专题02 含参数的二元一次方程组（举一反三专项训练）数学新教材沪教版五四制六年级下册

专题02 含参数的二元一次方程组（举一反三专项训练） 【新教材沪教版五四制】 【题型1 利用二元一次方程的定义求参数】 1 【题型2 直接利用方程组的解求参数】 3 【题型3 同解方程组】 4 【题型4 看错方程组中的系数或字母求参数】 7 【题型5 看错方程组中的符号求参数】 9 【题型6 根据二元一次方程（组）的解的情况求参数】 12 【题型7 根据二元一次方程（组）的解之间的情况求参数】 14 【题型8 遮挡问题求参数】 16 【题型9 讨论含参二元一次方程组的解】 19 【题型1 利用二元一次方程的定义求参数】 【例1】（24-25七年级下·山西临汾·阶段练习）若是关于的二元一次方程组，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了根据二元一次方程组的定义求参数，代数式求值问题，熟练掌握和运用二元一次方程组的定义是解决本题的关键． 先根据二元一次方程组的定义得出，据此求出m、n的值，代入计算可得结果． 【详解】解：根据题意知，， 解得，，， ， ． 故答案为：． 【变式1-1】若是关于的二元一次方程，则满足的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先把所给的方程化为，然后根据二元一次方程的定义可得和的系数不为零，即可求得的取值范围． 【详解】解：∵， ∴， 根据二元一次方程的定义可得： ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查二元一次方程，熟练掌握二元一次方程的定义：只含有两个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，运用二元一次方程满足的条件是解题的关键． 【变式1-2】（24-25八年级上·重庆长寿·阶段练习）若方程组 是二元一次方程组，则a 的值为 ． 【答案】0 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的定义，由两个只含有两个未知数，且含未知数的项的次数为1的方程组成的方程组叫做二元一次方程组，据此求解即可． 【详解】解：∵方程组 是二元一次方程组， ∴， 故答案为：0． 【变式1-3】若是关于x，y的二元一次方程，那么的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，解二元一次方程组． 根据二元一次方程的定义列出二元一次方程组，求出的值，代入计算即可． 【详解】∵是关于x，y的二元一次方程， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 【题型2 直接利用方程组的解求参数】 【例2】（25-26八年级上·黑龙江绥化·开学考试）已知是的解，则的值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解，求代数式的值， 先根据二元一次方程组的解求出a，b，再求出代数式的值即可. 【详解】解：∵是方程的解， ∴， 解得， 所以. 故选：C. 【变式2-1】（25-26八年级上·湖南长沙·开学考试）已知是二元一次方程的一个解，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程的解． 将代入计算即可． 【详解】∵是二元一次方程的一个解， ∴， 解得：， 故答案为：． 【变式2-2】已知与都是方程的解，则 ， ． 【答案】 / 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解题关键是把x和y的值代入方程，建立关于a和b的二元一次方程组， 先根据题意列出方程组，再求解即可． 【详解】解：根据题意得：， 解得：． 故答案为：；． 【变式2-3】（25-26八年级上·全国·课后作业）方程组的解是，其中的值被墨渍盖住了，则的值为 ． 【答案】8.75 【分析】将代入，得的值，再将x，y代入求出p的值，将x，y，p的值代入即可计算．本题考查利用二元一次方程组的解求参数及求代数式的值，理解相关概念是解题关键． 【详解】解：将代入，得， 将代入，得， ∴， 故答案为：8.75． 【题型3 同解方程组】 【例3】（2025八年级上·全国·专题练习）已知方程组与方程组的解相同，则的值分别为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键． 先解方程组，求出、的值，然后代入方程组得到关于、的方程组求解即可． 【详解】解：两个方程组的解相同， ， 由可得 将代入得， 解得， 把代入得， 方程组的解为：， 把代入， 得：； 由得， 解得， 把代入得， 解得， 故方程组的解为， 故选：C ． 【变式3-1】已知关于x，y的方程组和的解相同，则代数式3a＋7b的值为 ． 【答案】－18 【分析】将两方程组的第一个方程联立求出x与y的值，代入剩余的两方程求出a与b的值，即可确定出所求式子的值． 【详解】解：由于两个方程组的解相同， 所以方程组，即是它们的公共解， 解得： 把这对值分别代入剩余两个方程，得， 解得： 则3a+7b=3-21=-18． 故答案为-18． 【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值． 【变式3-2】（2025八年级上·全国·专题练习）已知关于的方程组和有相同的解，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了含参数二元一次方程组，求解关键是利用两个方程组解相同，联立无参数的方程求解出和，然后，代入另外两个含参数方程构成的方程组中，求解得出和的值，进一步计算即可得出结果． 【详解】解：根据题意可知，由于两个方程组解相同， 联立方程得， 解得， 把代入方程组， 得， 解得， ． 故选：． 【变式3-3】（24-25七年级下·黑龙江佳木斯·期末）已知关于x，y的方程组和的解相同，则的值为 ． 【答案】0 【分析】本题考查了同解方程组的解法及乘方运算，解题的关键是明确“解相同”意味着两组方程的解能同时满足四个方程，从而先求出公共解再代入求参数． 联立两个方程组中不含参数的方程，求出公共解x、y；将公共解代入含a、b的方程，解出a、b的值；计算的2026次方． 【详解】∵两个方程组解相同， ∴先解不含a、b的方程组：， 得：， 即， 解得． 将代入①得：，解得． 因此，相同的解为． 将代入含a、b的方程： 得：， 解得， 将代入④得：，求得， ∴． 故答案为：0． 【题型4 看错方程组中的系数或字母求参数】 【例4】（24-25八年级上·安徽宿州·期末）甲和乙两人同解方程组，甲因抄错了，解得，乙因抄错了，解得． （1） ， （2） ． 【答案】 2 1 【分析】本题考查了方程组的解法，解一元一次方程，正确审题，清楚方程组的解是哪一个方程的正确解，代入计算即可．清楚方程组的解是哪一个方程的正确解是解题的关键． 【详解】解：（1）由题意得：，是的解， 则， 解得：， 故答案为：2； （2）是的解， 则， 解得：， ． 故答案为：1． 【变式4-1】甲、乙两人求二元一次方程的整数解，甲正确地求出一组解为，乙把看成，求得一组解为，则a，b的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将方程的解代入对应方程，组成新的方程组解方程即可． 【详解】解：由题意可得， ， 解得， 故选C． 【点睛】本题考查方程的解及解方程组，解题的关键是知道方程的解满足方程，错方程的解代入错方程． 【变式4-2】已知关于的二元一次方程组的解为，小强因看错了系数，得到的解为，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解．根据题意把代入二元一次方程组可得的值，根据小强看错系数得到解为，由此可得新的方程组，运用加减消元法可求出的值，代入计算即可求解． 【详解】解：把代入二元一次方程组得， ， ∴由得，， ∵小强看错了系数得到， ∴， ∴， ①②得，， 解得，， 把代入②得，， 解得，， ∴， 故答案为：11． 【变式4-3】两位同学在解方程组时，甲同学正确地解出，乙同学因把c写错而解得，则a= ，b= ，c= ． 【答案】 ﹣2 ﹣2 ﹣2 【详解】分析：先把代入得 ，由方程组中第二个式子可得：c=-2，然后把解代入ax+by=-2即可得出答案． 解答：解：把代入， 得，解得，c=-2． 再把代入ax+by=-2， 得 ， 解得： ， 所以a=-2，b=-2，c=-2． 故答案为-2，-2，-2． 【题型5 看错方程组中的符号求参数】 【例5】（24-25七年级下·湖南长沙·期中）甲、乙两人共同解方程组，甲将①中的看成了它的相反数解得，乙抄错②中的解得，则 ． 【答案】5 【分析】本题考查含参的二元一次方程组的错解问题，熟练掌握解二元一次方程组是解题的关键，根据甲将①中的看成了它的相反数解得的值，代入可得到，的值，再根据乙抄错②中的得到的值，代入可得到的值，结合两个式子的值即可得到答案． 【详解】解：∵甲将①中的看成了它的相反数解得，代入原式得到：， ∴③，， ∵乙抄错②中的解得，代入原式的①得到：， ∴④， ∴， 解得： ∴， 故答案为：5． 【变式5-1】甲，乙两同学在解方程组时，甲因看错了b的符号，解得．乙因忽略了c，解得，试求的值． 【答案】1 【分析】把代入ax+by＝13得出3a+2b＝13③，把代入②得出3c﹣2＝4，求出c，把代入①得出5a﹣b＝13④，由③和④组成方程组，再求出方程组的解即可． 【详解】解：， ∵甲因看错了b的符号，解得， ∴把代入ax+by＝13，得3a+2b＝13③， 把代入②，得3c﹣2＝4， 解得：c＝2，∵乙因忽略了c，解得， ∴把代入①，得5a﹣b＝13④， 由③和④组成方程组， 解得：， ∴（a﹣b﹣c）2022＝（3﹣2﹣2）2022＝（﹣1）2022＝1． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解，能求出a、b、c的值是解此题的关键． 【变式5-2】解方程组时，甲同学因看错a符号，从而求得方程组的解为，乙因看漏c，从而求得方程组的解为，试求的值． 【答案】1 【分析】甲同学因看错a符号，把x=3，y=2代入x+cy=4，求出c，因看错a符号，得-3a+2b=6，乙因看漏c，把x=6，y=-2代入ax+by=6，组成新的二元二次方程组，解出即可． 【详解】解：∵甲同学因看错a符号， ∴把，代入， 得， 所以． ∵乙因看漏c， ∴把，代入， 得， 得， 解得，，． 所以. 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的解和解二元一次方程组，解题的关键理解看错字母得出方程组的解的含义． 【变式5-3】已知关于x，y的方程组． (1)方程有一组正整数解，请再写出一组正整数解为 ． (2)若该方程组的解满足，求m的值； (3)若小明在解此方程组时，看错了m的符号，而得解为，则正确的m值为 ． 【答案】(1)（答案不唯一） (2)1 (3) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，及其整数解和解的定义，熟练掌握二元一次方程组解的定义是解题的关键． （1）由方程，得到，代入，得到值即可，答案不唯一； （2）根据题意联立，解之代入，即可得到答案； （3）根据题意，得，解之即可． 【详解】（1）解：方程， 解得， 当时，， 方程的另一组整数解为， 故答案为：．（答案不唯一） （2）解：根据题意，得， 解得，代入，得， 解得， 故m的值为1． （3）解：根据题意，得， 解得， 故答案为：． 【题型6 根据二元一次方程（组）的解的情况求参数】 【例6】若关于x，y的方程组的解是正整数，则整数a的值是 ． 【答案】2或-1 【分析】利用加减消元法解二元一次方程组，得到x和y关于a的解，根据方程组的解是正整数，得到5-a与a+4都要能被3整除，即可得到答案． 【详解】， ①-②得：3y=5-a， 解得：y=， 把y=代入①得： x+=3， 解得：x=， ∵方程组的解为正整数， ∴5-a与a+4都要能被3整除， ∴a=2或-1， 故答案为2或-1． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组，正确掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键． 【变式6-1】（2025八年级上·全国·专题练习）若关于的方程组无解，则的值为（    ） A． B．1 C．3 D．5 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的无解问题，对于二元一次方程组，当时，方程组无解． 根据方程组无解的情况对原方程进行整理，进而计算即可． 【详解】整理得， ∵关于的方程组无解， ∴， 解得：， 故选：A 【变式6-2】关于x，y的方程组只有唯一的一组解，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了二元一次方程组的解，以及绝对值，弄清方程组只有唯一的一组解的条件是解本题的关键．由方程组只有唯一的一组解，得到，即可求出a的值． 【详解】解：∵关于x，y的方程组， ∴，即， 把代入方程组得：， ， 故答案为：． 【变式6-3】（24-25七年级下·江苏无锡·阶段练习）关于x，y的方程组有无数组解，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解法，由题意可①②得，然后问题可求解．掌握二元一次方程组的解法是解题的关键． 【详解】解：， ①②得：， 方程组有无数组解， ，， 解得：，． ∴ 故答案为：． 【题型7 根据二元一次方程（组）的解之间的情况求参数】 【例7】（2025八年级上·全国·专题练习）已知关于的二元一次方程组的解满足与的值之和等于6，则的值为 ． 【答案】8 【分析】本题考查了根据二元一次方程组的解求参数． 先求出的值，再根据与的值之和等于6求解即可． 【详解】解：， 得， ∵与的值之和等于6， ∴， 解得：， 故答案为：． 【变式7-1】已知方程组的解x、y满足方程，求k的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题可先通过方程组中两个方程相加，得出与的关系，再结合已知方程求出、的值，最后代入方程求出．解题思路为利用方程组中方程的运算建立与已知方程的联系，进而求解．本题主要考查了二元一次方程组的求解以及方程的代入运算，熟练掌握方程组中方程的运算和整体代入思想是解题的关键． 【详解】解： 可得， ， 因为， 所以， 解得， 故选：C． 【变式7-2】（24-25七年级下·山东菏泽·期末）已知关于x，y的方程组的解满足等式，则m的值是 ． 【答案】1 【分析】本题考查了二元一次方程的解、二元一次方程组的解，熟悉二元一次方程的解、二元一次方程组的解是解题的关键．根据加减消元法，用含m的式子表示出x和与y的值，将其代入即可求得m的值． 【详解】解：， ，得， 解得：， 把代入②得：， 将和代入得：， 解得：， 故答案为：1． 【变式7-3】（25-26八年级上·全国·单元测试）若关于的方程组的解中的值比的值的相反数大2，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查由二元一次方程组解得情况求参数，熟练掌握二元一次方程组的解法是解决问题的关键．根据题意，得到，构建新的二元一次方程组求解得到，代入求解关于的一元一次方程即可得到答案． 【详解】解：关于的方程组的解中的值比的值的相反数大2， ， 即， 解得， 将代入得， 解得， 故答案为：． 【题型8 遮挡问题求参数】 【例8】（24-25七年级下·辽宁葫芦岛·期中）阅读下列材料：名句“运筹椎幄之中，决胜千里之外”中的“筹”原意是指“算筹”，算筹是中国古代用来记数、列式和进行各种数与式演算的一种工具．如图1，在算筹计数法中，以“立”，“卧”两种排列方式来表示单位数目，表示多位数时，个位用立式，十位用卧式、百位用立式，千位用卧式，以此类推．《九章算术》的“方程”一章中介绍了一种用“算筹图”解决一次方程组的方法．如果将算筹图从左向右的符号中，前两个符号分别代表未知数，的系数，据此图2可以列出方程为：． 请你根据上述材料中的方法，完成下列任务： 任务一： （1）根据图3和图4分别列出两个方程，并求出这两个方程的公共解； 任务二： （2）如图5，此算筹图表示一个二元一次方程组，但其中有一个符号不小心被墨水覆盖了，若前两个符号分别代表方程组中未知数，的系数，且图5所表示的方程组中的值为4，请你求出被墨水覆盖部分符号所表示的数． 【答案】（1）；（2）3 【分析】本题考查二元一次方程组的解法，掌握加减消元法解二元一次方程组是解题的关键． （1）根据“算筹图”利用图3、图4列方程组成方程组，利用加减消元法解二元一次方程组； （2）设被墨水所覆盖部分所表示的数是，根据图5列二元一次方程组，把x的值代入解方程组求出m值即可． 【详解】（1）解：由图3得，①， 由图4得，②， 将这两个方程组成方程组得，， 将①，②，得，， 得，， 将代入②得，， 这个方程组的解是：， 即这两个方程的公共解是，； （2）解：设被墨水所覆盖部分所表示的数是， 由题意得，图5中表示的方程组可表示为，， 由题意可知，， 将代入①得，，解得：， 将，代入②得，，解得：， 被墨水所覆盖部分的符号所表示的数是3． 【变式8-1】（25-26八年级上·全国·单元测试）小明在解关于的二元一次方程组时，不小心滴上了墨水，无法做题，老师告诉他这个方程组中的值为3，则●和的值分别为（    ） A．2，2 B．2， C．8， D．8，2 【答案】A 【分析】根据确定，把未知数的值都代入方程中，解答即可．本题考查了解方程组，熟练掌握解方程组是解题的关键． 【详解】解：根据题意，将代入，则， 解得， 把，代入，得， 故选：A． 【变式8-2】小明给小红出了一道数学题：“如果我将二元一次方程组第一个方程中y的系数遮住，第二个方程中x的系数遮住，并且告诉你 是这个方程组的解，你能求出我原来的方程组吗？”请你帮小红解答这个问题. 【答案】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组解的定义，设被遮住的y的系数为m，被遮住的x的系数为n，根据二元一次方程组的解为得到，据此求出m、n的值即可得到答案． 【详解】解： 设第①个方程y的系数为m，第②个方程x的系数为n， ∵ 是方程组的解， ∴ ， 解得 ， ∴原来的方程组为 ． 【变式8-3】（24-25七年级下·全国·单元测试）丽丽在解方程组时，不小心碰翻了墨汁瓶，墨水盖住了两个方程的常数项．丽丽求助老师，老师给了她两条信息：“第一：方程的常数项比方程的常数项大；第二：方程组的解，是相等的．”请你帮她复原该方程组为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程中的含参问题，根据题意正确把两个方程的常数项设出来是解答本题的关键． 根据题意设出方程组，再结合可得，解出的值，即可复原该方程组． 【详解】解：由题意可设方程组为， ， ， ， 即， 解得：， 故原方程组为． 【题型9 讨论含参二元一次方程组的解】 【例9】用现代高等代数的符号可以将方程组的系数排成一个表，这种由数列排成的表叫做矩阵．矩阵表示，，为未知数的三元一次方程组，若为定值，则与关系（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了解三元一次方程组、二元一次方程组的定义等知识点，理解题意、根据新定义解答问题是解题的关键． 根据矩阵定义列方程组求解即可． 【详解】解：由题意得：， ①×2+②得：， ∵为定值， ∴． 故选：D． 【变式9-1】（24-25七年级下·浙江·阶段练习）关于x，y的方程组，下列说法正确的是 （填序号）． ①x，y，m的和为定值； ②当x为整数时，m和y也为整数； ③当y为整数时，m和x也为整数． 【答案】①③ 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解，解题关键是熟练掌握解二元一次方程组的一般步骤． 先按照解二元一次方程组的一般步骤，解方程组，求出x，y，再求出，从而判断①的正误；根据①中求出的，x为整数，判断是否为整数，再判断m，y是否为整数，从而判断②的正误；根据①中求出的，y为整数，判断m，x是否为整数，从而判断③的正误即可． 【详解】解：， ①＋②得：， ， 把代入①得： ， ， ， ①的说法正确； ，x为整数， 为整数， 当时，也是整数， 当x为整数时，m和y不一定为整数， ②的说法错误； ，y为整数， 为整数， 为整数， ， 也是整数， ③的说法正确； 综上可知：说法正确的是①③， 故答案为：①③． 【变式9-2】已知关于x，y的二元一次方程组，若不论a为何值，代数式的值都为定值，则k的值为 ，这个定值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，将方程组中的两个方程变形后联立消掉a即可得出结论，将方程组中的两个方程联立消掉是解题的关键． 【详解】解：关于x，y的二元一次方程组， 解得：， 把代入， 得：， 若不论a为何值，代数式的值都为定值， ， 故k的值为， 代入代数式得：， 故答案为：，． 【变式9-3】已知关于x，y的方程组的解满足，其中m，n都是实数，且．若a，b均为正整数，则所有符合条件的整数n的个数为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了解二元一次方程组，能求出是解此题的关键． 先求出方程组的解，再结合已知条件得到，然后根据a，b均为正整数最后得出答案即可． 【详解】解方程组得： ∵方程组的解满足 ∴， ∴， ∵ ∴ 整理得， ∵a，b均为正整数 ∴当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； ∴n的值为0，，，共3个． 故答案为：3． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 含参数的二元一次方程组（举一反三专项训练） 【新教材沪教版五四制】 【题型1 利用二元一次方程的定义求参数】 1 【题型2 直接利用方程组的解求参数】 1 【题型3 同解方程组】 2 【题型4 看错方程组中的系数或字母求参数】 2 【题型5 看错方程组中的符号求参数】 3 【题型6 根据二元一次方程（组）的解的情况求参数】 3 【题型7 根据二元一次方程（组）的解之间的情况求参数】 3 【题型8 遮挡问题求参数】 4 【题型9 讨论含参二元一次方程组的解】 5 【题型1 利用二元一次方程的定义求参数】 【例1】（24-25七年级下·山西临汾·阶段练习）若是关于的二元一次方程组，则 ． 【变式1-1】若是关于的二元一次方程，则满足的条件是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25八年级上·重庆长寿·阶段练习）若方程组 是二元一次方程组，则a 的值为 ． 【变式1-3】若是关于x，y的二元一次方程，那么的值为 ． 【题型2 直接利用方程组的解求参数】 【例2】（25-26八年级上·黑龙江绥化·开学考试）已知是的解，则的值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【变式2-1】（25-26八年级上·湖南长沙·开学考试）已知是二元一次方程的一个解，则 ． 【变式2-2】已知与都是方程的解，则 ， ． 【变式2-3】（25-26八年级上·全国·课后作业）方程组的解是，其中的值被墨渍盖住了，则的值为 ． 【题型3 同解方程组】 【例3】（2025八年级上·全国·专题练习）已知方程组与方程组的解相同，则的值分别为（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】已知关于x，y的方程组和的解相同，则代数式3a＋7b的值为 ． 【变式3-2】（2025八年级上·全国·专题练习）已知关于的方程组和有相同的解，则的值是（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（24-25七年级下·黑龙江佳木斯·期末）已知关于x，y的方程组和的解相同，则的值为 ． 【题型4 看错方程组中的系数或字母求参数】 【例4】（24-25八年级上·安徽宿州·期末）甲和乙两人同解方程组，甲因抄错了，解得，乙因抄错了，解得． （1） ， （2） ． 【变式4-1】甲、乙两人求二元一次方程的整数解，甲正确地求出一组解为，乙把看成，求得一组解为，则a，b的值为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】已知关于的二元一次方程组的解为，小强因看错了系数，得到的解为，则 ． 【变式4-3】两位同学在解方程组时，甲同学正确地解出，乙同学因把c写错而解得，则a= ，b= ，c= ． 【题型5 看错方程组中的符号求参数】 【例5】（24-25七年级下·湖南长沙·期中）甲、乙两人共同解方程组，甲将①中的看成了它的相反数解得，乙抄错②中的解得，则 ． 【变式5-1】甲，乙两同学在解方程组时，甲因看错了b的符号，解得．乙因忽略了c，解得，试求的值． 【变式5-2】解方程组时，甲同学因看错a符号，从而求得方程组的解为，乙因看漏c，从而求得方程组的解为，试求的值． 【变式5-3】已知关于x，y的方程组． (1)方程有一组正整数解，请再写出一组正整数解为 ． (2)若该方程组的解满足，求m的值； (3)若小明在解此方程组时，看错了m的符号，而得解为，则正确的m值为 ． 【题型6 根据二元一次方程（组）的解的情况求参数】 【例6】若关于x，y的方程组的解是正整数，则整数a的值是 ． 【变式6-1】（2025八年级上·全国·专题练习）若关于的方程组无解，则的值为（    ） A． B．1 C．3 D．5 【变式6-2】关于x，y的方程组只有唯一的一组解，则 ． 【变式6-3】（24-25七年级下·江苏无锡·阶段练习）关于x，y的方程组有无数组解，则 ． 【题型7 根据二元一次方程（组）的解之间的情况求参数】 【例7】（2025八年级上·全国·专题练习）已知关于的二元一次方程组的解满足与的值之和等于6，则的值为 ． 【变式7-1】已知方程组的解x、y满足方程，求k的值为（   ） A． B． C． D． 【变式7-2】（24-25七年级下·山东菏泽·期末）已知关于x，y的方程组的解满足等式，则m的值是 ． 【变式7-3】（25-26八年级上·全国·单元测试）若关于的方程组的解中的值比的值的相反数大2，则的值为 ． 【题型8 遮挡问题求参数】 【例8】（24-25七年级下·辽宁葫芦岛·期中）阅读下列材料：名句“运筹椎幄之中，决胜千里之外”中的“筹”原意是指“算筹”，算筹是中国古代用来记数、列式和进行各种数与式演算的一种工具．如图1，在算筹计数法中，以“立”，“卧”两种排列方式来表示单位数目，表示多位数时，个位用立式，十位用卧式、百位用立式，千位用卧式，以此类推．《九章算术》的“方程”一章中介绍了一种用“算筹图”解决一次方程组的方法．如果将算筹图从左向右的符号中，前两个符号分别代表未知数，的系数，据此图2可以列出方程为：． 请你根据上述材料中的方法，完成下列任务： 任务一： （1）根据图3和图4分别列出两个方程，并求出这两个方程的公共解； 任务二： （2）如图5，此算筹图表示一个二元一次方程组，但其中有一个符号不小心被墨水覆盖了，若前两个符号分别代表方程组中未知数，的系数，且图5所表示的方程组中的值为4，请你求出被墨水覆盖部分符号所表示的数． 【变式8-1】（25-26八年级上·全国·单元测试）小明在解关于的二元一次方程组时，不小心滴上了墨水，无法做题，老师告诉他这个方程组中的值为3，则●和的值分别为（    ） A．2，2 B．2， C．8， D．8，2 【变式8-2】小明给小红出了一道数学题：“如果我将二元一次方程组第一个方程中y的系数遮住，第二个方程中x的系数遮住，并且告诉你 是这个方程组的解，你能求出我原来的方程组吗？”请你帮小红解答这个问题. 【变式8-3】（24-25七年级下·全国·单元测试）丽丽在解方程组时，不小心碰翻了墨汁瓶，墨水盖住了两个方程的常数项．丽丽求助老师，老师给了她两条信息：“第一：方程的常数项比方程的常数项大；第二：方程组的解，是相等的．”请你帮她复原该方程组为 ． 【题型9 讨论含参二元一次方程组的解】 【例9】用现代高等代数的符号可以将方程组的系数排成一个表，这种由数列排成的表叫做矩阵．矩阵表示，，为未知数的三元一次方程组，若为定值，则与关系（   ） A． B． C． D． 【变式9-1】（24-25七年级下·浙江·阶段练习）关于x，y的方程组，下列说法正确的是 （填序号）． ①x，y，m的和为定值； ②当x为整数时，m和y也为整数； ③当y为整数时，m和x也为整数． 【变式9-2】已知关于x，y的二元一次方程组，若不论a为何值，代数式的值都为定值，则k的值为 ，这个定值为 ． 【变式9-3】已知关于x，y的方程组的解满足，其中m，n都是实数，且．若a，b均为正整数，则所有符合条件的整数n的个数为 ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $