第18章 等腰三角形（压轴题专项训练）数学新教材沪教版五四制七年级下册

**基本信息** 聚焦等腰三角形性质与动态几何结合，通过压轴题训练提升空间观念与推理能力 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念应用|选择1-2/填空7-8|周长计算、中线性质|从等腰三角形定义到三线合一性质推导| |动态变换|选择3-5/填空9-14|旋转、折叠、中垂线综合|结合旋转性质构建全等关系，体现几何直观| |综合探究|解答19-24|多结论证明、动态存在性|从性质应用到逻辑推理，培养推理意识与创新意识|

第18章 等腰三角形（压轴题专项训练） 一、单选题 1．一个等腰三角形底边的长为，一腰上的中线把其周长分成的两部分的差为，则周长为（ ） A． B． C．或 D． 2．如图，在中，是的中点，过点作于点，的垂直平分线分别交，于点，，且．若，，则的长为（   ） A．9 B．10 C．11 D．12 3．如图，在中，，以为边向外作等边三角形，连接，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点为，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 4．如图，在钝角中，，将绕点A顺时针旋转得到，点B、C的对应点分别是点D、E，当时，连接，则的度数为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 5．如图，在等边外作射线，使得和在直线的两侧，，直线为的中垂线，连接，．则的度数是（　　） A． B． C． D． 6．如图，在中，，，，点D在边上，将沿直线翻折，点B恰好落在边上的点E处，若点P是直线上的动点，连接，则的周长的最小值为（   ） A． B． C．1 D． 二、填空题 7．如图，在等边中，D为的中点，E为延长线上一点，且，则的大小为_________． 8．如图，在中，，，点为中点，且，的平分线与交于点，点在上，点在上，将沿折叠，点与点恰好重合，则的度数为______． 9．如图，，点为内部一点，作射线，点在射线上，点与点关于射线对称，且直线与射线交于点，当为等腰三角形时，的度数为___________． 10．如图，是等边三角形，边长为10，点D在延长线上，且，动点E从点A出发，沿着射线运动，连接，将线段绕点D逆时针旋转60°得到线段，连接．当时，则线段的长为_________． 11．如图，在中，，点D为中点，过点D作的垂线，交于点E，连接，作的平分线，与的延长线交于点F，则的度数为____________． 12．如图，在中，，，将边绕点旋转至处，连接，取的中点，连接并延长交的延长线于点，则__________．若，则的长为__________． 13．如图，等边的边长为2，是的中点，点在线段上，连接，在的下方作等边，连接，，则的度数是________，当的周长最小时，的度数是________． 14．如图，在中，，D点在边上，比大，当时，______． 15．如图，在四边形中，，，，点在上，连接，相交于点，．若，则长为______． 16．如图，在等边中，点，分别为边，上的点，在上取点，在上取点，使，，连结，并交于点．若，且四边形的周长比四边形的周长大7，则的长为_____________． 17．如图，是等腰直角三角形，，为的中点，点是上的一个动点，将绕点逆时针旋转至，则的最小值为_____________． 18．如图，D是等边内一点，连接，以为边作等边，使得点E在直线的右侧，若，，且是等腰三角形，则m与n的关系是_____． 三、解答题 19．已知，，均为等边三角形，且B、C、E三点在一条直线上，与相交于点O． (1)求证：； (2)求的度数； (3)连接，求证：． 20．如图，等腰中，，，点在边上，将线段绕点逆时针旋转得到线段．连接与相交于点． (1)如图1，当时， ①依题意补全图形， ②证明； (2)如图，当时，用等式表示和的数及关系，并证明． 21．分析下图，解决下列问题： (1)如图1，中，，点、在边上，且，，求的度数； (2)如图2，在中，，点、在直线上，且，，则______； (3)在中，，点、在直线上，且，，求的度数（直接写出答案，用含n的式子表示）． 22．在中，，，点在上，连接，在的上方作，且，连接．作点关于的对称点，连接，交于点． (1)补全图1，连接，并写出___________（用含的式子表示）； (2)如图2，当时， ①求证：； ②写出与的数量关系，并证明． 23．如图，和都是等腰三角形，，且，连接、． (1)如图1，当点在的内部时，求证：； (2)如图2，，且点落在边上．若为上的一点，且，求的周长； (3)如图3，在中，，是一个变化的角，以为边作等边，连接，试探究，随着的变化，的长度的取值范围？ 24．如图1，是以为直角的等腰直角三角形，射线是内部的一条射线，过点A作于点．过点C作于点F． (1)求证：； (2)如图2，现将图1中的射线逆时针旋转至的外部，过点A作于点E，过点B在射线的左侧作，且，连接交射线的反向延长线于点H．若，求的面积； (3)如图3，是以为直角的等腰直角三角形，点D为三角形内部一点，连接和，取的中点E，连接，作，连接与，若，求证：． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 第18章等腰三角形 (压轴题专项训练) 一、单选题 1.一个等腰三角形底边的长为5cm,一腰上的中线把其周长分成的两部分的差为3cm,则周长为() A.9cm B.21cm C.9cm或2lcm D.12cm 【答案】B 【分析】 【详解】解：：BD为AC边上的中线， .:AD =CD 设腰长AB=AC=xcm,底边BC=5cm, 则一部分周长为AB+AD,另一部分为BC+CD. 两部分的差为(AB+AD)-（BC+CD=AB-BC=x-5. 依题意，x-5=3, x-5=3或x-5=-3,解得：x=8或x=2. 当x=2时，三边为2cm,2cm,5cm,由2+2<5，不满足三角形三边关系，舍去. 当x=8时，三边为8cm,8cm,5cm,可以构成三角形. .周长=8+8+5=21cm. 故选B. 2.如图，在ABC中，D是AC的中点，过点D作DE⊥BC于点E,AB的垂直平分线分别交AB,DE于 点F,G,且FG=4B.若DG=2,EG=3,则BC的长为() A.9 B.10 C.11 D.12 【答案】B 1/35 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【详解】解：如图，延长ED至H,使得DH=ED,连接HA,GB, B :D是AC的中点， :AD DC, 又：∠ADH=∠CDE, .△ADH≌ACDE(SAS), .AH=CE,∠DAH=∠C, AH∥CB, :DE⊥BC, .∠H=∠CED=90°， GP垂直平分AB,FG=71B .LGFB=∠GFA=90°，GF=BF=AF，GB=GA, ∴.△GFB,△GFA是等腰直角三角形， ∴.∠BGF=∠AGF=45°， ∠BGA=90°， :△GBA是等腰直角三角形， 又：∠DHA=∠CED=90°， .∠EGB=90°-∠HGA=∠HAG, .△EBG≌△HGA(AAS, .BE=GH,EG=HA=3, DH=ED=DG+EG=5, .BE=GH=DG+DH=7, .BC=BE+CE=10 2/35 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 故选：B 3.如图，在ABC中，∠BAC=I20°，以BC为边向外作等边三角形BCD,连接AD,将△ABD绕点D顺 时针旋转得到△ECD,点A的对应点为E,则下列结论一定正确的是() E D A.DE=AB+CE B.AB‖ED C.∠DCE=LBCD D.AD⊥BC 【答案】B 【详解】解：以BC为边向外作等边三角形BCD, :∠BDC=60°，BD=CD, :∠BAC=120°， ∠BAC+∠BDC=180°， ∠ABD+LACD=360°-（∠BAC+∠BDC)=180°， :由旋转可知：∠DCE=∠DBA≠∠BCD, C错误； LADE=∠BDC=60°，AB=CE, ∠DCE+∠ACD=180°即：A,C,E三点共线， AD=DE .△ADE是等边三角形， .DE=AE=AC+CE=AC+AB, A错误； :△ADE是等边三角形， ∠DAE=∠ADE=60°， .∠BAD=∠BAC-∠DAE=609 ∴.∠BAD=∠ADE .ABI ED, 3/35 画学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B正确； :AB,AC不一定相等， .AD不一定垂直于BC, “D错误 4.如图，在钝角ABC中，∠ABC=50°，将ABC绕点A顺时针旋转得到ADE,点B、C的对应点分别 是点D、E,当DE∥AB时，连接BD,则∠CBD的度数为() B D A.30°或65° B.30°或75° C.15°或65 D.15°或75° 【答案】D 【详解】解：由旋转的性质得∠ADE=∠ABC=50°，AD=AB, 如图， B E :DE∥AB,∠ADE=50°， .LBAD=LADE=50°， AD=AB, E∠ABD正)180°-50)=65 .∠CBD=LABD-LABC=15°； 如图， D A :DE∥AB,∠ADE=50°， 4/35 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∴.∠BAD=180°-∠ADE=130°， AD =AB, :∠4BD=180°-130)=25°， 2 ∠CBD=∠ABD+LABC=75°； 综上，∠CBD的度数为15°或75°， 故选：D, 5.如图，在等边ABC外作射线AD,使得AD和AC在直线AB的两侧，∠BAD=a(0°<a<180),直线 AD为BP的中垂线，连接PB,PC.则∠BPC的度数是() B A.30° B.30°+a C.45°-1 D.60°- 【答案】A 【分析】 【详解】解：如图，连接PA, :AD垂直平分PB, D H B .PA=BA ∠APB=∠ABP. :∠BAD=Q,∠AHB=90°， .∠ABP=90°-， .∠APB=90°-a. ,PA=BA,PD⊥PB, ∠PAB=2∠BAD=2a. :△ABC是等边三角形， 5/35 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 .AC=AB,LBAC=60°， :AP=AC, .∠APC=∠ACP. :∠PAC=∠PAB+∠BAC=2a+60°， ∠APC=l80-∠P4C)=60-a, ∠BPC=∠APB-∠APC=30°. 故选：A. 6.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，LBCA=45°，AC=√2，点D在BC边上，将ABC沿直线AD翻折， 点B恰好落在AC边上的点E处，若点P是直线AD上的动点，连接PE,PC,则aPEC的周长的最小值为() B D A.1+V2 B.2 C.1 D.√2-1 【答案】B 【详解】解：如图，连接BP,BE, :LABC=90°，LBCA=45°，AC=V2, .AB=BC=1, :沿AD折叠B和E重合， ∠ABD=∠AED=90°，AB=AE=1,∠BAD=∠EAD, :.AD垂直平分BE,即B和E关于直线AD对称，BD=DE,BP=PE, CE=AC-AE=2-1, 由∠DEA=90°， 6/35 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∴.∠DEC=90°， :∠BCA=45°， CE DE=2-1, :当P和D重合时，PE+CP=BP+PC的值最小，即此时△CPE的周长最小， 最小值是CE+PE+PC=CE+BD+DC=CE+BC, .△PEC的周长的最小值是CE+BC=√2-1+1=√2， 故选：B 【点晴】本题考查了折叠性质，等腰三角形性质，轴对称-最短路线问题，勾股定理，含30度角的直角三角 形性质的应用，关键是求出P点的位置. 二、 填空题 7.如图，在等边ABC中，D为AC的中点，E为BC延长线上一点，且BC=2CE,则∠E的大小为 B C 【答案】30°/30度 【分析】 【详解】解：点D为AC的中点， .AC=2CD, :ABC是等边三角形， .AC=BC,∠ACB=60°， .BC=AC=2CD BC=2CE, ∴CE=CD, ∠E=LCDE, 又∠ACB是aCDE的一个外角， .∠ACB=LE+∠CDE=2LE, 7/35 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 .2∠E=60°， .∠E=30°， 故答案为：30°. 8.如图，在ABC中，AB=AC,∠BAC=54°，点D为AB中点，且OD⊥AB,∠BAC的平分线与DO交 于点O,点E在BC上，点F在AC上，将△CEF沿EF折叠，点C与点O恰好重合，则LBEO的度数为 D B 【答案】72° 【详解】解：连接OB,OC, B :AB=AC,∠BAC=54°，点D为AB中点，且OD⊥AB,∠BAC的平分线与D0交于点O, 40垂直平分8C,0D垂直平分AB,∠4CB=∠ABC=180-549=63,∠04C=27, .OB=OC,OA=OB, .0A=0C, .∠AC0=∠0AC=27°， .∠0CB=63°-27°=36°， :折叠， ..OE=EC, .∠C0E=LEC0=36°， 8/35 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 .∠BE0=LEC0+LE0C=72° 9.如图，∠AOB=60°，点P为∠AOB内部一点，作射线OP,点M在射线OA上，点M与点M'关于射线 OP对称，且直线MM'与射线OB交于点N,当△ONM'为等腰三角形时，∠AOP的度数为 B M 【答案】10°或50° 【详解】解：设∠AOP=a, 点M与点M'关于射线OP对称， :∠AOP=∠MOP=a, OP⊥MM', 当点M'在∠AOB内部时， OM'=MN, ∠N0M'=∠0NM'=60°-∠A0P-∠M0P=60°-2a, :OP⊥MM', ∠0MM=90°-a, :∠OMM=∠NOM'+∠ONM', .2(60°-2au)=90°-a, 解得a=10°， ∠A0P=10°； 当点M'在∠AOB外部时， ON =MN :∠N0M'=∠0MN=60°-∠A0P-∠M0P=2a-60°， :∠A0B=60°， ∠B0P=60-a, :OP⊥MM', ∠0NM=90°-∠B0P=30°+a, 9/35 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :∠ONM=∠NOM'+∠OMN, .2(20-60)=30+a, 解得a=50°， ∠A0P=50°； 的 M N M A 故答案为：10°或50°. 10.如图，ABC是等边三角形，边长为10，点D在AB延长线上，且BD=2,动点E从点A出发，沿着 射线AC运动，连接DE,将线段DE绕点D逆时针旋转60得到线段DF,连接AF,当CE=)AC时，则 线段AF的长为 D 【答案】7或3 【详解】解：当点E在线段AC上时，过点D作DG∥BC交AC的延长线于点G,如图所示， :ABC是等边三角形， ∠ABC=LACB=60°. :DG∥BC, LADG=∠ABC=∠G=∠ACB=60°， :△ADG是等边三角形， :DG=AD 将线段DE绕点D逆时针旋转60°得到DF, :DE=DF,∠EDF=60°， ∴∠ADF=∠EDG, 10/35 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ∴.△ADF≌△GDE, .EG=AF. :AB=10,BD=2, ∴.AD=10+2=12, .AG=12. 1 :CE=AE=21C=5, .EG=AG-AE=12-5=7 AF=7; D G 当点E在线段AC的延长线上时，过点D作DH∥BC,交AC的延长下于点H,如图所示， 同理可得△EDH≌△FDA, .AF=EH. AB=10,BD=2, AH=AD=12,AE=AC+CE=10+5=15. EH=AE-AH=15-12=3, ∴.AF=3 综上所述，AF的长为7或3， B E 11.如图，在ABC中，∠A=70°，点D为BC中点，过点D作BC的垂线，交AB于点E,连接CE,作 ∠ACE的平分线，与DE的延长线交于点F,则∠F的度数为 11/35 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B D 【答案】35 【详解】解：∠A=70°， .∠B+∠ACB=110°， :点D为BC中点，过点D作BC的垂线，交AB于点E, .DE垂直平分BC, ·.BE=CE,∠FDC=90°， .ZB ZBCE :CF平分∠ACE, ·∠ACF=∠ECF= 5∠ACE, :∠ACB=∠ACE+∠BCE, .∠B+∠ACB=∠B+∠ACE+∠BCE=2∠BCE+∠ECF=110°， .∠BCE+LECF=55°，即LDCF=55°， ∠F=90°-55°=35°， 故答案为：35°. 12.如图，在ABC中，AC=BC,LACB=90°，将边CA绕点C旋转至CD处，连接BD,取BD的中点 E,连接CE并延长交DA的延长线于点M,则∠MDE= 若AD=4,AM=2,则MC的长为 B 【答案】 45°/45度 4W2 【分析】 12/35 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【详解】解：如图，连接并延长MB,作CF⊥CM,交MB的延长线于点F,则LMCF=90°， :ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC, .ZBCF =ZACM =90-ZBCM :将边CA绕点C旋转至CD处， .CD=CA, CB=CD,∠CDA=∠CAD, :CM经过BD的中点E, CM垂直平分BD, .BM=DM,∠DEM=90°， .∠CBD=∠CDB,∠MBD=∠MDB, .∠CBM=∠CBD+LMBD=∠CDB+∠MDB=∠CDA=∠CAD, ∴∠CBF=180°-∠CBM=180°-∠CAD=∠CAM, 在CBF和CAM中， ∠CBF=∠CAM CB=CA ∠BCF=∠ACM .△CBF≌△CAM(ASA, .FC=MC,BF=AM, .∠DME=∠BME=∠F=45°， .∠MDE=90°-∠DME=45°， ,AD=4,AM=2, .BM DM AD+AM=6,BF=AM=2, ∴.MF=BM+BF=8, 13/35 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 MF=FC2+MC2=2MC=8, MC=42, 故答案为：45°，4√2 13.如图，等边ABC的边长为2，D是BC的中点，点E在线段AD上，连接BE,在BE的下方作等边 △BEF,连接DF,CF,则∠DCF的度数是 ,当BDF的周长最小时，∠DBF的度数是 【答案】 309 30° 【分析】 【详解】解：：△ABC、△BEF都是等边三角形， AB=BC=AC,BE=EF=BF,LABC=LEBF=60°， ∠ABC-LEBD=∠EBF-∠EBD, .∠ABE=∠CBF, 在△BAE和BCF中， AB=BC ∠ABE=∠CBF, BE=BF △BAE≌△BCF(SAS), .∠BCF=∠BAD, :D是BC的中点， ∴.∠BCF=∠BAD=∠CAD= ∠BAC=30°， 2 如图，作点D关于CF的对称点G,连接CG,FG,DG,则FD=FG, 14/35 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 E :当B,F,G在同一直线上时，DF+BF的最小值等于线段BG长，且 G BG⊥CG时，BDF的周长最小， 由轴对称的性质，可得∠DCG=2LBCF=60°，CD=CG, ∴△DCG是等边三角形， :DG=DC=DB, .∠DBG=∠DGB= 2 ∠CDG=30°， 故答案为：30°；30° 14.如图，在ABC中，AB=AC,D点在AB边上，∠B比∠A大60°，当AD=BC时，∠ACD= A B C 【答案】10°/10度 【详解】解：在AC的右侧作等边三角形ACE,则∠CAE=∠ACE=∠AEC=60°，AC=AE=CE, E .AB=AC, .∠B=∠ACB,AB=AE, 设∠BAC=x, 15/35 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :∠B比∠BAC大60°， .∠B=∠ACB=x+60°， .∠BAC+∠B+∠ACB=180°， x+x+60°+x+60°=180°， 解得x=20 ∴.∠BAC=20°，∠B=∠ACB=80°， 则∠DAE=LBAC+∠CAE=80°， ∠DAE=LABC, AD BC,AB=AE, △ADE≌△BCA(SAS), ∠AED=LBAC=20°，DE=AC, .DE=CE,LCED=∠AEC-∠AED=40° 2CDE=∠DcE=180P-∠CED-70 ∴.∠ACD=∠DCE-∠ACE=10 故答案为：10° 15.如图，在四边形ABCD中，AB=AD=I2,BC=DC,∠A=60°，点E在AD上，连接BD,CE相交 于点F,CE∥AB,若CE=9,则CF长为· E C 【答案】6 【分析】 【详解】解：如图，连接AC交BD于点G, 16/35 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A E F B D G C AB=AD=12,∠A=60°， ∴△ABD是等边三角形， ∴.AB=AD=BD=12,∠BAD=∠ABD=∠ADB=60°， AB=AD=12,BC=DC, .AC垂直平分BD, .AG平分∠BAD, ∠BAC=∠DAC-ZBAD=30 :CE∥AB, ∴∠ACE=∠BAC=30°，∠CED=∠BAD=60° .∠ACE=∠DAC=30°，△DEF是等边三角形， .AE=CE=9,EF=DE, .EF DE AD-AE=3, ∴CF=CE-EF=6. 故答案为：6. 16.如图，在等边ABC中，点D,E分别为边AB,AC上的点，在AC上取点F,在BC上取点G,使 CF=AD,CG=AE,连结DE,FG并交于点O.若OE=3,且四边形ADOF的周长比四边形CGOE的周 长大7，则0F的长为 D B G 17/35 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【省1号 【分析】 【详解】解：：△ABC是等边三角形， ∠A=∠C=60°， :CF=AD,CG=AE, .△ADE≌△CFG(SAS), ∴.DE=FG,∠ADE=∠CFG, 根据图形可得，四边形ADOF的周长为AD+DO+OF+FA,四边形CGOE的周长为CG+GO+OE+EC, :AD+D0+0F+FA-CG+G0+0E+EC)=7, FA=AC-CF=AC-AD,CE=AC-AE=AC-CG, :AD+D0+0F+AC-AD-(CG+G0+0E+AC-CG) =AD+D0+0F+AC-AD-CG-G0-0E-AC+CG =D0+0F-G0-0E, :DE=FG, .D0+0E=F0+0G, :D0+0F-G0-0E =F0+0G-0E+0F-G0-0E =F0-0E+0F-0E =2F0-20E, 2F0-20E=2F0-2×3=7, 2F0=13 .FO=13 13 故答案为： 17.如图，ABC是等腰直角三角形，AB=BC=2,D为AC的中点，点P是BD上的一个动点，将AP绕 点A逆时针旋转45°至AP',则DP'的最小值为 18/35 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【答案】√2-1 【详解】解：如图，在AB上取一点E,使AE=AD,连接EP,过点E作ER⊥BD于点P ,:aABC是等腰直角三角形， B LBAC=45°，AC=√2AB=2N2, D为AC的中点， BD⊥AC,∠ABD= 卡∠ABC=45,AE=AD=7AC=V2 2 根据旋转可得AP=AP,∠P'AP=45°， ∠BAD-∠PAD=∠PAP-∠PAD,即∠EAP=∠DAP', AE=AD, △AEP≌△ADP'SAS), :EP DP', 根据垂线段最短可得EP⊥BD时，EP取最小值，即DP'取最小值， 此时点P在P处， EB=AB-AE=2-V2,LABD=45°， 4EP经2，即DP'的最小值为V2- 故答案为：√2-1. 18.如图，D是等边ABC内一点，连接AD,BD,CD,以CD为边作等边△CDE,使得点E在直线AC的 右侧，若∠ADB=m°，∠BDC=n°，且ADE是等腰三角形，则m与n的关系是 19/35 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【答案】m°+2n°=360°或m°=n°或2m°+n°=360 【详解】解：：等边ABC和等边aCDE, AC=BC,CD=CE,∠ACB=∠DCE=60°，∠CDE=LCED=60°， ∠BCD=LACE=60°-∠ACD, .△BDC≌△4EC (SAS), ∠AEC=∠BDC=n°， ∠AED=(n-60)°， :∠ADB=m°，∠BDC=n°， ∠ADE=360°-∠ADB-∠BDC-∠CDE=300°-m°-n°， 当ADE是等腰三角形时，分3种情况： ①AD=AE,则∠ADE=∠AED,即300°-m°-n°=n-60)°， .m°+2n°=360°； ②当AD=DE时，则∠DAE=∠DEA, .∠ADE=180°-2LAED, .300°-m°-n°=180°-2(n-60)°， ∴.m°=n°； ③当DE=AE时，则∠DAE=∠EDA, .∠AED=180°-2∠ADE, (n-60)°=180°-2(300°-m°-n）, 2m°+n°=360°； 综上：m°+2n°=360°或m°=n°或2m°+n°=360°； 故答案为：m°+2n°=360°或m°=n°或2m°+n°=360° 20/35 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 三、解答题 19.已知，ABC,△DCE均为等边三角形，且B、C、E三点在一条直线上，BD与AE相交于点O D B (I)求证：△BCD≌△ACE; (2)求∠AOB的度数； (3)连接MN,求证：MN∥BE. 【答案】（①）见解析 (2)60° (3)见解析 【分析】 【详解】(1)证明：：ABC,△DCE均为等边三角形， ·BC=AC,CD=CE,∠ACB=∠DCE=60°， ∠ACE=∠BCD=180°-60°=120°， 在△BCD和△ACE中， BC=AC ∠BCD=∠ACE CD=CE :△BCD≌△ACE(SAS); (2)解：：∠DCE是△BCD的外角， :LDBC+LBDC=LDCE=60°， :△BCD≌△ACE, .∠AEC=∠BDC, :∠DBC+∠AEC=∠DBC+∠BDC=60°， :∠A0B=∠DBC+∠AEC=60°： (3)证明：：ABC,△DCE均为等边三角形， 21/35 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 .AC=BC,∠ACB=∠DCE=60°，即∠BCM=∠ECN=60°， :B、C、E三点在一条直线上， .∠ACN+∠BCM+∠ECN=180°， ∠ACN=180°-∠BCM-∠ECN=180°-60°-60°=60°， .∠ACN=∠BCM, .△BCD≌△ACE, .∠CBD=∠CAE,即∠CAN=∠CBM, :在△CAN与△CBM中： ∠CAN=∠CBM AC=BC ∠ACN=∠BCM .△CAN≌△CBM(ASA), .CN =CM, :∠ACN=60°且CN=CM, :.△MCN为等边三角形， ∠CMN=60°， .∠CMN=∠ACB=60°， MN∥BE. 20.如图，等腰ABC中，AB=AC,∠BAC=a,点D在AC边上，将线段BD绕B点逆时针旋转 (180°-a得到线段BE,连接CE与AB相交于点F. E B F a D D A 图1 图2 (1)如图1，当a=90°时， ①依题意补全图形， ②证明∠ADB=∠EBA; 22/35 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)如图2，当0°<a<90°时，用等式表示CF和EF的数及关系，并证明. 【答案】(I)①见详解；②证明见详解 (2)CF=EF,理由见详解 【分析】 【详解】(1)解：①如图，依题意补全图形： B E D A ②当a=90°时，旋转角180°-a=90°， .∠BAD=∠DBE=90°， .∠ADB+∠ABD=90°，∠ABD+∠EBA=90°， .∠ADB=LEBA; (2)解：CF=EF,理由如下： 在AB上截取BG=AD,连接EG,分别过点E,C作EM⊥AB,CN⊥AB,垂足分别为M,N, B :∠BDA=180°-a-∠DBA,∠DBE=180°-a, 0入 D ∠EBG=∠DBE-∠DBA=I80°-a-∠DBA, .∠BDA=LEBG, 又：BD=BE,DA=BG, .在△BDA和△EBG中， BD=EB ∠BDA=∠EBG, DA=BG △BDA≌△EBG(SAS), .∴.EG=AB,∠A=∠EGB, 23/35 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 AB=AC, :EG=AC, 在△ANC与△GME中， [∠ANC=∠GME=90° ∠A=∠EGB EG=AC △ANC≌△GME(AAS, :CN=EM, 在△CNF和EMF中， ∠EFM=∠CFN ∠EMF=∠CNF=90°， EM=CN ACNF≌aEMF(AAS), :CF =EF 21.分析下图，解决下列问题： D 图1 图2 (I)如图1，Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D、E在边AB上，且AD=AC,BE=BC,求∠DCE的度数； (2)如图2，在ABC中，LACB=40°，点D、E在直线AB上，且AD=AC,BE=BC,则LDCE=; (3)在ABC中，∠ACB=n(0<n<I80),点D、E在直线AB上，且AD=AC,BE=BC,求∠DCE的度数 (直接写出答案，用含n的式子表示). 【答案】(1)45°； (2)110°； 6)90°-r°或90°+)m°或 2 2 【分析】 【详解】(1)解：：AD=AC,BC=BE, 24/35 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 .∠ACD=∠ADC,∠BCE=∠BEC, ∠ACD=(180°-∠A)÷2,∠BCE=(180°-∠B÷2. :∠ACB=90°， .∠A+∠B=90°， .∠ACD+∠BCE=180°-∠A+∠B÷2=180°-45°=135°， .∠DCE=∠ACD+LBCE-LACB=135°-90°=45°. (2)解：：AD=AC,BC=BE, :LACD=LADC,∠BCE=∠BEC, .∠ACD=180°-∠CAD÷2,∠BCE=180°-∠CBE÷2. :∠CAD+∠CBE=180°-∠CAB+180°-∠ABC=360°-(180°-∠ACB）=180°+40°=220°， :∠ACD+∠BCE=(180°-∠CAD÷2+(180°-∠CBE)÷2=180°-（∠CAD+∠CBE)÷2=180°-220°÷2=70°， :∠DCE=∠ACD+∠BCE+∠ACB=70°+40°=110°. (3)解：分情况进行讨论： ①点D、E在边AB上， AD=AC,BC=BE, :ZACD ZADC,ZBCE ZBEC .∠ACD=(180°-∠A)÷2,∠BCE=(180°-∠B÷2. :∠A+∠B=180°-n°， 六∠ACD+∠BCE=180°-（∠A+∠B)÷2=180°-90°+n=90°+ , 1 1 .∠DCE=∠ACD+∠BCE-∠ACB=90°+5n°-n°=90°-n°； 2 2 ②点D在BA延长线上，点E在AB延长线上， AD=AC,BC=BE, LACD=∠ADC,LBCE=∠BEC, :∠ACD=(180°-∠CAD）÷2,∠BCE=(180°-∠CBE)÷2. :∠CAD+∠CBE=180°-∠CAB+180°-∠ABC=360°-180°-∠ACB)=180°+n°， 25/35 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :∠ACD+∠BCE=180°-∠CAD÷2+180°-∠CBE)÷2 20, =180°-（∠CAD+∠CBE)÷2=180°-90°-n°=90°- 2 :∠DCE=∠ACD+∠BCE+∠ACB=90-LnP+n°=90°+nP: 1 2 2 ③如图1，点D在边AB上，点E在AB延长线上， AD=AC,BC=BE, D 图1 ∴∠ACD=∠ADC,∠BCE=∠BEC, .∠ACD=(180°-∠CAD÷2,∠BCE=180°-∠CBE÷2. :∠CBE=∠CAD+∠ACB=LCAD+n°， LCAD-∠CBE=-n°， :∠DCE=∠DCB+∠BCE=∠ACB-∠ACD+∠BCE P-808-∠CAD÷2+80°-∠CBE÷2=P+ZCAD-∠CBE)÷2三n°7A ④如图2，点D在BA延长线上，点E在边AB上， AD=AC,BC=BE, D A E B 图2 .∠ACD=∠ADC,∠BCE=∠BEC, :∠ACD=(180°-∠CAD)÷2,LBCE=180°-∠CBE÷2. :∠CAD=∠CBE+∠ACB=∠CBE+n°， ∠CBE-LCAD=-n°， :∠DCE=LDCA+LACE=∠ACD+∠ACB-LBCE =nP+180°-∠CAD)+2-(180°-∠CBE)÷2=m°+∠CBE-∠CAD÷2=m°-n=P, 2 2 ⑤如图3，点D、E在BA延长线上， 26/35 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 AD=AC,BC=BE, D E 图3 :∠ACD=∠ADC,∠BCE=∠BEC, .∠ACD=(180°-∠CAD÷2,∠BCE=180°-∠CBE÷2, :LCAD=LCBE+LACB=LCBE+n°， LCBE-LCAD=-n°， :∠DCE=LDCA-LACE=∠ACD+∠ACB-∠BCE S0-∠CAD12+nP=180°-∠CBE÷2=mP+ZCBE-∠CAD2En°2A ⑥如图4，D在B的右边，E在D的右边， :AD=AC,BC=BE, B 图4 :∠ACD=∠ADC,LBCE=∠BEC, ∠ACD=180°-∠CAD÷2,∠BCE=180°-∠CBE÷2. :LCAD=LCBE-LACB=LCBE-n°， .∠CBE-∠CAD=n°， :∠DCE=∠ACE-∠DCA=n°+∠ECB-∠DCA 3°1 =m°+(180°-∠C8E)÷2-(180°-∠CAD)+2=n°-（∠CBE-∠CAD)÷2=P- 综上，∠DCE的度数为0心-r或90+ 或). 2 22.在ABC中，AB=BC,∠ABC=a,点D在AC上，连接BD,在BD的上方作∠BDE=a,且 BD=ED,连接BE,作点A关于BC的对称点F,连接EF,交BC于点M, 27/35 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D D 图1 图2 (I)补全图1，连接CF,并写出∠BCF= (用含a的式子表示)： (2)如图2，当=60°时， ①求证：EM=FM; ②写出BM与AD的数量关系，并证明. 【答案】()补全图见解析，90°-20 (2)①见解析；②AD=2BM,证明见解析 【分析】 【详解】(1)解：如图， D ABC中，AB=BC,∠ABC=a, F ·∠C=∠A=180°-g=90°-1 2 a :点A关于BC的对称点F, ·∠BCF=∠C=900-1a (2)解：①连接AM,AE, 28/35 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 E M C:AB=BC，∠ABC=60°，BD=DE,∠BDE=60°， :ABC是等边三角形，△DBE是等边三角形， ·BA=BC,BE=BD,∠ABC=∠EBD=LACB=60°， ∠ABC-∠ABD=∠EBD-∠ABD. 即LDBC=LEBA, :△DBC≌△EBA(SAS, ·∠EAB=∠DCB=60°， ·∠EAB=∠ABC, AE∥BC, ·∠AEM=∠FMC,∠EAM=∠AMC, :点A关于BC的对称点是点F, :AM=FM,∠AMC=∠FMC, .∠AEM=∠EAM, ·EM=AM, ·.EM=FM. ②AD=2BM,如图 29/35 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 在MC上取点N,使MN=BM,连接FN, 由①得，EM=FM,∠DBC=LEBA, :∠BME=∠FMN, .△BME≌△FMN(SAS) .BE=NF,∠EBM=∠FNM, :BDE是等边三角形， ∴.BD=BE=NF, :∠EBM=∠EBA+∠ABC=∠EBA+60°，∠FNM=∠NFC+∠BCF=∠NFC+60° .∠EBA=∠NFC, .∠DBC=LNFC, :对称， .CF=AC=BC,∠NCF=∠DCB, △NCF≌△DCB(ASA .CN=CD, BC=AC, .BC-CN=AC-CD,即BN=AD MN=BM .BN 2BM ·AD=2BM. 23.如图，ABC和ADE都是等腰三角形，AB=AC,AD=AE,且∠BAC=∠DAE,连接BD、CE 30/35 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B M 图1 图2 图3 (I)如图1，当点D在ABC的内部时，求证：BD=CE; (2)如图2，∠BAC=∠DAE=126°，BC=12,且点E落在BC边上.若M为BC上的一点，且 LBAM+∠CAE=63°，求△BDM的周长； (3)如图3，在ABC中，AB=5,BC=8,∠ABC是一个变化的角，以AC为边作等边△ACE,连接BE, 试探究，随着∠ABC的变化，BE的长度的取值范围？ 【答案】(1)见详解 (2)12 (3)3≤BE≤13 【分析】 【详解】(I)证明：：AB=AC,AD=AE,且∠BAC=∠DAE, .ZBAC-ZDAC ZDAE-ZDAC .∠BAD=∠CAE, △ABD≌△ACE(SAS), ·BD=CE; (2)解：：AB=AC,AD=AE,且∠BAC=∠DAE=126°， .∠BAC-∠BAE=∠DAE-∠BAE,∠ABC=∠ACB=27°， .∠BAD=∠CAE, △ABD≌△ACE(SAS), BD=CE,∠C=∠ABD=27°， .∠BAC=∠DAE=126°，∠BAM+∠CAE=63°， .∠BAM+∠BAD=∠DAM=63°，∠EAM=∠BAC-∠BAM-∠CAE=63°， ∴.∠DAM=∠EAM, AD=AE,AM=AM, 31/35 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 △ADM≌△AEM(SAS), .DM =EM, △BDM的周长=BM+DM+BD=BM+EM+CE=BC=12; (3)解：以AB为边作等边△ABF,连接EF,如图所示： .AB=BF=AF=5,∠BAF=60°， :△ACE是等边三角形， AE=AC,∠EAC=60°， .∠EAC-∠CAF=∠BAF-∠CAF, ∠EAF=∠CAB, .△AEF≌△ACB(SAS), .EF =BC=8, 在△BEF中，由三角形三边关系可得：EF-BF<BE<EF+BF, 当B、E、F三点共线时，可取等号， EF-BF≤BE≤EF+BF, 3≤BE≤13. 24.如图1，ABC是以∠ABC为直角的等腰直角三角形，射线BD是∠ABC内部的一条射线，过点A作 AE⊥BD于点E,过点C作CF⊥BD于点F. E 图1 图2 图3 (I)求证：△ABE≌△BCF; (2)如图2，现将图1中的射线BD逆时针旋转至∠ABC的外部，过点A作AE⊥BD于点E,过点B在射线 32/35 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 BD的左侧作BG⊥BE,且BG=BE,连接CG交射线BD的反向延长线于点H.若AE=3,BE=4,求BCH的 面积； (3)如图3，ABC是以∠ABC为直角的等腰直角三角形，点D为三角形内部一点，连接AD和CD,取CD 的中点E,连接BE,作EF⊥BE,连接AF与DF,若AF=DF,求证：∠AFD=90°. 【答案】(1)证明见解析； (2)3: (3)证明见解析. 【分析】 【详解】(1)证明：：AE⊥BD,CF⊥BD, .∠AEB=∠BFC=90°， ∠ABC=90°， .∠ABE+∠CBF=∠BCF+∠CBF=90°， .∠ABE=∠BCF, 又：AB=BC, ,△ABE≌△BCF(AAS (2)解：过点C作CM⊥EH,交EH的延长线于点M，如图： :AE⊥BD,CM⊥EH, ∠AEB=∠M=90°， ,∠ABC=90°， ∠ABE+∠BAE=∠ABE+∠CBM=90°， .∠BAE=∠CBM, 在△ABE和ACBM中， 33/35 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∠AEB=∠M=90 ∠BAE=∠CBM, AB=BC △ABE≌aCBM(AAS), .CM=BE=4,BM=AE=3, BG BE, .BG=CM, :BG⊥BE, .∠GBH=LM=90°， 在△GBH和△CMH中， ∠BHG=∠MHC ∠GBH=∠M, BG=CM △GBH≌△CMH(AAS), :BH=MH=IBM-1x3=3 2 21 1 13 .SBcH=5BH.CM=5××4=3; 2 22 (3)证明：延长BE至G,使EG=BE,连接DG,BF,GF,如图： CE DE,ZBEC=ZGED,BE=GE, G B △BEC≌aGED(SAS), :BC=DG=AB,∠CBE=∠DGC, :EF⊥BE,BE=GE, :FB=FG, 又AF=DF,AB=DG, △ABF≌△DGF(SSS, 34/35 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠AFB=∠DFG,∠ABF=∠DGF, .∠AFD=∠AFB+∠BFD=∠DFG+∠BFD=LBFG, LABF+∠CBE=∠DGF+DGE=LBGF, BF=GF .∠GBF=∠BGF, ∴.∠ABF+∠CBE=∠GBF, :∠ABC=90°， ∠GBF=∠BGF=45°， ∠BFG=90°， ∠AFD=∠BFG=90°. 35/35