专题04等腰三角形易错必刷题型专项训练(20大题型共计60道题)2025-2026学年沪教版五四制七年级数学下册

专题04等腰三角形易错必刷题型专项训练 题型01.等腰三角形的定义 题型02.找出图中的等腰三角形 题型03.等边对等角 题型04.三线合一 题型05.大(小)边对大(小)角定理 题型06.由等角对等边证明等腰三角形 题型07.由等角对等边证明边相等 题型08.等角对等边求边长 题型09.等腰三角形的性质与判定 题型10.证一条线段等腰两条线段和差 题型11.等边三角形的性质 题型12.等边三角形的判定 题型13.等边三角形的判定与性质 题型14.线段垂直平分线的性质 题型15.线段垂直平分线的判定 题型16.作已知线段的垂直平分线 题型17.作垂线 题型18.作等腰三角形 题型19.由外心位置判断三角形的形状 题型20.最短路径问题 易错必刷题型01.等腰三角形的定义 易错点：混淆“两边相等的三角形”的定义；分类讨论（腰/底边）时漏解；忽略三边关系验证；混淆等腰与等边的包含关系。 1．如图，，，图中的等腰三角形有__________个． 2．以下列各组数据为边长，可以构成等腰三角形的是（　　） A．1，2，3 B．1，2，1 C．2，2，3 D．2，5，2 3．如果实数满足，且恰好是等腰的两边长，则的周长是___________． 易错必刷题型02.找出图中的等腰三角形 易错点：复杂图形中漏找隐藏等腰三角形；误判边/角相等关系；忽略公共边、平行线、角平分线带来的等角条件。 4．如图，下列4个三角形中，均有AB=AC，则经过三角形的一个顶点的一条直线能够将这个三角形分成两个小等腰三角形的是（  ） A．①②④ B．②③④ C．①②③ D．①③④ 5．如图，已知中，，，，在所在平面内画一条直线，将分割成两个三角形，使其中有一个边长为3的等腰三角形，则这样的直线最多可画（    ） A．3条 B．4条 C．5条 D．6条 6．如图，，，则图中的等腰三角形有 ___________个． 易错必刷题型03.等边对等角 易错点：混淆“等边对等角（性质）”与“等角对等边（判定）”；遗漏“同一三角形”的前提；找错相等边对应的角。 7．一个等腰三角形，顶角是．它的底角是________． 8．如图，直线，点A在直线m上，点B、C在直线n上，，，则等于（   ） A． B． C． D． 9．已知，如图点在的外部，点在边上，若，求证：平分． 易错必刷题型04.三线合一 易错点：混淆三线的对应关系（仅顶角平分线、底边上的高、底边上的中线重合）；遗漏“等腰三角形”的前提；在非等腰三角形中误用；用三线合一反向证明等腰（逻辑错误）。 10．如图，在△中，，是的中点，在的延长线上取点，连接，若，，则为________． 11．如图，在中，，是边上的高，点E、F在上相异两点，若的面积为，则图中阴影部分的面积为（   ）． A．12 B．10 C．8 D．6 12．（1）如图1，是边上的一点．若，，求的值； （2）如图2，在四边形中，对角线、相交于点，分别记、、、为、、、，求证：； （3）如图3，在边长为6的正方形中，点是的中点，连接、，将线段绕点顺时针旋转一定的角度得到，分别交、于点、点，若，求的值． 易错必刷题型05.大(小)边对大(小)角定理 易错点：遗漏“同一三角形”的前提；记反边与角的对应关系；证明不等关系时逻辑不严谨。 13．等腰三角形周长为20，一边长为4，则另两边长为______． 14．如图，已知：与相交于点，求证：．把以下证明过程补充完整． 证明：在中， ， ______________________（___________） （___________）， _____________________， ， ______________________， （___________） 15．如图1，中，，，D、E分别在、上（D、E不与重合）、、交于点． (1)若，则与一定相等吗？若不一定，在图2中举出反例，并简单说明（不写作法，保留痕迹）． (2)如图3，若，则与一定相等吗？试用反证法给出证明． (3)若中有两角相等，中有两角相等，中有两角相等，直接写出度数、度数和度数之和． 易错必刷题型06.由等角对等边证明等腰三角形 易错点：混淆性质与判定；遗漏“同一三角形”的前提；在复杂图形中找错相等的角。 16．如图，在中，平分，，则是______三角形．    17．如图，的面积为，平分，，则的面积为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 18．如图，是的角平分线，交于点，求证：是等腰三角形． 易错必刷题型07.由等角对等边证明边相等 易错点：不会通过等角推导边相等；遗漏“同一三角形”的前提；不会结合平行线、外角等条件推等角。 19．如图，分别作两个内角的角平分线，过点作直线，分别交、于点、．若，，则的周长为___________． 20．如图，在中，的平分线交于点D，过点D作交于点E，交于点F．若，则的周长是（　　） A．17 B．18 C．20 D．22 21．如图中，的平分线交于点P，过点P作，分别交于D，E．求证：． 易错必刷题型08.等角对等边求边长 易错点：分类讨论（顶角/底角）缺失；漏验三边关系导致多解；角度计算错误引发边长错误。 22．如图，在中，和的平分线交于点，过点作交于，交于N，若，则线段的长为_____ ． 23．如图，△ABC的内角∠ABC及外角∠ACG的平分线交于点D，且过点D．若BE=9，CF=5，则EF=（　　　） A．6 B．5 C．4 D．3 24．如图，在Rt中，，，点是边上一点且不与点重合，点是边上一点且不与点重合，的延长线交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，求的度数． 易错必刷题型09.等腰三角形的性质与判定 易错点：性质与判定混用；综合题中逻辑链条断裂；漏写“等腰三角形”“同一三角形”等关键前提；三线合一误用。 25．已知等腰三角形的两边长为、，则它的周长为________________． 26．如图，在直角三角形中，，，点是的中点，以为斜边作等腰直角三角形，连接，．有下列结论：①；②；③．其中正确的结论有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 27．如图，已知，点D为边上一点，点E为外一点，连接交于点F，连接，，有，，且． (1)求证：； (2)若，求的大小． 易错必刷题型10.证一条线段等腰两条线段和差 易错点：不会用截长补短法作辅助线；辅助线语言不规范；构造全等时找错对应边/角；证明跳步漏写依据。 28．如图1，在中，，D是的中点，过点B作，垂足为E，连接交于点F． (1)猜想与的数量关系，并说明理由； (2)P是射线上的点，过点C作//交的延长线于点G． ①如图2，若点P在的延长线上，请说明的理由； ②若，则________． 29．阅读：探究线段的和、差、倍、分关系是几何中常见的问题，解决此类问题通常会用截长法或补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明． (1)请完成下题的证明过程： 如图1，在中，，平分．求证：． 证明：在上截取，连接． (2)如图2，，分别平分，过点E，求证：． 易错必刷题型11.等边三角形的性质 易错点：混淆等边与等腰三角形的性质；忘记三个角均为60°；忽略等边三角形三条线都满足三线合一。 30．如图， 在等边三角形中，，则的度数是_______． 31．如图，点、分别是等边边、上的点，已知，连接、交于点．则等于（    ） A． B． C． D． 32．如图，在中，，且，是边上动点（不与，重合），点在边上，连接平分． (1)当为等边三角形时，求的度数； (2)探究与之间的数量关系，并说明理由． 易错必刷题型12.等边三角形的判定 易错点：条件不全（仅证两个角为60°就判定等边）；误记“有一个角为60°的三角形是等边三角形”；漏证边相等条件。 33．在中，，要使是等边三角形需添加一个条件，这个条件可以是______．（只需写出一种情况） 34．有下列三角形：①有两个角等于（则第三个角也为．）；②有一个角等于的等腰三角形；③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中是等边三角形的有（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③ D．①②③④ 35．如图，在锐角中，点是边上一点，于点，与交于点． (1)求证：为等腰三角形； (2)若，请判断的形状，并说明理由． 易错必刷题型13.等边三角形的判定与性质 易错点：性质与判定混用；综合题中不会灵活结合性质推角/边、用判定证等边；逻辑链条断裂；漏写关键条件。 36．如图，，直线分别交、于点，平分交于点．如果，，即么的周长等于______． 37．如图，是的中线，，，把沿直线折叠后，点C落到的位置上，那么为（    ） A．1 B． C．2 D．2 38．（1）如图1，点P，Q分别是边长为的等边三角形的边上的动点，点P，Q从顶点A，B同时出发，分别沿运动，且它们的速度都为． ①点P，Q运动多少时间是等边三角形？说明理由； ②连接交于点M，则P，Q运动的过程中，的度数变化吗？若变化，请说明理由，若不变，请求出它的度数； （2）如图2，若点P，Q分别运动到点B，C后，P，Q两点继续在射线上运动，直线的交点为M，的度数变化吗？若变化，请说明理由，若不变，请求出它的度数． 易错必刷题型14.线段垂直平分线的性质 易错点：遗漏“垂直平分线上的点”的前提；在非垂直平分线上误用“到线段两端距离相等”；混淆性质与判定。 39．如图，在中，线段，的垂直平分线，分别交于点G，H，，相交于点F，若线段的长为8，则的周长为______． 40．如图，在中，，，，边的垂直平分线为l，点D是边的中点，点P是l上的动点，则最小值是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 41．如图，在中，，的垂直平分线分别交，于点，F，的垂直平分线分别交，于点M，N，直线，交于点． (1)求证：点P在线段的垂直平分线上． (2)若的周长为，的周长为，求的长． 易错必刷题型15.线段垂直平分线的判定 易错点：不会用“到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上”证明；漏证“点在线上”；混淆判定与性质。 42．如图中、，点D是的中点，过点D作交的延长线于点E，连接，若，，则的长为______． 43．如图，在中，，点在上，点在的垂直平分线上，连接，且与交于点．若，则的长是（    ） A．4 B．3.5 C．3 D．2 44．如图，在中，D是上的一点，连接，作交于点E，交于点F，且平分，连接． (1)证明：垂直平分． (2)若的周长为18，面积为24，，求的长． 易错必刷题型16.作已知线段的垂直平分线 易错点：弧的半径不足导致交点错误；遗漏作图痕迹；不理解作图依据（SSS全等）。 45．如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，点，过这两个点作直线，交于点，连接．若，，则的长为_____． 46．已知中，，在上取一点，使，下列尺规作图的方法正确的是（    ） A． B． C． D． 47．尺规作图： (1)作边的垂直平分线交于点，连接； (2)作边的垂直平分线交于点，连接（要求：保留作图痕迹，不写作法） 易错必刷题型17.作垂线 易错点：过直线上/外一点作垂线时弧的画法错误；混淆作垂线与作垂直平分线的方法；遗漏作图痕迹。 48．如图，在中，，以C为圆心，长为半径画弧，交于D、E，分别以D、E为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点F，连结，则______． 49．如图，已知点P和直线l，过点P作l的垂线，步骤如下： 第一步：以点P为圆心，a（）为半径作弧，交直线l于点A，B； 第二步：分别以点A，B为圆心，b为半径作弧，两弧交于点D； 第三步：作直线交于点O． 关于a，b，下列说法正确的是（    ） A．a的长有限制，b的长无限制 B．a的长无限制，b的长有限制 C．a，b的长均无限制 D．a，b的长均有限制 50．如图，内有一点P． (1)作图： ①过点P作交于点D； ②过点O作交于点C； (2)在（1）的条件下，连接，若平分，，求的度数． 易错必刷题型18.作等腰三角形 易错点：不会用垂直平分线构造等腰三角形；弧的半径错误；漏写作图依据（垂直平分线性质）。 51．如图，已知，点B为AN上一点．用尺规按如下过程作图：以点A为圆心，以任意长为半径画弧，交AN于点D，交AM于点E；以点B为圆心，以AD长为半径作弧，交AB于点F；以点F为圆心，以DE长为半径作弧，交前面的弧于点G，连接BG并延长交AM于点C，则______． 52．如图，在中，以点A为圆心，的长为半径作圆弧交于点D，再分别以点B和点D为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧分别交于点M和点N，连接交于点E．若，，则的周长为（   ） A．16 B．18 C．20 D．22 53．在中，，直线 l 经过点 A，且与平行．仅用圆规和无刻度的直尺完成下 列画图．（保留画图痕迹，不写作法） (1)如图①，在直线 l 上画出一点 P，使得； (2)如图②，在直线 l 上画出所有的点 Q，使得． 易错必刷题型19.由外心位置判断三角形的形状 易错点：混淆外心（垂直平分线交点）位置与三角形形状的对应关系（锐角内、直角斜边中点、钝角外）；记错对应规律。 54．如图，点是的外心，且，则________． 55．如果一个三角形的外心在三角形的外部，那么这个三角形一定是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 56．如图，已知是的外心，，分别是，的中点，连接，，分别交于点，．若，，，则的面积为（     ） A．72 B．96 C．120 D．144 易错必刷题型20.最短路径问题 易错点：不会用轴对称（垂直平分线性质）找对称点；找错对称点；混淆“两点之间线段最短”的应用场景；计算最短路径长度错误。 57．如图，在中，，，垂直平分线段，P是直线上的任意一点，则周长的最小值是_______． 58．如图，在中，的垂直平分线分别交边于点，若D为边的中点，M为线段上的一个动点，则周长的最小值为（   ） A．7 B．9 C．12 D．14 59．教材呈现：以下是华师版八年级上册数学教材第94页的部分内容． 线段垂直平分线 我们已经知道线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是线段的对称轴，如图1，直线是线段的垂直平分线，P是上任一点，连结．将线段沿直线对折，我们发现与完全重合．由此即有： 线段垂直平分线的性质定理 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等． 已知：如图1，，垂足为点C、，点P是直线上的任意一点． 求证：． 图中有两个直角三角形和，只要证明这两个三角形全等，便可证得． 请根据所给教材内容，结合图①，写出“线段垂直平分线的性质定理”完整的证明过程． 定理应用： （1）如图②，在中，的垂直平分线分别交于点D、E，垂足分别为M，N，，直接写出的周长为__________． （2）如图③，在中，，，E、P分别是上任意一点，若，的面积为30，直接写出的最小值是__________． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04等腰三角形易错必刷题型专项训练 题型01.等腰三角形的定义 题型02.找出图中的等腰三角形 题型03.等边对等角 题型04.三线合一 题型05.大(小)边对大(小)角定理 题型06.由等角对等边证明等腰三角形 题型07.由等角对等边证明边相等 题型08.等角对等边求边长 题型09.等腰三角形的性质与判定 题型10.证一条线段等腰两条线段和差 题型11.等边三角形的性质 题型12.等边三角形的判定 题型13.等边三角形的判定与性质 题型14.线段垂直平分线的性质 题型15.线段垂直平分线的判定 题型16.作已知线段的垂直平分线 题型17.作垂线 题型18.作等腰三角形 题型19.由外心位置判断三角形的形状 题型20.最短路径问题 易错必刷题型01.等腰三角形的定义 易错点：混淆“两边相等的三角形”的定义；分类讨论（腰/底边）时漏解；忽略三边关系验证；混淆等腰与等边的包含关系。 1．如图，，，图中的等腰三角形有__________个． 【答案】/三 【分析】本题考查的是等腰三角形的定义，根据等腰三角形的定义可得答案． 【详解】解：∵， ∴是等腰三角形， ∵， ∴，是等腰三角形， 综上：图中的等腰三角形有个． 故答案为： 2．以下列各组数据为边长，可以构成等腰三角形的是（　　） A．1，2，3 B．1，2，1 C．2，2，3 D．2，5，2 【答案】C 【分析】本题考查三角形三边关系．结合等腰三角形的定义与三角形三边关系，逐一判断各选项是否能构成等腰三角形． 【详解】解：A、，不满足三边关系， ∴无法构成三角形，该选项不符合题意； B、，不满足三边关系， ∴无法构成三角形，该选项不符合题意； C、有两边长为2，符合等腰三角形定义，且，满足三边关系， ∴可构成等腰三角形，该选项符合题意； D、，不满足三边关系， ∴无法构成三角形，该选项不符合题意； 故选：C． 3．如果实数满足，且恰好是等腰的两边长，则的周长是___________． 【答案】或． 【分析】根据非负性可得，，求解得，，再分成是腰长和3是底边长，分别讨论，进而可得出周长． 【详解】解：∵实数满足，，， ∴，， 解得：，， 若是腰长， ∵， ∴以、、为边可以构成三角形， ∴的周长是； 若3是底边长， ∵， ∴以、、为边能构成三角形， ∴的周长是． 故答案为：或． 易错必刷题型02.找出图中的等腰三角形 易错点：复杂图形中漏找隐藏等腰三角形；误判边/角相等关系；忽略公共边、平行线、角平分线带来的等角条件。 4．如图，下列4个三角形中，均有AB=AC，则经过三角形的一个顶点的一条直线能够将这个三角形分成两个小等腰三角形的是（  ） A．①②④ B．②③④ C．①②③ D．①③④ 【答案】D 【分析】逐个画出图形，即可得到答案． 【详解】解：图①中，∠A=36°，AB=AC，则∠ABC=∠ACB=72°， 以B为顶点，在△ABC内作∠ABC的平分线，则∠ABD=∠DBC=36°， ∴∠A=∠ABD=36°， ∴△ABD是等腰三角形， 而∠DBC=∠ABC-∠ABD=36°，∠ACB=72°， ∴∠ACB=∠BDC=72°， ∴△BDC是等腰三角形， 故直线BD将△ABC分成了两个小等腰三角形，故①符合题意； 图③中，∠BAC=90°，AB=AC， ∴△ABC是等腰直角三角形，∠B=∠C=45°， 过A作AE⊥BC于E，如图： 则△ABE和△ACE是等腰直角三角形， 故直线AE将△ABC分成了两个小等腰三角形，故③符合题意； 图④中，∠BAC=108°，AB=AC，则∠B=∠C=36°， 以A为顶点，在△ABC内作∠BAF=72°，如图： 则△ABF和△ACF都是等腰三角形，故④符合题意； 图②是等边三角形，没有直线能将它分成两个小的等腰三角形， 故②不符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定，涉及三角形内角和定理的应用，解题的关键是分别画出图形，计算图中角的大小，用等边对等角判断等腰三角形． 5．如图，已知中，，，，在所在平面内画一条直线，将分割成两个三角形，使其中有一个边长为3的等腰三角形，则这样的直线最多可画（    ） A．3条 B．4条 C．5条 D．6条 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的判定以及应用设计与作图等知识，利用图形分类讨论是解题关键． 根据等腰三角形的性质分别利用为底以及为腰的等腰三角形得出符合题意的图形即可． 【详解】解：如图所示，当，，，，都能得到符合题意的等腰三角形． 故选：B． 6．如图，，，则图中的等腰三角形有 ___________个． 【答案】6 【分析】本题考查等腰三角形的判定，三角形的外角定理，三角形的内角和定理． 利用三角形的外角定理和三角形的内角和定理求出图中其他角的度数，根据“等角对等边”即可判定等腰三角形． 【详解】∵， ∴，是等腰三角形． ∵， ∴，是等腰三角形． ∵， ∴， ∴，是等腰三角形． ∵， ∴， ∴，是等腰三角形． ∵， ∴， ∴，是等腰三角形． ∵， ∴， ∴，是等腰三角形． 综上所述：图中等腰三角形有6个． 故答案为：6 易错必刷题型03.等边对等角 易错点：混淆“等边对等角（性质）”与“等角对等边（判定）”；遗漏“同一三角形”的前提；找错相等边对应的角。 7．一个等腰三角形，顶角是．它的底角是________． 【答案】/度 【分析】根据等腰三角形两底角相等以及三角形内角和定理列式计算即可． 【详解】解：由三角形的内角和为以及等腰三角形的两个底角相等，可得该三角形的底角为：． 8．如图，直线，点A在直线m上，点B、C在直线n上，，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由直线，可得，由，可得即可． 【详解】解：∵直线， ∴， 又∵， ∴． 9．已知，如图点在的外部，点在边上，若，求证：平分． 【答案】见解析 【分析】先证明，再证明，则可证明，得到，由等边对等角得到，则可证明，即平分． 【详解】证明：∵， ∴， ∴； ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴平分． 易错必刷题型04.三线合一 易错点：混淆三线的对应关系（仅顶角平分线、底边上的高、底边上的中线重合）；遗漏“等腰三角形”的前提；在非等腰三角形中误用；用三线合一反向证明等腰（逻辑错误）。 10．如图，在△中，，是的中点，在的延长线上取点，连接，若，，则为________． 【答案】/20度 【分析】本题考查等腰三角形的三线合一性质，关键是先利用等腰三角形底边上的中线平分顶角的性质求出的度数，再通过角的和差关系计算的度数． 【详解】解：∵在△中，，是的中点， ∴平分， ∵， ∴， 又∵， ∴； 故答案为：． 11．如图，在中，，是边上的高，点E、F在上相异两点，若的面积为，则图中阴影部分的面积为（   ）． A．12 B．10 C．8 D．6 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质与轴对称性质．先证明，得到是等腰三角形的对称轴，即可得到图中阴影部分的面积为． 【详解】解：∵，是边上的高， ∴， ∴是等腰三角形的对称轴， ∴图中阴影部分的面积为． 故选：D． 12．（1）如图1，是边上的一点．若，，求的值； （2）如图2，在四边形中，对角线、相交于点，分别记、、、为、、、，求证：； （3）如图3，在边长为6的正方形中，点是的中点，连接、，将线段绕点顺时针旋转一定的角度得到，分别交、于点、点，若，求的值． 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3） 【分析】本题考查三角形面积公式、比例关系应用，正方形的性质，等腰三角形的性质，解题关键是灵活运用三角形面积与底高的关系，结合图形性质建立等式求解． （1）过作，利用三角形面积公式分别表示出与，因高相同，通过底和的长度比，得出面积比． （2）过作，过作，依据三角形面积公式，分别推导与和的关系，再通过比例等式转化，证明． （3）连接，由得面积比，设未知数表示相关三角形面积，结合是中点及正方形面积，列方程组求解面积，根据面积相等推出是中点（正方形对称中心），进而得出． 【详解】解：（1）过点作，垂足为， ，； ； （2）如图2，过点作垂直于，过点作垂直于， ，， ， ，， ， ， ， 即， （3）连接、 ， ，， 设，，则，， 点是的中点， ，， ∵，， 解得， ，， ， ， 点是的中点，又， ∴是的角平分线， ∵ ． 易错必刷题型05.大(小)边对大(小)角定理 易错点：遗漏“同一三角形”的前提；记反边与角的对应关系；证明不等关系时逻辑不严谨。 13．等腰三角形周长为20，一边长为4，则另两边长为______． 【答案】8，8 【分析】从等腰三角形的腰为长为4与等腰三角形的底边为4两种情况去分析求解即可求得答案． 【详解】解：若等腰三角形的腰为长为4，设底边长为x， 则有x+4×2=20， 解得：x=12， 此时，三角形的三边长为4，4，12， ∵4+4＜12， ∴不可以组成三角形； 若等腰三角形的底边为4，设腰长为x， 则有2x+4=20， 解得：x=8， ∵4+8＞8， ∴可以组成三角形； ∴三角形的另两边的长分别为8，8． 故答案为：8，8． 【点睛】本题考查等腰三角形的定义和性质，利用分类讨论思想解题是关键． 14．如图，已知：与相交于点，求证：．把以下证明过程补充完整． 证明：在中， ， ______________________（___________） （___________）， _____________________， ， ______________________， （___________） 【答案】；在三角形中，大边对大角；对顶角相等；；；在三角形中，大角对大边 【分析】本题考查三角形中大边对大角，大角对大边，不等式的性质，根据三角形中大边对大角，大角对大边，不等式的性质解答即可． 【详解】证明：在中， （在三角形中，大边对大角） （对顶角相等） （在三角形中，大角对大边） 15．如图1，中，，，D、E分别在、上（D、E不与重合）、、交于点． (1)若，则与一定相等吗？若不一定，在图2中举出反例，并简单说明（不写作法，保留痕迹）． (2)如图3，若，则与一定相等吗？试用反证法给出证明． (3)若中有两角相等，中有两角相等，中有两角相等，直接写出度数、度数和度数之和． 【答案】(1)不一定，反例图见解析 (2)一定相等，见解析 (3)或或或 【分析】（1）当点在上某个位置时，以为圆心，为半径画弧与产生两个交点，这两个交点即为点，此时，但； （2）假设，这里不妨设，在上截取，连接，证明，然后根据全等三角形的性质，三角形的外角性质进行证明即可； （3）分9种情况讨论，根据三角形内角和以及三角形的外角性质列二元一次方程组求解即可． 【详解】（1）解：若，则与不一定相等，如图： 当点在上某个位置时，以为圆心，为半径画弧与产生两个交点，这两个交点即为点，此时，但， 故若，则与不一定相等； （2）解：若，则与一定相等， 证明：假设，这里不妨设， ∴， ∵， ∴， ∴， 在上截取，连接， ∵， ∴ ∴， ∴， 与（三角形的一个外角大于任何一个与之不相邻的内角）矛盾， 故假设不成立， ∴； 若假设时，同理与三角形的外角性质矛盾， ∴； （3）解：①当时， ∵ ∴ 设， 则在中，由三角形内角和定理可得 ∴， 在中，由三角形内角和定理可得， ∴，解得， ∴； ②当时， ∵ ∴ 设， ∴ 在和中，由三角形内角和定理可得 解得， 此时，不符合题意； ③当时，此时重合，不符合题意； ④当时， ∵， ∴， 设 则在中，由三角形内角和定理得，则 在中，由三角形内角和定理可得 ∴， ∵， ∴， ∴ 解得 ∴； ⑤当时， ∵， ∴，设， 则在中，由三角形内角和定理可得， 在中，由三角形内角和定理可得 ∵， ∴， 在中，由三角形内角和定理可得， ∴ 解得 ∴； ⑥当时，此时重合，不符合题意； ⑦当时， ∵， ∴， 设， ∴， 在中，由三角形内角和定理可得 在中，由三角形内角和定理可得， ∴ 解得 ∴； ⑧当时， 设，，则中，由三角形内角和定理可得， ∴ ∵， ∴， 在中，由三角形内角和定理可得 ∴ 解得 ∴ ⑨时，此时三点重合，不符合题意， 综上：度数、度数和度数之和为或或或． 易错必刷题型06.由等角对等边证明等腰三角形 易错点：混淆性质与判定；遗漏“同一三角形”的前提；在复杂图形中找错相等的角。 16．如图，在中，平分，，则是______三角形．    【答案】等腰 【分析】本题考查了角平分线的定义以及平行线的性质，根据等角对等边证明等腰三角形，先得出，结合平行线的性质得，进行角的等量代换，得出，即可作答． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， 则 ∴是等腰三角形． 故答案为：等腰． 17．如图，的面积为，平分，，则的面积为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，中线的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．延长交于，如图，先证明得到，则利用等腰三角形的性质得到，再根据三角形面积公式得到，，所以． 【详解】解：延长交于，如图， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ． 故选：C． 18．如图，是的角平分线，交于点，求证：是等腰三角形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，等角对等边证明等腰三角形，根据角平分线的定义以及平行线的性质得出，根据等角对等边即可得证． 【详解】证明：∵是的角平分线， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 易错必刷题型07.由等角对等边证明边相等 易错点：不会通过等角推导边相等；遗漏“同一三角形”的前提；不会结合平行线、外角等条件推等角。 19．如图，分别作两个内角的角平分线，过点作直线，分别交、于点、．若，，则的周长为___________． 【答案】21 【分析】本题考查了角平分线定义，等腰三角形的判定，平行线的性质．先根据角平分线的定义及平行线的性质证明，，再根据的周长，从而得出答案． 【详解】解：平分， ， ， ， ， ， 同理， 的周长， 故答案为：． 20．如图，在中，的平分线交于点D，过点D作交于点E，交于点F．若，则的周长是（　　） A．17 B．18 C．20 D．22 【答案】C 【分析】本题主要考查平行线的性质、角平线的定义、等角对等边等知识点；灵活运用等角对等边以及平行线的性质成为解题的关键． 运用平行线性质及角平线定义可得，由等角对等边可得，同理：，然后根据线段的和差及等量代换即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 同理：， ∴的周长为． 故选：C． 21．如图中，的平分线交于点P，过点P作，分别交于D，E．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质、平行线的性质、角平分线，解题的关键是掌握等腰三角形中的相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段．根据角平分线的定义及平行线的性质即可证明，根据线段的和差即可得到结论． 【详解】证明：平分，平分， ， ， ， ， ∴， ． 易错必刷题型08.等角对等边求边长 易错点：分类讨论（顶角/底角）缺失；漏验三边关系导致多解；角度计算错误引发边长错误。 22．如图，在中，和的平分线交于点，过点作交于，交于N，若，则线段的长为_____ ． 【答案】7 【分析】本题考查平行线的性质，等角对等边的性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键，根据角平分线的定义和平行线的性质可得，从而可得，进而得到． 【详解】解：∵和的平分线交于点， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， 故答案为：7． 23．如图，△ABC的内角∠ABC及外角∠ACG的平分线交于点D，且过点D．若BE=9，CF=5，则EF=（　　　） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】C 【分析】根据角平分线的性质和平行线的性质，可得∠EBD=∠EDB，∠FDC=∠FCD，然后即可得到ED和DF的值，然后根据线段的和差即可求得EF的值. 【详解】解：∵△ABC的内角∠ABC， ∴∠EBD=∠DBC ∵EFBC， ∴∠EDB=∠DBC， ∴∠EBD=∠EDB， ∴DE=BE=9 同理：DF=CF=5， ∴EF=DE-DF=9-5=4. 故选：C. 【点睛】本题主要考查了平行线的性质、角平分线的性质等知识点，明确题意、掌握数形结合的思想是解答本题的关键. 24．如图，在Rt中，，，点是边上一点且不与点重合，点是边上一点且不与点重合，的延长线交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，等腰三角形的性质，外角的性质． （1）先由直角三角形的性质得，再由等边对等角得，进而得，即可得出结论； （2）先由等腰直角三角形的性质得，再利用外角的性质得，再结合（1）的结论得，最后根据外角的性质得，即可求出的度数． 【详解】（1）证明：在中，， ， ， ， ， ； （2）解：在中，， ， ， 由（1）得，， ， ． 易错必刷题型09.等腰三角形的性质与判定 易错点：性质与判定混用；综合题中逻辑链条断裂；漏写“等腰三角形”“同一三角形”等关键前提；三线合一误用。 25．已知等腰三角形的两边长为、，则它的周长为________________． 【答案】或 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质以及三角形三边关系，熟练掌握三角形三边关系（任意两边之和大于第三边）是解题的关键． 分两种情况讨论等腰三角形的腰长，再根据三角形三边关系判断是否成立，进而计算周长． 【详解】解：情况一：当腰长为时， 因为， 所以三边能构成三角形， 周长为， 情况二： 当腰长为时， 因为， 所以三边能构成三角形， 周长为， 故答案为：或． 26．如图，在直角三角形中，，，点是的中点，以为斜边作等腰直角三角形，连接，．有下列结论：①；②；③．其中正确的结论有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】由等腰直角三角形得到，，推出，然后得到，即可证明，得到，，进而求解即可． 【详解】解：∵是等腰直角三角形 ∴， ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∵点是的中点 ∴ ∵ ∴ ∴，故①正确； ∴，故②正确； ∴ ∴ ∴ ∴，故③正确． 综上所述，正确的结论有3个． 27．如图，已知，点D为边上一点，点E为外一点，连接交于点F，连接，，有，，且． (1)求证：； (2)若，求的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先得出，再证出，由此即可得证； （2）先求出的度数，再得出，则，进而可得，然后利用三角形的外角性质求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由（1）已证：， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 又∵， ∴． 易错必刷题型10.证一条线段等腰两条线段和差 易错点：不会用截长补短法作辅助线；辅助线语言不规范；构造全等时找错对应边/角；证明跳步漏写依据。 28．如图1，在中，，D是的中点，过点B作，垂足为E，连接交于点F． (1)猜想与的数量关系，并说明理由； (2)P是射线上的点，过点C作//交的延长线于点G． ①如图2，若点P在的延长线上，请说明的理由； ②若，则________． 【答案】(1)；理由见解析 (2)①理由见解析；②1.5或4.5 【分析】（1）根据等腰三角形三线合一，可知，则利用，即可证明； （2）①根据两直线平行内错角相等，可得，所以，得到，所以； ②分两种情况进行讨论：当点P在的延长线上时， ，当点P在线段上时，，代入数据计算即可． 【详解】（1）． ∵， D是的中点， ∴． ∴． ∵， ∴． 在和中，， 所以． （2）①∵， ∴． 在和中，∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ②当点P在的延长线上时， 由①可知： ∴， 当点P在线段上时， 同理可得BP=CG， ∴， ∴． 故答案为：1.5或4.5． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和全等三角形的判定与性质，利用全等三角形的性质证明线段相等是解题的关键． 29．阅读：探究线段的和、差、倍、分关系是几何中常见的问题，解决此类问题通常会用截长法或补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明． (1)请完成下题的证明过程： 如图1，在中，，平分．求证：． 证明：在上截取，连接． (2)如图2，，分别平分，过点E，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的定义，平行线的性质，等角对等边，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）在上截取，连接，证明，得到，再证明，推出，据此可证明结论； （2）在上截取，连接，可证明，得到，证明，，则可证明，得到，据此可证明结论． 【详解】（1）证明：在上截取，连接，如图所示， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）证明：在上截取，连接，如图所示， ∵平分， ∴ 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 易错必刷题型11.等边三角形的性质 易错点：混淆等边与等腰三角形的性质；忘记三个角均为60°；忽略等边三角形三条线都满足三线合一。 30．如图， 在等边三角形中，，则的度数是_______． 【答案】/75度 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质．根据等边三角形的性质可得，再由等腰三角形的性质解答即可． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为： 31．如图，点、分别是等边边、上的点，已知，连接、交于点．则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用等边三角形的性质得，，再证明得到，则，然后根据三角形外角定理计算的度数． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴，， 在和中 ∴， ∴， ∴． 32．如图，在中，，且，是边上动点（不与，重合），点在边上，连接平分． (1)当为等边三角形时，求的度数； (2)探究与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题考查等边三角形的性质，等边对等角，三角形的外角等知识点，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）等边三角形的性质，得到，角的和差关系得到，角平分线的定义，推出，等边对等角，求出的度数，再利用三角形的外角的性质，进行求解即可； （2）设，三角形的外角得到，等边对等角，求出的度数，再根据角的和差关系，角平分线的定义求出的度数，即可． 【详解】（1）解：为等边三角形， ， 又平分， ， ， ， 又 ； （2）解：．理由如下： 设，则， ， ， ， 平分， ， ． 易错必刷题型12.等边三角形的判定 易错点：条件不全（仅证两个角为60°就判定等边）；误记“有一个角为60°的三角形是等边三角形”；漏证边相等条件。 33．在中，，要使是等边三角形需添加一个条件，这个条件可以是______．（只需写出一种情况） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定，熟练掌握等边三角形的判定条件是解题关键．由等边三角形的定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形；判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形；判定定理2：有一个角是的等腰三角形是等边三角形．据此即可获得答案． 【详解】解：∵在中，， ∴是等腰三角形， 要使是等边三角形，只需添加、的夹角即可． 故答案为：（答案不唯一）． 34．有下列三角形：①有两个角等于（则第三个角也为．）；②有一个角等于的等腰三角形；③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中是等边三角形的有（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题考查了等边三角形的判定方法，解题的关键掌握：三条边都相等的三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是的等腰三角形是等边三角形． 【详解】解：①两个角为，则第三个角也是，则其是等边三角形，此选项正确，故符合题意； ②有一个角等于的等腰三角形，此选项正确，故符合题意； ③三个外角相等则三个内角相等，则其是等边三角形，此选项正确，故符合题意； ④由题意知该线为腰的垂直平分线，由线段垂直平分线的性质可知，该等腰三角形的腰与底边长相等，故该等腰三角形为等边三角形，此选项正确，故符合题意， 故选：D． 35．如图，在锐角中，点是边上一点，于点，与交于点． (1)求证：为等腰三角形； (2)若，请判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)等边三角形，理由见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定，熟练掌握等腰三角形三线合一的性质是关键． （1）利用等角的余角相等和对顶角相等可得，继而证明为等腰三角形即可； （2）由得是直角三角形，结合，利用直角三角形两锐角互余，求出，依据是等腰三角形，由等腰三角形中若有一个内角为，则该三角形为等边三角形，即可解答． 【详解】（1）证明：∵于点D， ∴和都是直角三角形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形； （2）∵于点D， ∴， 在中，， ∴， 由（1）得为等腰三角形； ∴为等边三角形 易错必刷题型13.等边三角形的判定与性质 易错点：性质与判定混用；综合题中不会灵活结合性质推角/边、用判定证等边；逻辑链条断裂；漏写关键条件。 36．如图，，直线分别交、于点，平分交于点．如果，，即么的周长等于______． 【答案】18 【分析】由平行与平分的条件加上，可得是等边三角形，则可求得其周长． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴的周长为； 故答案为：18． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定，平行线的性质，角平分线的性质，得到等边三角形是解题的关键． 37．如图，是的中线，，，把沿直线折叠后，点C落到的位置上，那么为（    ） A．1 B． C．2 D．2 【答案】C 【分析】根据中点的性质得．再根据折叠得∠，判定为等边三角形即可求． 【详解】解：∵，是的中线， ∴． 由折叠可得：，， ∴， ∴为等边三角形， ∴． 故选：C． 38．（1）如图1，点P，Q分别是边长为的等边三角形的边上的动点，点P，Q从顶点A，B同时出发，分别沿运动，且它们的速度都为． ①点P，Q运动多少时间是等边三角形？说明理由； ②连接交于点M，则P，Q运动的过程中，的度数变化吗？若变化，请说明理由，若不变，请求出它的度数； （2）如图2，若点P，Q分别运动到点B，C后，P，Q两点继续在射线上运动，直线的交点为M，的度数变化吗？若变化，请说明理由，若不变，请求出它的度数． 【答案】（1）①当点P，Q运动时是等边三角形；②是定值，不会变化，理由见详解； （2），度数不会变化，理由见详解． 【分析】本题主要考查等边三角形的判定和性质，一元一次方程，全等三角形的判定和性质． （1）①根据等边三角形的性质得到，结合题意，设运动时间为，则，由等边三角形的判定得到，由此列式即可求解； ②根据等边三角形的性质可证，得到，结合三角形外角的性质即可求解； （2）根据题意证明，得，再证明，得，最后等量代换即可求解． 【详解】解：（1）①∵是等边三角形， ∴， 设运动时间为， ∴，则， 当时，是等边三角形， ∴， 解得，， ∴当点P，Q运动时是等边三角形； ②是定值，不会变化，理由如下， ∵点P，Q从顶点A，B同时出发，速度都为， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴P，Q运动的过程中，的度数不会变化； （2），度数不会变化，理由如下， ∵点P，Q从顶点A，B同时出发，速度都为， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 易错必刷题型14.线段垂直平分线的性质 易错点：遗漏“垂直平分线上的点”的前提；在非垂直平分线上误用“到线段两端距离相等”；混淆性质与判定。 39．如图，在中，线段，的垂直平分线，分别交于点G，H，，相交于点F，若线段的长为8，则的周长为______． 【答案】8 【分析】由线段的垂直平分线的性质可得，，进而得到的周长，即可求解． 【详解】解：∵分别是的垂直平分线， ∴，， ∴的周长． 40．如图，在中，，，，边的垂直平分线为l，点D是边的中点，点P是l上的动点，则最小值是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】连接，，根据线段垂直平分线的性质可得，则，当、、三点共线且时，的值最小，根据即可求出的最小值． 【详解】如图，连接，， 垂直平分边，点是上的一点， ， ， 中，，点是边的中点， ，此时的值最小， ，， ． 的最小值为的长为，即最小值为． 【点睛】充分利用等腰三角形三线合一的性质和垂线段最短是解题的关键． 41．如图，在中，，的垂直平分线分别交，于点，F，的垂直平分线分别交，于点M，N，直线，交于点． (1)求证：点P在线段的垂直平分线上． (2)若的周长为，的周长为，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，，，由线段垂直平分线的性质推出，，得到，即可证明； （2）根据线段垂直平分线的性质可得，，，，然后利用三角形的周长公式以及等量代换即可解答． 【详解】（1）证明：连接，，， 垂直平分，垂直平分， ，， ， 点在线段的垂直平分线上； （2）解：垂直平分，垂直平分， ，， 的周长为， ，即， ，的周长为， ， ， 垂直平分，垂直平分， ，， ． 易错必刷题型15.线段垂直平分线的判定 易错点：不会用“到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上”证明；漏证“点在线上”；混淆判定与性质。 42．如图中、，点D是的中点，过点D作交的延长线于点E，连接，若，，则的长为______． 【答案】 【分析】本题考查了垂直平分线的判定与性质，根据点D是的中点，，推出是的垂直平分线，得到，再根据点D是的中点，得到，进而得到，即可求解． 【详解】解：∵在中，点D是的中点，， ∴是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∵点D是的中点，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 43．如图，在中，，点在上，点在的垂直平分线上，连接，且与交于点．若，则的长是（    ） A．4 B．3.5 C．3 D．2 【答案】D 【分析】本题考查的是平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，线段的垂直平分线的性质与判定，如图：连接交于点O，证明垂直平分， ，，可得，再证明，进一步求解即可. 【详解】解：如图：连接交于点O， ∵点在的垂直平分线上， ∴， ∵， ∴垂直平分， ， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 44．如图，在中，D是上的一点，连接，作交于点E，交于点F，且平分，连接． (1)证明：垂直平分． (2)若的周长为18，面积为24，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)4 【分析】本题考查了角平分线的定义、全等三角形的判定和性质，垂直平分线的逆定理．解题的关键在于对知识的灵活运用． （1）证明，可得，，从而得到点A和点D在的垂直平分线上，即可． （2）首先求出，再证明，，然后根据面积法进行求解即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴点A和点D在的垂直平分线上， ∴垂直平分． （2）解：∵的周长为18，， ∴， 由（1）得， ∴， ∴， ∴， ∴． 易错必刷题型16.作已知线段的垂直平分线 易错点：弧的半径不足导致交点错误；遗漏作图痕迹；不理解作图依据（SSS全等）。 45．如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，点，过这两个点作直线，交于点，连接．若，，则的长为_____． 【答案】4 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质、尺规作图等知识点，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 首先求出，由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质可得． 【详解】解：∵，， ∴， 由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线， ∴． 故答案为：4． 46．已知中，，在上取一点，使，下列尺规作图的方法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查五类基本尺规作图-作垂直平分线，熟练掌握线段垂直平分线的作法是解决问题的关键． 根据题中要求，在上取一点，使得，根据，从而得到，即可得到本题的尺规作图是作线段的垂直平分线，结合选项即可得到答案． 【详解】解：在中，，在上取一点，使得， ， ，即作线段的垂直平分线， 故选：D． 47．尺规作图： (1)作边的垂直平分线交于点，连接； (2)作边的垂直平分线交于点，连接（要求：保留作图痕迹，不写作法） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质作出图形即可； （2）根据线段垂直平分线的性质作出图形即可． 【详解】（1）解：如图，点，即为所求； （2）解：如图，点，即为所求． 易错必刷题型17.作垂线 易错点：过直线上/外一点作垂线时弧的画法错误；混淆作垂线与作垂直平分线的方法；遗漏作图痕迹。 48．如图，在中，，以C为圆心，长为半径画弧，交于D、E，分别以D、E为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点F，连结，则______． 【答案】/度 【分析】本题考查了作垂线，三角形内角和定理等知识．由作图可知，，即，由，可得． 【详解】解：如图，设交于点H， 由作图可知，， ∴， ∴， ∵， 故答案为：． 49．如图，已知点P和直线l，过点P作l的垂线，步骤如下： 第一步：以点P为圆心，a（）为半径作弧，交直线l于点A，B； 第二步：分别以点A，B为圆心，b为半径作弧，两弧交于点D； 第三步：作直线交于点O． 关于a，b，下列说法正确的是（    ） A．a的长有限制，b的长无限制 B．a的长无限制，b的长有限制 C．a，b的长均无限制 D．a，b的长均有限制 【答案】D 【分析】根据“以点为圆心作弧要与直线交于两点”得到的取值限制，再根据“分别以，为圆心作弧要交于直线两侧的点”得到的取值限制，进而判断，的长度是否均有限制． 【详解】解：1、关于的限制：第一步以为圆心、为半径作弧，要与直线交于两点，，则必须大于点到直线的距离（若等于该距离，弧与直线只有一个交点；若小于该距离，无交点），题目中，且点在弧上、位于直线下方，说明已经满足“大于到的距离”，因此的长度有下限限制，不能任意小； 2、关于的限制第二步分别以，为圆心、为半径作弧，两弧要交于点（与分别在直线两侧），则必须大于的长度（若，两弧无交点或交于中点，无法形成垂线），因此的长度有下限限制，不能任意小，即，的长均有限制． 50．如图，内有一点P． (1)作图： ①过点P作交于点D； ②过点O作交于点C； (2)在（1）的条件下，连接，若平分，，求的度数． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2) 【分析】（1）①过点P作直线，交于点Q，以点P为顶点以为一边作角等于，即可； ②延长，并截取，作的中垂线即可； （2）根据角平分线的定义得出，再根据平行线的性质得出，进而求解即可． 【详解】（1）解：①如图，即为所求； ②如图，即为所求； （2）解：如图， ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 易错必刷题型18.作等腰三角形 易错点：不会用垂直平分线构造等腰三角形；弧的半径错误；漏写作图依据（垂直平分线性质）。 51．如图，已知，点B为AN上一点．用尺规按如下过程作图：以点A为圆心，以任意长为半径画弧，交AN于点D，交AM于点E；以点B为圆心，以AD长为半径作弧，交AB于点F；以点F为圆心，以DE长为半径作弧，交前面的弧于点G，连接BG并延长交AM于点C，则______． 【答案】110°/110度 【分析】根据作法得：∠ABC=∠MAN=55°，再根据三角形外角的性质，即可求解． 【详解】解：根据作法得：∠ABC=∠MAN=55°， ∵∠BCM=∠MAN+∠ABC， ∴∠BCM=110°． 故答案为：110° 【点睛】本题主要考查了尺规作图——作一个角等于已知角，三角形外角的性质，熟练掌握作一个角等于已知角的作法，三角形外角的性质是解题的关键． 52．如图，在中，以点A为圆心，的长为半径作圆弧交于点D，再分别以点B和点D为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧分别交于点M和点N，连接交于点E．若，，则的周长为（   ） A．16 B．18 C．20 D．22 【答案】A 【分析】本题考查了中垂线的性质，尺规作图，熟练掌握该知识点是解题的关键． 由题意得，垂直平分，，可推出，则的周长可转化为，问题可解． 【详解】解：由题意得，垂直平分，， ，， 的周长为：， 故选：A． 53．在中，，直线 l 经过点 A，且与平行．仅用圆规和无刻度的直尺完成下 列画图．（保留画图痕迹，不写作法） (1)如图①，在直线 l 上画出一点 P，使得； (2)如图②，在直线 l 上画出所有的点 Q，使得． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了作图复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了等腰三角形的性质． （1）以点为圆心，为半径画弧交直线于，则，而，，所以，而可得，故； （2）以点为圆心，为半径画弧交直线于，再以点为圆心，为半径画弧交直线于，则，所以，易得，从而可得． 【详解】（1）如图①，点为所作； （2）如图②，点、即为所求， 易错必刷题型19.由外心位置判断三角形的形状 易错点：混淆外心（垂直平分线交点）位置与三角形形状的对应关系（锐角内、直角斜边中点、钝角外）；记错对应规律。 54．如图，点是的外心，且，则________． 【答案】 【分析】根据点是的外心，可得，从而，再利用三角形的内角和即可求解． 【详解】解：∵点为的外心， ∴点、、均在以点为圆心，长为半径的圆上， ∴， ∴， 又∵， ∴． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了三角形的外心，等腰三角形的性质，熟练掌握三角形的外心位置是解题的关键． 55．如果一个三角形的外心在三角形的外部，那么这个三角形一定是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查三角形的外心，根据外心的形成和性质直接判断即可． 【详解】解：三角形的外心是三条边的垂直平分线的交点，该点是到三角形三个顶点的距离相等， 如果一个三角形的外心在三角形的外部，说明有一个圆周角大于． 故选：C 56．如图，已知是的外心，，分别是，的中点，连接，，分别交于点，．若，，，则的面积为（     ） A．72 B．96 C．120 D．144 【答案】B 【分析】连接AF，AD，AE，BE，CE，根据三角形外心的定义，可得PE垂直平分AB，QE垂直平分AC，进而求得AF，DF，AD的长度，可知△ADF是直角三角形，即可求出△ABC的面积． 【详解】如图，连接AF，AD，AE，BE，CE， ∵点E是△ABC的外心， ∴AE=BE=CE， ∴△ABE，△ACE是等腰三角形， ∵点P、Q分别是AB、AC的中点， ∴PE⊥AB，QE⊥AC， ∴PE垂直平分AB，QE垂直平分AC， ∴AF=BF=10， AD=CD=8， 在△ADF中，∵， ∴△ADF是直角三角形，∠ADF=90°， ∴S△ABC= ， 故选：B． 【点睛】本题考查三角形外心的定义，勾股定理逆定理等知识点，解题的关键是得到△ADF是直角三角形． 易错必刷题型20.最短路径问题 易错点：不会用轴对称（垂直平分线性质）找对称点；找错对称点；混淆“两点之间线段最短”的应用场景；计算最短路径长度错误。 57．如图，在中，，，垂直平分线段，P是直线上的任意一点，则周长的最小值是_______． 【答案】10 【分析】本题考查了轴对称——最短路线问题，线段垂直平分线的性质，解决本题的关键是熟练掌握线段的垂直平分线的性质．如图，连接，求出的最小值可得结论． 【详解】解：如图，连接， ∵垂直平分线段， ， ， 的最小值为6， 的周长的最小值为， 故答案为：10． 58．如图，在中，的垂直平分线分别交边于点，若D为边的中点，M为线段上的一个动点，则周长的最小值为（   ） A．7 B．9 C．12 D．14 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，将军饮马问题，理解将军饮马问题，正确添加辅助线是解题关键．连接，，先证明，，根据三角形面积公式求出，根据线段垂直平分线的性质得到点C关于直线的对称点为点A，根据，即可求出的周长最小值为9． 【详解】解：连接，． ∵，点D是边的中点，， ∴，， ∴， 解得， ∵是线段的垂直平分线， ∴点C关于直线的对称点为点A， ∴， ∵，当点A、M、D共线时取等号， ∴的长为的最小值， ∴的周长最小值为． 故选：B． 59．教材呈现：以下是华师版八年级上册数学教材第94页的部分内容． 线段垂直平分线 我们已经知道线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是线段的对称轴，如图1，直线是线段的垂直平分线，P是上任一点，连结．将线段沿直线对折，我们发现与完全重合．由此即有： 线段垂直平分线的性质定理 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等． 已知：如图1，，垂足为点C、，点P是直线上的任意一点． 求证：． 图中有两个直角三角形和，只要证明这两个三角形全等，便可证得． 请根据所给教材内容，结合图①，写出“线段垂直平分线的性质定理”完整的证明过程． 定理应用： （1）如图②，在中，的垂直平分线分别交于点D、E，垂足分别为M，N，，直接写出的周长为__________． （2）如图③，在中，，，E、P分别是上任意一点，若，的面积为30，直接写出的最小值是__________． 【答案】教材呈现：证明见解析；定理应用：（1）30；（2）． 【分析】教材呈现：证明即可得证； （1）利用线段垂直平分线的性质得出，，然后根据三角形的周长和线段的和差关系即可求解； （2）在上取点F，使，过点B作于H，证明得出，证明得出，则，故当B、P、F三点共线，且时，最小，最小值为，然后根据三角形面积求出即可． 【详解】证明：在和中 ， ∴， ∴； 定理应用： （1）解：∵、的垂直平分线分别交于点、， ∴， ∴， ∵， ∴，即的周长为20． 故答案为：30； （2）解：在上取点F，使，过点B作于H， 在和中 ， ∴， ∴，， 在和中 ， ∴， ∴， ∴， 当B、P、F三点共线，且时，最小，最小值为， ∵，的面积为30， ∴， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $