10.3+实际问题与二元一次方程组（6）（7）—销售问题、方案选择问题同步练 2025-2026学年人教版数学七年级下册

**基本信息** 本同步练以“例题讲解-课堂练习”分层，通过销售与方案选择实际情境，构建从基础等量关系到综合方案设计的知识巩固路径，培养数学建模与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |例题讲解|二元一次方程组基本应用（销售进价、折扣利润、方案初步）|以商场促销、航模购买等典型情境示范建模，例1-2基础等量关系，例3-4引入分段计费与多方案比较，梯度递进| |课堂练习|综合应用（含多变量利润、方案优化、数据规律探究）|结合粽子销售、低碳出行等生活实际，设置练1-2基础应用，练3-4提升至利润不变性分析与方案可行性判断，强化数学思维与应用意识|

10.3 实际问题与二元一次方程组（6） ——销售问题 姓名： 班级： 一．例题讲解 例1．某商店购进商品后，都加价40%作为销售价，元旦期间搞优惠促销，决定由顾客抽奖确定折扣，某顾客购买甲、乙两种商品，分别抽到七折和九折，共付款399元，商场共盈利49元，甲、乙两种商品的进价分别为多少元？ 例2．开州商都新世纪超市用2820元购进、两种型号的热水袋共60个，这两种型号的热水袋的进价、标价如表所示： (1)求这两种型号的热水袋各购进多少个？ (2)在销售过程中，、型热水袋均按标价九折出售，但在型热水袋卖出个后，恰逢“双十一”，商场决定剩余型热水袋按标价的八折销售，结果这批热水袋全部售出后超市共获得800元的利润，求的值． 价格类型 型 型 进价（元/个） 35 65 标价（元/个） 50 100 例3．学校书法兴趣小组准备到文具店购买，两种类型的毛笔，文具店的销售方法是：一次性购买型毛笔不超过20支时，按零售价销售；超过20支时，超过部分每支比零售价低0.4元，其余部分仍按零售价销售．一次性购买型毛笔都按零售价销售． （1）如果一个小组共有10名同学，若每人各买1支型毛笔和1支型毛笔，共支付50元；若每人各买2支型毛笔和1支型毛笔，共支付70元．这家文具店的，两种类型毛笔的零售价各是多少？ （2）为了促销，该文具店对型毛笔除了原来的销售方法外，同时又推出了一种新的销售方法：无论购买多少支，一律按原零售价（即（1）中所求得的型毛笔的零售价）的90%出售．现要一次性购买型毛笔支，在新的销售方法和原来的销售方法中，应选择哪种方法购买花钱较少？并说明理由 2． 课堂练习 练1．端午节是中国传统节日，人们有吃粽子的习俗．某商店售卖某品牌瘦肉粽和五花肉粽．请依据以下对话，求促销活动前每个瘦肉粽、五花肉粽的售价． 练2．一家广告公司为某学校制作文艺活动的展板、宣传册和横幅，其中宣传册的数量是展板的5倍．广告公司制作每件产品所需时间和所获利润如下表： 已知制作三种产品共需25小时，所获利润为975元，则这三种产品的件数之和为？ 产品 展板 宣传册 横幅 时间／小时 1 利润／元 60 20 练3．某超市从厂家购进、两种型号的水杯，两次购进水杯的情况如表： 进货批次 型水杯（个） 型水杯（个） 总费用（元） 一 100 200 4000 二 40 60 1300 (1)求、两种型号的水杯进价各是多少元？ (2)第三次进货用8000元钱购进这两种水杯，如果每销售出一个型水杯可获利8元，售出一个型水杯可获利6元，超市决定每售出一个型水杯就为当地“爱心捐赠”活动捐元．若、两种型号的水杯在全部售出的情况下，捐款后所得的利润始终不变，此时为多少？利润为多少？ 练4．辽宁是粮食大省，水稻和玉米是全省其中的两个主要粮食农作物．某工厂将水稻和玉米分别生产加工为大米和玉米糁，大米每袋的生产成本是元，玉米糁每袋的生产成本是元，每日两种产品合计生产袋．（每日生产的大米和玉米糁均为整数袋） (1)若该工厂某日生产成本为元，则两种产品各生产多少袋？ (2)若大米每袋的售价是元，玉米糁每袋的售价是元，该工厂每日所得利润可能是元吗？如果可能，请分别求出每日生产大米和玉米糁的袋数；如果不可能，请说明理由． 10.3 实际问题与二元一次方程组（7） ——方案选择问题 一．例题讲解 例1．把一根长的钢管截成长和长两种规格的钢管，如果不造成浪费，那么共有种不同的截法（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 例2．年月日，神舟十九号载人飞船成功发射，三名航天员被送入中国天宫空间站，开启了中国航天事业的新篇章．二七区某中学为了培养学生科技创新意识，开设了“蓝天梦想家”航模兴趣社团，计划购进A、B两种航模．据了解购买1件A型航模和2件B型航模需元；购买2件A型航模和3件B型航模需元． (1)求A、B两种航模每件分别多少元？ (2)张老师欲同时购买两种航模，在采购时恰逢商家推出优惠活动，两种航模均打九折出售，这次采购预计共花费元，请问张老师有哪几种购买方案？ 例3．某工厂准备在春节前生产甲、乙两种型号的新年礼盒共60万套，两种礼盒的成本和售价如下表所示． 甲 乙 成本（元/套） 20 24 售价（元/套） 25 30 (1)该工厂计划筹集资金1340万元，且全部用于生产甲、乙两种礼盒，则这两种礼盒各生产多少万套？ (2)经过市场调查，该厂决定在原计划的基础上增加生产甲种礼盒m万套，增加生产乙种礼盒n万套（m，n都为正整数），且两种礼盒售完后所获得的总利润恰为400万元，请问该工厂有几种生产方案？并写出所有可行的生产方案． 例4．在重庆南开中学建校85周年之际，学校举行了隆重的庆祝活动．为感谢参与活动的师生，学校定制了水杯和手账两种纪念品，已知定制2个水杯和3本手账共需180元，定制5个水杯和6本手账共需420元． （1）定制一个水杯和一本手账的单价各是多少元？ （2）学校最终决定定制水杯和手账的总数量为600件（其中水杯不超过300个），并委托商家进行包装，现有如下两种方案： 方案1：一个水杯的包装费为6元，一本手账的包装费为1元，总费用打8折； 方案2：定制一个水杯，就赠送一本手账，并将一个水杯和一本手账作为套装进行包装，此种方案中每个套装的包装费为4元，剩下需要单独定制的单品每件包装费为2元． 求定制水杯多少个时，两种方案的总费用相同？（总费用=定制物品的总费用+包装总费用） 二．课堂练习 1．王芳花19元买了若干支记号笔和中性笔，记号笔和中性笔的价格分别为5元/支和3元/支．王芳买了多少支记号笔？多少支中性笔？ 2．“低碳生活，绿色出行”已逐渐被大多数人所接受，某自行车专卖店有，两种规格的自行车，型车的利润为元/辆，型车的利润为元/辆，该专卖店一月份前两周销售情况如下： 型车销售量（辆） 型车销售量（辆） 总利润（元） 第一周 10 12 2240 第二周 20 15 3400 (1)求，的值． (2)若第三周某天型车和型车的总利润为680元，请问这天型车和型车各卖出了多少辆． 3．已知：用2辆A型车和1辆B型车载满货物一次可运货11吨；用1辆A型车和2辆B型车载满货物一次可运货13吨．根据以上信息，解答下列问题： (1)1辆A型车和1辆B型车都载满货物一次可分别运货多少吨？ (2)某物流公司现有31吨货物，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆（两种型号车均租用），一次运完，且恰好每辆车都载满货物，直接写出该物流公司所有的租车方案． 4．一种商品有大小盒两种包装，3大盒、4小盒共装108瓶，2大盒3小盒共装76瓶． (1)大盒与小盒每盒各装多少瓶？ (2)已知这种商品一大盒的价格为40元，一小盒的价格为24元，小明购买这种商品共花费200元，试确定小明可能有哪些购买方案． 学科网（北京）股份有限公司 $ 10.3 实际问题与二元一次方程组（6） ——销售问题 姓名： 班级： 一．例题讲解 例1．某商店购进商品后，都加价40%作为销售价，元旦期间搞优惠促销，决定由顾客抽奖确定折扣，某顾客购买甲、乙两种商品，分别抽到七折和九折，共付款399元，商场共盈利49元，甲、乙两种商品的进价分别为多少元？ 【答案】甲种商品的进价为150元，乙种商品的进价为200元． 【分析】1、根据题意设出合适的未知数,本题求什么设什么,设甲、乙两种商品的进价分别为x元、y元.找出题中的等量关系; 2、等量关系为“原销售价之和为490元”,“打折后的总价为399元”; 3、根据“加价40%作为销售价”可得出甲、乙两种商品的销售价分别为(1+40%)x、(1+40%)y.进而可列出方程组; 4、求解此方程组解出x、y的值即可. 【详解】解：设甲种商品的进价为x元，乙种商品的进价为y元， 根据题意得：， 解得：， 答：甲种商品的进价为150元，乙种商品的进价为200元． 【点睛】本题考查的知识点是二元一次方程组的应用-销售和利润，解题关键是根据题意设出合适的未知数,找出题中的等量关系. 例2．开州商都新世纪超市用2820元购进、两种型号的热水袋共60个，这两种型号的热水袋的进价、标价如表所示： 价格类型 型 型 进价（元/个） 35 65 标价（元/个） 50 100 (1)求这两种型号的热水袋各购进多少个？ (2)在销售过程中，、型热水袋均按标价九折出售，但在型热水袋卖出个后，恰逢“双十一”，商场决定剩余型热水袋按标价的八折销售，结果这批热水袋全部售出后超市共获得800元的利润，求的值． 【答案】(1)购进种型号热水袋36个，购进种型号热水袋24个 (2)8 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意，找准等量关系列出方程是解题的关键． （1）设购进种型号热水袋个，根据购进种型号热水袋的进价购进种型号热水袋的进价总进价，列出方程求解即可； （2）根据销售种型号热水袋的利润销售种型号热水袋的利润总利润，列出方程求解即可； 【详解】（1）解：设购进种型号热水袋个，则购进种型号热水袋个， 由题意得，， 解得：， 购进种型号：（个）， 答：购进种型号热水袋36个，购进种型号热水袋24个． （2）解：由题意得，， 解得：， 的值为8． 例3．学校书法兴趣小组准备到文具店购买，两种类型的毛笔，文具店的销售方法是：一次性购买型毛笔不超过20支时，按零售价销售；超过20支时，超过部分每支比零售价低0.4元，其余部分仍按零售价销售．一次性购买型毛笔都按零售价销售． （1）如果一个小组共有10名同学，若每人各买1支型毛笔和1支型毛笔，共支付50元；若每人各买2支型毛笔和1支型毛笔，共支付70元．这家文具店的，两种类型毛笔的零售价各是多少？ （2）为了促销，该文具店对型毛笔除了原来的销售方法外，同时又推出了一种新的销售方法：无论购买多少支，一律按原零售价（即（1）中所求得的型毛笔的零售价）的90%出售．现要一次性购买型毛笔支，在新的销售方法和原来的销售方法中，应选择哪种方法购买花钱较少？并说明理由． 【答案】（1）型毛笔的零售价为每支2元，型毛笔的零售价为每支3元；（2）当时，按新方式的销售方法购买花钱少；当时，两种销售方法购买花钱一样多；当时，按原来的销售方法购买花钱少． 【分析】（1）设这家文具店的A型毛笔零售价为每支元，型毛笔的零售价为每支元，根据等量关系每人各买1支A型毛笔和1支型毛笔，共支付50元；若每人各买2支A型毛笔和1支型毛笔，共支付70元．列方程 ，解方程即可； 如果按原来的销售方法购买支A型毛笔共需元，则，如果按新的销售方法购买支A型毛笔共需元．则，可求求出n=m时，分三种情况讨论即可． 【详解】解：（1）设这家文具店的A型毛笔零售价为每支元，型毛笔的零售价为每支元， 由题意得：， 解得：， 答：这家文具店A型毛笔的零售价为每支2元，型毛笔的零售价为每支3元； 如果按原来的销售方法购买支A型毛笔共需元， 则， 如果按新的销售方法购买支A型毛笔共需元． 则， 于是， ，解得， ①当时，显然按新的销售方法购买花钱少； ∵， ∴， ∴， ∴当时，按新方式的销售方法购买花钱少； ②∵， ∴， ∴当时，两种销售方法购买花钱一样多； ③∵， ∴， ∴， ∴当时，按原来的销售方法购买花钱少． 【点睛】本题考查列二元一次方程组解应用题，方案设计，掌握列二元一次方程组解应用题的方法与步骤，利用分类思想解决方案设计中划算问题是解题关键． 2． 课堂练习 练1．端午节是中国传统节日，人们有吃粽子的习俗．某商店售卖某品牌瘦肉粽和五花肉粽．请依据以下对话，求促销活动前每个瘦肉粽、五花肉粽的售价． 【答案】促销活动前每个瘦肉粽的售价为15元，则促销活动前每个五花肉粽的售价10元． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．设促销活动前每个瘦肉粽的售价为元，则促销活动前每个五花肉粽的售价元，根据题意列方程求解即可． 【详解】解：设促销活动前每个瘦肉粽的售价为元，则促销活动前每个五花肉粽的售价元， 依题意得， 解得， ， 答：促销活动前每个瘦肉粽的售价为15元，则促销活动前每个五花肉粽的售价10元． 练2．一家广告公司为某学校制作文艺活动的展板、宣传册和横幅，其中宣传册的数量是展板的5倍．广告公司制作每件产品所需时间和所获利润如下表： 产品 展板 宣传册 横幅 时间／小时 1 利润／元 60 20 已知制作三种产品共需25小时，所获利润为975元，则这三种产品的件数之和为？ 【答案】三种产品的总件数为件 【分析】题目主要考查二元一次方程组的应用，理解题意，列出方程组求解是解题关键． 设学校制作展板件，宣传册件，横幅件，根据题意，列出方程组求解即可． 【详解】解：设学校制作展板件，宣传册件，横幅件 则： 解得： 所以这三种产品的总件数为件． 练3．某超市从厂家购进、两种型号的水杯，两次购进水杯的情况如表： 进货批次 型水杯（个） 型水杯（个） 总费用（元） 一 100 200 4000 二 40 60 1300 (1)求、两种型号的水杯进价各是多少元？ (2)第三次进货用8000元钱购进这两种水杯，如果每销售出一个型水杯可获利8元，售出一个型水杯可获利6元，超市决定每售出一个型水杯就为当地“爱心捐赠”活动捐元．若、两种型号的水杯在全部售出的情况下，捐款后所得的利润始终不变，此时为多少？利润为多少？ 【答案】(1)、两种型号的水杯进价分别为元/个，元/个 (2)，总利润为3200元 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，整式加减中的无关型问题： （1）设、两种型号的水杯进价分别为元/个，元/个，根据表格数据，列出方程组进行求解即可； （2）设购买个型水杯，根据总利润等于两种水杯的利润之和，列出代数式，根据捐款后所得的利润始终不变，得到利润与的值无关，进行求解即可． 【详解】（1）解：设、两种型号的水杯进价分别为元/个，元/个，由题意，得： ，解得：； 答：、两种型号的水杯进价分别为元/个，元/个； （2）设购买个型水杯，则购买个型水杯，由题意，得： 总利润 ； ∵捐款后所得的利润始终不变， ∴， ∴，总利润为3200元． 练4．辽宁是粮食大省，水稻和玉米是全省其中的两个主要粮食农作物．某工厂将水稻和玉米分别生产加工为大米和玉米糁，大米每袋的生产成本是元，玉米糁每袋的生产成本是元，每日两种产品合计生产袋．（每日生产的大米和玉米糁均为整数袋） (1)若该工厂某日生产成本为元，则两种产品各生产多少袋？ (2)若大米每袋的售价是元，玉米糁每袋的售价是元，该工厂每日所得利润可能是元吗？如果可能，请分别求出每日生产大米和玉米糁的袋数；如果不可能，请说明理由． 【答案】(1)大米生产了袋，玉米糁生产了袋 (2)该工厂每日所得利润不能是元，理由见解析 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． （1）设大米生产了x袋，玉米糁生产了y袋，根据“每日两种产品合计生产袋，且该工厂某日的生产成本为元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）假设该工厂每日所得利润能是元，设每日生产大米m袋，玉米糁n袋，根据“每日两种产品合计生产袋，且该工厂每日所得利润能是元”，可列出关于m，n的二元一次方程组，解之可得出m，n的值，再结合每日生产的大米和玉米糁均为整数袋，可得出假设不成立，即该工厂每日所得利润不能是元． 【详解】（1）解：设大米生产了x袋，玉米糁生产了y袋， 根据题意得：， 解得：． 答：大米生产了袋，玉米糁生产了袋； （2）解：该工厂每日所得利润不能是元，理由如下： 假设该工厂每日所得利润能是元，设每日生产大米m袋，玉米糁n袋， 根据题意得：， 解得：， 又∵每日生产的大米和玉米糁均为整数袋， ∴不符合题意， ∴假设不成立， ∴该工厂每日所得利润不能是2810元． 10.3 实际问题与二元一次方程组（7） ——方案选择问题 一．例题讲解 例1．把一根长的钢管截成长和长两种规格的钢管，如果不造成浪费，那么共有种不同的截法（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】D 【分析】设截成2米长的钢管x根，1米长的y根，根据题意得2x+y＝7，由x，y都是正整数，求得的值即可求解． 【详解】解；截下来的符合条件的钢管长度之和刚好等于总长7米时，不造成浪费， 设截成2米长的钢管x根，1米长的y根， 由题意得，2x+y＝7， 因为x，y都是正整数，所以符合条件的解为： ，，， 则有三种不同的截法． 故选：D． 【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，理解题意是解题的关键． 例2．年月日，神舟十九号载人飞船成功发射，三名航天员被送入中国天宫空间站，开启了中国航天事业的新篇章．二七区某中学为了培养学生科技创新意识，开设了“蓝天梦想家”航模兴趣社团，计划购进A、B两种航模．据了解购买1件A型航模和2件B型航模需元；购买2件A型航模和3件B型航模需元． (1)求A、B两种航模每件分别多少元？ (2)张老师欲同时购买两种航模，在采购时恰逢商家推出优惠活动，两种航模均打九折出售，这次采购预计共花费元，请问张老师有哪几种购买方案？ 【答案】(1)每件A型航模元，每件B型航模元 (2)张老师共有2种购买方案：方案1：购买4件A型航模，1件B型航模；方案2：购买1件A型航模，3件B型航模 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组（或二元一次方程）是解题的关键． （1）设每件A型航模x元，每件B型航模y元，根据“购买1件A型航模和2件B型航模需元；购买2件A型航模和3件B型航模需元．”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买m件A型航模，n件B型航模，利用总价单价数量，可列出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为正整数，即可得出各购买方案． 【详解】（1）解：设每件A型航模x元，每件B型航模y元， 根据题意得：， 解得：． 答：每件A型航模元，每件B型航模元． （2）解：设购买m件A型航模，n件B型航模， 根据题意得：， ． 又∵m，n均为正整数， 或． ∴张老师共有2种购买方案， 方案1：购买4件A型航模，1件B型航模； 方案2：购买1件A型航模，3件B型航模． 例3．某工厂准备在春节前生产甲、乙两种型号的新年礼盒共60万套，两种礼盒的成本和售价如下表所示． 甲 乙 成本（元/套） 20 24 售价（元/套） 25 30 (1)该工厂计划筹集资金1340万元，且全部用于生产甲、乙两种礼盒，则这两种礼盒各生产多少万套？ (2)经过市场调查，该厂决定在原计划的基础上增加生产甲种礼盒m万套，增加生产乙种礼盒n万套（m，n都为正整数），且两种礼盒售完后所获得的总利润恰为400万元，请问该工厂有几种生产方案？并写出所有可行的生产方案． 【答案】(1)甲礼盒生产25万套，乙礼盒生产35万套； (2)两种，方案1：生产甲种礼盒32万套，乙种礼盒40万套； 方案2：生产甲种礼盒26万套，乙种礼盒45万套． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程． （1）设甲种礼盒生产万套，乙种礼盒生产万套，利用总成本每套甲种礼盒的成本生产甲种礼盒的数量每套乙种礼盒的成本生产乙种礼盒的数量，结合生产甲、乙两种型号的新年礼盒共60万套且生产总成本为1340万元，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）利用总利润每套甲种礼盒的销售利润生产甲种礼盒的数量每套乙种礼盒的销售利润生产乙种礼盒的数量，可列出关于，的二元一次方程，结合，均为正整数，即可得出各生产方案． 【详解】（1）设甲种礼盒生产万套，乙种礼盒生产万套， 根据题意得：， 解得：． 答：甲种礼盒生产25万套，乙种礼盒生产35万套； （2）根据题意得：， ， 又，均为正整数， 或， 或， 该工厂有2种生产方案， 方案1：生产甲种礼盒32万套，乙种礼盒40万套； 方案2：生产甲种礼盒26万套，乙种礼盒45万套． 例4．在重庆南开中学建校85周年之际，学校举行了隆重的庆祝活动．为感谢参与活动的师生，学校定制了水杯和手账两种纪念品，已知定制2个水杯和3本手账共需180元，定制5个水杯和6本手账共需420元． （1）定制一个水杯和一本手账的单价各是多少元？ （2）学校最终决定定制水杯和手账的总数量为600件（其中水杯不超过300个），并委托商家进行包装，现有如下两种方案： 方案1：一个水杯的包装费为6元，一本手账的包装费为1元，总费用打8折； 方案2：定制一个水杯，就赠送一本手账，并将一个水杯和一本手账作为套装进行包装，此种方案中每个套装的包装费为4元，剩下需要单独定制的单品每件包装费为2元． 求定制水杯多少个时，两种方案的总费用相同？（总费用=定制物品的总费用+包装总费用） 【答案】（1）定制一个水杯的单价为60元，一本手账的单价为20元；（2）定制水杯195个时，两种方案的总费用． 【分析】（1）设定制一个水杯的单价为x，一本手账的单价为y，根据“定制2个水杯和3本手账共需180元，定制5个水杯和6本手账共需420元”，列二元一次方程组，求解即可； （2）设定制水杯的个数为m个，且m300，则手账的个数为(600-m)个，分别求得方案1和方案2的总费用，依题意解一元一次方程即可求解． 【详解】解：（1）设定制一个水杯的单价为x元，一本手账的单价为y元， 依题意得：，解得：， 答：定制一个水杯的单价为60元，一本手账的单价为20元； （2）设定制水杯的个数为m个，且m300，则手账的个数为(600-m)个， 方案1：设总费用为w1， 则w1=； 方案2：设总费用为w2， 则w2=； 依题意，令w1= w2，即， 解得：m=195<300，符合题意， 答：定制水杯195个时，两种方案的总费用． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确得出一次函数的解析式． 二．课堂练习 1．王芳花19元买了若干支记号笔和中性笔，记号笔和中性笔的价格分别为5元/支和3元/支．王芳买了多少支记号笔？多少支中性笔？ 【答案】王芳买了2支记号笔，3支中性笔 【分析】本题主要考查了二元一次方程的实际应用．设王芳买了x支记号笔，y支中性笔，根据“王芳花19元买了若干支记号笔和中性笔，记号笔和中性笔的价格分别为5元/支和3元/支．”列出方程，结合x，y均为正整数，即可求解． 【详解】解：设王芳买了x支记号笔，y支中性笔，根据题意得： ， ∴， ∵x，y均为正整数， ∴是5的整数倍， ∴，此时， 答：王芳买了2支记号笔，3支中性笔． 2．“低碳生活，绿色出行”已逐渐被大多数人所接受，某自行车专卖店有，两种规格的自行车，型车的利润为元/辆，型车的利润为元/辆，该专卖店一月份前两周销售情况如下： 型车销售量（辆） 型车销售量（辆） 总利润（元） 第一周 10 12 2240 第二周 20 15 3400 (1)求，的值． (2)若第三周某天型车和型车的总利润为680元，请问这天型车和型车各卖出了多少辆． 【答案】(1) (2)这天型车和型车分别卖出了7辆、1辆或4辆、3辆或1辆、5辆 【分析】此题考查了二元一次方程和二元一次方程组的应用，读懂题意正确列方程是关键． （1）根据第一周和第二周总利润列方程组并解方程即可； （2）根据总利润为680元列二元一次方程，求整数解即可． 【详解】（1）解：根据题意得， 解得； （2）设这天型车和型车分别卖出了辆、辆， 根据题意得， 整理得， 解得或或， 所以这天型车和型车分别卖出了7辆、1辆或4辆、3辆或1辆、5辆． 3．已知：用2辆A型车和1辆B型车载满货物一次可运货11吨；用1辆A型车和2辆B型车载满货物一次可运货13吨．根据以上信息，解答下列问题： (1)1辆A型车和1辆B型车都载满货物一次可分别运货多少吨？ (2)某物流公司现有31吨货物，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆（两种型号车均租用），一次运完，且恰好每辆车都载满货物，直接写出该物流公司所有的租车方案． 【答案】(1)1辆A型车载满货物一次可运货3吨，1辆B型车载满货物一次可运货5吨； (2)共有两种租车方案：方案一：租用A型车2辆，B型车5辆；方案二：租用A型车7辆，B型车2辆 【分析】（1）设1辆A型车载满货物一次可运货x吨，1辆B型车载满货物一次可运货y吨，根据题意可得出二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）根据（1）所求可得，再结合a、b都是正整数进行求解即可． 【详解】（1）解：设1辆A型车载满货物一次可运货x吨， 1辆B型车载满货物一次可运货y吨， 根据题意得：， 解得：， 答：1辆A型车载满货物一次可运货3吨，1辆B型车载满货物一次可运货5吨． （2）解：由题意得， ∴， ∵a、b都是正整数， ∴必须是5的倍数， ∴当时，， 当时，， ∴共有两种租车方案：方案一：租用A型车2辆，B型车5辆；方案二：租用A型车7辆，B型车2辆． 【点睛】本题考查了二元一次方程（组）的应用，根据数量关系列出二元一次方程（组）是解题的关键． 4．一种商品有大小盒两种包装，3大盒、4小盒共装108瓶，2大盒3小盒共装76瓶． (1)大盒与小盒每盒各装多少瓶？ (2)已知这种商品一大盒的价格为40元，一小盒的价格为24元，小明购买这种商品共花费200元，试确定小明可能有哪些购买方案． 【答案】(1)每大盒装20瓶，每小盒装12瓶． (2)有两种购买方案：①2大盒，5小盒；②5大盒． 【分析】（1）设每大盒装x瓶，每小盒装y瓶，由题意易得，进而求解即可； （2）设小明买了a大盒，b小盒，然后可得，进而根据a、b为非负整数可进行求解． 【详解】（1）解：设每大盒装x瓶，每小盒装y瓶，根据题意得： ， 解得：， 答：每大盒装20瓶，每小盒装12瓶． （2）解：设小明买了a大盒，b小盒．由题意得： ， 化简，得：， 因为a、b为非负整数，所以方程的非负整数解为、． 所以有两种购买方案：①2大盒，5小盒；②5大盒． 【点睛】本题主要考查二元一次方程组的应用，熟练掌握二元一次方程组的应用是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $10.3实际问题与二元一次方程组（6) 销售问题 姓名： 班级： 一.例题讲解 例1.某商店购进商品后，都加价40%作为销售价，元 旦期间搞优惠促销，决定由顾客抽奖确定折扣，某顾客 购买甲、乙两种商品，分别抽到七折和九折，共付款399 元，商场共盈利49元，甲、乙两种商品的进价分别为 多少元？ 【答案】甲种商品的进价为150元，乙种商品的进价为 200元。 【分析】1、根据题意设出合适的未知数，本题求什么设 什么，设甲、乙两种商品的进价分别为×元、y元.找出题 中的等量关系； 2、等量关系为“原销售价之和为490元”，“打折后的总价 为399元”； 3、根据“加价40%作为销售价”可得出甲、乙两种商品的 销售价分别为(1+40%)x、(1+40%)y.进而可列出方程组 0.7(1+40%)x+0.9(1+40%)y=399 (1+40%)x+(1+40%)y=490; 4、求解此方程组解出x、y的值即可. 【详解】解：设甲种商品的进价为×元，乙种商品的进 价为y元， 0.7(1+40%)x+0.9(1+40%)y=399 根据题意得： (1+40%)x+(1+40%)y=490 「x=150 解得： y=200' 答：甲种商品的进价为150元，乙种商品的进价为200 元 【点睛】本题考查的知识点是二元一次方程组的应用 销售和利润，解题关键是根据题意设出合适的未知数， 找出题中的等量关系 例2.开州商都新世纪超市用2820元购进A、B两种型 号的热水袋共60个，这两种型号的热水袋的进价、标 价如表所示： 价格类型 A型 B型 进价（元/个） 35 标价（元/个） 50 100 (1)求这两种型号的热水袋各购进多少个？ (2)在销售过程中，A、B型热水袋均按标价九折出售， 但在B型热水袋卖出m个后，恰逢“双十一”，商场决定 剩余B型热水袋按标价的八折销售，结果这批热水袋全 部售出后超市共获得800元的利润，求m的值. 【答案】(1)购进A种型号热水袋36个，购进B种型号 热水袋24个 (2)8 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意， 找准等量关系列出方程是解题的关键， (1)设购进A种型号热水袋x个，根据购进A种型号热 水袋的进价+购进B种型号热水袋的进价=总进价，列 出方程求解即可； (2)根据销售A种型号热水袋的利润+销售B种型号热 水袋的利润=总利润，列出方程求解即可： 【详解】(1)解：设购进A种型号热水袋x个，则购进B 种型号热水袋(60-x)个， 由题意得，35x+65(60-x)=2820, 解得：x=36, 购进B种型号：60-x=60-36=24（个)， 答：购进A种型号热水袋36个，购进B种型号热水袋 24个. (2)解：由题意得， (50×0.9-35)×36+(100×0.9-65)m+(100×0.8-65)(24-m)=8 解得：m=8, .m的值为8. 例3.学校书法兴趣小组准备到文具店购买A,B两种 类型的毛笔，文具店的销售方法是：一次性购买A型毛 笔不超过20支时，按零售价销售；超过20支时，超过 部分每支比零售价低0.4元，其余部分仍按零售价销 售。一次性购买B型毛笔都按零售价销售. (1)如果一个小组共有10名同学，若每人各买1支A 型毛笔和1支B型毛笔，共支付50元：若每人各买2 支A型毛笔和1支B型毛笔，共支付70元.这家文具 店的A,B两种类型毛笔的零售价各是多少？ (2)为了促销，该文具店对A型毛笔除了原来的销售 方法外，同时又推出了一种新的销售方法：无论购买多 少支，一律按原零售价（即(1）中所求得的A型毛笔 的零售价)的90%出售.现要一次性购买A型毛笔a支， 在新的销售方法和原来的销售方法中，应选择哪种方法 购买花钱较少？并说明理由 【答案】(1)A型毛笔的零售价为每支2元，B型毛笔 的零售价为每支3元：(2)当a<40时，按新方式的销 售方法购买花钱少；当α=40时，两种销售方法购买花 钱一样多：当α>40时，按原来的销售方法购买花钱少. 【分析】(1)设这家文具店的A型毛笔零售价为每支x 元，B型毛笔的零售价为每支y元，根据等量关系每人 各买1支A型毛笔和1支B型毛笔，共支付50元：若 每人各买2支A型毛笔和1支B型毛笔，共支付70元.列 10x+10y=50 方程 20x+10y=70’解方程即可： (2)如果按原来的销售方法购买a支A型毛笔共需m元， 则m=1.6a+8,如果按新的销售方法购买a支A型毛笔 共需n元.则n=1.8a,可求n-m=0.2a-8求出n=m时 a=40,分三种情况讨论即可. 【详解】解：(1)设这家文具店的A型毛笔零售价为每 支x元，B型毛笔的零售价为每支y元， 10x+10y=50 由题意得： 20x+10y=701 x=2 解得： y=31 答：这家文具店A型毛笔的零售价为每支2元，B型毛 笔的零售价为每支3元： (2)如果按原来的销售方法购买a支A型毛笔共需m元， 则m=20×2+(a-20)×(2-0.4)=1.6a+8, 如果按新的销售方法购买a支A型毛笔共需n元. 则n=a×2×90%=1.8a, 于是n-m=1.8a-(1.6a+8)=0.2a-8, 0.2a-8=0,解得a=40, ①当a<20时，显然按新的销售方法购买花钱少： .a<40, .0.2a<8, ,∴.n-m<0, ∴.当a<40时，按新方式的销售方法购买花钱少： ②.a=40, .∴.n-m=0, .当α=40时，两种销售方法购买花钱一样多： ③.a>40, ..0.2a>8, .∴.n-m>0, ∴.当a>40时，按原来的销售方法购买花钱少， 【点睛】本题考查列二元一次方程组解应用题，方案设 计，掌握列二元一次方程组解应用题的方法与步骤，利 用分类思想解决方案设计中划算问题是解题关键， 二.课堂练习 练1.端午节是中国传统节日，人们有吃粽子的习俗.某 商店售卖某品牌瘦肉粽和五花肉粽.请依据以下对话， 求促销活动前每个瘦肉粽、五花肉粽的售价. 端午节那天，商店开 促销活动前，每个瘦肉粽比 展促销活动，所有粽 每个五花肉粽贵5元。 子都打8折，买10个瘦 肉粽和5个五花肉粽只 1需160元。 【答案】促销活动前每个瘦肉粽的售价为15元，则促 销活动前每个五花肉粽的售价10元， 【分析】本题考查了一元一次方程的应用.设促销活动 前每个瘦肉粽的售价为x元，则促销活动前每个五花肉 粽的售价(x-5)元，根据题意列方程求解即可. 【详解】解：设促销活动前每个瘦肉粽的售价为x元， 则促销活动前每个五花肉粽的售价(x-5)元， 依题意得0.8×10x+5(x-5)=160, 解得x=15, x-5=10, 答：促销活动前每个瘦肉粽的售价为15元，则促销活 动前每个五花肉粽的售价10元. 练2.一家广告公司为某学校制作文艺活动的展板、宣 传册和横幅，其中宣传册的数量是展板的5倍.广告公 司制作每件产品所需时间和所获利润如下表： 产品 展板 宣传册 横幅 时间/小时 0.2 0.5 利润/元 60 3.5 20 己知制作三种产品共需25小时，所获利润为975元， 则这三种产品的件数之和为？ 【答案】三种产品的总件数为70件 【分析】题目主要考查二元一次方程组的应用，理解题 意，列出方程组求解是解题关键 设学校制作展板x件，宣传册5x件，横幅y件，根据题 意，列出方程组求解即可· 【详解】解：设学校制作展板x件，宣传册5x件，横幅 y件 x+0.2×5x+0.5y=25 则： 60x+3.5×5x+20y=975 x=10 解得： 5x=50 y=10 所以这三种产品的总件数为10+50+10=70件. 练3.某超市从厂家购进A、B两种型号的水杯，两次 购进水杯的情况如表： 进货批 A型水杯（个） B型水杯（个）总费用（元） 次 100 200 4000 二 40 60 1300 (1)求A、B两种型号的水杯进价各是多少元？ (2)第三次进货用8000元钱购进这两种水杯，如果每销 售出一个A型水杯可获利8元，售出一个B型水杯可获 利6元，超市决定每售出一个A型水杯就为当地“爱心 捐赠”活动捐b元.若A、B两种型号的水杯在全部售出 的情况下，捐款后所得的利润始终不变，此时b为多少？ 利润为多少？ 【答案】(1)A、B两种型号的水杯进价分别为10元/个， 15元/个 (2)b=4,总利润为3200元 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，整式加 减中的无关型问题： (1)设A、B两种型号的水杯进价分别为x元/个，y元 /个，根据表格数据，列出方程组进行求解即可： (2)设购买m个A型水杯，根据总利润等于两种水杯 的利润之和，列出代数式，根据捐款后所得的利润始终 不变，得到利润与m的值无关，进行求解即可. 【详解】(1)解：设A、B两种型号的水杯进价分别为 x元/个，y元/个，由题意，得： 100x+200y=4000 x=10 40x+60y=1300 ，解得： y=15 答：A、B两种型号的水杯进价分别为10元/个，15元/ 个： (2)设购买m个A型水杯，则购买8000-10m个B型 15 水杯，由题意，得： 总利润=(8-b)m+6.8000-10m 15 =(8-b-4)m+3200; ,捐款后所得的利润始终不变， .8-b-4=0, .b=4,总利润为3200元. 练4.辽宁是粮食大省，水稻和玉米是全省其中的两个 主要粮食农作物.某工厂将水稻和玉米分别生产加工为 大米和玉米糁，大米每袋的生产成本是40元，玉米糁每 袋的生产成本是15元，每日两种产品合计生产600 袋.（每日生产的大米和玉米糁均为整数袋） (1)若该工厂某日生产成本为15000元，则两种产品各生 产多少袋？ (2)若大米每袋的售价是46元，玉米糁每袋的售价是17 元，该工厂每日所得利润可能是2810元吗？如果可能， 请分别求出每日生产大米和玉米糁的袋数；如果不可能， 请说明理由. 【答案】(1)大米生产了240袋，玉米糁生产了360袋 (2)该工厂每日所得利润不能是2810元，理由见解析 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量 关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键， (1)设大米生产了x袋，玉米糁生产了y袋，根据“每 日两种产品合计生产600袋，且该工厂某日的生产成本 为15000元”，可列出关于x,y的二元一次方程组，解 之即可得出结论： (2)假设该工厂每日所得利润能是2810元，设每日生 产大米m袋，玉米糁n袋，根据“每日两种产品合计生 产600袋，且该工厂每日所得利润能是2810元”，可列 出关于m,n的二元一次方程组，解之可得出m,n的 值，再结合每日生产的大米和玉米糁均为整数袋，可得 出假设不成立，即该工厂每日所得利润不能是2810元。 【详解】(1)解：设大米生产了x袋，玉米糁生产了y 袋， 根据题意得： x+y=600 40x+15y=15000' x=240 解得： y=360 答：大米生产了240袋，玉米糁生产了360袋： (2)解：该工厂每日所得利润不能是2810元，理由如 下： 假设该工厂每日所得利润能是2810元，设每日生产大米 m袋，玉米糁n袋， m+n=600 根据题意得： 1(46-40)m+(17-15)n=2810' m=402.5 解得： n-197.5’ 又每日生产的大米和玉米糁均为整数袋， m=402.5 n=197.5 不符合题意， 假设不成立， ∴.该工厂每日所得利润不能是2810元. 10.3实际问题与二元一次方程组(7) 一一方案选择问题 一.例题讲解 例1.把一根长7m的钢管截成2m长和1m长两种规格的 钢管，如果不造成浪费，那么共有种不同的截法() A.6 B.5 C.4 D.3 【答案】D 【分析】设截成2米长的钢管x根，1米长的y根，根 据题意得2x+y=7,由x,y都是正整数，求得x,y的值 即可求解， 【详解】解；截下来的符合条件的钢管长度之和刚好等 于总长7米时，不造成浪费， 设截成2米长的钢管x根，1米长的y根， 由题意得，2x+y=7, 因为x,y都是正整数，所以符合条件的解为： x=1 x=2 x=3 y=5' y=3’ (y=1’ 则有三种不同的截法. 故选：D. 【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，理解题意是 解题的关键 例2.2024年10月30日，神舟十九号载人飞船成功发 射，三名航天员被送入中国天宫空间站，开启了中国航 天事业的新篇章.二七区某中学为了培养学生科技创新 意识，开设了“蓝天梦想家”航模兴趣社团，计划购进A、 B两种航模.据了解购买1件A型航模和2件B型航模 需800元：购买2件A型航模和3件B型航模需1300元. (1)求A、B两种航模每件分别多少元？ (2)张老师欲同时购买两种航模，在采购时恰逢商家推出 优惠活动，两种航模均打九折出售，这次采购预计共花 费990元，请问张老师有哪几种购买方案？ 【答案】(1)每件A型航模200元，每件B型航模300元 (2)张老师共有2种购买方案：方案1：购买4件A型航 模，1件B型航模；方案2：购买1件A型航模，3件B 型航模 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一 次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程 组（或二元一次方程）是解题的关键， (1)设每件A型航模x元，每件B型航模y元，根据“购 买1件A型航模和2件B型航模需800元；购买2件A 型航模和3件B型航模需1300元.”，可列出关于x,y 的二元一次方程组，解之即可得出结论： (2)设购买m件A型航模，n件B型航模，利用总价= 单价×数量，可列出关于m,n的二元一次方程，结合m, n均为正整数，即可得出各购买方案. 【详解】(1)解：设每件A型航模x元，每件B型航模 y元， x+2y=800 根据题意得： 2x+3y=1300’ x=200 解得： y=300 答：每件A型航模200元，每件B型航模300元. (2)解：设购买m件A型航模，n件B型航模， 根据题意得：200×0.9m+300×0.9n=990, 11-3n ..m= 2 又.m,n均为正整数， m=4m=1 n=1或 n-3· ∴.张老师共有2种购买方案， 方案1：购买4件A型航模，1件B型航模； 方案2：购买1件A型航模，3件B型航模。 例3.某工厂准备在春节前生产甲、乙两种型号的新年 礼盒共60万套，两种礼盒的成本和售价如下表所示. 甲 乙 成本（元/套） 20 24 售价（元/套） 25 30 (1)该工厂计划筹集资金1340万元，且全部用于生产甲、 乙两种礼盒，则这两种礼盒各生产多少万套？ (2)经过市场调查，该厂决定在原计划的基础上增加生产 甲种礼盒m万套，增加生产乙种礼盒n万套(m,n都 为正整数)，且两种礼盒售完后所获得的总利润恰为400 万元，请问该工厂有几种生产方案？并写出所有可行的 生产方案. 【答案】(1)甲礼盒生产25万套，乙礼盒生产35万套： (2)两种，方案1：生产甲种礼盒32万套，乙种礼盒40 万套： 方案2：生产甲种礼盒26万套，乙种礼盒45万套。 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一 次方程的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正 确列出二元一次方程组；(2)找准等量关系，正确列出 二元一次方程。 (1)设甲种礼盒生产x万套，乙种礼盒生产y万套，利 用总成本=每套甲种礼盒的成本×生产甲种礼盒的数量 +每套乙种礼盒的成本×生产乙种礼盒的数量，结合生 产甲、乙两种型号的新年礼盒共60万套且生产总成本 为1340万元，可列出关于x,y的二元一次方程组，解 之即可得出结论： (2)利用总利润=每套甲种礼盒的销售利润×生产甲种 礼盒的数量+每套乙种礼盒的销售利润×生产乙种礼盒 的数量，可列出关于m,n的二元一次方程，结合m, n均为正整数，即可得出各生产方案. 【详解】(1)设甲种礼盒生产x万套，乙种礼盒生产y万 套， x+y=60 根据题意得： 20x+24y=1340' x=25 解得： y=351 答：甲种礼盒生产25万套，乙种礼盒生产35万套； (2)根据题意得：(25-20)(25+m+(30-24)35+)=400, m=13-6, 又m,n均为正整数， m=7 m=1 (n=5 或 n=10' [25+m=32 「25+m=26 或 35+n=40 35+n=45’ .该工厂有2种生产方案， 方案1：生产甲种礼盒32万套，乙种礼盒40万套： 方案2：生产甲种礼盒26万套，乙种礼盒45万套， 例4.在重庆南开中学建校85周年之际，学校举行了隆 重的庆祝活动.为感谢参与活动的师生，学校定制了水 杯和手账两种纪念品，已知定制2个水杯和3本手账共 需180元，定制5个水杯和6本手账共需420元. (1)定制一个水杯和一本手账的单价各是多少元？ (2)学校最终决定定制水杯和手账的总数量为600件 (其中水杯不超过300个)，并委托商家进行包装，现 有如下两种方案： 方案1：一个水杯的包装费为6元，一本手账的包装费 为1元，总费用打8折： 方案2：定制一个水杯，就赠送一本手账，并将一个水 杯和一本手账作为套装进行包装，此种方案中每个套装 的包装费为4元，剩下需要单独定制的单品每件包装费 为2元. 求定制水杯多少个时，两种方案的总费用相同？（总费 用=定制物品的总费用+包装总费用) 【答案】(1)定制一个水杯的单价为60元，一本手账 的单价为20元；(2)定制水杯195个时，两种方案的 总费用。 【分析】(1)设定制一个水杯的单价为x,一本手账的 单价为y,根据“定制2个水杯和3本手账共需180元， 定制5个水杯和6本手账共需420元”，列二元一次方 程组，求解即可： (2)设定制水杯的个数为m个，且m≤300，则手账的 个数为(600-m)个，分别求得方案1和方案2的总费用， 依题意解一元一次方程即可求解， 【详解】解：(1)设定制一个水杯的单价为x元，一本 手账的单价为y元， 2x+3y=180 依题意得： x=60 5x+6y=420’ 解得： y=20' 答：定制一个水杯的单价为60元，一本手账的单价为 20元： (2)设定制水杯的个数为m个，且m≤300，则手账的 个数为(600-m)个， 方案1：设总费用为w, 则 W1= 60m+20(600-m)+6m+(600-m)×1×0.8=36m+10080 方案2：设总费用为w2, 则 W2= 60m+20(600-m-m)+4m+(600-2m)×2=20m+13200 ； 依题意，令w1=w2,即36m+10080=20m+13200, 解得：m=195<300,符合题意， 答：定制水杯195个时，两种方案的总费用. 【点睛】本题考查了一次函数的应用，二元一次方程组 的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出 二元一次方程组；(2)根据各数量之间的关系，正确得 出一次函数的解析式 二.课堂练习 1.王芳花19元买了若干支记号笔和中性笔，记号笔和 中性笔的价格分别为5元/支和3元/支.王芳买了多少 支记号笔？多少支中性笔？ 【答案】王芳买了2支记号笔，3支中性笔 【分析】本题主要考查了二元一次方程的实际应用.设 王芳买了x支记号笔，y支中性笔，根据“王芳花19元 买了若干支记号笔和中性笔，记号笔和中性笔的价格分 别为5元/支和3元/支.”列出方程，结合x,y均为正 整数，即可求解， 【详解】解：设王芳买了x支记号笔，y支中性笔，根 据题意得： 5x+3y=19, 19-3y ..X 5 ,x,y均为正整数， .19-3y是5的整数倍， ∴.y=3,此时x=2, 答：王芳买了2支记号笔，3支中性笔， 2.“低碳生活，绿色出行”已逐渐被大多数人所接受，某 自行车专卖店有A,B两种规格的自行车，A型车的利 润为a元/辆，B型车的利润为b元/辆，该专卖店一月份 前两周销售情况如下： A型车销售 B型车销售量 总利润 量（辆） (辆) (元) 第一周 10 12 2240 第二周 20 15 3400 (1)求a,b的值. (2)若第三周某天A型车和B型车的总利润为680元，请 问这天A型车和B型车各卖出了多少辆. 【答案】(1)a=80,b=120 (2)这天A型车和B型车分别卖出了7辆、1辆或4辆、3 辆或1辆、5辆 【分析】此题考查了二元一次方程和二元一次方程组的 应用，读懂题意正确列方程是关键， (1)根据第一周和第二周总利润列方程组并解方程即 可： (2)根据总利润为680元列二元一次方程，求整数解 即可. 10a+12b=2240 【详解】(1)解：根据题意得 120a+15b=3400’ a=80 解得b=120 (2)设这天A型车和B型车分别卖出了m辆、n辆， 根据题意得80m+120n=680, 整理得2m+3n=17, m=7m=4m=1 (1或 解得 s3或 -5, 所以这天A型车和B型车分别卖出了7辆、1辆或4辆、 3辆或1辆、5辆. 3.已知：用2辆A型车和1辆B型车载满货物一次可 运货11吨：用1辆A型车和2辆B型车载满货物一次 可运货13吨.根据以上信息，解答下列问题： (1)1辆A型车和1辆B型车都载满货物一次可分别运货 多少吨？ (2)某物流公司现有31吨货物，计划同时租用A型车α 辆，B型车b辆（两种型号车均租用），一次运完，且恰 好每辆车都载满货物，直接写出该物流公司所有的租车 方案。 【答案】(1)1辆A型车载满货物一次可运货3吨，1辆 B型车载满货物一次可运货5吨： (2)共有两种租车方案：方案一：租用A型车2辆，B型 车5辆；方案二：租用A型车7辆，B型车2辆 【分析】(1)设1辆A型车载满货物一次可运货x吨， 1辆B型车载满货物一次可运货y吨，根据题意可得出 二元一次方程组，解之即可得出结论： (2)根据(1)所求可得3a+5b=31,再结合a、b都 是正整数进行求解即可. 【详解】(1)解：设1辆A型车载满货物一次可运货x 吨，1辆B型车载满货物一次可运货y吨， [2x+y=11 根据题意得： x+2y=13' [x=3 解得： y=5' 答：1辆A型车载满货物一次可运货3吨，1辆B型车 载满货物一次可运货5吨. (2)解：由题意得3a+5b=31, b=31-3a 5 a、b都是正整数， ..31-3a必须是5的倍数， .当a=2时，b=5, 当a=7时，b=2, 共有两种租车方案：方案一：租用A型车2辆，B型 车5辆；方案二：租用A型车7辆，B型车2辆， 【点睛】本题考查了二元一次方程（组）的应用，根据 数量关系列出二元一次方程（组）是解题的关键。 4.一种商品有大小盒两种包装，3大盒、4小盒共装108 瓶，2大盒3小盒共装76瓶. (1)大盒与小盒每盒各装多少瓶？ (2)已知这种商品一大盒的价格为40元，一小盒的价格 为24元，小明购买这种商品共花费200元，试确定小 明可能有哪些购买方案。 【答案】(1)每大盒装20瓶，每小盒装12瓶. (2)有两种购买方案：①2大盒，5小盒；②5大盒： 【分析】(1)设每大盒装x瓶，每小盒装y瓶，由题意 3x+4y=108 易得 2x+3y=76，进而求解即可： (2)设小明买了a大盒，b小盒，然后可得 40a+24b=200,进而根据a、b为非负整数可进行求解. 【详解】(1)解：设每大盒装x瓶，每小盒装y瓶，根 据题意得： 3x+4y=108 2x+3y=76’ x=20 解得： y-12' 答：每大盒装20瓶，每小盒装12瓶. (2)解：设小明买了a大盒，b小盒.由题意得： 40a+24b=200, 化简，得：5a+3b=25, a=2 因为α、b为非负整数，所以方程的非负整数解为 b=5 a=5 b=01 所以有两种购买方案：①2大盒，5小盒：②5大盒. 【点睛】本题主要考查二元一次方程组的应用，熟练掌 握二元一次方程组的应用是解题的关键.10.3实际问题与二元一次方程组（6) —一销售问题 姓名： 班级： 一。例题讲解 例1.某商店购进商品后，都加价40%作为销售价，元 旦期间搞优惠促销，决定由顾客抽奖确定折扣，某顾客 购买甲、乙两种商品，分别抽到七折和九折，共付款399 元，商场共盈利49元，甲、乙两种商品的进价分别为 多少元？ 例2.开州商都新世纪超市用2820元购进A、B两种型 号的热水袋共60个，这两种型号的热水袋的进价、标 价如表所示： (1)求这两种型号的热水袋各购进多少个？ (2)在销售过程中，A、B型热水袋均按标价九折出售， 但在B型热水袋卖出m个后，恰逢“双十一”，商场决定 剩余B型热水袋按标价的八折销售，结果这批热水袋全 部售出后超市共获得800元的利润，求m的值 价格类型 A型 B型 进价（元/个） 35 65 标价（元/个） 50 100 例3.学校书法兴趣小组准备到文具店购买A,B两种 类型的毛笔，文具店的销售方法是：一次性购买A型毛 笔不超过20支时，按零售价销售；超过20支时，超过 部分每支比零售价低0.4元，其余部分仍按零售价销 售.一次性购买B型毛笔都按零售价销售. (1)如果一个小组共有10名同学，若每人各买1支A 型毛笔和1支B型毛笔，共支付50元；若每人各买2 支A型毛笔和1支B型毛笔，共支付70元.这家文具 店的A,B两种类型毛笔的零售价各是多少？ (2)为了促销，该文具店对A型毛笔除了原来的销售 方法外，同时又推出了一种新的销售方法：无论购买多 少支，一律按原零售价（即(1）中所求得的A型毛笔 的零售价)的90%出售.现要一次性购买A型毛笔a支， 在新的销售方法和原来的销售方法中，应选择哪种方法 购买花钱较少？并说明理由 二.课堂练习 练1.端午节是中国传统节日，人们有吃粽子的习俗.某 商店售卖某品牌瘦肉粽和五花肉粽.请依据以下对话， 求促销活动前每个瘦肉粽、五花肉粽的售价. 端午节那天，商店开 促销活动前，每个瘦肉棕比 展促销活动，所有棕 每个五花肉粽贵5元。 子都打8折，买10个瘦 肉粽和5个五花肉粽只 1需160元。 练2.一家广告公司为某学校制作文艺活动的展板、宣 传册和横幅，其中宣传册的数量是展板的5倍.广告公 司制作每件产品所需时间和所获利润如下表： 已知制作三种产品共需25小时，所获利润为975元， 则这三种产品的件数之和为？ 产品 展板 宣传册 横幅 时间/小时 1 0.2 0.5 利润/元 60 3.5 20 练3.某超市从厂家购进A、B两种型号的水杯，两次 购进水杯的情况如表： 进货批 A型水杯（个） B型水杯（个） 总费用（元） 次 100 200 4000 二 40 60 1300 (1)求A、B两种型号的水杯进价各是多少元？ (2)第三次进货用8000元钱购进这两种水杯，如果每销 售出一个A型水杯可获利8元，售出一个B型水杯可获 利6元，超市决定每售出一个A型水杯就为当地“爱心 捐赠”活动捐b元.若A、B两种型号的水杯在全部售出 的情况下，捐款后所得的利润始终不变，此时b为多少？ 利润为多少？ 练4.辽宁是粮食大省，水稻和玉米是全省其中的两个 主要粮食农作物.某工厂将水稻和玉米分别生产加工为 大米和玉米糁，大米每袋的生产成本是40元，玉米糁每 袋的生产成本是15元，每日两种产品合计生产600 袋.（每日生产的大米和玉米糁均为整数袋） (1)若该工厂某日生产成本为15000元，则两种产品各生 产多少袋？ (2)若大米每袋的售价是46元，玉米糁每袋的售价是17 元，该工厂每日所得利润可能是2810元吗？如果可能， 请分别求出每日生产大米和玉米糁的袋数；如果不可能， 请说明理由. 10.3实际问题与二元一次方程组（7) 一一方案选择问题 一.例题讲解 例1.把一根长7m的钢管截成2m长和1m长两种规格的 钢管，如果不造成浪费，那么共有种不同的截法() A.6 B.5C.4D.3 例2.2024年10月30日，神舟十九号载人飞船成功发 射，三名航天员被送入中国天宫空间站，开启了中国航 天事业的新篇章.二七区某中学为了培养学生科技创新 意识，开设了“蓝天梦想家”航模兴趣社团，计划购进A、 B两种航模.据了解购买1件A型航模和2件B型航模 需800元：购买2件A型航模和3件B型航模需1300元. (1)求A、B两种航模每件分别多少元？ (2)张老师欲同时购买两种航模，在采购时恰逢商家推出 优惠活动，两种航模均打九折出售，这次采购预计共花 费990元，请问张老师有哪几种购买方案？ 例3.某工厂准备在春节前生产甲、乙两种型号的新年 礼盒共60万套，两种礼盒的成本和售价如下表所示. 甲 乙 成本（元/套） 20 24 售价（元/套） 25 30 (1)该工厂计划筹集资金1340万元，且全部用于生产甲、 乙两种礼盒，则这两种礼盒各生产多少万套？ (2)经过市场调查，该厂决定在原计划的基础上增加生产 甲种礼盒m万套，增加生产乙种礼盒n万套(m,n都 为正整数)，且两种礼盒售完后所获得的总利润恰为400 万元，请问该工厂有几种生产方案？并写出所有可行的 生产方案. 例4.在重庆南开中学建校85周年之际，学校举行了隆 重的庆祝活动.为感谢参与活动的师生，学校定制了水 杯和手账两种纪念品，已知定制2个水杯和3本手账共 需180元，定制5个水杯和6本手账共需420元. （1)定制一个水杯和一本手账的单价各是多少元？ (2)学校最终决定定制水杯和手账的总数量为600件 (其中水杯不超过300个)，并委托商家进行包装，现 有如下两种方案： 方案1：一个水杯的包装费为6元，一本手账的包装费 为1元，总费用打8折： 方案2：定制一个水杯，就赠送一本手账，并将一个水 杯和一本手账作为套装进行包装，此种方案中每个套装 的包装费为4元，剩下需要单独定制的单品每件包装费 为2元. 求定制水杯多少个时，两种方案的总费用相同？（总费 用=定制物品的总费用+包装总费用) 二.课堂练习 1.王芳花19元买了若干支记号笔和中性笔，记号笔和 中性笔的价格分别为5元/支和3元/支.王芳买了多少 支记号笔？多少支中性笔？ 2.“低碳生活，绿色出行”已逐渐被大多数人所接受，某 自行车专卖店有A,B两种规格的自行车，A型车的利 润为a元/辆，B型车的利润为b元/辆，该专卖店一月份 前两周销售情况如下： A型车销售 B型车销售量 总利润 量（辆） (辆) (元) 第一周 10 12 2240 第二周 20 15 3400 (1)求a,b的值. (2)若第三周某天A型车和B型车的总利润为680元，请 问这天A型车和B型车各卖出了多少辆. 3.已知：用2辆A型车和1辆B型车载满货物一次可 运货11吨：用1辆A型车和2辆B型车载满货物一次 可运货13吨.根据以上信息，解答下列问题： (1)1辆A型车和1辆B型车都载满货物一次可分别运货 多少吨？ (2)某物流公司现有31吨货物，计划同时租用A型车α 辆，B型车b辆（两种型号车均租用），一次运完，且恰 好每辆车都载满货物，直接写出该物流公司所有的租车 方案. 4.一种商品有大小盒两种包装，3大盒、4小盒共装108 瓶，2大盒3小盒共装76瓶. (1)大盒与小盒每盒各装多少瓶？ (2)已知这种商品一大盒的价格为40元，一小盒的价格 为24元，小明购买这种商品共花费200元，试确定小 明可能有哪些购买方案.