专题06 二元一次方程组求解、实际应用题等综合问题（八大压轴题专项训练）数学新教材沪教版五四制六年级下册

专题06 二元一次方程组求解、实际应用题等综合问题 目录 典例讲解 类型一、二元一次方程组的特殊解法 类型二、二元一次方程组的错解复原 类型三、方程组相同解问题 类型四、新定义题 类型五、实际应用题——方案问题 类型六、实际应用题——行程问题 类型七、实际应用题——销售问题 类型八、实际应用题——用水用电问题 压轴专练 类型一、二元一次方程组的特殊解法 处理方式： 优先观察方程组系数特点，选用代入消元法或加减消元法，系数为1或-1时用代入法，系数成倍数或符号相反时用加减法。遇到整体结构相同的式子，可把某一部分看作整体，用整体代入法简化计算，避免复杂运算，提高解题速度与准确率。 322 【例1】已知关于的二元一次方程，其取值如表所示，则的值为（    ） A．2025 B．2026 C．2027 D．2028 【答案】D 【详解】解：由题意得， 对第二个方程展开整理得， 把代入得． 【例2】先认真阅读，再解决下面的问题． 解方程组： 由①得，③ 将③代入②，得，解得， 把代入③，解得，所以方程组的解为 我们把这种方法称为“整体代入法”． 请用“整体代入法”解决下面的问题： (1)解方程组： (2)若，则的值为_______． 【答案】(1) (2)4 【分析】 【详解】（1）解：令 由①得，③ 把③代入②，得，解得， 把代入③，得，解得， ∴方程组的解为． （2）解：原式 ． 【变式1-1】已知方程组，其中．求的值． 【答案】 【详解】解：解得：， ∴． 【变式1-2】若方程组的解是，则方程组的解是___________． 【答案】 【详解】解：方程组可转化为， ∵方程组的解是， ∴， 解得， 方程组的解是． 【变式1-3】情境：珍珍在学习解二元一次方程组时遇到了这样一个问题： 解方程组：． 尝试 (1)若用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．若把方程组的看成一个整体，把看成一个整体，通过换元法，可以解决问题，具体如下，请将下面解题过程补充完整． 解：设，，则原方程组可化为 ，解关于m，n的方程组，得，所以，解这个方程组，得 ； 应用 (2)利用上述方法解方程组； (3)若，求的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】 【详解】（1）解：设，，则原方程组可化为， 解关于m，n的方程组，得， ∴， 解这个方程组，得； （2）解：设，则原方程组可化为， 解关于m，n的方程组，得， ∴， 解这个方程组，得； （3）解：， 得：， ∴． 类型二、二元一次方程组的错解复原 处理方式： 抓住“正确条件一定满足正确方程”这一核心，将没有看错的方程与对应解联立，先求出未知参数值。再把求出的参数代回原方程组，得到完整正确方程组，最后求解即可，注意区分看错与未看错的方程，不混淆对应关系。 【例3】甲、乙两人同时解关于、的方程组时，甲看错了方程中的，解得，乙看错了方程中的，解得，求原方程组的正确解． 【答案】． 【详解】解：将代入方程，得：，解得， 将代入方程，得：，解得， 把，代入原方程组， 得， 解得， ∴原方程组的正确解为． 【例4】小红与小明两人共同解关于，的二元一次方程组在计算过程中，他们都出现了错误．根据下面的对话，试求出，的正确值，并计算的值． 【答案】，，0 【详解】解：将代入②，得， 解得， 将代入①，得， 解得， 故 【变式2-1】在解关于，的方程组时，甲看错①中的，解得，；乙看错②中的，解得，，则和的正确值应是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【详解】解：∵甲看错①中的，解得，， ∴将，代入②，得 ， 解得； ∵乙看错②中的，解得，， ∴将，代入①，得 ， 解得； ∴，． 【变式2-2】甲、乙两人共同解方程组，甲将①中的看成了它的相反数解得，乙抄错②中的解得，求的值． 【答案】5 【详解】解：由题意，是方程组的解， ∴， ∴， 把代入，得， ∴，解得， ∴. 【变式2-3】甲、乙两人解同一个关于，的方程组，甲正确地解出，乙因为把看错而得到的解是，求出，，的值． 【答案】，， 【详解】解：把代入方程组中得， ，可得， 把代入中得，， 可得新的方程组：， 由得，， 将代入得，， 解得， ， 即方程组的解为， 即，，． 类型三、方程组相同解问题 处理方式： 先把两个方程组中不含参数的方程组合，求出x、y的固定解。再将这个公共解代入含参数的方程中，建立关于参数的一元一次方程或方程组，解出参数值，解题步骤遵循“找公共解→代回求参数”的固定流程，思路清晰不易错。 【例5】已知关于的方程组与关于的方程组的解相同，求的值． 【答案】， 【详解】解:∵两个方程组的解相同， ∴先解方程组， 由得， 将代入得， 解得， 将代入，得； ∴两个方程组的公共解为， 将代入含有的方程组，即， ∴， 由得， 解得， 将代入得， 解得． 【例6】已知关于x、的方程组和有相同的解，求、的值． 【答案】 【详解】解：∵关于x、的方程组和有相同的解， ∴联立， 解得， 将代入得， 解得． 【变式3-1】已知关于的方程组和的解相同，则_____． 【答案】 【详解】∵关于的方程组和的解相同， 方程和的解相同， 联立方程组可得：， 得：， 解得：， ， 解得：， 方程组的解为， 根据题意可得，方程和方程的解也是， ， 化简得：， 解得：， ． 【变式3-2】已知关于，的二元一次方程组与方程组有相同的解． (1)求这两个方程组的相同解； (2)求的值． 【答案】(1) (2)1 【分析】 【详解】（1）解：关于x，y的二元一次方程组与方程组有相同的解． ∴二元一次方程组①与方程组②有相同的解． 由①得：， ∴这两个方程组的相同解为； （2）将代入②得 解得： ∴． 【变式3-3】已知方程组的解也是方程的解，求的值． 【答案】 【详解】解：解方程组得， ， 解得． 类型四、新定义题 处理方式： 严格按照题目给出的新运算规则，把已知数或字母代入定义式中，直接转化为熟悉的二元一次方程组。再按常规消元法求解x、y，不被陌生形式干扰，只抓“按规则列式→按常规求解”两步，快速完成转化与计算。 【例7】对于有理数、，定义新运算：，其中、是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算，已知，，则的值是______． 【答案】 【详解】解：根据题中的新定义化简已知条件得， 解得， 则． 【例8】对于有理数，，定义新运算：，，其中，是常数．例如：，，已知，，则根据定义可以得到． 回答下列问题： (1)________，________； (2)若，求的值； (3)若关于x，y的方程组的解也满足方程，求的值． 【答案】(1)1， (2) (3) 【分析】 【详解】（1）解： ，得， ∴， 把代入②，得， ∴， 解得：； 故答案为：，； （2）， ，． ， ． 解得； （3）依题意得， 解得：， ， ． 解得∶． 【变式4-1】若对于实数x和y，定义一种运算“△”：，其中a，b，c为常数．例如：，已知，，，则的值为________． 【答案】－10 【分析】 【详解】解：由题意，得 ，得④， ，得，即⑤， ，得，解得， 将代入④，得，解得， 将，代入①，得，解得， ∴方程组的解为 因此，． 故答案为：． 【变式4-2】对于关于的二元一次方程组（其中是常数），给出如下定义：若该方程组的解满足，则称这个方程组为“近解”方程组．若对于任意实数，关于的二元一次方程组都是“近解”方程组，则的值为_____． 【答案】或 【详解】解：由题意， 解得或， 把代入，得， 整理，得， ∵对于任意实数，关于的二元一次方程组都是“近解”方程组， ∴，解得， ∴； 把代入，得， 整理，得， ∴，解得， ∴； 综上：或． 【变式4-3】对于两个整数和，定义一种新运算“”，若为偶数，则；若为奇数，则．若对整数和，有，且，则的值为________． 【答案】3 【详解】解：由题意得，为奇数，为偶数，为奇数， ． 当为奇数时，为偶数， 为偶数，为偶数， 可得方程组， 解得，； 当为偶数时，为奇数， 为奇数，为奇数， 可得方程组， 解得，，不符合题意，舍去． 和为整数， ． 类型五、实际应用题——方案问题 处理方式： 先根据题意设出未知量，列出符合条件的二元一次方程或方程组，结合取值范围确定变量的正整数解。再把所有符合要求的整数解一一列举，整理出所有可行方案，最后按题目要求比较最优方案，注意取值必须满足实际意义。 【例9】2026马年央视春晚中，字树科技的机器人（武）展示了单腿连续后空翻、托马斯全旋等高难度动作，是本届春晚科技与文化融合的巅峰之作．随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率．拟购买两种型号智能机器人进行快递分拣．若买1台A型机器人、3台B型机器人，共需260万元；若买3台A型机器人、2台B型机器人，共需360万元． (1)求两种型号智能机器人的单价． (2)该企业现计划用960万元采购型和型机器人，两种机器人均要购买且预算必须全部用完．请列出所有可能的购买方案． (3)每台A型机器人每月维护费万元，每台B型机器人每月维护费万元，在（2）的所有方案中，维护费最低的是哪个方案？最低维护费是多少？ 【答案】(1)A型智能机器人的单价为80万元，B型智能机器人的单价为60万元 (2)方案1：购买9台A型智能机器人，4台B型智能机器人；方案2：购买6台A型智能机器人，8台B型智能机器人；方案3：购买3台A型智能机器人，12台B型智能机器人 (3)方案3维护费最低，最低维护费是万元 【分析】 【详解】（1）解：设A型智能机器人的单价为x万元，B型智能机器人的单价为y万元， 根据题意，得：， 解得：． 答：A型智能机器人的单价为80万元，B型智能机器人的单价为60万元； （2）解：设购买m台A型智能机器人，n台B型智能机器人, 根据题意，得，且m，n均为正整数， 故方程的整数解为，，， 故一共有3种购买方案，方案1：购买9台A型智能机器人，4台B型智能机器人； 方案2：购买6台A型智能机器人，8台B型智能机器人； 方案3：购买3台A型智能机器人，12台B型智能机器人； （3）解：每台A型机器人每月维护费万元，每台B型机器人每月维护费万元， 方案1的维护费：（万元）； 方案2的维护费：（万元）； 方案3的维护费：（万元）； 故方案3维护费最低，最低维护费是万元； 【例10】用如图1中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图2的竖式和横式（左右侧面为正方形）的两种无盖纸盒，仓库里现有2026张长方形纸板和张正方形纸板，如果做两种纸盒若干个，恰好使库存的纸板用完，则的值可能是（    ） A．510 B．512 C．514 D．516 【答案】C 【详解】解：设可以做成x个横式无盖纸盒，做成个竖式无盖纸盒， 根据题意得：， 得：， 即， 可知为5的倍数， ∵x为正整数， ∴n的个位数字为4或9． 观察四个选项，只有选项C符合题意． 【变式5-1】我市对某主干道进行改造，为了尽快完成施工任务，计划每小时挖掘土方，现租用甲、乙两种型号的挖掘机，有关信息如下表： 型号 挖掘土石方量（单位：台•时） 租金（单位：元／台•时） 甲型 18 120 乙型 24 150 (1)若租用甲、乙两种型号的挖掘机共9台，恰好完成每小时的挖掘量，甲、乙两种型号的挖掘机各需租用多少台？ (2)若租用的挖掘机不限台数，又恰好完成每小时的挖掘量，请问哪种方案租金最省，最省租金为多少？ 【答案】(1)需要租用甲种型号的挖掘机6台，需要租用乙种型号的挖掘机3台； (2)租用甲种型号的挖掘机2台，租用乙种型号的挖掘机6台时租金最省，最省租金为1140元． 【分析】 【详解】（1）解：设需要租用甲种型号的挖掘机x台，需要租用乙种型号的挖掘机y台， 由题意得，， 解得， 答：需要租用甲种型号的挖掘机6台，需要租用乙种型号的挖掘机3台； （2）解：设租用甲种型号的挖掘机m台，租用乙种型号的挖掘机n台， 由题意得，， ∴， ∵m、n都是非负整数， ∴为非负整数， ∴是不大于10的非负整数，且n为3的倍数， 当时，，此时每小时的总租金为元， 当时，，此时每小时的总租金为元， 当时，，此时每小时的总租金为元， ∵， ∴租用甲种型号的挖掘机2台，租用乙种型号的挖掘机6台时租金最省，最省租金为1140元． 【变式5-2】小李准备租车把一批梨子运往外地去销售，经租车公司负责人介绍，用2辆甲型车和3辆乙型车装满梨子一次可运货17吨；用3辆甲型车和4辆乙型车装满梨子一次可运货24吨．根据以上信息，解答下列问题： (1)1辆甲型车和1辆乙型车都装满梨子一次可分别运货多少吨？ (2)现有30吨梨子，小李计划同时租用甲型车m辆，乙型车n辆（m，n均为正整数），一次运完，且恰好每辆车都装满梨子，请你帮他设计共有哪几种租车方案？ 【答案】(1)1辆甲型车装满梨子一次可运货4吨，1辆乙型车装满梨子一次可运货3吨 (2)共有2种租车方案，方案1：租用甲型车3辆，乙型车6辆；方案2：租用甲型车6辆，乙型车2辆 【分析】 【详解】（1）解：设1辆甲型车装满梨子一次可运货吨，1辆乙型车装满梨子一次可运货吨， 根据题意可得， 解得， 答：1辆甲型车装满梨子一次可运货吨，1辆乙型车装满梨子一次可运货吨； （2）解：根据题意可得， 可得， m，n均为正整数， 或， 所以共有2种租车方案， 方案1：租用甲型车3辆，乙型车6辆； 方案2：租用甲型车6辆，乙型车2辆． 【变式5-3】2026年城市“绿色通勤”计划落地，某新能源汽车体验中心引入“晨光”和“清风”两款通勤型新能源车，据了解：4辆“晨光”型汽车与3辆“清风”型汽车的进货总成本为160万元；3辆“清风”型汽车比4辆“晨光”型汽车的进价少40万元． (1)求“晨光”型汽车和“清风”型汽车的进货单价； (2)该体验中心计划用400万购进这两款汽车，两种汽车均要购买且预算必须全部用完．请列出所有可能的购买方案． 【答案】(1)“晨光”型汽车的进货单价是25万元，“清风”型汽车的进货单价是20万元. (2)方案1：购买“晨光”型汽车12辆，“清风”型汽车5辆；方案2：购买“晨光”型汽车8辆，“清风”型汽车10辆；方案3：购买“晨光”型汽车4辆，“清风”型汽车15辆 【分析】 【详解】（1）解：设“晨光”型汽车的进货单价是万元，“清风”型汽车的进货单价是万元， 根据题意得：， 解得：， 答：“晨光”型汽车的进货单价是万元，“清风”型汽车的进货单价是万元． （2）解：设购买“晨光”型汽车m辆，“清风”型汽车n辆，根据题意得： ， ∵m、n为正整数， ∴或或， 答：共有3种购买方案，方案1：购买“晨光”型汽车12辆，“清风”型汽车5辆；方案2：购买“晨光”型汽车8辆，“清风”型汽车10辆；方案3：购买“晨光”型汽车4辆，“清风”型汽车15辆 类型六、实际应用题——行程问题 处理方式： 抓住路程=速度×时间的基本公式，分清相遇、追及、顺流、逆流等场景。相遇用路程和，追及用路程差，顺流速度=船速+水速，逆流速度=船速-水速，据此列出方程组，统一单位后求解，重点理清路程、速度、时间的对应关系。 【例11】随着新能源汽车技术的飞速发展，越来越多新能源汽车是由后轮驱动的，所以后轮胎的磨损程度比前轮胎严重．设每个新轮胎报废时的总磨损量为，如某轮胎可行驶公里，则每公里的磨损量为，现有某品牌的轮胎安装在前轮时行驶达到万公里时报废，安装在后轮时行驶达到万公里时报废．如果该汽车行驶若干公里后，将前后轮胎进行对换，那么这两对轮胎最多可以行驶（   ） A．万公里 B．万公里 C．万公里 D．万公里 【答案】B 【详解】解：设换轮胎前行驶万公里，换胎后再行驶万公里刚好全部报废，总行驶里程万公里. ∵每个新轮胎总磨损量为，前轮每公里磨损量为，后轮每公里磨损量为，原前轮胎换胎后在后轮行驶，总磨损为，原后轮胎换胎后在前轮行驶，总磨损为， ∴可得方程组： ， 将两个方程相加得：， 即， 解得， 因此最多可以行驶万公里． 【例12】某景区的一列观光车由1节车头和若干节长度相同的观光车厢组成．观光车挂7节车厢时，以12米/秒的速度通过景区检票打卡点，用时5秒；挂12节车厢时，以10米/秒的速度通过该打卡点，用时10秒． (1)求观光车的车头与每节车厢的长度； (2)某日，该列观光车挂若干节长度相同的观光车厢，以8米/秒的速度匀速通过景区隧道，已知车身总长度小于隧道长度，记观光车的车头进入隧道到车尾驶出隧道的时间为秒，观光车全身都在隧道里的时间为秒，若，求隧道的长度． 【答案】(1)车头与每节车厢的长度分别为4米，8米 (2)隧道的长度为120米 【分析】 【详解】（1）解：设车头与每节车厢的长度分别为米，米， 根据题意，得 解得 所以，车头与每节车厢的长度分别为4米，8米． （2）解：设隧道的长度为米，观光车总长为米，根据题意，得 ， 由得， 可得 所以，隧道的长度为120米． 【变式6-1】甲、乙二人分别从相距的A，B两地出发，相向而行，如果甲比乙早出发，那么乙出发后，他们相遇；如果他们同时出发，那么后，两人相距，则甲由A地到B地需要________ 【答案】或10 【详解】解：设甲的速度为，乙的速度为． 根据第一个条件：甲比乙早出发，乙出发后相遇，得方程： （1） 根据第二个条件：同时出发后相距，分两种情况： 情况一：相遇前相距，得方程： ，即（2） 联立（1）和（2）： ， 解得：，， 甲由A地到B地需要时间：， 情况二：相遇后相距，得方程： ，即（3） 联立（1）和（3）： ， 解得：， 甲由A地到B地需要时间：． 故答案为：或10． 【变式6-2】如图，南北向的星港街与东西向的现代大道可以看成互相垂直的两条直线，十字路口记作点，星港街上的点与点的距离为． (1)若甲从点出发，骑车向北匀速直行；同时乙从点出发，沿现代大道步行向东匀速直行．经过分钟或分钟时，甲、乙两人与点的距离相等．求甲、乙两人的速度； (2)若甲从点先出发，骑车向北匀速直行，1分钟后，乙从点出发，沿现代大道步行向东匀速直行．已知两人各自保持（1）中的速度不变，则甲出发______分钟，两人与点的距离相等． 【答案】(1)，乙的速度是 (2)4分钟或7分钟 【分析】 【详解】（1）解：设甲的速度是，乙的速度是， ∵经过分钟或分钟时，甲、乙两人与点的距离相等 ∴， 解得：， 甲的速度是，乙的速度是； （2）解：设甲出发分钟后，甲、乙两人与点的距离分别为、， 甲到达A点所用时间为， ①当时，，， 令，则，解得（舍去）； ②当时，，， 令，则， 解得； ③当，，， 令，则， 解得：； 综上所述，甲出发4分钟或7分钟后，两人与点的距离相等． 【变式6-3】一汽车从甲地开往乙地，途中有上坡、平路和下坡，已知上坡路10千米，汽车从甲地下午1点出发到乙地是下午3点整 ，停留30分钟后从乙地出发，用了2.25小时返回甲地．已知汽车在上坡路每小时行驶20千米，平路每小时行驶30千米，下坡每小时行驶40千米，求甲地到乙地的行驶过程中平路、下坡路分别是多少千米？ 【答案】甲地到乙地的行驶过程中平路是30千米，下坡路是20千米 【分析】 【详解】解：设甲地到乙地的行驶过程中平路是x千米，下坡路是y千米， 从下午1点到下午3点共2小时，从乙地返回甲地用了2.25小时，又因为已知上坡路10千米， 根据题意得：， 整理得：， 解得：， 答：甲地到乙地的行驶过程中平路是30千米，下坡路是20千米． 类型七、实际应用题——销售问题 处理方式： 牢记核心公式：利润=售价-进价，售价=标价×折扣，总利润=单件利润×销量。根据进价、售价、利润、折扣之间的关系设未知数，列出二元一次方程组，求解后检验是否符合实际盈利情况，不混淆成本、收入、利润三者概念。 【例13】某工厂承接了一批书架制作任务，组装1个竖式三层书架需4张A型板材和3张B型板材，组装1个横式双层书架需4张A型板材和5张B型板材． (1)若有A型板材64个，B型板材68个，材料恰好用完，问：可制作竖式三层书架和横式双层书架各多少个？ (2)已知1个竖式三层书架的利润为40元，1个横式双层书架的利润为60元，若该工厂制作两种书架共20个，且竖式三层书架不少于12个，求该工厂能获得的最大利润． 【答案】(1)可制作竖式三层书架6个，横式双层书架10个 (2)960元 【详解】（1）解：设可制作竖式三层书架个，横式双层书架个， ， 解得， 则可制作竖式三层书架6个，横式双层书架10个； （2）解：设可制作竖式三层书架个，横式双层书架个， 则总利润为，， 当获利最大时，，此时利润为960元． 【例14】某体育用品商店销售A，B两款足球，售价和进价如表所示，该商店购进5个A款足球和12个B款足球需1120元，购进10个A款足球和15个B款足球需1700元．某校在该商店一次性购买A款足球x个和B款足球y个，共消费3300元，该商店可获利______元． 类型 进价（元/个） 售价/（元/个） A款 m 120 B款 n 90 【答案】 【详解】解：根据题意得： ， 解得：， ∵购买A款足球x个和B款足球y个，共消费3300元， ∴， 即， ∴获利（元） 即该商店可获利元． 【变式7-1】开学季，某文具店热销两款学生用品——笔记本和中性笔．已知购买2本笔记本和3支中性笔共需28元，购买4本笔记本和1支中性笔共需26元． (1)求每本笔记本和每支中性笔的售价各是多少元？（列二元一次方程组解决问题） (2)已知笔记本每本进价为3元，中性笔每支进价为4元．为迎接新学期，文具店开展促销活动：中性笔按原售价降价1元销售，笔记本售价不变．本次活动中售出了30本笔记本，若干支中性笔，两款商品共获利润130元．求本次促销活动中售出了多少支中性笔？ 【答案】(1)每本笔记本的售价为5元，每支中性笔的售价为6元 (2)本次促销活动中售出了70支中性笔 【分析】 【详解】（1）解：设每本笔记本的售价为x，每支中性笔的售价为y， 根据题意得， 解得 ∴每本笔记本的售价为5元，每支中性笔的售价为6元； （2）解：设本次促销活动中售出了m支中性笔， 根据题意得， 解得 ∴本次促销活动中售出了70支中性笔． 【变式7-2】为适应体育中考评价改革，并满足学生多样化的锻炼需求，某校到体育用品商店购买排球和跳绳．已知该校第一次购进15个排球，40条跳绳共花费2000元，第二次购进20个排球，35条跳绳共花费2300元． (1)排球和跳绳的单价各是多少元？ (2)学校第三次到该体育用品商店购买排球和跳绳，体育用品商店给出两种优惠方案．A方案：买两个排球送一条跳绳；B方案：排球和跳绳都打九折．两种方案只能选择其中一种，不能同时选择．若学校第三次购买30个排球，60条跳绳，则哪种方案更优惠，请说明理由． 【答案】(1)排球的单价是80元，跳绳的单价是20元 (2)B方案更优惠，见解析 【分析】 【详解】（1）解：设排球的单价是x元，跳绳的单价是y元， 由题意得：，解得：， 答：排球的单价是80元，跳绳的单价是20元； （2）解：B方案更优惠， 理由：A方案：（元）， B方案：（元）， 因为，所以B方案更优惠． 【变式7-3】为了节能减排，一家工厂将照明灯换成了新款国际品牌节能灯．A车间购买了3盏甲型节能灯和5盏乙型节能灯，共花费500元．B车间购买了12盏甲型节能灯和4盏乙型节能灯，共花费880元． (1)1盏甲型节能灯和1盏乙型节能灯的售价各是多少元？ (2)这家工厂有5个车间，每个车间至少需要5盏甲乙两种型号的节能灯，并且这5个车间对乙型节能灯总需求不少于6盏．根据各车间对节能灯需求，这家工厂共花费1400元购买甲、乙两种型号的节能灯若干盏．小明认为这家工厂购买节能灯数量够用，请判断小明的说法是否正确？请说明理由． 【答案】(1)1盏甲型节能灯售价为50元，1盏乙型节能灯售价为70元 (2)小明的说法不正确，理由见解析 【分析】 【详解】（1）解：设1盏甲型节能灯售价为x元，1盏乙型节能灯的售价为y元， 根据题意得：， 解得， 答：1盏甲型节能灯售价为50元，1盏乙型节能灯的售价为70元； （2）解：小明的说法不正确．理由： 设购买甲型号节能灯a盏，乙型号节能灯b盏， 根据题意，得， 则， ∵a、b是非负整数，且， ∴或或， ∵5个车间，每个车间至少需要5盏甲乙两种型号的节能灯， ∴5个车间共需甲乙两种型号的节能灯至少（盏）， 当时，，不符合题意，舍去； 当时， ，不符合题意，舍去； 当时，，不符合题意，舍去； 综上，这家工厂购买节能灯数量不够用，即小明的说法不正确． 类型八、实际应用题——用水用电问题 处理方式： 先判断是否为分段计费，未分段直接按“费用=单价×数量”列方程组。分段题要明确分段界限，分别表示各段费用再相加，设出用量与单价，根据总费用建立方程，求解后验证用量是否在对应分段范围内，保证结果合理。 【例15】为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费，该市居民“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的部分信息如下：（水价计费=自来水销售费用+污水处理费用） 每户每月用水量 每吨自来水销售价格/元 每吨污水处理价格/元 及以下 a 0.80 超过不超过的部分 b 0.80 超过的部分 6.0 0.80 已知小王家2024年4月份用水，交水费83元；5月份用水，交水费108元． (1)求的值； (2)6月份小王家用水，应交水费多少元？ 【答案】(1)a值为值为4.2 (2)146.6元 【分析】 【详解】（1）解：根据题意可得， ， 解得，， 即a值为值为4.2； （2）根据题意知，吨的水费为：， 答：6月份小王家用水，应交水费元． 【例16】为响应国家节能减排的号召，鼓励居民节约用电，各省市先后出台了“阶梯价格”制度，即每月用电量在一档的部分按元/度收费，超出一档的部分按b元/度收费，超出二档的部分按元/度收费，具体收费标准如下表所示： 阶梯 电量（单位：度） 电费价格 一档 元度 二档 元度 三档 元度 (1)已知小明家5月份用电度，缴纳电费元，6月份用电度，缴纳电费元，请你根据以上数据，求出表格中的a，b的值． (2)7月份开始用电增多，小明家缴纳电费元，求小明家7月份的用电量． 【答案】(1)a的值为，b的值为 (2)度 【分析】 【详解】（1）解：依题意得：， 解得：． 答：a的值为，b的值为． （2）解：若一个月用电量为度，电费为（元）， ∵， ∴小明家7月份用电量超过度． 设小明家7月份用电量为x度， 依题意得：， 解得：． 答：小明家7月份的用电量为度． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程． 【变式8-1】综合与实践 问题情境：“综合与实践”课上，老师呈现了杭州市居民生活用电电价表（不完整）． 杭州市居民生活用电分段及价格一览表 单位：元/千瓦时 用电分档 分时电价 高峰电价 低谷电价 第一档 年用电a千瓦时及以下部分 0.568 0.288 第二档 年用电千瓦时部分 b c 第三档 年用电4801千瓦时及以上部分 0.868 0.588 注：电费=高峰价×高峰用电量+低谷电价×低谷用电量，若跨档，则分别计算各档电费后累加． 老师介绍了自己家庭生活用电的情况：截至上月底，本年度已用完第一档的额度，其中第一档低谷用电量为760千瓦时，第一档共产生电费1354.88元． （1）求表格中a的值． 数学思考： （2）同学们根据自己家庭生活用电的情况开展了讨论并提出问题：经查询，点点同学家4月份使用的均为第二档的用电额度，其中高峰用电量为200千瓦时，低谷用电量为500千瓦时，共产生电费292.6元；芳芳家5月份使用的均为第二档的用电额度，其中高峰用电量为100千瓦时，低谷用电量为300千瓦时，共产生电费163.2元．求表格中b和c的值． （3）若第一档花费144元可使用的最多电量为n千瓦时，则在第三档使用n千瓦时的电量最多需要电费多少元？说说你对家庭用电的建议． 【答案】（1）2760；（2），；（3）434元，建议：要节约家庭用电，尽量控制高峰用电（答案不唯一，合理即可）． 【分析】 【详解】解：（1）设他们家第一档高峰用电量为千瓦时． ． ． ． ． ； （2）由题意得：． 解得：． 答：，； （3）（千瓦时）． （元． 答：在第三档使用千瓦时的电量最多需要电费434元．建议是：要节约家庭用电，尽量控制高峰用电（答案不唯一，合理即可）． 【变式8-2】为响应国家节能减排的号召，鼓励居民节约用电，各省市先后出台了“阶梯价格”制度，如表中是某市的电价标准（每月）． 阶梯 电量x（单位：度） 电费价格 一档 0＜x≤180 a元/度 二档 180＜x≤350 b元/度 三档 x＞350 0.9元/度 (1)已知小明家5月份用电252度，缴纳电费158.4元，6月份用电340度，缴纳电费220元，请你根据以上数据，求出表格中的a，b的值． (2)7月份开始用电增多，小明家缴纳电费285.5元，求小明家7月份的用电量． 【答案】(1)a的值为0.6，b的值为0.7 (2)415度 【分析】 【详解】（1）解：依题意得：，       解得：． 故a的值为0.6，b的值为0.7． （2）解：若一个月用电量为350度，电费为180×0.6＋(350﹣180)×0.7=227（元）， ∵285.5＞227， ∴小明家7月份用电量超过350度． 设小明家7月份用电量为x度， 依题意得：180×0.6＋(350﹣180)×0.7＋(x﹣350)×0.9=285.5， 解得：x=415． 答：小明家7月份的用电量为415度． 【点睛】此题考查了二元一次方程组的应用和一元一次方程的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，找到所求的量的等量关系． 【变式8-3】阅读下列材料，回答问题． 水是我们赖以生存的重要资源，水费的高低可以影响到居民的生活开销，进而可以调节每个家庭的用水量．自来水的收费项目是国家相关部门根据每个地区的特殊性给出收费标准．以下为某地区2018年9月1日起居民水费收费标准： 1、自2018年9月1日起，居民用户综合水价由原来的基本价格每立方米a元调整为按三档分阶梯计价加污水处理费．（其中，污水处理费每立方米为1元，每立方米综合水价=每立方米阶梯计价+每立方米污水处理费．） 2、居民第一阶梯户年用水量不超过220立方米(含)，阶梯计价为每立方米a元． 3、第二阶梯户年用水量220—300立方米(含)，超过220立方米未超过300立方米部分阶梯计价为每立方米b元． 4、第三阶梯户年用水量300立方米以上，超过300立方米部分阶梯计价为每立方米7元．阶梯水量以年为计价周期，每月收费，周期之间不累计、不结转．（注：水费=每立方米综合水价×用水量） 以下是小海家2021，2022的用水量和水费如表所示： 年份 用水量（立方米） 水费（元） 2021 226 2022 240 863 (1)请你算一算该地区水费中的“a”和“b”分别是多少？ (2)今年小海妈妈生了一个可爱的小妹妹，估计今年的年用水量为304立方米，请你算一算，小海家今年的水费估计是多少元？ 【答案】(1) (2)小海家今年的水费估计是1174元 【分析】 【详解】（1）解：由小海家2021年，2022年的用水量和水费可得： ， 解得：； （2） （元） 答：小海家今年的水费估计是1174元． 1．若关于x，y的方程组的解满足，则k等于（     ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 【答案】D 【详解】解：， ，得， ∴， ∵关于x，y的方程组的解满足， ∴， ∴. 2．满足二元一次方程和的部分值分别如表1、表2所示，则方程组的解是（　　） 表1 0 1 2 2 0 表2 0 1 2 0 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由表格数据可知，二元一次方程和相同的一组解是， 则方程组的解是． 3．我们定义：若整式M与N满足：（k为整数），我们称M与N为关于k的平衡整式，例如，若，我们称M与N为关于1的平衡整式．若与y为关于2的平衡整式，与为关于5的平衡整式，求的值为（   ） A．2 B． C．12 D．26 【答案】A 【详解】解∶根据题意，得， 整理得， ，得， ∴． 4．已知方程组，小明同学正确解得，而小红同学因粗心把看错了，解得，由此可判断a，b，c的值为（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【详解】解：把代入，得：， 解得； 把代入，得， ∴，解得； 故，，； 故选B． 5．若关于的二元一次方程组的解为，则方程组的解是______． 【答案】 【详解】解：所求方程组变形移项： ， 该方程组和已知的原方程组结构完全相同，已知原方程组的解为， ∴ ， 解得． 6．杭州市临安区某社区活动中心准备了手绘团扇与非遗书签赠送给参与活动的市民，已知赠送6把手绘团扇和4枚非遗书签，一共需要花费200元；赠送10把手绘团扇和8枚非遗书签，一共需要花费340元．商店推出两种优惠方案，只能选择其中一种方案参与：方案一：搭配套餐优惠，购买3把团扇+3枚书签的套装，套装按原价打八折，剩余单品按原价购买； 方案二：满减优惠，购买所有商品按原价计算总价，满300减50，满600减120，请你通过计算，购买20把手绘团扇和20枚非遗书签的成本总和最少为______元． 【答案】574 【详解】解：设把手绘团扇的价格为元，枚非遗书签的价格为元， 根据题意得： 解得 计算方案一的总费用： 购买把手绘团扇和枚非遗书签，可凑成套把团扇枚书签的套装，剩余把团扇和枚书签按原价购买， 总费用为：（元） 计算方案二的总费用： 原价总费用为（元）， 因为，可享受满减优惠， 总费用为（元） 因为，所以成本总和最少为元． 7．已知关于、的二元一次方程组，解均为正整数，且为整数，则______． 【答案】或4 【详解】解：解方程组，得，， 因为x、y均为正整数，且k为整数，所以必须是22和33的正公因数， 22 的正因数：1，2，11，22， 33 的正因数：1，3，11，33， 两者的正公因数是：1，11， 当时，解得，此时，，均为正整数； 当时，解得，此时，，均为正整数； 综上，或4． 8．某超市销售四种包装饮用水，销售方式如下表所示： 种类 销售方式 矿泉水 3元/瓶，12瓶起售，购买13-24瓶每瓶9折，25-36瓶每瓶8折，37及以上折 纯净水 每瓶2元，每满30瓶送5瓶． 碱性水 25元/箱（10瓶），满14箱送1箱，仅按箱售卖，不单独售卖． 酸性水 32元/箱（12瓶），单独售卖3元/瓶． （1）若小云需购买12瓶同种包装饮用水，从划算角度考虑，你推荐她购买_______． （2）小腾手中有100元，若要用完所有钱且购买包装饮用水的总数最多（四种都要买）则购买量最多的水的种类为_______（以上两空均填水种类的名称）． 【答案】 纯净水 矿泉水 【分析】 【详解】解：（1）若买矿泉水，共需元； 若买纯净水，共需元； 若买碱性水，则需要买2箱，共花费元，因需购买12瓶，故不符合题意； 若买酸性水，刚好一箱，共需32元． ∵， ∴买纯净水； （2）设矿泉水购买a瓶，纯净水购买b瓶，碱性水购买c箱，酸性水购买d瓶， 由题意可知，每种饮用水都要买，故，，，． 酸性水单价较高，故只购买一瓶． 当时，剩余元， ①当时，则剩余元，全部买纯净水，可买瓶． 所有饮用水的数量为瓶； ②当时，矿泉水单价变为元， ∴， ∵和都是正整数， ∴必须为10的倍数， 又∵， ∴，此时， 所有饮用水数量为瓶； ③当时，矿泉水单价变为元， ∴， 同理②可知，必须为5的倍数， 又∵，即， ∴，此时， 所有饮用水数量为瓶； ④当时，，不满足题意． 当时，剩余元， ⑤当时，则剩余元，无法全部购买纯净水，故买4瓶纯净水和多买1瓶酸性水． 所有饮用水数量为瓶； ⑥当时，由②可知，， ∵，不满足题意， ∴当时，矿泉水无法购买超过12瓶． 当时，最少购买量：，不满足题意； 综上所述，方案③用完所有钱且购买包装饮用水的总数最多，购买量最多的水的种类为矿泉水． 故答案为：纯净水；矿泉水． 9．已知关于的方程组 (1)请直接写出方程的所有正整数解； (2)若方程组的解满足，求的值． 【答案】(1)，， (2) 【分析】 【详解】（1）解：由得， ∵x，y为正整数， ∴， ∴， ∴y可取1，2，3： 时，， 时，， 时，， ∴方程的正整数解为：，，； （2）解：联立方程组， 解得：， 把代入，得， 解得：． 10．一家广告公司为某学校制作文艺活动的展板、宣传册和横幅，其中宣传册的数量是展板数量的m倍（m为大于1的整数），制作三种产品共需要25小时．广告公司制作每件产品所需时间和所获利润如表所示．（展板、宣传册和横幅的数量均为正整数） 产品 展板 宣传册 横幅 时间（小时） 1 0.2 0.5 利润（元） 60 3 20 (1)当时，制作三种产品所获利润为975元，求这三件产品的总件数； (2)若制作三种产品所获利润为950元，求m的值及有几种制作方案？ 【答案】(1) 60件 (2) m的值为5或6，共有2种制作方案 【分析】 【详解】（1）解：当时，设展板的数量为x个，横幅的数量为y个，则宣传册的数量是个， 根据题意，得，解得， ∴(件)， 答：这三件产品的总件数为60件； （2）解：设展板的数量为a个，横幅的数量为b个，则宣传册的数量是个， 根据题意，得，整理，得， 由①②，得，整理，得， ∵m为大于1的整数，均为正整数， ∴为10的正因数， ∴第一种情况：当，即时，，解得， 把，代入①，得，解得； 第二种情况：当，即时，，解得， 把，代入①，得，解得； 第三种情况：当，即时，，解得， 把，代入①，得，解得(非整数，舍去)； 第四种情况：当，即时，，解得； 把，代入①，得，解得(非整数，舍去) 综上，m的值为5或6，共有2种制作方案． 11．换元法是把一个比较复杂的代数式的一部分看成一个整体，用另一个字母代替这整体（即换元）的方法，好处是能使式子得到简化，便于解决问题，充分体现数学的整体思想．如：解方程组时，把和分别看成一个整体，即设，则原方程组可化为关于的方程组，解得；这样可得，，从而得到原方程组的解为．请用换元法解方程： 【答案】 【详解】解：设， 则原方程组可化为关于的方程组 由①＋②×2得，解得， 把代入②，得， ，整理得， 两式子相加得，， 把代入，解得， 原方程组的解为 12．某校七（1）班为表彰先进，让班长小文带上一定数量的班费去文具店购买奖品．经与店家沟通，小文获知了如下表的信息： 购买方案 笔/支 大本子/本 小本子/本 剩余钱数/元 方案一 36 0 0 2 方案二 38 0 0 方案三 0 12 8 0 方案四 0 10 10 10 (1)小文所带班费为________元． (2)求大、小本子每本的售价． (3)小文原计划购买6支笔，大、小本子各6本，但店家对小文说：“如果购买的每种本子的数量达到10本，该种本子可以打九折．”小文思考并计算了一下，决定购买4支笔，大、小本子各10本．付钱时，店家说：“我现在的利润只比刚才的利润多10元．”根据以上信息求出小文实际购买文具的成本（已知1支笔的成本为4元）． 【答案】(1) (2)大、小本子每本的售价分别为元、元． (3)小文实际购买文具的成本为元． 【分析】 【详解】（1）解：设每支笔的售价为元 根据方案一：为班费； 方案二：为班费 所以 移项可得： 即： 解得： 则班费为（元） （2）解：设大、小本子每本的售价分别为元、元． 根据方案三： 根据方案四： 列方程组 解得 答：大、小本子每本的售价分别为元、元 （3）解：设大、小本子每本的成本分别为元、元 由（1），得1支笔的售价为（元） 由题意，得 整理，得， ∵小文实际购买文具的成本为：，， ∴实际成本为（元）， 答：小文实际购买文具的成本为元． 【点睛】本题考查了一元一次方程和二元一次方程组的应用，掌握根据表格中的购买方案，找出等量关系，列出方程（组）求解是解题的关键． 13．根据以下索材，探索完成任务．随着AI技术的发展，越来越多的行业引人机器人来高效、精准地完成工作．某物流公司先引人了A，B两款传统分拣机器人，后又引入了C款升级版机器人． 素材1：三款机器人的分拣效率与耗电量如下表： 素材2：已知1台A型机器人工作3小时和1台B型机器人工作2小时，共可分拣2300件货物；1台A型机器人工作2小时和1台B型机器人工作5小时，共可分拣3000件货物； 素材3：物流公司需在1小时内完成4000件货物的分拣任务． 型号 工作效率/[件/（小时·台）] 耗电量/[千瓦时/（小时·台）] 2 1.5 600 1.8 (1)【任务1】求和的值． (2)【任务2】若只用A，B两种型号机器人恰好按时完成本次任务（两种型号都要使用），求总耗电量为多少千瓦时． (3)【任务3】该公司引进型机器人后，若采用A，B，C三种机器人同时分拣（每种型号至少投人1台），且C型机器人台数是型机器人台数的，刚好30分钟完成该任务． ①求出所有可行的机器人安排方案； ②直接写出最省电方案的耗电量为________千瓦时． 【答案】(1) (2)千瓦时． (3)①见解析，②14.6 【分析】 【详解】（1）解：由题意，得， 解得． （2）解：设型机器人用了台，型机器人用了台． 由题意，得， 整理，得． 因为，都是正整数，所以是4的倍数， 所以，， 所以总耗电量为（千瓦时）． （3）①设安排型机器人台，型机器人台，则型机器人台． 由题意，得， 整理，得． 由题意得，是2的倍数，故所有可行方案列表如下： 方案 型/台 型/台 型/台 总耗电量/千瓦时 一 2 16 1 14.9 二 4 12 2 14.8 三 6 8 3 14.7 四 8 4 4 14.6 ②方案四：有A型号的机器人台，有B型号的机器人台，有C型号的机器人台；最省电，其耗电量为14.6千瓦时 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 二元一次方程组求解、实际应用题等综合问题 目录 典例讲解 类型一、二元一次方程组的特殊解法 类型二、二元一次方程组的错解复原 类型三、方程组相同解问题 类型四、新定义题 类型五、实际应用题——方案问题 类型六、实际应用题——行程问题 类型七、实际应用题——销售问题 类型八、实际应用题——用水用电问题 压轴专练 类型一、二元一次方程组的特殊解法 处理方式： 优先观察方程组系数特点，选用代入消元法或加减消元法，系数为1或-1时用代入法，系数成倍数或符号相反时用加减法。遇到整体结构相同的式子，可把某一部分看作整体，用整体代入法简化计算，避免复杂运算，提高解题速度与准确率。 【例1】已知关于的二元一次方程，其取值如表所示，则的值为（    ） A．2025 B．2026 C．2027 D．2028 【例2】先认真阅读，再解决下面的问题． 解方程组： 由①得，③ 将③代入②，得，解得， 把代入③，解得，所以方程组的解为 我们把这种方法称为“整体代入法”． 请用“整体代入法”解决下面的问题： (1)解方程组： (2)若，则的值为_______． 【变式1-1】已知方程组，其中．求的值． 【变式1-2】若方程组的解是，则方程组的解是___________． 【变式1-3】情境：珍珍在学习解二元一次方程组时遇到了这样一个问题： 解方程组：． 尝试 (1)若用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．若把方程组的看成一个整体，把看成一个整体，通过换元法，可以解决问题，具体如下，请将下面解题过程补充完整． 解：设，，则原方程组可化为 ，解关于m，n的方程组，得，所以，解这个方程组，得 ； 应用 (2)利用上述方法解方程组； (3)若，求的值． 类型二、二元一次方程组的错解复原 处理方式： 抓住“正确条件一定满足正确方程”这一核心，将没有看错的方程与对应解联立，先求出未知参数值。再把求出的参数代回原方程组，得到完整正确方程组，最后求解即可，注意区分看错与未看错的方程，不混淆对应关系。 【例3】甲、乙两人同时解关于、的方程组时，甲看错了方程中的，解得，乙看错了方程中的，解得，求原方程组的正确解． 【例4】小红与小明两人共同解关于，的二元一次方程组在计算过程中，他们都出现了错误．根据下面的对话，试求出，的正确值，并计算的值． 【变式2-1】在解关于，的方程组时，甲看错①中的，解得，；乙看错②中的，解得，，则和的正确值应是（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式2-2】甲、乙两人共同解方程组，甲将①中的看成了它的相反数解得，乙抄错②中的解得，求的值． 【变式2-3】甲、乙两人解同一个关于，的方程组，甲正确地解出，乙因为把看错而得到的解是，求出，，的值． 类型三、方程组相同解问题 处理方式： 先把两个方程组中不含参数的方程组合，求出x、y的固定解。再将这个公共解代入含参数的方程中，建立关于参数的一元一次方程或方程组，解出参数值，解题步骤遵循“找公共解→代回求参数”的固定流程，思路清晰不易错。 【例5】已知关于的方程组与关于的方程组的解相同，求的值． 【例6】已知关于x、的方程组和有相同的解，求、的值． 【变式3-1】已知关于的方程组和的解相同，则_____． 【变式3-2】已知关于，的二元一次方程组与方程组有相同的解． (1)求这两个方程组的相同解； (2)求的值． 【变式3-3】已知方程组的解也是方程的解，求的值． 类型四、新定义题 处理方式： 严格按照题目给出的新运算规则，把已知数或字母代入定义式中，直接转化为熟悉的二元一次方程组。再按常规消元法求解x、y，不被陌生形式干扰，只抓“按规则列式→按常规求解”两步，快速完成转化与计算。 【例7】对于有理数、，定义新运算：，其中、是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算，已知，，则的值是______． 【例8】对于有理数，，定义新运算：，，其中，是常数．例如：，，已知，，则根据定义可以得到． 回答下列问题： (1)________，________； (2)若，求的值； (3)若关于x，y的方程组的解也满足方程，求的值． 【变式4-1】若对于实数x和y，定义一种运算“△”：，其中a，b，c为常数．例如：，已知，，，则的值为________． 【变式4-2】对于关于的二元一次方程组（其中是常数），给出如下定义：若该方程组的解满足，则称这个方程组为“近解”方程组．若对于任意实数，关于的二元一次方程组都是“近解”方程组，则的值为_____． 【变式4-3】对于两个整数和，定义一种新运算“”，若为偶数，则；若为奇数，则．若对整数和，有，且，则的值为________． 类型五、实际应用题——方案问题 处理方式： 先根据题意设出未知量，列出符合条件的二元一次方程或方程组，结合取值范围确定变量的正整数解。再把所有符合要求的整数解一一列举，整理出所有可行方案，最后按题目要求比较最优方案，注意取值必须满足实际意义。 【例9】2026马年央视春晚中，字树科技的机器人（武）展示了单腿连续后空翻、托马斯全旋等高难度动作，是本届春晚科技与文化融合的巅峰之作．随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率．拟购买两种型号智能机器人进行快递分拣．若买1台A型机器人、3台B型机器人，共需260万元；若买3台A型机器人、2台B型机器人，共需360万元． (1)求两种型号智能机器人的单价． (2)该企业现计划用960万元采购型和型机器人，两种机器人均要购买且预算必须全部用完．请列出所有可能的购买方案． (3)每台A型机器人每月维护费万元，每台B型机器人每月维护费万元，在（2）的所有方案中，维护费最低的是哪个方案？最低维护费是多少？ 【例10】用如图1中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图2的竖式和横式（左右侧面为正方形）的两种无盖纸盒，仓库里现有2026张长方形纸板和张正方形纸板，如果做两种纸盒若干个，恰好使库存的纸板用完，则的值可能是（    ） A．510 B．512 C．514 D．516 【变式5-1】我市对某主干道进行改造，为了尽快完成施工任务，计划每小时挖掘土方，现租用甲、乙两种型号的挖掘机，有关信息如下表： 型号 挖掘土石方量（单位：台•时） 租金（单位：元／台•时） 甲型 18 120 乙型 24 150 (1)若租用甲、乙两种型号的挖掘机共9台，恰好完成每小时的挖掘量，甲、乙两种型号的挖掘机各需租用多少台？ (2)若租用的挖掘机不限台数，又恰好完成每小时的挖掘量，请问哪种方案租金最省，最省租金为多少？ 【变式5-2】小李准备租车把一批梨子运往外地去销售，经租车公司负责人介绍，用2辆甲型车和3辆乙型车装满梨子一次可运货17吨；用3辆甲型车和4辆乙型车装满梨子一次可运货24吨．根据以上信息，解答下列问题： (1)1辆甲型车和1辆乙型车都装满梨子一次可分别运货多少吨？ (2)现有30吨梨子，小李计划同时租用甲型车m辆，乙型车n辆（m，n均为正整数），一次运完，且恰好每辆车都装满梨子，请你帮他设计共有哪几种租车方案？ 【变式5-3】2026年城市“绿色通勤”计划落地，某新能源汽车体验中心引入“晨光”和“清风”两款通勤型新能源车，据了解：4辆“晨光”型汽车与3辆“清风”型汽车的进货总成本为160万元；3辆“清风”型汽车比4辆“晨光”型汽车的进价少40万元． (1)求“晨光”型汽车和“清风”型汽车的进货单价； (2)该体验中心计划用400万购进这两款汽车，两种汽车均要购买且预算必须全部用完．请列出所有可能的购买方案． 类型六、实际应用题——行程问题 处理方式： 抓住路程=速度×时间的基本公式，分清相遇、追及、顺流、逆流等场景。相遇用路程和，追及用路程差，顺流速度=船速+水速，逆流速度=船速-水速，据此列出方程组，统一单位后求解，重点理清路程、速度、时间的对应关系。 【例11】随着新能源汽车技术的飞速发展，越来越多新能源汽车是由后轮驱动的，所以后轮胎的磨损程度比前轮胎严重．设每个新轮胎报废时的总磨损量为，如某轮胎可行驶公里，则每公里的磨损量为，现有某品牌的轮胎安装在前轮时行驶达到万公里时报废，安装在后轮时行驶达到万公里时报废．如果该汽车行驶若干公里后，将前后轮胎进行对换，那么这两对轮胎最多可以行驶（   ） A．万公里 B．万公里 C．万公里 D．万公里 【例12】某景区的一列观光车由1节车头和若干节长度相同的观光车厢组成．观光车挂7节车厢时，以12米/秒的速度通过景区检票打卡点，用时5秒；挂12节车厢时，以10米/秒的速度通过该打卡点，用时10秒． (1)求观光车的车头与每节车厢的长度； (2)某日，该列观光车挂若干节长度相同的观光车厢，以8米/秒的速度匀速通过景区隧道，已知车身总长度小于隧道长度，记观光车的车头进入隧道到车尾驶出隧道的时间为秒，观光车全身都在隧道里的时间为秒，若，求隧道的长度． 【变式6-1】甲、乙二人分别从相距的A，B两地出发，相向而行，如果甲比乙早出发，那么乙出发后，他们相遇；如果他们同时出发，那么后，两人相距，则甲由A地到B地需要________ 【变式6-2】如图，南北向的星港街与东西向的现代大道可以看成互相垂直的两条直线，十字路口记作点，星港街上的点与点的距离为． (1)若甲从点出发，骑车向北匀速直行；同时乙从点出发，沿现代大道步行向东匀速直行．经过分钟或分钟时，甲、乙两人与点的距离相等．求甲、乙两人的速度； (2)若甲从点先出发，骑车向北匀速直行，1分钟后，乙从点出发，沿现代大道步行向东匀速直行．已知两人各自保持（1）中的速度不变，则甲出发______分钟，两人与点的距离相等． 【变式6-3】一汽车从甲地开往乙地，途中有上坡、平路和下坡，已知上坡路10千米，汽车从甲地下午1点出发到乙地是下午3点整 ，停留30分钟后从乙地出发，用了2.25小时返回甲地．已知汽车在上坡路每小时行驶20千米，平路每小时行驶30千米，下坡每小时行驶40千米，求甲地到乙地的行驶过程中平路、下坡路分别是多少千米？ 类型七、实际应用题——销售问题 处理方式： 牢记核心公式：利润=售价-进价，售价=标价×折扣，总利润=单件利润×销量。根据进价、售价、利润、折扣之间的关系设未知数，列出二元一次方程组，求解后检验是否符合实际盈利情况，不混淆成本、收入、利润三者概念。 【例13】某工厂承接了一批书架制作任务，组装1个竖式三层书架需4张A型板材和3张B型板材，组装1个横式双层书架需4张A型板材和5张B型板材． (1)若有A型板材64个，B型板材68个，材料恰好用完，问：可制作竖式三层书架和横式双层书架各多少个？ (2)已知1个竖式三层书架的利润为40元，1个横式双层书架的利润为60元，若该工厂制作两种书架共20个，且竖式三层书架不少于12个，求该工厂能获得的最大利润． 【例14】某体育用品商店销售A，B两款足球，售价和进价如表所示，该商店购进5个A款足球和12个B款足球需1120元，购进10个A款足球和15个B款足球需1700元．某校在该商店一次性购买A款足球x个和B款足球y个，共消费3300元，该商店可获利______元． 类型 进价（元/个） 售价/（元/个） A款 m 120 B款 n 90 【变式7-1】开学季，某文具店热销两款学生用品——笔记本和中性笔．已知购买2本笔记本和3支中性笔共需28元，购买4本笔记本和1支中性笔共需26元． (1)求每本笔记本和每支中性笔的售价各是多少元？（列二元一次方程组解决问题） (2)已知笔记本每本进价为3元，中性笔每支进价为4元．为迎接新学期，文具店开展促销活动：中性笔按原售价降价1元销售，笔记本售价不变．本次活动中售出了30本笔记本，若干支中性笔，两款商品共获利润130元．求本次促销活动中售出了多少支中性笔？ 【变式7-2】为适应体育中考评价改革，并满足学生多样化的锻炼需求，某校到体育用品商店购买排球和跳绳．已知该校第一次购进15个排球，40条跳绳共花费2000元，第二次购进20个排球，35条跳绳共花费2300元． (1)排球和跳绳的单价各是多少元？ (2)学校第三次到该体育用品商店购买排球和跳绳，体育用品商店给出两种优惠方案．A方案：买两个排球送一条跳绳；B方案：排球和跳绳都打九折．两种方案只能选择其中一种，不能同时选择．若学校第三次购买30个排球，60条跳绳，则哪种方案更优惠，请说明理由． 【变式7-3】为了节能减排，一家工厂将照明灯换成了新款国际品牌节能灯．A车间购买了3盏甲型节能灯和5盏乙型节能灯，共花费500元．B车间购买了12盏甲型节能灯和4盏乙型节能灯，共花费880元． (1)1盏甲型节能灯和1盏乙型节能灯的售价各是多少元？ (2)这家工厂有5个车间，每个车间至少需要5盏甲乙两种型号的节能灯，并且这5个车间对乙型节能灯总需求不少于6盏．根据各车间对节能灯需求，这家工厂共花费1400元购买甲、乙两种型号的节能灯若干盏．小明认为这家工厂购买节能灯数量够用，请判断小明的说法是否正确？请说明理由． 类型八、实际应用题——用水用电问题 处理方式： 先判断是否为分段计费，未分段直接按“费用=单价×数量”列方程组。分段题要明确分段界限，分别表示各段费用再相加，设出用量与单价，根据总费用建立方程，求解后验证用量是否在对应分段范围内，保证结果合理。 【例15】为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费，该市居民“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的部分信息如下：（水价计费=自来水销售费用+污水处理费用） 每户每月用水量 每吨自来水销售价格/元 每吨污水处理价格/元 及以下 a 0.80 超过不超过的部分 b 0.80 超过的部分 6.0 0.80 已知小王家2024年4月份用水，交水费83元；5月份用水，交水费108元． (1)求的值； (2)6月份小王家用水，应交水费多少元？ 【例16】为响应国家节能减排的号召，鼓励居民节约用电，各省市先后出台了“阶梯价格”制度，即每月用电量在一档的部分按元/度收费，超出一档的部分按b元/度收费，超出二档的部分按元/度收费，具体收费标准如下表所示： 阶梯 电量（单位：度） 电费价格 一档 元度 二档 元度 三档 元度 (1)已知小明家5月份用电度，缴纳电费元，6月份用电度，缴纳电费元，请你根据以上数据，求出表格中的a，b的值． (2)7月份开始用电增多，小明家缴纳电费元，求小明家7月份的用电量． 【变式8-1】综合与实践 问题情境：“综合与实践”课上，老师呈现了杭州市居民生活用电电价表（不完整）． 杭州市居民生活用电分段及价格一览表 单位：元/千瓦时 用电分档 分时电价 高峰电价 低谷电价 第一档 年用电a千瓦时及以下部分 0.568 0.288 第二档 年用电千瓦时部分 b c 第三档 年用电4801千瓦时及以上部分 0.868 0.588 注：电费=高峰价×高峰用电量+低谷电价×低谷用电量，若跨档，则分别计算各档电费后累加． 老师介绍了自己家庭生活用电的情况：截至上月底，本年度已用完第一档的额度，其中第一档低谷用电量为760千瓦时，第一档共产生电费1354.88元． （1）求表格中a的值． 数学思考： （2）同学们根据自己家庭生活用电的情况开展了讨论并提出问题：经查询，点点同学家4月份使用的均为第二档的用电额度，其中高峰用电量为200千瓦时，低谷用电量为500千瓦时，共产生电费292.6元；芳芳家5月份使用的均为第二档的用电额度，其中高峰用电量为100千瓦时，低谷用电量为300千瓦时，共产生电费163.2元．求表格中b和c的值． （3）若第一档花费144元可使用的最多电量为n千瓦时，则在第三档使用n千瓦时的电量最多需要电费多少元？说说你对家庭用电的建议． 【变式8-2】为响应国家节能减排的号召，鼓励居民节约用电，各省市先后出台了“阶梯价格”制度，如表中是某市的电价标准（每月）． 阶梯 电量x（单位：度） 电费价格 一档 0＜x≤180 a元/度 二档 180＜x≤350 b元/度 三档 x＞350 0.9元/度 (1)已知小明家5月份用电252度，缴纳电费158.4元，6月份用电340度，缴纳电费220元，请你根据以上数据，求出表格中的a，b的值． (2)7月份开始用电增多，小明家缴纳电费285.5元，求小明家7月份的用电量． 【变式8-3】阅读下列材料，回答问题． 水是我们赖以生存的重要资源，水费的高低可以影响到居民的生活开销，进而可以调节每个家庭的用水量．自来水的收费项目是国家相关部门根据每个地区的特殊性给出收费标准．以下为某地区2018年9月1日起居民水费收费标准： 1、自2018年9月1日起，居民用户综合水价由原来的基本价格每立方米a元调整为按三档分阶梯计价加污水处理费．（其中，污水处理费每立方米为1元，每立方米综合水价=每立方米阶梯计价+每立方米污水处理费．） 2、居民第一阶梯户年用水量不超过220立方米(含)，阶梯计价为每立方米a元． 3、第二阶梯户年用水量220—300立方米(含)，超过220立方米未超过300立方米部分阶梯计价为每立方米b元． 4、第三阶梯户年用水量300立方米以上，超过300立方米部分阶梯计价为每立方米7元．阶梯水量以年为计价周期，每月收费，周期之间不累计、不结转．（注：水费=每立方米综合水价×用水量） 以下是小海家2021，2022的用水量和水费如表所示： 年份 用水量（立方米） 水费（元） 2021 226 2022 240 863 (1)请你算一算该地区水费中的“a”和“b”分别是多少？ (2)今年小海妈妈生了一个可爱的小妹妹，估计今年的年用水量为304立方米，请你算一算，小海家今年的水费估计是多少元？ 1．若关于x，y的方程组的解满足，则k等于（     ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 2．满足二元一次方程和的部分值分别如表1、表2所示，则方程组的解是（　　） 表1 0 1 2 2 0 表2 0 1 2 0 A． B． C． D． 3．我们定义：若整式M与N满足：（k为整数），我们称M与N为关于k的平衡整式，例如，若，我们称M与N为关于1的平衡整式．若与y为关于2的平衡整式，与为关于5的平衡整式，求的值为（   ） A．2 B． C．12 D．26 4．已知方程组，小明同学正确解得，而小红同学因粗心把看错了，解得，由此可判断a，b，c的值为（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 5．若关于的二元一次方程组的解为，则方程组的解是______． 6．杭州市临安区某社区活动中心准备了手绘团扇与非遗书签赠送给参与活动的市民，已知赠送6把手绘团扇和4枚非遗书签，一共需要花费200元；赠送10把手绘团扇和8枚非遗书签，一共需要花费340元．商店推出两种优惠方案，只能选择其中一种方案参与：方案一：搭配套餐优惠，购买3把团扇+3枚书签的套装，套装按原价打八折，剩余单品按原价购买； 方案二：满减优惠，购买所有商品按原价计算总价，满300减50，满600减120，请你通过计算，购买20把手绘团扇和20枚非遗书签的成本总和最少为______元． 7．已知关于、的二元一次方程组，解均为正整数，且为整数，则______． 8．某超市销售四种包装饮用水，销售方式如下表所示： 种类 销售方式 矿泉水 3元/瓶，12瓶起售，购买13-24瓶每瓶9折，25-36瓶每瓶8折，37及以上折 纯净水 每瓶2元，每满30瓶送5瓶． 碱性水 25元/箱（10瓶），满14箱送1箱，仅按箱售卖，不单独售卖． 酸性水 32元/箱（12瓶），单独售卖3元/瓶． （1）若小云需购买12瓶同种包装饮用水，从划算角度考虑，你推荐她购买_______． （2）小腾手中有100元，若要用完所有钱且购买包装饮用水的总数最多（四种都要买）则购买量最多的水的种类为_______（以上两空均填水种类的名称）． 9．已知关于的方程组 (1)请直接写出方程的所有正整数解； (2)若方程组的解满足，求的值． 10．一家广告公司为某学校制作文艺活动的展板、宣传册和横幅，其中宣传册的数量是展板数量的m倍（m为大于1的整数），制作三种产品共需要25小时．广告公司制作每件产品所需时间和所获利润如表所示．（展板、宣传册和横幅的数量均为正整数） 产品 展板 宣传册 横幅 时间（小时） 1 0.2 0.5 利润（元） 60 3 20 (1)当时，制作三种产品所获利润为975元，求这三件产品的总件数； (2)若制作三种产品所获利润为950元，求m的值及有几种制作方案？ 11．换元法是把一个比较复杂的代数式的一部分看成一个整体，用另一个字母代替这整体（即换元）的方法，好处是能使式子得到简化，便于解决问题，充分体现数学的整体思想．如：解方程组时，把和分别看成一个整体，即设，则原方程组可化为关于的方程组，解得；这样可得，，从而得到原方程组的解为．请用换元法解方程： 12．某校七（1）班为表彰先进，让班长小文带上一定数量的班费去文具店购买奖品．经与店家沟通，小文获知了如下表的信息： 购买方案 笔/支 大本子/本 小本子/本 剩余钱数/元 方案一 36 0 0 2 方案二 38 0 0 方案三 0 12 8 0 方案四 0 10 10 10 (1)小文所带班费为________元． (2)求大、小本子每本的售价． (3)小文原计划购买6支笔，大、小本子各6本，但店家对小文说：“如果购买的每种本子的数量达到10本，该种本子可以打九折．”小文思考并计算了一下，决定购买4支笔，大、小本子各10本．付钱时，店家说：“我现在的利润只比刚才的利润多10元．”根据以上信息求出小文实际购买文具的成本（已知1支笔的成本为4元）． 13．根据以下索材，探索完成任务．随着AI技术的发展，越来越多的行业引人机器人来高效、精准地完成工作．某物流公司先引人了A，B两款传统分拣机器人，后又引入了C款升级版机器人． 素材1：三款机器人的分拣效率与耗电量如下表： 素材2：已知1台A型机器人工作3小时和1台B型机器人工作2小时，共可分拣2300件货物；1台A型机器人工作2小时和1台B型机器人工作5小时，共可分拣3000件货物； 素材3：物流公司需在1小时内完成4000件货物的分拣任务． 型号 工作效率/[件/（小时·台）] 耗电量/[千瓦时/（小时·台）] 2 1.5 600 1.8 (1)【任务1】求和的值． (2)【任务2】若只用A，B两种型号机器人恰好按时完成本次任务（两种型号都要使用），求总耗电量为多少千瓦时． (3)【任务3】该公司引进型机器人后，若采用A，B，C三种机器人同时分拣（每种型号至少投人1台），且C型机器人台数是型机器人台数的，刚好30分钟完成该任务． ①求出所有可行的机器人安排方案； ②直接写出最省电方案的耗电量为________千瓦时． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $