专题07 等腰三角形及等边三角形判定与性质的综合问题（七大压轴题专项训练）数学新教材沪教版五四制七年级下册

品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题07等腰三角形及等边三角形判定与性质的综 合问题 目录 典例讲解 类型一、等腰三角形的性质 类型二、等腰三角形的判定 类型三、等边三角形的性质 类型四、等边三角形的判定 类型五、等腰（边）三角形与全等三角形的综合 类型六、等腰（边）三角形的折叠问题 类型七、等腰（边）三角形的动点问题 压轴专练 典例详解 类型一、等腰三角形的性质 处理方式： 解题核心是等边对等角与三线合一，己知两边相等可直接推出对应底角相等。遇到高线、中线、角平分 线时，优先判断是否满足三线合一，快速得到垂直、平分、角相等等结论。 计算角度时，利用三角形内角和180°与等腰两底角相等列方程求解；涉及边长时，注意分类讨论腰与底 同时满足三角形三边关系，避免出现无解或错解。 【例1】如图，在ABC中，AB=AC,∠BAC=140°，△ABD和△AED关于直线AD对称，∠CAE的平 分线交BC于点F,连接EF,当△DEF为等腰三角形时，∠BAD的度数为 【答案】20°或35°或50° 1/56 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【详解】解：：AB=AC,∠BAC=140°， ·∠B=∠C=20°. 令∠BAD=m°， :△ABD和△AED关于直线AD对称， ·∠DAE=∠BAD=m°，AB=AE, :AC=AE. :∠CAE=∠BAC-∠BAE=140°-2m°，且AF平分∠CAE, :∠EAF=∠CAF=70°-m°. :∠ADF=∠B+∠BAD=m°+20°，∠ADE=∠ADB=180°-20°-m°=160°-m°， :∠EDF=∠ADE-∠ADF=160°-m°-m°+20）=140°-2m°. 同理可得，∠DFE=2m°， :∠DEF=180°-∠EDF+∠DFE)=40° 当ED=DF时，∠DEF=∠DFE,即2m°=40°， 解得m=20; 当DE=EF时，∠EDF=∠DFE,即140°-2m°=2m 解得m=35; 当DF=EF时，∠EDF=∠DEF,即140°-2m°=40°， 解得m=50. 综上所述，∠BAD的度数为20°或35°或50°， 【例2】如图，在AOB中，∠0=90°，将AOB绕着点A顺时针旋转得到△ADC,连接BC,记 ∠AB0=a,∠OAD=B,当BC∥OA时，C与B之间的数量关系为() B A.a=B C.a+β=90° D.2a+B=180° 【答案】B 【详解】解：由旋转的性质可得AB=AC, 2/56 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :△ABC是等腰三角形， .由等腰三角形的定义可得∠ACB=LABC; 由旋转的性质可得∠BAC=∠OAD=B, BC∥0A,∠0=90°， .∠0BC=180°-∠0=90°， ∠ABC=∠0BC-∠AB0=90°-a, :∠ABC+LACB+∠BAC=180°， 90°-a+90°-a+B=180°， 1 a=2B. 【变式1-1】己知一个等腰三角形两腰上的高所在直线的夹角是56°，那么这个等腰三角形的顶角的度数是 【答案】56°或124° 【详解】解：①当这个等腰三角形的顶角是钝角时，如图， B :BE⊥AC,CF⊥AB, ∴∠AED=∠AFD=90°， :∠EAF=360°-∠AED-∠AFD-∠D=124°， .∠BAC=∠EAF=124°； ②当这个等腰三角形的顶角是锐角时，如图， D B :∠BDE=56°， 3/56 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 .∠EDF=180°-∠BDE=124°， :BE⊥AC,CF⊥AB, .∠AED=∠AFD=90°， .∠BAC=360°-∠AED-∠AFD-∠EDF=56°； 综上所述，这个等腰三角形的顶角为56°或124°. 【变式1-2】如图，在ABC中，∠B=∠C=40°，点D在BC边上，且BA=BD,点E是线段AC上的一个 动点（不与点A,点C重合），若ADE为等腰三角形，则∠AED的度数为· B D 【答案】75°或120 【详解】解：在ABC中，∠B=∠C=40°， ∠BAC=180°-∠B+∠C=100°， 在△BAD中，BA=BD, .∠BAD=∠BDA, .∠BAD+∠BDA+∠B=180°， .2∠BAD+40°=180°， ∠BAD=70°， ∴.∠DAC=∠BAC-∠BAD=30°， 在△ACD中，∠DAC=30°，∠C=40°， .∠C>∠DAC, .AD>CD, :点E是线段AC上的一个动点（不与点A,点C重合），且ADE为等腰三角形， .有以下两种情况： ①当AE=AD时，如图1所示： B D 图1 在△AED中，AE=AD, 4/56 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 .∠AED=∠ADE, :∠AED+∠ADE+∠DAC=I80°， .2∠AED+30°=180°， LAED=75°； ②当AE=DE时，如图2所示： 图2 在△AED中，AE=DE, .∠EDA=∠DAC=30°， ,∠EDA+∠DAC+AED=180°， .30°+30°+∠AED=180°， ∠AED=120°， 综上所述：∠AED的度数为75°或120°. 【变式1-3】如图，在ABC中，点D在AB边上，CB=CD,将边CA绕点C旋转到CE的位置，使得 ∠ECA=∠DCB,连接DE与AC交于点F,且∠B=70°，∠E=10°. E B D 4 (I)求证：AB=ED: (2)求∠ACD的度数. 【答案】(1)证明见解析 (2)LACD=60° 【分析】 【详解】(1)解：证明如下： :边CA绕点C旋转到CE的位置， ∴.CA=CE, 5/56 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :∠ECA=∠DCB, .∠ECA+∠ACD=∠DCB+∠ACD, .∠ACB=∠ECD, 在△ECD和△ACB中， BC=DO ∠ACB=∠ECD, CA=CE △ECD≌△ACB(SAS), .AB=ED. (2)解：：△ECD≌△ACB, .∠E=∠A=10°， BC=DC, ∠B=∠CDB=70°， :∠CDB=∠ACD+∠A, .70°=∠ACD+10°， :LACD=60°.m 类型二、等腰三角形的判定 处理方式： 判定等腰三角形优先使用定义法与等角对等边，先在图中找到相等的角或边，再对照定理推导。若题目 给出角平分线、平行线、高线等条件，常通过角的等量代换推出两角相等，进而得到两边相等。 遇到线段相等或角相等的证明题，先观察是否存在公共边、公共角、对顶角，再结合外角定理、平行线 性质推导等角，严格遵循“等角一等边”的判定逻辑，不遗漏边与角的对应关系。 【例3】如图，在ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D,ABC的角平分线BE交AC于点E,交AD于 点F,AG平分∠DAC交BC于点G.则下列结论：①LAGC=∠BEC;②AE=EF;③AG垂直平分EF; ④△ABG为等腰三角形.其中正确的结论有() 6/56 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B F D G A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 【答案】B 【详解】解：：∠BAC=90°，AD⊥BC, ·LC+∠ABC=90°，∠C+∠DAC=90°， :∠ABC=LDAC, :BE平分∠ABC,AG平分∠DAC, :∠ABE=∠ABC,∠DMG=iD1C, 1 ∴∠ABE=∠DAG, :∠AGC=∠DAG+∠ADC=∠DAG+90°，∠BEC=∠BAC+∠ABE=∠ABE+90°， .LAGC=LBEC,故①正确； :∠BFD=∠ABE+∠BAD,∠AEF=∠EBC+LC, :BE平分∠ABC, ·LABE=LEBC, :∠BAD+∠CAD=90°=∠C+∠CAD, .∠BAD=∠C, .∠BFD=∠AEF, :∠BFD=∠AFE, .∠AEF=∠AFE, ∴.AE=AF, 根据题意无法得到LCAD的大小， 所以无法确定AE与EF的大小关系，故②错误； :AE=AF,且AG平分∠DAC, “AG是等腰△AEF顶角的角平分线， 7/56 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 根据等腰三角形“三线合一”性质，得AG垂直平分EF,故③正确. :BE平分∠ABG,BE⊥AG, ∠ABE+∠BAG=90°，∠GBE+∠AGB=90°， ∠BAG=∠BGA, :BA=BG, :△ABG是等腰三角形，故④正确. 综上所述，正确的结论是①③④. 【例4】如图，ABC是等边三角形、BD是中线，延长BC至点E,使CE=CD、连接DE.判断BDE的 形状，并说明理由， B 【答案】等腰三角形，见解析 【分析】 【详解】解：BDE是等腰三角形.理由如下： :△ABC是等边三角形， :∠ABC=∠ACB=60°. BD是中线， 1 ∠DBC=2∠ABC=30° :CE=CD, .∠E=∠CDE. :∠E+∠CDE=∠ACB=60°， LE=∠CDE=30°. .∠DBC=LE. .BD ED ∴△BDE是等腰三角形， 【变式2-1】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=37°，若某个直角三角形与ABC能拼成一个等腰三 8/56 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 角形（无重叠部分），则拼成的等腰三角形有() B A.3种 B.4种 C.5种 D.6种 【答案】B 【详解】解：把ABC分别沿边AC、BC翻折，有两种等腰三角形，还有两种情况如下图所示； A(D (F)CA B(D) E C(F) E 左图中LE=71.5°，∠EDF=18.5°，则LABE=53°+18.5°=71.5°=∠E, .AB=AE 右图中∠E=63.5°，∠FDE=26.5°，则∠BAE=37°+26.5°=63.5°=∠E, :BA=BE. 综上，共有4种拼法； 故选：B 【变式2-2】如图，ABC的面积为10cm2,BP平分∠ABC,AP⊥BP,则△PBC的面积为()cm2 B A.3 B.4 C.5 D.6 【答案】C 【详解】解：延长AP交BC于Q,如图， 9/56 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A :BP平分∠ABC, B C Q ·LABP=LQBP, AP⊥BP, :LAPB=LQPB=90°， ∠ABP+∠BAP=LQBP+∠BQP, .∠BAP=∠BQP, :BA=BO, BP 1 AO, ..AP=OP, .5...5.c .S.PC=S.ar+S.cro= 故选：C 【变式2-3】如图，在ABC中，点E在CA的延长线上，EP⊥BC,垂足为P,EP交AB于点F,且 AE=AF.求证：ABC是等腰三角形. 【答案】见解析 【分析】 【详解】证明：：AE=AF, ∠E=∠AFE. :EP⊥BC, .∠EPC=∠FPB=90°， ∠B=90°-∠BFP,∠C=90°-∠E, 10/56 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 又∠BFP=∠AFE, ∠B=∠C, :AB=AC, 即ABC是等腰三角形. 类型三、等边三角形的性质 【例5】如图，将边长为2的等边ABC沿射线BC向右平移到△DCE，,连接AD,BD, (I)求证：DE⊥BD; (2)求ABC所扫过的面积. 【答案】(1)见详解 (2)3V5 【分析】 【详解】(1)证明：“等边ABC边长为2，平移得到△DCE, .AB=BC=AC=DC=DE=CE=2, ∠ABC=∠ACB=∠DCE=∠DEC=60°， 由平移性质可得：AD∥BC,且AD=BC=2, :四边形ABCD是平行四边形， 又：AB=BC=2, :平行四边形ABCD是菱形， BD平分∠A8C,即∠DBC-∠ABC=-30, 在BDE中，∠DEC=60°，∠DBC=30°， ∴.∠BDE=180°-∠DBC-∠DEC=90°， DE⊥BD; (2)解：：平移过程中ABC扫过区域为Rt△BDE与△ABD的面积之和， 11/56 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 又：BE=BC+CE=4, :在Rt△BDE中，根据勾股定理有：BD=√BE2-DE2=2V5, SAmE-7BD:DE=-x23x2=213 2 :四边形ABCD是菱形， :AC⊥BD,AC、BD互相平分， xx4CxBD=1x2x23=3. 11 4 ·ABC所扫过的总面积S=2V5+√5=3√5. 【例6】如图，己知ABC是等边三角形，BD是ABC的边AC上的中线，E在BC延长线上，且 EC=DC, B (I)求∠E的度数： (2)求证：BD=ED. 【答案】(1)30° (2)见解析 【分析】 【详解】(1)解：：ABC是等边三角形，EC=DC, .∠ACB=60°，∠CDE=∠E, :∠ACB是△DCE的一个外角， ∠ACB=LE+∠CDE=2LE, ∠E=30°； (2)证明：：ABC是等边三角形，BD是ABC的边AC上的中线， :∠ABC=60°，∠CBD=1∠ABC=30°， 2 由(1)可知：∠E=30°， ∴.∠CBD=∠E, 12/56 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 .BD=ED. 【变式3-1】如图，将等边三角形ABC折叠，使得点C恰好落在AB边上的点D处，折痕为EF,M为折痕 EF上一动点，若AD=2,BC=6,则△BDM周长的最小值是() A.4 B.10 C.8 D.6 【答案】B 【详解】：△ABC是等边三角形， .AB=BC=6, :AD=2, .BD=AB-AD=6-2=4. 折叠后点C与点D关于折痕EF对称， .DM =CM. △BDM的周长为C.BDM=BD+DM+BM=BD+BM+CM, 要使周长最小，只需BM+CM最小， 当B、M、C三点共线时，BM+CM取得最小值，最小值为BC的长度， .△BDM的周长最小值为：BD+BC=4+6=10. 【变式3-2】如图，在等边三角形ABC中，AD⊥BC,AD=AB,连接BD并延长，交AC的延长线于点E ,求∠E的度数. 【答案】LE=45 【详解】解：：在等边三角形ABC中， ∴.AB=AC,∠BAC=60 13/56 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :AD⊥BC, ∠CAD=∠BAD=∠BAC, 2 LBAC=60°， :∠CAD=∠BAD=30°， AD =AB, ∠ABD=∠ADB, :在△ABD中，∠ABD+∠ADB+∠BAD=I80°， .∠ABD=75°， :∠E+∠CAD=∠ADB=75°， ∠E=45°. 【变式3-3】如图，LM0A=90°，△OAB是等边三角形，点P在射线OM上，连接AP,以AP为边作等边 三角形APC,边AC与边BO相交于点D,连接BC. M (1)求证：AB⊥BC. (②)连接OC,当△OBC是等腰三角形时，求LODC的度数. 【答案】（①）见解析 (2)L0DC的度数为75°或90° 【分析】 【详解】(1)解：：△APC,△0AB是等边三角形， ∠PAC=∠OAB=60°，AP=AC,A0=AB .∠PAO=∠CAB .△PAO≌△CAB(SAS ∠ABC=LA0P=90 AB⊥BC; 14/56 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (2)解：：△0AB是等边三角形， .∠AB0=60°，AB=0B :∠ABC=90 ∴∠OBC=∠ABC-∠AB0=30° :△OBC是等腰三角形 ①如图，当BO=BC时， M D .AB=CB LBCA=LBAC=45° .∠0DC=∠BCD+∠CBD=45°+30°=75°； ②如图，当B0=C0时， C (D)O .∠OCB=∠0BC=309 .∠C0B=180°-L0CB-∠0BC=120° .∠C0B+∠A0B=180° ∴点O在AC上，即点O和点D重合，不存在LODC,不符合题意： ③如图，当C0=CB时， 15/56 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B 0A=AB :AC垂直平分OB L0DC=90° 综上，L0DC的度数为75°或90° 类型四、等边三角形的判定 处理方式： 判定优先按三步走：先证三边相等，再证三角相等，或证有一个角是60的等腰三角形。题目中出现60° 角、等腰、线段/角等量关系时，优先向“60°+等腰的判定条件靠拢。 【例7】如图，在△ABD中，AB⊥AD,∠B=30°，DC平分∠ADB,交边AB于点C,E为边BD的中点， CE∥AF,AF交DC于点G,交BD于点F. (I)求证：CE⊥BD; (2)判断△ACG的形状，并说明理由. 【答案】(1)见解析 (2)△ACG是等边三角形，理由见解析 【分析】 【详解】(1)AB⊥AD,∠B=30°， ∠ADB=60°， :DC平分∠ADB, 26DC=∠DC=∠ADB=30°=∠B, .BC=DC, 16/56 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :E是BD的中点， CE⊥BD, (2)△ACG是等边三角形， 理由如下：：AF∥CE,CE⊥BD, AF⊥BD, 又：∠B=30°， :∠BAF=60°， :∠B=∠CDB=30°， .∠ACG=60°， ∴.∠AGC=60°=∠ACG=∠BAF, “△ACG是等边三角形. 【例8】如图，在ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D,延长BC至点E,连接DE,若CE=CD, DB=DE,∠E=30°.求证：ABC是等边三角形 【答案】见解析 【详解】证明：：CE=CD,∠E=30°， ∴∠CDE=∠E=30°， .∠BCD=∠CDE+∠E=60°， DB=DE, ∠DBE=LE=30°， :BD平分∠ABC, ∠ABC=2LDBC=60°， .∠ABC=∠ACB, .AB=AC, 又∠BCD=60°， .ABC是等边三角形. 17/56 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【变式4-1】如图，在ABC中，点D在边AC上，过点D作DE⊥BC,垂足为E,ED的延长线交 BA的延长线于点F,且AF=AD,∠F=30°，求证：ABC是等边三角形. B 【答案】见解析 【详解】证明：：AF=AD,∠F=30°， ∠F=LFDA=30°， ∠BAC=∠F+LFDA=60°， :DE⊥BC, .∠BEF=90°， ∠FBE=180°-90°-30°=60°， 又∠BAC=60°， ∴.∠BAC=∠ABC=∠C=60°， :AB=BC=CA, △ABC是等边三角形； 【变式4-2】如图，在锐角ABC中，点E是AB边上一点，BE=CE,AD⊥BC于点D,AD与EC交于点G E D (1)求证：△AEG为等腰三角形； (2)若∠B=30°，请判断△AEG的形状，并说明理由. 【答案】（①）见解析 (2)等边三角形，理由见解析 【分析】 【详解】(1)证明：：AD⊥BC于点D, :△ABD和△CDG都是直角三角形， BE CE, 18/56 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 .∠B=∠GCD, .∠BAG=LCGD=∠AGE, .AE =GE, :△AEG为等腰三角形； (2):AD⊥BC于点D, ∠ADB=90°， 在△BAD中，∠B=30°， ∠BAD=90°-30°=60°， 由(1)得△AEG为等腰三角形： :△AEG为等边三角形 【变式4-3】如图在△ABD中，AB⊥AD,E为线段BD的中点，CE‖AF,∠B=30°，DC平分∠ADB, AF交DC于点G,交BD于点F, B E D (I)证明：CE⊥BD: (②)判断aACG的形状，并说明理由. 【答案】(1)见解析 (2)△ACG是等边三角形，理由见解析 【分析】 【详解】(1)：AB⊥AD,∠B=30°， ∠ADB=60°， :DC平分∠ADB, :∠BDC=∠ADC=∠ADB=30=∠B, 21 :BC=DC, :E是BD的中点， CE⊥BD, (2)△ACG是等边三角形， 19/56 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 理由如下：AF CE,CE⊥BD, AF⊥BD, 又：∠B=30°， ∠BAF=60°， :∠B=∠CDB=30°， .∠ACG=60°， :∠AGC=60°=LACG=LBAF, :△ACG是等边三角形 类型五、等腰(（边)三角形与全等三角形的综合 处理方式： 先从等腰/等边中提取等边、等角、60°角，作为全等的条件，再用SAS、ASA、SSS、AAS证明三角形全 等。全等后得到的对应边、对应角，又可反推等腰/等边结论。 【例9】如图，在ABC中，AB=AC,∠BAC=I20°，AD⊥BC于点G,且AD=AB,E,F分别是边 AB,AC上的点，且∠EDF=60°. G D (I)求证：△ABD是等边三角形； (2)若AB=AC=10,AE=7,求AF的长， 【答案】(1)证明见解析 (2)3 【分析】 【详解】(1)证明：AB=AC,∠BAC=120°，AD⊥BC于点G, 1 ∠BAD=∠CAD=∠BAC=60°， 、 AD AB, ∴.△ABD是等边三角形： (2)解：：△ABD是等边三角形， 20/56 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∠ABD=∠ADB=60°，BD=AD, :∠EDF=60°， .∠ADB=∠EDF, 即∠BDE+∠ADE=∠ADF+∠ADE, .∠BDE=LADF, 又由(1)可得，∠EBD=∠FAD=60°， :.△BDE≌△ADF(ASA, .BE AF, :AB=10,AE=7, AF=BE=10-7=3. 【例IO】如图，在ABC中，AB=AC,点D,E分别在边AC,BC上，连接AE,BD交于点 F,∠BAC=∠BFE=2∠AEB. (I)试判断∠EAC与∠ABD是否相等，并说明理由； (②)若BD平分∠ABC,求证：AB⊥AE: (3)在(2)的条件下，己知EF=6,AF=5,求BF的长度， 【答案】(I)LEAC=∠ABD,见解析 (②)见解析 (3)16 【分析】 【详解】(1)解：∠EAC=∠ABD. 证明：：LBAE+∠EAC=LBAC,LBAE+∠ABD=LBDC, 又：∠BAC=∠BFE, ∠BAE+∠EAC=LBAE+LABD, ∠EAC=∠ABD: 21/56 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)证明：过点F作FG⊥BC于点G,如图所示： B AB=AC, .∠ABE=LC, ∠BAC=180°-2LABE, :∠AEB=∠BAC=90°-∠ABE, 2 ∠ABE+∠AEB=90°， ∠BAE=180°-90°=90°， ∴.AE⊥AB; (3)解：在BD上截取BH=AE,连接AH,如图所示： D B 在△ABH和△CAE中， AB=AC ∠ABH=∠CAE, BH=AE .△ABH≌△CAE(SAS), .LAHB=∠AEC,∠C=∠BAH, i∠AHF=∠4EB=BFE=号l80-22C=90-∠C, 根据解析(2)可知，∠BAE=90°， .∠HAF=90°-∠BAH=90°-LC, ∴.∠HAF=∠AHF, .AF FH BF-BH =BF-AE=BF-AF-EF, .2AF +EF BF, 22/56 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :EF=6,AF=5, .BF=16 【变式5-I】如图，在等边ABC中，AD1BC于点D,F是线段AD上一动点，连接BF,以BF为边在其上 方作等边△BFE,连接AE,若BC=12,则线段AE的最小值为· B D 【答案】6 【详解】解：如图，连接CF, 由题意可得：∠EBF=∠ABC=60°，BE=BF,AB=BC, B D .LEBF-LABF=∠ABC-LABF,即LABE=∠CBF, BE=BF 在AABE和CBF中， ∠ABE=∠CBF, BA=BC .△ABE≌ACBF(SAS), .AE =CF, :线段AE的最小值，即为线段CF的最小值， 又：F为线段AD上一动点，CD⊥AD, 点F与点D重合时，CF最小， :在等边ABC中，AD⊥BC, .BD CD, BC=12, c-ac-x12-6 :.线段CF的最小值为6，即线段AE的最小值为6. 23/56 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【变式5-2】如图，在ABC中，∠ACB=60°，AB>AC,将AB绕点A逆时针旋转120°得到AD,过点D 作DE∥BC,交AC的延长线于点E,点F为CE中点. B (1)①补全图形： ②求证：∠B=∠DAE; (2)判断AF,BC之间的数量关系，并证明. 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)BC=2AF,见解析 【分析】 【详解】(1)解：①补全图形如下： G ②根据题意得：∠BAD=120°， ∠BAC+∠CAD=120°， :∠ACB=60°， ∠BAC+∠B=120°， .∠B=∠DAE; (2)解：延长AE到G,使得AG=BC,如图所示： :AB绕点A逆时针旋转120°得到AD, .AB DA, 由(1)得∠B=∠DAE, △ABC≌△DAG(SAS), .AC=DG,∠ACB=∠DGE=60°， DE∥BC, ∴∠ACB=∠CEM=∠DEG=60°， 24/56 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 △DEG为等边三角形， .EG=DE=DG=AC, :点F为CE中点， :CF=EF, AC+CF=EF+EG即AF=FG, ∴AG=2AF, .BC=2AF. 【变式5-3】已知，如图△ABC,∠B=a,点E是AB上的点，连接CE,点B关于直线CE的对称点为点F, 连接CF,EF,将射线CF绕点C逆时针旋转180°-a得到CG,在射线CG上取一点P,使∠CPF=∠CAB, 延长PC交AB于点D, B (I)求证：∠DCE=LDEC; (②)连接DF,若∠DFE=2∠B,用等式表示CP,AD,DF三者之间的数量关系，并证明. 【答案】(1)见解析 (2)AD=CP+DF,见解析 【分析】 【详解】(1)证明：由题意得，∠PCF=180°-a, ∠DCF=180°-∠PCF=a=∠B. “点B关于直线CE的对称点为点F, △CBE≌△CFE, .∠FCE=LBCE, 设∠FCE=∠BCE=B, .∠DCE=∠DCF+∠FCE=+B. ∠DEC=∠B+∠BCE=a+B, ·LDCE=LDEC; 25/56 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)解：AD=CP+DF,证明如下： 如图所示，在线段AB上取一点？，连接CO,使得CQ=CB, ∴.∠CQB=∠B=a. D B ∠AQC=180°-∠CQB=180°-a, .∠AQC=∠PCF. :点B关于直线CE的对称点为点F, .CF=CB. .CO CB. 又：∠CPF=∠CAB, ACQA≌△FCP(AAS, .CP=AO, 由(I)知△CBE≌ACFE,∠DCE=∠DEC, .∠CFE=∠B=,DC=DE. :∠DFE=2∠B=2a, .∠DFC=∠B=a=∠DCF, :DC DF :DE DF, :ZDEF ZDFE 2a, 在△CFE中，设∠FCE=B, :∠CEF=∠CED+∠DEF=a+B+2a=B+3a, .B+B+3a+u=180°， 即2a+B=90°， ·在△QCB中，∠QCE=180°-∠CQB-∠B-∠BCE=90°. ∴.∠QCD=90°-∠DCF-∠FCE=90°-a-B=a. 26/56 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 .∠QCD=∠CQD, OD=DC=DF. .AD=AO+OD=CP+DF. 类型六、等腰（边）三角形的折叠问题 处理方式： 折叠本质是轴对称全等，折叠前后对应边相等、对应角相等，先标出重合的边与角，转化为等腰三角形 的等量条件。遇到折叠后形成新等腰三角形时，按“等角对等边”列方程。 计算边长或角度时，设未知数表示折叠前后的边与角，利用内角和、三边关系、三线合一建立方程求解， 注意折叠后点的位置不改变原三角形的核心性质。 【例11】如图所示三角形纸片ABC中，∠B=∠C,将纸片沿过点B的直线折叠，使点C落到AB边上的E点 处，折痕为BD.再将纸片沿过点E的直线折叠，点A恰好与点D重合，折痕为EF,若AE=2,则 ABC的周长为13，则AF长为() B A.1.2 B.1.5 C.1.4 D.1 【答案】B 【详解】解：三角形纸片ABC中，∠B=∠C, .AB=AC, :将纸片沿过点B的直线折叠，使点C落到AB边上的E点处，折痕为BD,再将纸片沿过点E的直线折叠， 点A恰好与点D重合，折痕为EF,AE=2, .BC=BE,CD=DE=AE=2,AF=DF, .AB=AC=AF +DF +CD=2AF +2, 又：AB=AE+BE=2+BC, 2+BC=2AF+2, .BC=2AF, 27/56 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :ABC的周长为13， .AB+AC BC=13, 即2AF+2+2AF+2+2AF=13, AF=1.5, 即AF长为1.5. 故选：B. 【例12】如图，ABC中，∠ACB=90°，点E、F分别是边AB、AC上的动点，将ABC沿EF折叠，使 点A落在直角边BC上的D点处，如果折叠后CDF与BDE均为等腰三角形，那么∠B=一· C 折叠 【答案】45°或30°. 【详解】解：在CDF中，∠ACB=90°，且CDF是等腰三角形， .CF=CD, ∠CFD=∠CDF=45°， 设∠DAE=x°，由对称性可知，AF=FD,AE=DE, :∠FDA=∠CAD=-∠CFD=22.59,∠DEB=2x°， 2 ①如图1：当DE=DB时，∠B=∠DEB=2x°， E 图1 由∠CDE=∠DEB+∠B,得45°+22.5°+x=4x,解得：x=22.5°. .∠B=2x=45°. ②如图2：当BD=BE时，则∠B=(180-4x°，∠CAD=22.5°. 图2 28/56 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 由∠CDE=∠DEB+∠B得：45°+22.5°+x=2x+180°-4x,解得x=37.5°， ∠B=180-4x°=30°. @当DE=BE时，则∠B-180-2), 由20DB=ZDEB+∠B得，45°+2.5+x=2x+80-2y刘，此方程无解 DE=BE不成立. 综上所述，∠B=45°或30° 【点睛】在不确定等腰三角形的腰时要注意分类讨论，不要漏解，另外要注意方程思想在求解几何问题中 的应用。 【变式6-1】如图，在ABC中，AB=AC,∠BAC=II0°，D是BC上的动点，连接AD,将△ABD沿 AD折叠，得到△AED,且点E在直线BC的下方，AE与边BC交于点M,继续将AC向下折叠，使AC与 AE重合，折痕为AF(F在边CM上)，连接EF.若△DEF是以DE为底边的等腰三角形，则∠BAD的度 数为 【答案】20° 【详解】解：在ABC中，AB=AC,∠BAC=110°， ：∠B=∠C=180°，110°=350， :△ADE是由△ADB翻折得到，△AFC是由△AFE翻折得到， ∠AED=∠B=35°，∠AEF=∠C=35°， .∠DEF=70°， :△DEF是以DE为底边的等腰三角形， .∠FDE=∠DEF=70°， :△ADE是由△ADB翻折得到， .∠ADB=LADE=LADC+∠FDE=∠ADC+70°， 即∠ADB-70°=∠ADC, .∠ADB+∠ADC=180°， 29/56 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 .∠ADB+∠ADB-70°=180°，可得∠ADB=125°， ∠BAD=180°-∠ABD-∠ADB=180°-35°-125°=20°. 【变式6-2】如图，在等腰ABC中，AB=AC,∠BAC的平分线与AB的中垂线交于点O,点C沿EF折叠 后与点O重合，若∠CEF=50°，则∠BAC的度数是 B E 【答案】50 【详解】解：如图，连接OB, D 设∠BAC=a, :等腰ABC中，AB=AC, ·∠4BC=∠ACB=180°-&=90°-_a 2 :AO是∠BAC的平分线， :∠BA0二？A0的延长线垂直平分BC 0B=0C 又：OD是AB的中垂线， ∠OBA=∠BAO= 2 ∴，∠OBC=∠OCB= 0=90°-a, 2 由折叠可知：EF垂直平分线段OC, :∠CEF=90°-∠0CB=90°-90°-a）=a, .a=50°， 30/56 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 .∠BAC=50° 故答案为：50 【点晴】本题考查了等腰三角形三线合一、中垂线的性质、折叠的性质、三角形内角和，角平分线等知识点； 解题的关键是能正确作出辅助线，利用性质正确计算， 【变式6-3】在数学活动课上，数学老师让同学们以“等腰三角形纸片的折叠”为主题开展数学活动.如图1， 在三角形纸片ABC中，∠A:LABC:LC=1:2:2.将三角形纸片ABC沿BD折叠，使BC落在BA上，点C 的对应点为点E,连接BD、DE E 图1 图2 (1)将三角形纸片展开，则图中共有 个等腰三角形， (2)如图2，在图1的基础上，延长ED交BC的延长线于点F,连接AF.求证：BD所在的直线垂直平分AF 【答案】(1)5 (2)见解析 【分析】 【详解】(1)解：：∠A:∠ABC:∠C=1:2:2, 可设∠A=x,∠ABC=2x,∠C=2x. :∠A+∠ABC+∠C=180°， .x+2x+2x=180 解得x=36, ∠A=36°，∠ABC=LC=72°， .AB=AC, “.ABC为等腰三角形. 由折叠的性质得∠ABD=∠CBD= ∠ABC=36,∠BED=∠C=72°， ∠BDC=72°，∠ABD=∠BAD, 31/56 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 .BC=BD,AD=BD, ∴△BCD,△ABD均为等腰三角形， 由折叠的性质得：BDE为等腰三角形，且∠BED=∠C=72°， ∠ADE=∠BED-∠DAE=72°-36°=36°， .ZDAE ZADE, .AE DE .ADE为等腰三角形 综上所述，等腰三角形有△ABC,△BCD,△ABD,△BDE,△ADE,共5个. (2)证明：由(1)得，∠ADE=36°，∠BCD=72°， .∠CDF=36°， ∴∠CFD=∠BCD-∠CDF=72°-36°=36°， ∴∠BAD=∠BFD, 在△BDA和BDF中， ∠BAD=∠BFD ∠ABD=∠FBD, BD=BD △BDA≌△BDF(AAS, .BA=BF,DA=DF, :.BD所在的直线垂直平分AF, 类型七、等腰（边)三角形的动点问题 【例13】在等边三角形ABC中，AB=3AD=30cm,点E在边BC上以3cm/s的速度由点B向点C运动， 同时，点F在边CA上由点C向点A运动，连接DE、EF,，当点E停止运动时，点F随即停止运动.若要 在某一时刻使得BDE与△CEF全等，则点F的运动速度是() A E 32/56 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.3cm/s B.4cm /s C.3cm/s或4cm/s D.4cm/s或5cm/s 【答案】C 【分析】 【详解】解：：在等边三角形ABC中，AB=3AD=30cm, BD= ×30=20cm,BC=AB=30cm, 3 设点E、F的运动时间为s,BE=3tcm, .EC =(30-3t)cm 若BDE与△CEF全等，则有： ①当8D=CE时，30-31=20，解得：1=10 ·CF=BP=3x10 10, 故点F的运动速度为：10÷10 3cm/s: 3 ②当CF=BD=20ea时，8E=Ec-8c=15cm, :.BE=3tcm=15cm,解得：t=5. 故点F的运动速度为20÷5=4cm/s. 所以，点F的运动速度为3cm/s或4cm/s. 故选：C 【例14】在边长为10的等边三角形ABC中，点Q是BC上任意一点，点P是AB上一动点，以每秒2个单 位的速度从点A向点B移动，设运动时间为t秒. 图1 图2 (1)如图1，若CQ=6,t为何值时PQ∥AC: (②)如图2，若点P从点A-B运动，同时点Q以每秒3个单位的速度从点B经点C向点A运动，当t为何值时， △APQ为等边三角形？ 33/56 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【答案】(1)当t的值为3时PQ∥AC (2)当t的值为4时，△APQ为等边三角形 【分析】 【详解】(1)解：如图1，：△ABC是等边三角形，PQ∥AC, :LB0P=LC=60°，∠BPQ=∠A=60°，∠B=60°，AB=BC, ∴.∠B=∠BQP=∠BPQ=60°， ∴△BPQ是等边三角形， .BP=BO, .AP =CO 由题意可知：AP=2t, 则2t=6, t=3. 当t的值为3时，PQ∥AC. (2)解：如图2，①当点Q在边BC上时， 此时，∠PAQ<60°， :.△APQ不可能为等边三角形： ②当点Q在边AC上时， 若△APQ为等边三角形， 则AP=AQ 由题意可知，AP=2t,BC+CQ=3t, 34/56 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 .A0=BC+AC-BC+C0=10+10-3t=20-31, 即：20-31=21， 解得：t=4, :.当t=4时，△APQ为等边三角形， 【点睛】本题是三角形综合题，考查了等边三角形的判定和性质，平行线的性质，以动点问题为背景，根 据等边三角形的性质寻找等量关系，再列方程求解，能根据题目要求进行分类讨论是解题的关键 【变式7-1】如图，在ABC中，∠B=90°，AB=16cm,BC=12cm,AC=20cm,P、Q是ABC边上的两个 动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1Cm,点Q从点B开始沿BC→CA方向运 动，且速度为每秒2m,P、Q两点同时出发，当点P运动到点B时两点停止运动，设运动时间为t秒. Q B P← (1)BP= cm(用含t的式子表示)： (②)当点Q在边BC上运动时，通过计算说明PQ能否把ABC的周长平分？ (3)当点Q在边CA上运动时，若△BCQ是以CQ为腰的等腰三角形，直接写出此时t的值： 【答案】(1)16-t (2)不能 (3)11或12 【分析】 【详解】(1)解：由题意可知AP=t,BQ=2t, .AB =16cm, .BP AB-AP=(16-t)cm 故答案为：(16-t): (2)解：当Q在BC上，0≤1≤6，如图， 35/56 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A B P 而AP=t,BQ=2t, BP=16-t,C0=12-2t, :PO把ABC的周长平分， ∴.16-t+2t=1+12-21+20, 解得：t=8,不符合题意舍去， :.点Q在边BC上运动时，PQ不能把ABC的周长平分； (3)解：①当CQ=BQ,如图1所示， ☑ B 图1 则∠C=∠CBQ, :∠ABC=90°， ∠CBQ+∠ABQ=90°. ∠A+∠C=90°， ∠A=∠ABQ, .BO=A0, .Co=40=10cm, .BC+Co=22cm, 1=22÷2=11s; ②当CQ=BC,如图2所示， 36/56 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 Q A B P← 图2 则BC+CQ=24cm, 1=24÷2=12s, 综上所述：当t为11秒或12秒时，△BCQ是以CQ为腰的等腰三角形. 故答案为：11或12 【变式7-2】如图①，在数轴上，点O为坐标原点，点A、B、C、D表示的数分别是-16、6、18、26.动 点P、Q同时出发，动点P从点B出发，沿数轴以每秒4个单位的速度向点C运动，当点P运动到点C后， 立即按原来的速度返回.动点Q从点C出发，沿数轴以每秒2个单位的速度向终点D运动.当点Q到达点 D时，点P也停止运动，设点P的运动时间为t（t>0)秒. Q(A)片 -16 0 1826 0 图① 图② (1)点A与原点O的距离是_ (②)点P从点B向点C运动过程中，点P与原点O的距离是_（用含t的代数式表示） (3)点P从点B向点C运动过程中，当点P与原点O的距离恰好等于点P与点Q的距离时，求t的值， (4)在点P、Q的整个运动过程中，若将数轴在点O和点P处各折一下，使点Q与点A重合，如图②所示， 当所构成的三角形OPQ中恰好有两条边相等时，求t的值. 【答案】(1)16 (2)6+41 (3)t=1 (41,2.5,3.5 【分析】 【详解】(1)解：：点A表示的数是-16， 37/56 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 .0A-16-0=16, 故答案为：16 (2)解：：点B表示的数是6， .0B=6-0=6, BP=4t, 0P=0B+BP=6+41, 故答案为：6+41 (3)解：当点P与点C重合时，则6+41=18， 解得t=3, :当点P从点B向点C运动时，0≤1≤3， :点P表示的数是6+41，点Q表示的数是18+2t,且点Q在点P右侧， ∴.OP=6+4t,PQ=18+2t-(6+4t)）=12-2t, 由OP=PQ,得6+41=12-21， 解得：1=1. (4)解：当点Q与点D重合时，则18+2t=26, 解得t=4, 当3<1≤4时，点P表示的数是18-4(t-3),即30-4t, ∴.0P=30-4P9=18+2t-(30-4)=6t-12, 当0≤t≤3，且0P=0A时，则6+41=16， 解得：t=2.5; 当3<1≤4，且0P=0A时，则30-41=16， 解得：t=3.5; 当0≤t≤3，且OP=PQ时，由(3)得t=1: 当3<1≤4，且OP=PQ时，则30-41=61-12， 解得：1=号，不符合题意，合去： 当0≤t≤3，且PQ=OA时，由(3)得PQ=12-2t, 12-2t=16, 解得1=-2，不符合题意，舍去； 38/56 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 当3<t≤4，且PQ=OA时，则6t-12=16, 解得：1=14 ，不符合题意，舍去， 综上所述，t的值是1,2.5,3.5. 【点晴】此题重点考查等腰三角形的性质、数轴与绝对值、一元一次方程的解法、列一元一次方程解应用题、 数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，正确地用代数式表示点P、点Q所对应的数是解题的 关键。 【变式7-3】如图，O是射线CB上一点，LA0B=60°，0C=6cm,动点P从点C出发沿射线CB以2cm/s的 速度运动，动点Q从点O出发沿射线OA以1Cm/s的速度运动，点P,Q同时出发，设运动时间为t(s),当 △POQ是等腰三角形时，t的值为 CP O B 【答案】2s或6s. 【详解】解：如下图所示， 当点P在点O的左侧时，设运动s时△POQ是等腰三角形， :∠A0B=60°， --7o B LP00=120°， 若△POQ是等腰三角形， 则有OP=O2, :0C=6cm,点P运动的速度为2cm/s, .0P=6-2tcm, :点Q以lcm/s的速度运动， 00=1cm, 6-21=t, 解得：t=2s; 39/56 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 如下图所示， 当点P在点O的右侧时，设运动s时△POQ是等腰三角形， :∠A0B=60°， B 0 ∴△POQ是等边三角形， ..OP=00, :0C=6cm,点P运动的速度为2cm/s, 0P=2t-6)cm, :点Q以lcm/s的速度运动， :.00 tcm 21-6=1, 解得：t=6s; 综上所述，t的值为2s或6s. 故答案为：2s或6s. 处理方式： 动点问题优先分类讨论：按腰的不同、顶角/底角的不同、点在不同边上运动分情况，画出每种情况的图 形。设动点时间或路程为未知数，用含未知数的式子表示边长。 再根据等腰“两边相等”或“两角相等”列等式，结合三边关系、角度范围检验解的合理性，做到先分类、再 列式、后检验，不漏解、不错解。 压轴专练 一、单选题 1.如图，∠MON=40°，点P在射线0M上，以点P为圆心，PO长为半径画弧，分别交射线0M,ON于点 A,B,连接AB,分别以点AB为圆心，AB长为半径画弧，两弧在∠MON内部交于点C,连接AC,则 ∠0AC的大小为(). 40/56 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 M P B N A.100° B.105° C.110 D.115 【答案】C 【分析】详解】解：如图所示，连PB,CB M B N 由作图可知，OP=AP=BP,AC=AB=CB, .ABC为等边三角形， .∠BAC=60° ∠MON=40°，OP=BP, ∴.∠PB0=∠M0N=40°， 则∠APB=80°， :AP=BP, ∠PAB=∠PBA, 在aPAB中，∠PAB=∠PBA=-180°-∠APB180°-80 =50°， 2 ∠0AC=∠PAB+∠BAC=50°+60°=110°. 2.如图，等边ABC中，D为BC上一点，连接AD,∠DAE=I20°且AD=AE,BE交AC于点F,若 BD=2,AB=8,则AF的长度为() E F D 41/56 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A.2 B.2.5 C.3 D.3.5 【答案】C 【分析】详解】解：如图，在AC上截取AG=CD,连接EG, E B D :ABC是等边三角形， ∠ABC=∠BAC=∠ACD=60°，AB=AC, 设∠BAD=a,则∠DAC=∠BAC-∠BAD=60°-a, .∠DAE=120°， ∴.∠EAG=∠DAE-∠DAC=60°+a, :∠ADC=∠ABC+∠BAD=60°+a, .∠EAG=∠ADC, 又：AD=AE,AG=CD, .△DAC≌aAEG(SAS), ∴.EG=AC,∠DCA=∠AGE AB=AC, .EG=AB, :∠AGE=∠DCA=60°，∠BAC=60° .∠BAC=∠EGA AB∥GE ∠ABF=∠GEF .△ABF≌AGEF(ASA 4-Po-4-D-c-80j-8-2-3 故选：C 3.如图，△ABC中，AB=AC,LB=40°，D为线段BC上一动点（不与点B,C重合），连接AD,作 42/56 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∠ADE=40°，DE交线段AC于E,以下四个结论：①LCDE=∠BAD;②当D为BC中点时，DE⊥AC: ③当△ADE为等腰三角形时，∠BAD=20°；④当∠BAD=30°时，BD=CE.其中正确的结论的个数是() A 40X40° B D A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】C 【分析】详解】解：①AB=AC, ∠B=∠C=40°， .∠BAD=180°-40°-∠ADB,∠CDE=180°-40°-∠ADB, .∠BAD=∠CDE,故①正确； ②：D为BC中点，AB=AC, AD⊥BC, .∠ADC=90°， ∴.∠CDE=∠ADC-∠ADE=50°， :∠C=40°， ∴.∠DEC=180°-∠C-∠CDE=90°， .DE⊥AC,故②正确 ③：∠C=40°， ∠AED>40°， ∴.∠ADE≠∠AED, :△ADE为等腰三角形， AE=DE或AD=DE, 当AE=DE时，则LDAE=LADE=40°， .∠BAC=180°-40°-40°=100°， ∠BAD=∠BAC-∠DAE=100°-40°=60°； 当AD=DE时，则∠DAE=∠AED=(180°-∠ADE)=70°， 43/56 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 .LBAD=LBAC-∠DAE=100°-70°=30°，故③错误； ④：∠BAD=30°， 由①可知∠CDE=∠BAD=30°， ∠ADC=∠CDE+∠ADE=30°+40°=70°， .∠CAD=180°-70°-40°=70°， ∴.∠CAD=∠ADC, .CD=AC, AB=AC, .CD=AB, :△ABD≌△DCE(ASA, BD=CE,故④正确； 因此正确的结论的个数是3. 4.如图，AD是ABC的高，AE平分∠CAD交BC于点E,过点B作BF⊥AE,垂足为点F,并交AD于 点G.若AF=BF,则下列结论中：①∠ABF=45°；②△AFG≌△BFE;③AG+CE=AC;④ BC>BG+2GF;⑤AB=AC.正确结论的个数是() B h A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 【答案】C 【分析】详解】解：①BF⊥AE, .∠AFB=90°， AF =BF, .∠BAF=∠ABF=45°，故①正确； ②：BF⊥AE,AD是ABC的高， ∴.∠AFG=∠BFE=90°，∠BDG=90°， :∠BGD=AGF, 44/56 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 .90°-∠BGD=90°-∠AGF .LGBD=∠GAF, 又：AF=BF, :△AFG≌△BFE(ASA),故②正确； ③：AE平分∠CAD, ∠GAF=∠CAE, 由②得LGBD=LGAF, ∠GBD=∠CAE, 由①得∠BAF=∠ABF, ∠BAF+LCAE=∠ABF+∠GBD, 即∠CAB=∠CBA, .AC=BC, 由②得△AFG≌△BFE, .AG BE, BE +CE=BC, .AG+CE=BC, .AG+CE=AC;故③正确，符合题意； ④如图所示，延长BF交AC于点H, H G B D E :∠FAG=∠FAH,∠AFG=∠AFH=90°，AF=AF, △AFG≌△AFH(ASA), ∴.GF=HF, .GH =2GF, ∴.BH=BG+2GF, 45/56 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :∠AHF<90°， .∠BHC=180°-∠AHF>90°， .BCx BH, :BC>BG+2GF,故④正确： ⑤根据现有条件无法证明AB=AC,故⑤错误； 综上，正确的有①②③④，共4个. 二、填空趣 5.如图，在ABC中，AC=BC,过点B作BD⊥AC交AC于点D,点E在CB的延长线上，F是AC上 点，连接AE,BF,若ZE+ZDBF90°，BF=2DP:BE=53,SA则AEE点B 到AE的距离为 E 【答案】 2 72 125 【分析】详解】解：过A作AH⊥BC交BC于H, :在ABC中，AC=BC, H B .AH=BD(等腰三角形腰上的高相等)， :∠E+∠DBF=90°，LDBF+∠DFB=90°， LDFB=∠E, 在Rt△BDF和Rt△AHE中， ∠DFB=∠E ∠BDF=∠AHE=90°， BD=AH ∴.Rt△BDF≌Rt△AHE(AAS), 46/56 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 .BF=AE=2,DF=HE 过B作BM⊥AE交AE于M, M DF:BE=5:3, IB E BE 3 HE:BE=5:3,即 1 72 S4能2AE·BM=6过 5aE=125,又AE=2, .BM= 72 125 72 即点B到AE的距离为 125 6.如图，点O是等边ABC内一点，连接OA、OB、OC,将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC ,连接0D.若∠A0B=1I0°，∠BOC=,△AOD是等腰三角形，O的度数为 B 【答案】125°或110°或140° 【分析】详解】解：：△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC, ∠C0D=LCD0=∠0CD=60°，OC=CD, ∴.△OCD是等边三角形， :∠A0D=360°-∠A0B-∠C0D-∠B0C=360°-110°-60°-a=190°-a,∠AD0=-60°， .∠0AD=180°-∠A0D+LAD0)=180°-(190°-a+a-60)=50°； △AOD是等腰三角形时，有三种情况： 当AD=OD时，LOAD=LA0D, .50°=190°-a, 解得a=140°； 当A0=AD时，∠AOD=∠AD0, .190°-a=a-60°， 47/56 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 解得a=125°； 当0A=0D时，∠0AD=∠0DA, .50°=a-60°， 解得a=110°； 所以当a的度数为125°或110°或140°时，△A0D是等腰三角形. 7.如图，D是等边ABC内一点，连接AD,BD,CD,以AD为边作等边ADE,使得点E在直线AC的 右侧，若∠ADB=x°，∠BDC=y°，且aCDE是以DE为腰的等腰三角形，则x与y的关系是 入D B 【答案】 x=y或x+2y=360 【分析】详解】解：：△ABC和ADE是等边三角形， AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=60°，∠ADE=60°， :∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC, 即LBAD=∠CAE, 在△ABD和△ACE中， AB=AC ∠BAD=∠CAE, AD=AE △ABD≌△4CE(SAS, ∠AEC=∠ADB=x°， .∠AED=60°， :∠CED=∠AEC-∠AED=(x-60)°， ∠ADB=x°，∠BDC=y°， :∠ADC=360°-∠ADB-∠BDC=(360-x-y)°， ∠CDE=∠ADC-∠ADE=(360-x-y-60)°=(300-x-y)°， 48/56 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :△CDE是以DE为腰的等腰三角形， ·分两种情况： ①当DE=DC时，∠DCE=∠CED=x-60)°， 在aCDE中，∠CDE+∠CED+∠DCE=I80°， (300-x-y)+x-60)+(x-60)=180, 解得x=y: ②当DE=CE时，∠CDE=∠DCE, 在aCDE中，∠CDE+∠DCE+∠CED=I80°， :2∠CDE+∠CED=180°， 2(300-x-y+(x-60=180, 600-2x-2y+x-60=180, 540-x-2y=180, 解得x+2y=360; 综上所述，x与y的关系是x=y或x+2y=360, 故答案为x=y或x+2y=360. 三、解答题 8.如图，ABC中，LABC=2LC,点D是边AC的中点，点E在边AB的延长线上，连接DE交BC于点 F,连接AF,且BE=BF. 49/56 扇学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 E (1)若∠C=28°，求∠E的度数； (2)证明：AF⊥BC. 【答案】(1)28 (2)见解析 【详解】(1) 解：：∠ABC=2∠C,∠C=28°， ∴.∠ABC=2∠C=2×28°=56°， BE =BF, .∠BEF=∠BFE, 又：∠ABC=∠BEF+LBFE=2LC, :∠BEF=∠BFE=∠ABC=∠C=x56°=280， 2 2 ∠E的度数为28°； (2)证明：BE=BF, ∴.∠BEF=∠BFE, :LABC=2LC,∠ABC=LBEF+∠BFE, .∠BEF=LBFE=LC, ∠DFC=∠BFE, ∠DFC=LC, .DF=DC, 又：点D为AC中点， .DF DC =AD, DF =DA, ∴∠DAF=∠AFD, .DF=DC, .ZDFC ZC, 又：∠AFD+∠DFC+∠DAF+∠C=I80°， 50/56 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∴.2∠AFD+2∠DFC=180°， .∠AFD+∠DFC=90°， .AF⊥BC. 9.【原题再现】在学习“图形的平移和旋转”时，教材上有这样一道题，如图1，点D在等边三角形ABC的 边BC上，将△ABD绕点A旋转，使得旋转后点B的对应点为点C.小明是这样做的：过点C画BA的平行 线I,在I上截取CE=BD,连接AE,则△ACE即为旋转后的图形. 图1 图2 (I)请你根据小明的思路，①求证：△ACE≌△ABD;②求∠DAE的度数； 【方法应用】 (2)如图2，点D为等边三角形ABC的边BC下方一点，连接AD,BD,CD,若LACD+∠ABD=180°， AD=6,求ABC面积的最小值. 【答案】(1)①见解析：②60° 2275 4 【详解】(1)解：①：△ABC是等边三角形， ∴.AB=AC,∠BAC=∠B=60°， :AB川1， .∠ACE=∠BAC=60°， .∠ACE=∠B, CE=BD, 在△ACE与△ABD中， AB=AC ∠ACE=∠B, CE=BD △ACE≌ABD(SAS; ②由①得：△ACE≌△ABD, 51/56 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ∠BAD=∠CAE, .∠DAE=LDAC+LCAE=∠DAC+LBAD=∠BAC=60°； (2)解：如图，延长DB到点D,使BD'=CD A Di----B :△ABC是等边三角形， .∠BAC=60°，AB=AC, :∠ACD+∠ABD=180°，且四边形ABDC内角和为360°， ∴∠BAC+∠CDB=180°， .∠CDB=120°， :∠ABD+∠ABD'=180°， ∠ACD=∠ABD', 在△ABD'与△ACD中， AB=AC ∠ABD'=∠ACD, BD'=CD .△ABD'≌AACD(SAS), AD'=AD=6,∠DAC=∠BAD', ∠DAC+∠BAD=60°， .∠DAD'=∠BAD+∠BAD'=60°， △DAD'是等边三角形， 要使ABC的面积最小，即等边△ABC的边长最短时面积最小， 即当AB为等边△DAD'的高线时才会最短， 由题意可知等边△DAD'的高线最短，则有√6-32=33， ·4BC的高线为35×5_9， 22 927N3 :△ABC的面积最小值是二x35x9 2 24 52/56 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 10.如图，已知ABC中，AB=AC=12cm,BC=10cm,点D为AB的中点.若P、Q两点分别从B、A两 点同时出发，点P在线段BC上以2cm/s的速度由点B向点C运动.同时，点Q在线段AC上以4cm/s的速 度由点A向点C运动，设运动时间为t,回答下列问题： D P 备用图 (I)当t为何值时，C在PQ的垂直平分线上； (2)当t为何值时，△BPD≌△CQP: (3)经过 秒后，△CPQ为等腰三角形，且△CPQ的周长为18cm. 【答案】(1)t=1 (2)t=2 (3)1或1.75或1.6 【详解】(1)解：在△ABC中，AB=AC=12cm,D是AB中点， 故BD=AB=6cm,∠B=∠C, 2 由动点运动得：BP=2tcm,AQ=4cm, 因此CP=(10-2)cm,C9=(12-4t)cm, :点C在PQ的垂直平分线上，根据垂直平分线性质， CP=C0,即10-2t=12-41, 解得t=1: (2)解：：AB=AC=12cm, ∠B=∠C, 当△BPD≌aCQP且∠B=∠C, BD=CP ·对应边满足 BP=CO 6=10-2t 即{ t=12-4t 两个方程同解得1=2， 53/56 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 当t=2时，△BPD≌aCQP: (3)解：：△CPQ为等腰三角形，且△CPQ的周长为18cm, .P0=18-CP-C0=18-(10-2t-(12-4=6t-4)cm, 分三种情况讨论等腰三角形： 若CP=C0时，10-21=12-4t, 解得t=1, 此时三边为8cm,8cm,，2cm,符合三角形三边关系； 若CP=P9时，10-21=6t-4, 解得t=1.75, 此时三边为6.5cm,5cm,6.5cm,符合三角形三边关系； 若C9=P2时，12-4t=6t-4, 解得t=1.6, 此时三边为5.6cm,6.8cm,5.6cm,符合三角形三边关系. 综上，经过1或1.75或1.6秒后，△CPQ为等腰三角形，且△CPQ的周长为18cm, 11.己知：点D,E分别是等边ABC的边BC,AB上的点，∠ADE=60°. F B B D 图1 图2 图3 (I)如图1，若点D是BC的中点时，则E BE- (2)如图2，点M在AC上，满足∠ADM=60°，求证：BE=CM; (3)如图3，作CF∥AB交ED的延长线于点F,探究线段BE,CF,CD之间的数量关系，并给出证明 【答案】(1)3 (2)见解析 (3)CD=BE+CF,理由见解析 【详解】(1)解：：ABC是等边三角形，点D是BC的中点， 54/56 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 .BC=2BD=2CD,AD⊥BC,∠BAD= 1∠B4C=30°， :∠ADE=60°， ∴.∠AED=90°， :∠BDE=90°-60°=30°， :BD =2BE, AB BC =2BD, ∴.AB=4BE, .AE =3BE :5=3 BE (2)证明：作AF⊥ED于F,AH⊥DM于H. M D ∠AFE=∠AHM=90°， :∠ADE=∠ADM=60°， .AF =AH, ∠BAC=60°， ∠AED+∠AMD=180°， 又：∠AMH+∠AMD=180°， ∴.∠AEF=LAMH, 在△AEF和△AMH中， [∠AEF=∠AMH ∠AFE=∠AHM, AF=AH △AEF≌△AMH(AAS), .AM =AE, AB=AC, 55/56 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 AB-AE=AC-AM,即BE=CM; (3)解：CD=BE+CF,理由如下： 延长CF至点N,使FN=BE,连接EB、EN. E B 、D :CF∥AB,FN=BE, :.四边形BNFE为平行四边形， BN∥EF, ∴.∠CDF=∠CBN,∠BCN=∠ABC=60°， 又：∠ADE+∠ADC+∠CDF=180°，∠ACD+∠ADC+∠CAD=180°，∠ADE=∠ACB=60°， .∠CDF=∠CAD, 又：∠CDF=∠CBN, .∠CAD=∠CBN, 又：CA=CB,∠BCF=∠ACB=60°， :.△ACD≌△BCN(ASA), .CD=CN =CF+NF =CF+BE. 56/56 专题07 等腰三角形及等边三角形判定与性质的综合问题 目录 典例讲解 类型一、等腰三角形的性质 类型二、等腰三角形的判定 类型三、等边三角形的性质 类型四、等边三角形的判定 类型五、等腰（边）三角形与全等三角形的综合 类型六、等腰（边）三角形的折叠问题 类型七、等腰（边）三角形的动点问题 压轴专练 类型一、等腰三角形的性质 处理方式： 解题核心是等边对等角与三线合一，已知两边相等可直接推出对应底角相等。遇到高线、中线、角平分线时，优先判断是否满足三线合一，快速得到垂直、平分、角相等等结论。 计算角度时，利用三角形内角和180°与等腰两底角相等列方程求解；涉及边长时，注意分类讨论腰与底，同时满足三角形三边关系，避免出现无解或错解。 【例1】如图，在中，，，和关于直线对称，的平分线交于点，连接，当为等腰三角形时，的度数为___________． 【例2】如图，在中，，将绕着点A顺时针旋转得到，连接，记，，当时，与之间的数量关系为（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】已知一个等腰三角形两腰上的高所在直线的夹角是，那么这个等腰三角形的顶角的度数是___________． 【变式1-2】如图，在中，，点D在边上，且，点E是线段上的一个动点（不与点A，点C重合），若为等腰三角形，则的度数为______． 【变式1-3】如图，在中，点在边上，，将边绕点旋转到的位置，使得，连接与交于点，且，． (1)求证：； (2)求的度数． 类型二、等腰三角形的判定 处理方式： 判定等腰三角形优先使用定义法与等角对等边，先在图中找到相等的角或边，再对照定理推导。若题目给出角平分线、平行线、高线等条件，常通过角的等量代换推出两角相等，进而得到两边相等。 遇到线段相等或角相等的证明题，先观察是否存在公共边、公共角、对顶角，再结合外角定理、平行线性质推导等角，严格遵循“等角→等边”的判定逻辑，不遗漏边与角的对应关系。 【例3】如图，在中，，于点D，的角平分线交于点E，交于点F，平分交于点G．则下列结论：①；②；③垂直平分；④为等腰三角形．其中正确的结论有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【例4】如图，是等边三角形、是中线，延长至点，使、连接．判断的形状，并说明理由． 【变式2-1】如图，在中，，，若某个直角三角形与能拼成一个等腰三角形（无重叠部分），则拼成的等腰三角形有（   ） A．3种 B．4种 C．5种 D．6种 【变式2-2】如图，的面积为，平分，，则的面积为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式2-3】如图，在中，点在的延长线上，，垂足为，交于点，且．求证：是等腰三角形． 类型三、等边三角形的性质 【例5】如图，将边长为的等边沿射线向右平移到，连接，． (1)求证：； (2)求所扫过的面积． 【例6】如图，已知是等边三角形，是的边上的中线，在延长线上，且， (1)求的度数； (2)求证：． 【变式3-1】如图，将等边三角形折叠，使得点恰好落在边上的点处，折痕为，为折痕上一动点，若，，则周长的最小值是（    ） A．4 B．10 C．8 D．6 【变式3-2】如图，在等边三角形中，，，连接并延长，交的延长线于点，求的度数． 【变式3-3】如图，，是等边三角形，点在射线上，连接，以为边作等边三角形，边与边相交于点，连接． (1)求证：． (2)连接，当是等腰三角形时，求的度数． 类型四、等边三角形的判定 处理方式： 判定优先按三步走：先证三边相等，再证三角相等，或证有一个角是60°的等腰三角形。题目中出现60°角、等腰、线段/角等量关系时，优先向“60°+等腰”的判定条件靠拢。 【例7】如图，在中，，，平分，交边于点，为边的中点，，交于点，交于点．    (1)求证：； (2)判断的形状，并说明理由． 【例8】如图，在中，平分交于点，延长至点，连接，若，，．求证：是等边三角形． 【变式4-1】如图，在中， 点D在边上， 过点D作， 垂足为E， 的延长线交 的延长线于点F， 且， ，求证：是等边三角形． 【变式4-2】如图，在锐角中，点是边上一点，于点，与交于点． (1)求证：为等腰三角形； (2)若，请判断的形状，并说明理由． 【变式4-3】如图在中，，为线段的中点，，，平分，交于点，交于点． (1)证明：； (2)判断的形状，并说明理由． 类型五、等腰（边）三角形与全等三角形的综合 处理方式： 先从等腰/等边中提取等边、等角、60°角，作为全等的条件，再用SAS、ASA、SSS、AAS证明三角形全等。全等后得到的对应边、对应角，又可反推等腰/等边结论。 【例9】如图，在中，，，于点，且，，分别是边，上的点，且． (1)求证：是等边三角形； (2)若，，求的长． 【例10】如图，在中，，点分别在边上，连接交于点． (1)试判断与是否相等，并说明理由； (2)若平分，求证：； (3)在（2）的条件下，已知，求的长度． 【变式5-1】如图，在等边中，于点是线段上一动点，连接，以为边在其上方作等边，连接，若，则线段的最小值为______． 【变式5-2】如图，在中，，，将绕点A逆时针旋转得到．过点D作，交的延长线于点E，点F为中点． (1)①补全图形； ②求证：； (2)判断之间的数量关系，并证明． 【变式5-3】已知，如图，点是上的点，连接，点关于直线的对称点为点，连接，将射线绕点逆时针旋转得到，在射线上取一点，使，延长交于点． (1)求证：； (2)连接，若，用等式表示，，三者之间的数量关系，并证明． 类型六、等腰（边）三角形的折叠问题 处理方式： 折叠本质是轴对称全等，折叠前后对应边相等、对应角相等，先标出重合的边与角，转化为等腰三角形的等量条件。遇到折叠后形成新等腰三角形时，按“等角对等边”列方程。 计算边长或角度时，设未知数表示折叠前后的边与角，利用内角和、三边关系、三线合一建立方程求解，注意折叠后点的位置不改变原三角形的核心性质。 【例11】如图所示三角形纸片中，，将纸片沿过点的直线折叠，使点落到边上的点处，折痕为． 再将纸片沿过点的直线折叠，点恰好与点重合，折痕为，若，则的周长为，则长为（    ）    A． B． C． D． 【例12】如图，中，，点E、F分别是边、上的动点，将沿折叠，使点A落在直角边上的D点处，如果折叠后与均为等腰三角形，那么______． 【变式6-1】如图，在中，，，是上的动点，连接，将沿折叠，得到，且点在直线的下方，与边交于点，继续将向下折叠，使与重合，折痕为（在边上），连接．若是以为底边的等腰三角形，则的度数为__________． 【变式6-2】如图，在等腰中，的平分线与的中垂线交于点O，点C沿折叠后与点O重合，若，则的度数是__________．    【变式6-3】在数学活动课上，数学老师让同学们以“等腰三角形纸片的折叠”为主题开展数学活动．如图1，在三角形纸片中，．将三角形纸片沿折叠，使落在上，点C的对应点为点E，连接． (1)将三角形纸片展开，则图中共有______个等腰三角形． (2)如图2，在图1的基础上，延长交的延长线于点F，连接．求证：所在的直线垂直平分． 类型七、等腰（边）三角形的动点问题 【例13】在等边三角形中，，点E在边上以的速度由点B向点C运动，同时，点F在边上由点C向点A运动，连接，当点E停止运动时，点F随即停止运动．若要在某一时刻使得与全等，则点F的运动速度是（   ）    A． B． C．或 D．或 【例14】在边长为10的等边三角形中，点是上任意一点，点是上一动点，以每秒2个单位的速度从点向点移动，设运动时间为秒． (1)如图1，若，为何值时； (2)如图2，若点从点运动，同时点以每秒3个单位的速度从点经点向点运动，当为何值时，为等边三角形？ 【变式7-1】如图，在中，，，P、Q是边上的两个动点，其中点P从点A开始沿方向运动，且速度为每秒1，点Q从点B开始沿方向运动，且速度为每秒2，P、Q两点同时出发，当点P运动到点B时两点停止运动，设运动时间为t秒． (1) ______（用含t的式子表示）； (2)当点Q在边上运动时，通过计算说明能否把的周长平分？ (3)当点Q在边上运动时，若是以为腰的等腰三角形，直接写出此时t的值：______． 【变式7-2】如图①，在数轴上，点O为坐标原点，点A、B、C、D表示的数分别是、6、18、26．动点P、Q同时出发，动点P从点B出发，沿数轴以每秒4个单位的速度向点C运动，当点P运动到点C后，立即按原来的速度返回．动点Q从点C出发，沿数轴以每秒2个单位的速度向终点D运动．当点Q到达点D时，点P也停止运动，设点P的运动时间为t（）秒．    (1)点A与原点O的距离是 ． (2)点P从点B向点C运动过程中，点P与原点O的距离是 （用含t的代数式表示）． (3)点P从点B向点C运动过程中，当点P与原点O的距离恰好等于点P与点Q的距离时，求t的值． (4)在点P、Q的整个运动过程中，若将数轴在点O和点P处各折一下，使点Q与点A重合，如图②所示，当所构成的三角形中恰好有两条边相等时，求t的值． 【变式7-3】如图，是射线上一点，，动点从点出发沿射线以的速度运动，动点从点出发沿射线以的速度运动，点同时出发，设运动时间为（s），当是等腰三角形时，的值为___________． 处理方式： 动点问题优先分类讨论：按腰的不同、顶角/底角的不同、点在不同边上运动分情况，画出每种情况的图形。设动点时间或路程为未知数，用含未知数的式子表示边长。 再根据等腰“两边相等”或“两角相等”列等式，结合三边关系、角度范围检验解的合理性，做到先分类、再列式、后检验，不漏解、不错解。 一、单选题 1．如图，，点在射线上，以点为圆心，长为半径画弧，分别交射线于点，连接，分别以点为圆心，长为半径画弧，两弧在内部交于点，连接，则的大小为（    ）． A．100° B．105° C．110° D．115° 2．如图，等边中，为上一点，连接，且，交于点，若，，则的长度为（   ） A． B． C． D． 3．如图，中，，D为线段上一动点（不与点B，C重合），连接，作，交线段于E，以下四个结论：①；②当D为中点时，；③当为等腰三角形时，；④当时，．其中正确的结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．如图，是的高，平分交于点，过点作，垂足为点，并交于点．若，则下列结论中：①；②；③；④；⑤．正确结论的个数是（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 二、填空题 5．如图，在中，，过点B作交于点D，点E在的延长线上，F是上一点，连接，若，，，，则______，点B到的距离为______． 6．如图，点O是等边内一点，连接，将绕点C按顺时针方向旋转得，连接．若，，是等腰三角形，的度数为________． 7．如图，D是等边内一点，连接，以为边作等边，使得点E在直线的右侧，若，，且是以为腰的等腰三角形，则x与y的关系是________． 三、解答题 8．如图，中，，点D是边的中点，点E在边的延长线上，连接交于点F，连接，且． (1)若，求的度数； (2)证明：． 9．【原题再现】在学习“图形的平移和旋转”时，教材上有这样一道题，如图1，点D在等边三角形的边上，将绕点A旋转，使得旋转后点B的对应点为点C．小明是这样做的：过点C画的平行线，在上截取，连接，则即为旋转后的图形． (1)请你根据小明的思路，①求证：；②求的度数； 【方法应用】 (2) 如图2，点D为等边三角形的边下方一点，连接，，，若，，求面积的最小值． 10．如图，已知中，，，点为的中点．若两点分别从两点同时出发，点在线段上以的速度由点向点运动．同时，点在线段上以的速度由点向点运动，设运动时间为，回答下列问题： (1)当为何值时，在的垂直平分线上； (2)当为何值时，； (3)经过______秒后，为等腰三角形，且的周长为． 11．已知：点，分别是等边的边，上的点，． (1)如图1，若点是的中点时，则________； (2)如图2，点在上，满足，求证：； (3)如图3，作交的延长线于点，探究线段，，之间的数量关系，并给出证明． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $