹣3x﹣4，令y＝0，则x2﹣3x﹣4＝0， 解得x1＝﹣1，x2＝4，（1分） ∴A（﹣1，0），B（4，0）， ∴AB＝5，（2分） 对于y＝x2﹣3x﹣4，令x＝0，则y＝﹣4， ∴C（0，﹣4）， ∴OC＝4， ∴．（3分） （2）①， ∴抛物线的顶点坐标为，（4分） ∵点C的纵坐标为﹣4，顶点纵坐标为， ∴两者高度差为，（5分） 分两种情况讨论： a．当点P位于y轴左侧时，令a2﹣3a﹣4＝﹣4+10， 解得a1＝﹣2，a2＝5（舍去）， ∴P（﹣2，6）；（6分） b．当点P位于抛物线的对称轴右侧时，令 ， 解得，（舍去）， ∴，（7分） 综上，点P的坐标为（﹣2，6）或． ②设点P（a，a2﹣3a﹣4）（0＜a＜4）， 设直线BC的函数表达式为y＝kx+b， 将B（4，0），C（0，﹣4）分别代入， 得，解得， ∴直线BC的函数表达式为y＝x﹣4，（8分） 如图，过点P作y轴的平行线，交直线BC于点M，则M（a，a﹣4）， ∴PM＝a﹣4﹣（a2﹣3a﹣4）＝﹣a2+4a，（9分） ∵OB＝OC＝4，∠COB＝90°， ∴△COB是等腰直角三角形， ∴∠OCB＝∠OBC＝45°，（10分） ∵MP∥OC， ∴∠CMP＝45°， ∴△MEP是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴，（11分） ∵对称轴是，， ∴当时，PF+PE取得最大值．（12分） / 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考考前最后一卷 数学·参考答案 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C B C C B B B C B D 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11． 12．1.4 13．x（y﹣2）2 14．﹣4 15．12 16．①③⑤ 三、解答题（本大题共10个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（5分） 【解析】解：原式 ＝﹣1（5分）． 18．（5分） 【解析】解：原方程去分母得：1＝﹣1+2x﹣4， 解得：x＝3，（4分） 检验：当x＝3时，x﹣2≠0， 故原方程的解为x＝3．（5分） 19．（6分） 【解析】证明：（1）∵AD=BE ∴AB=DE ∵BC∥EF ∴∠ABC=∠DEF，且AB=BE，BC=EF ∴△ABC≌△DEF（SAS）（2分） ∴AC=DF（3分） （2）∵△ABC≌△DEF ∴∠ABC=∠E=71°，∠A=∠FDE=25° ∴∠ACB=180°-∠A-∠ABC=84°（4分） ∵CD为∠ACB的平分线 ∴∠ACD=42°=∠BCD（5分） ∵∠CDB=∠A+∠ACD=∠CDF+∠EDF ∴∠CDF=42°（6分） 20．（6分） 【解析】解：（1）共有梅、兰、竹、菊为主题的四幅国画，任意选择一幅进行临摹，则小明选择的是“竹”的结果有1种， ∴小明选择的是“竹”的概率为；（2分） （2）将梅、兰、竹、菊这四幅国画分别记为A，B，C，D， 画树状图如下： （4分） ∴共有12种等可能的结果，其中小明和小亮恰好有一人选择“竹”的结果有6种，（5分） ∴小明和小亮恰好有一人选择“竹”的概率为．（6分） 21．（6分） 【解析】解：（1）七年级20名学生的测试成绩分别为：51，66，68，73，75，78，86，88，88，88，89，89，89，89，92，96，97，97，98，99． ∵七年级A组频数为1， ∴B组频数为2， ∴C组频数为3， ∴E组频数为6， ∴D组频数为20﹣1﹣2﹣3﹣6＝8， （1分） 又∵七年级成绩中89出现次数最多， ∴n＝89，（2分） ∵八年级A组占10%， ∴A组人数为20×10%＝2， ∵八年级B组占10%， ∴B组人数为20×10%＝2， ∵八年级C组成绩为73，74，74，74，74，76， ∴C组人数为6， ∵八年级D组成绩为83，88，89， ∴D组人数为3， ∴八年级成绩从小到大排列后第10个数据为76，第11个数据为83， ∴；（3分） 故答案为：79.5，89； （2）∵八年级E组人数为20﹣2﹣2﹣6﹣3＝7， ∴E组所占比例为， ∴圆心角度数为；（4分） （3）∵七年级不低于90分的比例为， ∴估计七年级人数为，（5分） ∵八年级不低于90分的比例为， ∴估计八年级人数为， ∴两个年级共约有270+322＝592人．（6分） 22．（6分） 【解析】（1）解：已知AB＝1m，BC＝0.6m，∠ABC＝120°，该车的高度AO＝1.7m，如图1，过点B作BE⊥OA于点E， 根据题意，可知BC∥OA， ∵BE⊥OA，即∠FEB＝∠AEB＝90°， ∴∠CBE＝∠AEB＝90°， ∴∠ABE＝∠ABC﹣∠CBE＝30°， ∴AE＝AB×sin∠ABE＝1×sin30°＝0.5（m），（1分） ∵∠FEB＝∠CBE＝∠C＝90°， ∴四边形BCFE为矩形，（2分） ∴EF＝BC＝0.6m， ∴FO＝OA﹣AE﹣EF＝1.7﹣0.5﹣0.6＝0.6（m）， ∴车底盘的高度，即点C到l的距离为0.6m；（3分） （2）如图2，过点B′作B′H⊥AD于点H， 由旋转的性质可知AB′＝AB＝1m，（4分） 又∵∠B′AD＝30°， ∴B′H＝AB′×sin∠B′AD＝1×sin30°＝0.5（m），（5分） ∴打开后备厢后，车后盖最高点B′到地面l的高度h＝0.5+1.7＝2.2（m）．（6分） 23．（6分） 【解析】解：（1）如图，过点D作DH⊥AB，过点C作CG⊥AB， 由条件可知： AD∥BC，， ∴∠DAH＝∠CBG，OB＝1，AH＝4﹣1＝3，（1分） ∵∠DAH＝∠CBG，∠DHA＝∠CGB＝90°，AD＝BC， ∴△DAH≌△CBG（AAS）， ∴CG＝DH＝4，BG＝AH＝3，（2分） ∴B（1，0），C（4，4）， ∴， ∴k＝16， ∴反比例函数解析式为．（3分） （2）∵D（﹣1，4），AB＝5， ∴S菱形ABCD＝5×4＝20， ∴S矩形ABMN＝S菱形ABCD＝20，（4分） ∴AN＝4， ∴N（﹣4，﹣4）， ∵﹣4×（﹣4）＝16， ∴点N在反比例函数的图象上．（6分） 24．（10分） 【解析】解：（1）如图1所示： （5分） （2）设⊙P与AB相交于点M，与AC相交于点N，连接PN，过点P作PR⊥AC于点R，如图2所示： 在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°， ∴∠BAC＝90°﹣∠B＝60°， ∵⊙P的半径为1， ∴PA＝PN＝PM＝1， ∴△PAN是等边三角形，（6分） ∴AN＝PA＝PN＝1，∠APN＝60°， ∵PR⊥AC于点R， ∴ARAN， 在Rt△APR中，由勾股定理得：PR， ∴S△PANAN•PR，（7分） ∵∠APN＝60°， ∴∠MPN＝180°﹣∠APN＝120°， ∵S扇形MPN，（9分） ∴圆与三角形重合部分的面积为：S△PAN+S扇形MPN．（10分） 25．（10分） 【解析】解：（1）结论：BD＝CE． 理由：∵△ABC和△ADE都是等边三角形， ∴AD＝AE，AB＝AC，∠DAE＝∠BAC＝60°， ∴∠DAE﹣∠BAE＝∠BAC﹣∠BAE， 即∠BAD＝∠CAE，（1分） 在△ABD和△ACE中， ， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴BD＝CE．（3分） 故答案为：BD＝CE； （2）∵∠ABC＝∠ADE＝90°，， ∴△ADE∽△ABC， ∴∠DAE＝∠BAC， ∴∠DAE﹣∠BAE＝∠BAC﹣∠BAE， 即∠BAD＝∠CAE，（4分） ∵△ADE∽△ABC， ∴， ∴△ABD∽△ACE， ∴， ∵， ∴令AB＝8x，BC＝15x，（5分） 由勾股定理得， ∴；（6分） （3）①如图所示，B，D，E三点共线， ∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形， ∴∠DAE＝∠BAC＝45°，， ∴∠DAB＝∠EAC， ∴△DAB∽△EAC， ∴∠AEC＝∠D＝90°， 由勾股定理得AE2＝AD2+DE2＝9+9＝18，AC2＝AB2+BC2＝25+25＝50， ∴；（8分） ②如图所示，B，D，E三点共线， 此时，∠ADB＝∠ADE＝90°， ∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形， ∴∠DAE＝∠BAC＝45°，， ∴∠DAB＝∠EAC， ∴△DAB∽△EAC， ∴∠AEC＝∠ADB＝90°， 由勾股定理得AE2＝AD2+DE2＝9+9＝18，AC2＝AB2+BC2＝25+25＝50， ∴；（10分） 综上，CE的长为． 26．（12分） 【解析】解：（1）对于y＝x2﹣3x﹣4，令y＝0，则x2﹣3x﹣4＝0， 解得x1＝﹣1，x2＝4，（1分） ∴A（﹣1，0），B（4，0）， ∴AB＝5，（2分） 对于y＝x2﹣3x﹣4，令x＝0，则y＝﹣4， ∴C（0，﹣4）， ∴OC＝4， ∴．（3分） （2）①， ∴抛物线的顶点坐标为，（4分） ∵点C的纵坐标为﹣4，顶点纵坐标为， ∴两者高度差为，（5分） 分两种情况讨论： a．当点P位于y轴左侧时，令a2﹣3a﹣4＝﹣4+10， 解得a1＝﹣2，a2＝5（舍去）， ∴P（﹣2，6）；（6分） b．当点P位于抛物线的对称轴右侧时，令 ， 解得，（舍去）， ∴，（7分） 综上，点P的坐标为（﹣2，6）或． ②设点P（a，a2﹣3a﹣4）（0＜a＜4）， 设直线BC的函数表达式为y＝kx+b， 将B（4，0），C（0，﹣4）分别代入， 得，解得， ∴直线BC的函数表达式为y＝x﹣4，（8分） 如图，过点P作y轴的平行线，交直线BC于点M，则M（a，a﹣4）， ∴PM＝a﹣4﹣（a2﹣3a﹣4）＝﹣a2+4a，（9分） ∵OB＝OC＝4，∠COB＝90°， ∴△COB是等腰直角三角形， ∴∠OCB＝∠OBC＝45°，（10分） ∵MP∥OC， ∴∠CMP＝45°， ∴△MEP是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴，（11分） ∵对称轴是，， ∴当时，PF+PE取得最大值．（12分） 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $2026年中考考前最后一卷 数学·答题卡 姓名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填：缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 □ 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效：在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂■ 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂1【W1I/小 第I卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1[AIIBIICIIDI 5.1AIIBIICIIDI 9.AI[BIICIID] 2.IAIIBIICIIDI 6.IAlIBIICIIDI 10.IAIIBIICIIDI 3.IAIIBIICIIDI 7.AIIBIICIIDI 4.1AIIBIICIIDI 8.1AlIBIICIIDI 第Ⅱ卷 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 12. 13. 15 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、（本大题共10个小题，共72分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.(5分) 18.(5分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(6分) D B 20.(6分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(6分) 七年级学生竞赛成绩频数分布直方图 ◆频数 八年级学生竞赛成绩扇形统计图 6 6 D 10% 10% 2 E 0 5060708090100成绩 22.(6分) 图 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.(6分) y D A OB x N -M 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24.(10分) ch B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25.(10分) D D E E B C B B C 图1 图2 图3 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 26.(12分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！2026年中考考前最后一卷 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填： 缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 ▣ 2.选择题必须用2B铅笔填涂：非选择题必须用0.5m黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效：在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂■ 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[×]【1【/1 第I卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1[AJ[B][C][D] 5[A][B][C][D] 9[A][B][C][D] 2[AJ[BJ[C][D] 6[A]IB][C][D] 10.[AJ[B][C][D] 3[A][B][C][D] 7AJIBIIC]ID] 4[AJ[B]IC][D] 8.[A][B1[CI[D] 第Ⅱ卷 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 12 13 1 15. 16. 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效： 三、（本大题共10个小题，共72分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17.(5分) 18.(5分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(6分) D E 20.(6分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(6分) 七年级学生竞赛成绩频数分布直方图 +频数 八年级学生竞赛成绩扇形统计图 6… 4 D 10% 2 10% E A 5060708090100成绩 22.(6分) 6 图1 图2 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.(6分) 个y D A 0B M 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24. (10分) A c B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25. (10分) A D D D E E B B 图1 图2 图3 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 26.(12分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2026年中考考前最后一卷 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．﹣6的相反数是（　　） A．﹣6 B． C．6 D． 2．要使分式有意义，x必须满足的条件是（　　） A．x≠0 B．x≠1 C．x≠﹣2 D．x≠﹣2且x≠1 3．下列计算错误的是（　　） A．x2•x3＝x5 B．（﹣x2y）2＝x4y2 C．x6÷x3＝x2 D．（x2）3＝x6 4．地球的表面积约为510000000平方千米，用科学记数法可以把数字510000000表示为（　　） A．51×107 B．510×106 C．5.1×108 D．5.1×109 5．如图是某几何体的展开图，该几何体是（　　） A． B． C． D． 6．在体育考核中，成绩分为优秀、合格、不合格三个档次，某班有48名学生，达到优秀的有15人，合格的有21人，则这次体育考核中，不合格人数的频率是（　　） A．12 B．0.25 C．36 D．0.75 7．如图，四边形ABCD与四边形EFGH位似，其位似中心为点O，且，则（　　） A． B． C． D． 8．如图，点C是反比例函数（x＜0）的图象上的一个动点，且CA⊥x轴于点A，AB∥OC交y轴于点B．则四边形ABOC的面积是（　　） A．12 B．9 C．6 D．3 9．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，以点B为圆心，BC的长为半径画弧，交AC于点D，连接BD，则∠ABD的度数是（　　） A．30° B．45° C．60° D．75° 10．给定一列数，把这列数中的第一个数记为a1，第二个数记为a2，第三个数记为a3，以此类推，第n个数记为an（n为正整数）．已知a1＝x，并规定（k为正整数），下列说法： ①x＝2时，； ②a1+a3＝2时，； ③不存在实数x，使a1a2a3…a2026+2＝0． 其中正确的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11．若式子有意义，则实数x的取值范围是　 　 ． 12．某校兴趣小组对二维码开展数学实验，已知某二维码的边长为2，同学们通过计算机随机点作了大量的重复实验后，发现落点落在黑色区域的频率稳定在0.35左右，由此可以估计二维码黑色部分的面积约为　　 　 ． 13．分解因式：xy2﹣4xy+4x＝　 　 ． 14．已知关于x的一元二次方程ax2+4x﹣1＝0有两个相等的实数根，则a＝　 　 ． 15．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为斜边AB上一点，以DB为直径的圆与AC相切于点E．若AD＝5，AE＝10，则BC的长为　 　 ． 16．抛物线y＝ax2+bx+4（a，b是常数，a＜0）与x轴交于（﹣2，0），（m，0）两点，其中2＜m＜3．下列五个结论：①b＝2a+2；②当x＞0时，y随x的增大而减小；③关于x的方程4x2﹣bx+a＝0，其一个根是；④0＜b；⑤使关于x的不等式ax2+bx+4≥n的整数解恰好有5个，则n可以取5个整数值．其中正确的是　 　 （填写序号）． 三、解答题（本大题共10个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（5分）计算：． 18．（5分）解方程：． 19．（6分）如图，A、D、B、E四点在同一条直线上，AD=BE，BC∥EF，BC=EF． （1）求证：AC=DF； （2）若CD为∠ACB的平分线，∠A=25°，∠E=71°，求∠CDF的度数． 20．（6分）中国文化中的“四君子”指的是梅、兰、竹、菊，它们各自代表的品质是傲、幽、坚、淡．它们不仅是自然界中的美丽景象，更是中国人借物喻志的代表，广泛出现在咏物诗文和艺人字画中．小明和小亮是中国国画爱好者，小明先从如图所示的四幅主题分别为梅、兰、竹、菊的国画中随机选择一幅进行临摹，小亮再从剩下的三幅国画中随机选择一幅进行临摹． （1）小明选择的是“竹”的概率为　 　 ． （2）请用列表或画树状图的方法，求小明和小亮恰好有一人选择“竹”的概率， 21．（6分）我市某校开展了“珍爱生命，预防溺水”知识竞赛活动，从七、八年级各随机抽取了20名学生进行测试（百分制），测试成绩共分成五组：A．50≤x＜60，B．60≤x＜70，C．70≤x＜80，D．80≤x＜90，E．90≤x≤100，绘制了如下不完整的统计图表： 测试成绩数据分析表： 成绩 平均数 中位数 众数 七年级 84.8 88.5 n 八年级 81.8 m 74 七年级20名学生的测试成绩分别为：51，66，68，73，75，78，86，88，88，88，89，89，89，89，92，96，97，97，98，99． 八年级学生测试成绩在C组和D组的分别为：73，74，74，74，74，76，83，88，89． 根据以上信息完成下列问题： （1）填空：m＝　 　 ，n＝　 　 ，并补全频数分布直方图； （2）求扇形统计图中“E组”对应扇形的圆心角度数； （3）如果该校七年级有学生900名，八年级有学生920名，这两个年级本次测验成绩不低于90分的学生共有约多少人？ 22．（6分）如图1是某越野车的侧面示意图，折线段ABC表示车后盖，已知AB＝1m，BC＝0.6m，∠ABC＝120°，该车的高度AO＝1.7m，打开后备厢如图2，车后盖ABC落在AB'C'处．AB'与水平面的夹角∠B'AD＝30°． （1）求汽车底盘的高度，即点C到l的距离； （2）求打开后备厢后，车后盖最高点B'到地面l的高度． 23．（6分）菱形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中A（﹣4，0），D（﹣1，4），反比例函数的图象经过点C． （1）求此反比例函数的解析式； （2）在x轴的下方作矩形ABMN，使S矩形ABMN＝S菱形ABCD，请你通过计算说明点N在反比例函数的图象上． 24．（10分）（1）如图，△ABC中，∠C＝90°，用直尺和圆规作⊙P，使它满足以下条件：圆心P在边AB上，经过点A，且与边BC相切．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若∠B＝30°，⊙P半径为1，求圆与三角形重合部分的面积． 25．（10分）综合探究 （1）△ABC和△ADE的位置如图1所示，已知△ABC和△ADE都是等边三角形，连接BD，CE，则BD与CE之间的数量关系是　 　 ； （2）△ABC和△ADE的位置如图2所示，△ABC和△ADE都是直角三角形，且∠ABC＝∠ADE＝90°，，连接BD，CE，求的值； （3）如图3，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，AB＝5，AD＝3．连接BD，CE，将△ADE绕点A旋转，在旋转过程中，当B，D，E三点共线时，直接写出CE的长． 26．（12分）抛物线y＝x2﹣3x﹣4与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接AC，BC． （1）求△ABC的面积． （2）点P是抛物线上一点，设点P的横坐标为a． ①当抛物线上P，C两点之间的部分（含点P，C）的高度（最高点与最低点的纵坐标之差）为10时，求点P的坐标． ②当点P位于第四象限时，过点P分别作PE⊥BC于点E，PF⊥y轴于点F，当PE+PF取得最大值时，求a的值． / 学科网（北京）股份有限公司 $