精品解析：江西宜春市奉新县第四中学2025-2026学年九年级下学期期中考试数学试卷

2025-2026学年下半年学期九年级期中质量监测 数学试卷 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 下列实数中，有理数是（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图所示几何体的左视图为（ ） A. B. C. D. 4. 某校为调查初中部学生对北京冬奥会项目的喜爱情况，抽取部分学生进行调查，下列抽样方法最合理的是（ ） A. 随机抽取该校一个班级的学生 B. 随机抽取该校一个年级的学生 C. 随机抽取该校一部分女生 D. 分别从七、八、九年级中各随机抽取的学生 5. 《宋史·司马光传》中记载了司马光砸缸的故事:“群儿戏于庭，一儿登瓮，足跌没水中．众皆弃去，光持石击瓮破之，水迸，儿得活．”下面水面高度的变化最符合故事情节的图象是（　　） A. B. C. D. 6. 我国南宋数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如图），此图揭示了（为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律．的展开式中的一次项系数是（ ） A. 80 B. C. D. 10 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 的相反数是_________. 8. 因式分解：x2+x=_____． 9. 图中表示被撕掉一块的正边形纸片．若，则的值是_______． 10. 已知含角的三角板和直尺按如图所示的方式摆放，直角顶点在刻度尺示数处，三角尺的斜边与刻度尺交于点B，示数为，已知，若将三角尺绕点C顺时针旋转，则此时的长为______． 11. 某中学为了让学生体验农耕劳动，开辟了一处耕种园，需要采购一批菜苗开展种植活动．据了解，市场上每捆种菜苗的价格是菜苗基地的1.25倍，用300元在市场上购买的种菜苗比在菜苗基地购买的少3捆．设菜苗基地每捆种菜苗的价格为元，则可列方程为__________． 12. 如图，在矩形中，，，点E在边上，且，点P是直线上的一个动点．若是直角三角形，则的长为 ____________． 三、解答题（本大题共5个小题，每小题6分，共30分） 13. 解答： （1）； （2）如图，已知，，直线与，的延长线分别交于点，，求证：． 14. 化简：． 15. 2026年冬奥会在意大利举行，这是冬奥会诞生100周年后的第一届赛事．吉祥物是一对名为蒂娜和米罗的白鼬姐弟，核心口号是敢于梦想．除了蒂娜和米罗，还有六朵名为弗洛的雪花伙伴，作为重生与成长的象征．下面是本届冬奥会一些贴画：某班级举行冬奥会有奖问答活动，答对的同学可以随机抽取贴画作为奖品． （1）在抢答环节中，若答对一题，可从4张贴画中任意抽取1张作为奖品，则恰好抽到贴画“④”的概率是_______； （2）在抢答环节中，若答对两题，则可从4张贴画中任意抽取2张贴作为奖品，求恰好抽到贴画“②”和“③”的概率． 16. 如图，六边形是正六边形，请仅用无刻度的直尺按下列要求完成以下作图（保留作图痕迹）． （1）如图1，连接，画出一个以为边的等边三角形，且另一个顶点在六边形上； （2）如图2，为边上一点，在边上找一点，使得． 17. 如图，一次函数的图象交x轴于点A，交反比例函数的图象于点．将一次函数的图象向下平移个单位长度，所得的图象交x轴于点C． （1）求反比例函数的表达式； （2）当的面积为3时，求m的值． 四、解答题（本大题共3个小题，每小题8分，共24分） 18. 2025年5月20日是第36个中国学生营养日，主题为“吃动平衡 身心健康”，核心倡导“加奶、增豆、少油”．初中生小宇的妈妈为他准备了两款营养食品：A款：高钙牛奶；B款：豆谷营养包．每一份的营养成分如下表所示：某天，小宇从这两种食品中恰好摄入了能量和蛋白质． 营养成分 1份A款高钙牛奶 1份B款豆谷营养包 能量 蛋白质 脂肪 碳水化合物 钙 （1）小宇这天食用了A款高钙牛奶和B款豆谷营养包各多少份？ （2）初中生每日脂肪摄入量的标准为．若小宇这天已经从其他食品中摄入了脂肪，在他吃完这两款食品后，脂肪摄入量是否超标？请说明理由． 19. 如图，某款机器人的手臂由上臂、中臂和底座三部分组成，其中上臂和中臂可自由转动，底座与水平地面垂直．在实际运用中要求这三部分始终处于同一平面内，其示意图如图1所示，经测量，上臂，中臂，底座． （1）若上臂与水平面平行，且，计算此时点到地面的距离； （2）如图2，在一次操作中，上臂的点落在水平地面上，计算这时点到点的最大距离？（结果保留根号） 20. 如图，是的直径，C是上异于A、B的点，点D在的延长线上，连接交于点E，过点E作的切线交于点F，且，连接交于点H，连接． （1）求证：； （2）若，，求的长． 五、解答题（本大题共2个小题，每小题9分，共18分） 21. 联合国新闻部将中国传统节气“谷雨”这一天定为中文日，以纪念“中华文字始祖”仓颉造字的贡献．某校为加强学生对中文历史发展的学习与了解，彰显中文和中华文化的魅力，举行了“感受中文魅力，弘扬中华文化”的趣味知识竞赛．现从该校七、八年级中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（用表示，百分制）分成四组：；；；，将所得数据进行收集、整理、描述和分析： 收集数据： 七年级20名学生的竞赛成绩是：81，86，99，95，89，99，98，82，88，99，80，86，97，94，88，99，99，83，88，100 八年级20名学生的竞赛成绩在组中的数据是：94，94，91，93，95，91 整理数据： 分析数据： 七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表 　　　年级 统计量 七年级 八年级 平均数 91.5 92 中位数 91.5 众 数 99 100 应用数据： 根据以上信息，解答下列问题： （1）的值为 ，补全频数分布直方图； （2）若该中学七年级有600人，八年级有400人参加了此次竞赛活动． ①估计参加此次竞赛活动学生获得成绩的平均分为 分； ②估计参加此次竞赛活动学生获得优秀(90分以上)成绩的总人数； （3）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生对“中文的历史发展”知识了解的更多？并说明理由（写出一条即可）． 22. 定义：我们不妨把纵坐标是横坐标2倍的点称为“青竹点”．例如：点、……都是“青竹点”．显然，函数的图象上有两个“青竹点”：和． （1）下列函数中，函数图象上存在“青竹点”的，请在横线上打“√”，不存在“青竹点”的，请打“×”． ①________； ②________； ③________． （2）若抛物线（m为常数）上存在两个不同的“青竹点”，求m的取值范围； （3）若函数的图象上存在唯一的一个“青竹点”，且当时，a的最小值为c，求c的值． 六、解答题（本大题共12分） 23. [问题发现] （1）如图1，在中，，，点为的中点，以为一边作正方形，点恰好与点重合，则线段与的数量关系为 ． [拓展研究] （2）在（1）的条件下，如果正方形绕点C旋转，连接，线段与的数量关系有无变化？请仅就图2的情形给出证明． [问题解决] （3）当，且（2）中的正方形绕点C逆时针旋转到三点共线时，求出线段的长．   第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年下半年学期九年级期中质量监测 数学试卷 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 下列实数中，有理数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了实数，根据无理数和有理数的概念，对各个选项中的数进行判断即可． 【详解】解：A. 是无理数，不符合题意； B. 是无理数，不符合题意； C. 是有理数，符合题意； D. 是无理数，不符合题意； 故选：C． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：A、，故本选项错误，不符合题意； B、，故本选项正确，符合题意； C、和不是同类项，无法合并，故本选项错误，不符合题意； D、，故本选项错误，不符合题意； 3. 如图所示几何体的左视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了简单组合体的三视图．从左边看得到的图形是左视图．根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案． 【详解】解：从几何体的左面看，是一个带着圆心的圆，右边的圆柱底面从左边看不到，是一个用虚线表示的圆．只有符合题意． 故选：C． 4. 某校为调查初中部学生对北京冬奥会项目的喜爱情况，抽取部分学生进行调查，下列抽样方法最合理的是（ ） A. 随机抽取该校一个班级的学生 B. 随机抽取该校一个年级的学生 C. 随机抽取该校一部分女生 D. 分别从七、八、九年级中各随机抽取的学生 【答案】D 【解析】 【分析】结合初中部包含七、八、九年级的整体情况，分析各选项抽样方法的合理性． 【详解】解：本次调查对象是该校初中部全体学生，抽样样本需覆盖初中部不同群体，保证代表性与广泛性． 选项仅抽取一个班级的学生，样本范围过小，无法代表整个初中部学生的情况； 选项仅抽取一个年级的学生，只能代表该年级情况，无法代表整个初中部不同年级的情况； 选项仅抽取女生，样本群体单一，不具有代表性； 选项分别从七、八、九年级各随机抽取的学生，样本覆盖初中部所有年级，具有代表性和广泛性，符合要求． 故选：． 5. 《宋史·司马光传》中记载了司马光砸缸的故事:“群儿戏于庭，一儿登瓮，足跌没水中．众皆弃去，光持石击瓮破之，水迸，儿得活．”下面水面高度的变化最符合故事情节的图象是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查函数的图象，正确理解题意是解题关键．根据题意可知，水缸里原有一部分水（未满），水位不变，玩耍的孩童落入水缸中，水已没过孩童头顶，这时水缸内的水位会上升，之后一段时间水位不变，司马光急中生智，举起一块大石头砸破水缸，水流出后，孩童得救，此时水位会迅速下降．据此对照下面四幅图进行比较即可． 【详解】解：由题意，水缸中的水开始不变，玩耍的孩童落入水缸中，水缸内的水位会上升，之后一段时间水位不变，司马光急中生智，举起一块大石头砸破水缸，此时水位会迅速下降 由分析得：比较符合故事情节． 故选：C． 6. 我国南宋数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如图），此图揭示了（为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律．的展开式中的一次项系数是（ ） A. 80 B. C. D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】根据数字的变化规律可得的系数由左向右依次是、、、、、，把看作是，看作是，根据规律把展开即可得到的一次项系数． 【详解】解：根据题意可得， ， ∴ ， ∴的展开式中的一次项系数是. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 的相反数是_________. 【答案】 【解析】 【分析】相反数：只有符号不同的两个数互为相反数. 【详解】∵与只有符号不同 ∴答案是. 【点睛】考相反数的概念，掌握即可解题. 8. 因式分解：x2+x=_____． 【答案】 【解析】 【分析】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式．因此，直接提取公因式x即可． 【详解】解： 9. 图中表示被撕掉一块的正边形纸片．若，则的值是_______． 【答案】8 【解析】 【分析】延长、交于点，根据得到，于是可以得到正多边形的一个外角为，进而可得正多边形的边数． 【详解】解：如图，延长，交于点， ， ， ∵是正边形纸片， ∴， 即正多边形的一个外角为， ． 【点睛】重点掌握正多边形和外角的关系． 10. 已知含角的三角板和直尺按如图所示的方式摆放，直角顶点在刻度尺示数处，三角尺的斜边与刻度尺交于点B，示数为，已知，若将三角尺绕点C顺时针旋转，则此时的长为______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形，由刻度尺度数可知，，求得，则，过点作，则在中，，，将三角尺绕点C顺时针旋转，此时点为图中所示位置，则，，由旋转可知，，则在中，，即可求解．作出图形，利用直角三角形的边角关系是解决问题的关键． 【详解】解：由刻度尺度数可知，， ∵直尺的两边平行， ∴， 又∵， ∴，则， 过点作，则在中，， ∴， 将三角尺绕点C顺时针旋转，此时点为图中所示位置，则，， 由旋转可知，， ∴， 则在中，， 故答案为：6． 11. 某中学为了让学生体验农耕劳动，开辟了一处耕种园，需要采购一批菜苗开展种植活动．据了解，市场上每捆种菜苗的价格是菜苗基地的1.25倍，用300元在市场上购买的种菜苗比在菜苗基地购买的少3捆．设菜苗基地每捆种菜苗的价格为元，则可列方程为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题目中给出的价格关系，分别表示出在市场和菜苗基地购买菜苗的数量，再根据“用元在市场上购买的种菜苗比在菜苗基地购买的少3捆” 这一条件列出等式． 【详解】解：设菜苗基地每捆种菜苗的价格为元，则市场上每捆价格为元． 基地购买数量：捆； 市场购买数量：​捆； 根据数量差为，列方程：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式方程的实际应用，解题关键是理清价格与数量的对应关系，根据题目中的数量差这一等量关系，准确列出分式方程． 12. 如图，在矩形中，，，点E在边上，且，点P是直线上的一个动点．若是直角三角形，则的长为 ____________． 【答案】或或6 【解析】 【分析】通过直角三角形未确定直角分三种情况进行讨论，利用互余关系，得到三角形相似，得到边长比例关系进行求解即可． 【详解】解：是直角三角形，有以下3种情况： ①如图1，， ∴， ∵矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ； ②如图2，， ∵， 同理得到， ∴， ∴，； ③如图3，，设，则， 同理得：， ∴， ∴， ∴； 综上的长是或或， 故答案为或或． 【点睛】本题考查直角三角形的相似问题，在不确定直角的情况下需要分类讨论分类计算，灵活利用相似三角形的判定和性质是解题的关键． 三、解答题（本大题共5个小题，每小题6分，共30分） 13. 解答： （1）； （2）如图，已知，，直线与，的延长线分别交于点，，求证：． 【答案】（1） （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据乘方、零指数幂、绝对值的定义化简，根据对应运算法则依次计算再合并即可； （2）先由得到同位角相等，再结合 推出，最后利用平行线内错角相等证得结论． 【小问1详解】 解：原式． 【小问2详解】 证明：， ， ， ， ， ． 14. 化简：． 【答案】 【解析】 【分析】先计算括号内的减法，再将除法转化为乘法，同时对分子、分母因式分解，最后约分得到最简结果． 【详解】解：原式= ． 15. 2026年冬奥会在意大利举行，这是冬奥会诞生100周年后的第一届赛事．吉祥物是一对名为蒂娜和米罗的白鼬姐弟，核心口号是敢于梦想．除了蒂娜和米罗，还有六朵名为弗洛的雪花伙伴，作为重生与成长的象征．下面是本届冬奥会一些贴画：某班级举行冬奥会有奖问答活动，答对的同学可以随机抽取贴画作为奖品． （1）在抢答环节中，若答对一题，可从4张贴画中任意抽取1张作为奖品，则恰好抽到贴画“④”的概率是_______； （2）在抢答环节中，若答对两题，则可从4张贴画中任意抽取2张贴作为奖品，求恰好抽到贴画“②”和“③”的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据概率公式直接求解即可； （2）先画出树状图得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【小问1详解】 解：从4张贴画任取一张共有4种情况，其中贴画“④”只有1种情况， ∴恰好抽到贴画“④”的概率是； 【小问2详解】 解：可画树状图为： 由树状图可知一共有12种等可能性的结果数，其中恰好抽到贴画“②”和“③”的结果数有2种， ∴恰好抽到贴画“②”和“③”的概率是． 16. 如图，六边形是正六边形，请仅用无刻度的直尺按下列要求完成以下作图（保留作图痕迹）． （1）如图1，连接，画出一个以为边的等边三角形，且另一个顶点在六边形上； （2）如图2，为边上一点，在边上找一点，使得． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）连接、即可； （2）连接、交于点J，连接，并延长交于点Q，即可求解. 【小问1详解】 解：如图， 即为所求, ∵六边形是正六边形， ∴，， ∴ ， ∴， ∴是等边三角形； 【小问2详解】 解：如图，点即为所求， 理由：∵六边形是正六边形， ∴，，，， ∵， ∴ ， ∴， 又， ∴， ∵，， ∴ ， ∴. 17. 如图，一次函数的图象交x轴于点A，交反比例函数的图象于点．将一次函数的图象向下平移个单位长度，所得的图象交x轴于点C． （1）求反比例函数的表达式； （2）当的面积为3时，求m的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及了求反比例函数解析式、一次函数图象平移问题等知识点，熟记相关结论即可； （1）由题意得：点在一次函数的图象上，可求出，即可求解； （2）对于一次函数，令求出；一次函数的图象向下平移个单位长度后的解析式为：；求出，即可求解； 【小问1详解】 解：由题意得：点在一次函数的图象上， ∴， ∴； ∵在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数的表达式为； 【小问2详解】 解：对于一次函数，令，则； ∴； 一次函数的图象向下平移个单位长度后的解析式为：； 对于一次函数，令，则； ∴； ∴； 解得： 四、解答题（本大题共3个小题，每小题8分，共24分） 18. 2025年5月20日是第36个中国学生营养日，主题为“吃动平衡 身心健康”，核心倡导“加奶、增豆、少油”．初中生小宇的妈妈为他准备了两款营养食品：A款：高钙牛奶；B款：豆谷营养包．每一份的营养成分如下表所示：某天，小宇从这两种食品中恰好摄入了能量和蛋白质． 营养成分 1份A款高钙牛奶 1份B款豆谷营养包 能量 蛋白质 脂肪 碳水化合物 钙 （1）小宇这天食用了A款高钙牛奶和B款豆谷营养包各多少份？ （2）初中生每日脂肪摄入量的标准为．若小宇这天已经从其他食品中摄入了脂肪，在他吃完这两款食品后，脂肪摄入量是否超标？请说明理由． 【答案】（1）小宇这天食用了A款高钙牛奶1份，B款豆谷营养包2份 （2）小宇这天的脂肪摄入量没有超标，理由见详解 【解析】 【分析】（1）设小宇这天食用了A款高钙牛奶x份，B款豆谷营养包y份，根据“从这两种食品中恰好摄入了能量和蛋白质”列方程组求解即可； （2）由（1）可知小宇食用了A款高钙牛奶1份，B款豆谷营养包2份，根据表格求出摄入脂肪的量，再加上从其它食品中摄入脂肪，比较即可． 【小问1详解】 解：设小宇这天食用了A款高钙牛奶x份，B款豆谷营养包y份， 由题意，列方程组得， 解得， 即小宇这天食用了A款高钙牛奶1份，B款豆谷营养包2份． 【小问2详解】 解：小宇这天的脂肪摄入量没有超标， 理由：由（1）可知小宇食用了A款高钙牛奶1份，B款豆谷营养包2份， ∴从这两款食品中摄入的脂肪量为， ∴小宇这天摄入的总脂肪量为， ∵初中生每日脂肪摄入量的标准为，而， ∴小宇这天的脂肪摄入量没有超标． 19. 如图，某款机器人的手臂由上臂、中臂和底座三部分组成，其中上臂和中臂可自由转动，底座与水平地面垂直．在实际运用中要求这三部分始终处于同一平面内，其示意图如图1所示，经测量，上臂，中臂，底座． （1）若上臂与水平面平行，且，计算此时点到地面的距离； （2）如图2，在一次操作中，上臂的点落在水平地面上，计算这时点到点的最大距离？（结果保留根号） 【答案】（1）点到地面的距离为 （2）此时点到点的最大距离为 【解析】 【分析】（1）过点作，垂足为点，在中利用正弦的定义得到，再利用线段的和差即可求解； （2）当点在同一直线上时，点与点的距离最大，在，利用勾股定理即可解决问题． 【小问1详解】 解：如图，过点作，垂足为点， 则在中，． ， ， ， 点到地面的距离为； 【小问2详解】 解：当点在同一直线上时，点与点的距离最大， 此时点构成， ， 即此时点到点的最大距离为． 20. 如图，是的直径，C是上异于A、B的点，点D在的延长线上，连接交于点E，过点E作的切线交于点F，且，连接交于点H，连接． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，由圆的切线的性质，得出，则，根据等边对等角，得出，即可得证； （2）根据平行可证，则，得出，则，由直径可得，再利用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 证明：如图，连接， 是的切线， ， ， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， ， ， 是的直径， ， 五、解答题（本大题共2个小题，每小题9分，共18分） 21. 联合国新闻部将中国传统节气“谷雨”这一天定为中文日，以纪念“中华文字始祖”仓颉造字的贡献．某校为加强学生对中文历史发展的学习与了解，彰显中文和中华文化的魅力，举行了“感受中文魅力，弘扬中华文化”的趣味知识竞赛．现从该校七、八年级中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（用表示，百分制）分成四组：；；；，将所得数据进行收集、整理、描述和分析： 收集数据： 七年级20名学生的竞赛成绩是：81，86，99，95，89，99，98，82，88，99，80，86，97，94，88，99，99，83，88，100 八年级20名学生的竞赛成绩在组中的数据是：94，94，91，93，95，91 整理数据： 分析数据： 七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表 　　　年级 统计量 七年级 八年级 平均数 91.5 92 中位数 91.5 众 数 99 100 应用数据： 根据以上信息，解答下列问题： （1）的值为 ，补全频数分布直方图； （2）若该中学七年级有600人，八年级有400人参加了此次竞赛活动． ①估计参加此次竞赛活动学生获得成绩的平均分为 分； ②估计参加此次竞赛活动学生获得优秀(90分以上)成绩的总人数； （3）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生对“中文的历史发展”知识了解的更多？并说明理由（写出一条即可）． 【答案】（1）94；见详解 （2）①91.7；②580人 （3）八年级学生对“中文的历史发展”知识了解的更多，见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了条形统计图以及扇形统计图，中位数的定义，加权平均数的定义，用样本估计总体即可．以及利用平均数作决策即可． （1）根据中位数的定义求解m．先算出七年级D组的人数，然后补全条形统计图即可． （2）①根据加权平均数的定义求解即可；②用样本估计总体即可． （3）利用平均数作决策即可． 【小问1详解】 解：人， 则八年级的中位数位于C组的第10位和11位的平均数： ∴， 七年级D组的人数为：(人)， 补全条形统计图如下： 【小问2详解】 解：①（分） 则参加此次竞赛活动学生获得成绩的平均分为（分） ②（人） 则参加此次竞赛活动学生获得优秀(90分以上)成绩的总人数为580人． 【小问3详解】 解：八年级学生对“中文的历史发展”知识了解的更多． 理由：八年级所抽学生的平均成绩大于七年级的平均成绩．（从中位数或者从众数的角度分析均可．） 22. 定义：我们不妨把纵坐标是横坐标2倍的点称为“青竹点”．例如：点、……都是“青竹点”．显然，函数的图象上有两个“青竹点”：和． （1）下列函数中，函数图象上存在“青竹点”的，请在横线上打“√”，不存在“青竹点”的，请打“×”． ①________； ②________； ③________． （2）若抛物线（m为常数）上存在两个不同的“青竹点”，求m的取值范围； （3）若函数的图象上存在唯一的一个“青竹点”，且当时，a的最小值为c，求c的值． 【答案】（1）×；√；× （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）根据“青一函数”的定义直接判断即可； （2）根据题意得出关于的一元二次方程，再根据根的判别式得出关于m的不等式，即可求解； （3）根据题意得出关于的一元二次方程，再根据根的判别式得出关于a的二次函数，利用二次函数最值求解即可． 【小问1详解】 解：①令，方程无解， ∴函数图像上不存在“青竹点”，故答案为：×； ②令， 解得：，， ∴函数图像上存在“青竹点”和，故答案为：√； ③令，方程无解， ∴函数图像上不存在“青竹点”，故答案为：×； 【小问2详解】 解：由题意得， 整理，得， ∵抛物线（m为常数）上存在两个不同的“青竹点”， ∴， 解得； 【小问3详解】 解：由题意得 整理，得 ∵函数的图像上存在唯一的一个“青竹点”， ∴ 整理，得 ∴当时，a的最小值为， ∵当时，a的最小值为c， 若 则，符合题意； 当时，a的最小值为， ∴，该方程无实根， ∴该情况不成立， 当时，的最小值为， ∴， ∴，其中，故不符合题意， ∴， 综上可得或． 【点睛】本题属于函数背景下新定义问题，主要考查二次函数的性质，二次函数与一元二次方程的关系，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程的关系，一元二次方程根的判别式． 六、解答题（本大题共12分） 23. [问题发现] （1）如图1，在中，，，点为的中点，以为一边作正方形，点恰好与点重合，则线段与的数量关系为 ． [拓展研究] （2）在（1）的条件下，如果正方形绕点C旋转，连接，线段与的数量关系有无变化？请仅就图2的情形给出证明． [问题解决] （3）当，且（2）中的正方形绕点C逆时针旋转到三点共线时，求出线段的长．   【答案】（1） （2）无变化，证明见解析 （3）或 【解析】 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得出，利用直角三角形斜边中线，得，再结合，即可得出答案； （2）利用两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，可得，得，从而得出答案； （3）分点落在上或点落在的延长线上两种情形，分别画出图形，利用勾股定理求出的长，进而得出答案． 【详解】解：（1），， ， 点为的中点，， ， ∴， ∴， 四边形是正方形， ， ， 故答案为：； （2）无变化，理由如下： ∵四边形是正方形， ∴，， 又∵，， ∴和是等腰直角三角形， ，， ， ， ， ， 线段和线段的数量关系无变化； （3）由（1）可知，，，， 当点落在上时，如图， 在中，， ， 由（2）知，， ； 当点在的延长线上时， ∴， 同理得， 由（2）知，， ， 综上：或． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，正方形的性质，旋转的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，二次根式等知识，利用（2）的结论是解决问题（3）的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $