第9章 二元一次方程组（单元自测·基础卷）数学新教材沪教版五四制六年级下册

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年六年级下册数学单元自测卷 第9章 二元一次方程组·基础通关 建议用时：90分钟，满分：100分 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．下列方程组是二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 2．下列方程组中，是三元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 3．若方程组的解满足方程，则k的值为（　　） A．1 B．3 C．5 D．7 4．《九章算术》是中国古代的一本重要数学著作，其中有一道方程的应用题：“五只雀，六只燕，共重16两，雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重．问每只雀、燕的重量各为多少？”若设雀每只两，燕每只两，则可列出方程组为（    ） A． B． C． D． 5．已知关于的方程组的解为，则关于的方程组的解是（　　） A． B． C． D． 6．对于任意有理数，，，，规定．若，满足， ，则（    ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，满分24分） 7．把方程化成用含x的式子表示y的形式为______． 8．已知是关于，的二元一次方程，则____． 9．若是关于，的方程的一组解，则的值为______． 10．利用两块形状和大小完全相同的长方体木块测量一张桌子的高度．首先按如图①所示的方式放置，再将两块木块按如图②所示的方式放置．测量的数据如图所示，则桌子的高度是______ ． 11．已知方程组的解使代数式的值等于，则a的值为 ___________________． 12．古代一歌谣：栖树一群鸦，鸦树不知数；三个坐一棵，五个地上落；五个坐一棵，闲了一棵树．意思是说，有一群乌鸦到树林休息，如果每棵树上有3只乌鸦，则有5只落在地上；如果每棵树上有5只乌鸦，则有一棵树上没有乌鸦．设共有只乌鸦，棵树，则可列方程组为___________． 13．甲、乙两人共同解方程组由于甲看错了方程中的，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的，得到方程组的解为，则的值___________． 14．若关于x、y的二元一次方程组 的解是 ，则关于、的二元一次方程组的解是_____． 15．在一个的方格中填写9个数字，使得每行每列每条对角线上的三个数之和相等，得到的的方格称为一个三阶幻方，如图，方格中填写了一些数和字母，为使该方格构成一个三阶幻方，则______________． 16．已知x、y、z满足方程组，且，则_____． 17．关于的方程组有无数组解，则________． 18．若方程的解满足，则__________． 三、解答题（本大题共8小题，58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（6分）解方程组：． 20．（6分）解方程组 21．（6分）解三元一次方程组： 22．（7分）甲、乙两人解方程组，甲正确地解得，乙因为把c看错，误认为d，解得，求、、、的值 23．（7分）若关于m，n的方程组与有相同的解，求a、b的值． 24．（8分）虹口区正在创建全国文明城区，现对区内的部分河道进行整治，现有一段长340米的河道整治任务由甲、乙两个工程队先后接力完成，甲工程队每天整治15米，乙工程队每天整治20米，共用时20天．求甲、乙两工程队分别整治河道多少米？ (1)小泓和小智两位同学提出的解题思路如下，请你补全两位同学的解题思路． ①小泓：设甲队整治x米，乙队整治y米 由题得： ②小智：设甲队工作m天，乙队工作n天 由题得： (2)请从①②中任选一个解题思路，继续完成解答过程． 25．（8分）某商店销售甲、乙两种商品．现有如下信息： 信息1：甲、乙两种商品零售单价之和是元． 信息2：按零售单价购买甲商品3件和乙商品件共需支付元． (1)根据情境中的信息，求出甲、乙两种商品的单价． (2)恰逢“”活动，乙商品降价销售，已知乙商品的成本为元，求此时的盈利率． 26．（10分）某铁件加工厂用如图1所示的长方形和正方形铁片（长方形的宽与正方形的边长相等），加工成如图2所示的竖式与横式两种无盖的长方体铁容器．（加工时接缝材料不计） (1)如果加工竖式铁容器与横式铁容器各1个，则共需要长方形铁片______张，正方形铁片______张； (2)现有长方形快片100张，正方形铁片50张，如果加工成这两种铁容器，刚好铁片全部用完，那加工的竖式铁容器、横式铁容器各有多少个？ (3)把长方体铁容器加盖则可以加工成为铁盒．现准备用33张铁板先做成长方形铁片和正方形铁片，再加工成铁盒，每张铁板有两种裁法： 方法1：可以裁出3个长方形铁片； 方法2：可以截出4个正方形铁片． 若充分利用这些铁板加工成铁盒，则可以加工成多少个铁盒？ 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年六年级下册数学单元自测卷 第9章 二元一次方程组.参考答案 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1 2 3 4 5 6 C A C A B A 二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，满分24分） 7. 8. 2 9. 10 . 50 11． 12． 13. 0 14． 15．5 16. 17． 18．2025 三.解答题（本大题共8小题，58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（6分） 【详解】解：由②，得③，……（1分） 把③代入①，得， 解得：，……（3分） 把代入③，得，……（5分） 所以原方程组的解是．……（6分） 20．（6分） 【详解】解：将方程组变形为： ②①得：，……（2分） 解得∶……（3分） 把代入①式得：，……（4分） 解得：，……（5分） 则方程组的解为：……（6分） 21．（6分） 【详解】解：， 由②③得：，即④，……（1分） 由①④得：，……（2分） 解得，……（3分） 将代入①得：， 解得，……（4分） 将，代入②得：， 解得，……（5分） 则方程组的解为．……（6分） 22．（7分） 【详解】解：把代入得： ， ，……（3分） 再根据乙把看错，误认为，解得代入得： ， ，……（5分） ，……（6分） 、、、的值是：4，5，，．……（7分） 23．（7分） 【详解】解：∵关于m，n的方程组与有相同的解， ∴关于m，n的方程组与有相同的解， 解关于m，n的方程组得：，……（1分） 解关于m，n的方程组得：，……（2分） ∵关于m，n的方程组与有相同的解， ∴，……（3分） 由②得：，……（4分） 把代入①得：，……（5分） 解得：，……（6分） ∴，．……（7分） 24．（8分） 【详解】（1）解：小泓和小智两位同学提出的解题思路如下： ①小泓：设甲队整治x米，乙队整治y米 由题得： ②小智：设甲队工作m天，乙队工作n天 由题得： 故答案为：①；②．……（4分） （2）若选择① 则， 解得 答：甲工程队整治河道180米，乙工程队整治河道160米． 若选择② 则， 解得 甲整治的河道长度：米；乙整治的河道长度：米．……（8分） 25．（8分） 【详解】（1）解：设甲商品的单价为元，乙商品的单价为元， 根据题意可得，， 解得，， 答：甲商品的单价为元，乙商品的单价为元．……（4分） （2）解：设盈利率为， 根据题意可得，， 解得，， 答：此时的盈利率为．……（8分） 26．（10分） 【详解】（1）解：如果加工竖式铁容器与横式铁容器各1个，则共需要长方形铁片张，正方形铁片张， 故答案为：7，3；……（2分） （2）解：设加工的竖式铁容器有x个，横式铁容器有y个， 根据题意得， 解得：， 答：竖式铁容器加工10个，横式铁容器加工20个；……（6分） （3）解：设做长方形铁片的铁板为m块，做正方形铁片的铁板为n块， 依题意，得：， 解得：， 在这33块铁板中，24块做长方形铁片可做（张），9块做正方形铁片可做（张），做一个铁盒需要长方形铁片4个，正方形铁片2个．因此最多可以加工铁盒18个． 答：最多可以加工成18个铁盒．……（10分） 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年六年级下册数学单元自测卷 第9章 二元一次方程组·基础通关 建议用时：90分钟，满分：100分 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．下列方程组是二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A：方程组，含有三个未知数、、，属于三元方程组，不符合二元一次方程组的定义，故此选项不符合题意． B：方程组，第一个方程中，未知数的次数为2，属于二次方程，不符合一次方程的要求，故此选项不符合题意． C：方程组，第一个方程可化简为，形式上可视为，属于二元一次方程（隐含的系数为0）；第二个方程是标准的二元一次方程．整个方程组共含两个未知数、，且每个方程均为一次方程，符合二元一次方程组的定义，故此选项符合题意． D：方程组为，含有三个未知数、、，属于三元方程组，不符合条件，故此选项不符合题意． 故选：C． 2．下列方程组中，是三元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A．是三元一次方程组，符合题意； B．方程组含有4个未知数，不是三元一次方程组，不符合题意； C．只含有2个未知数，不是三元一次方程组，不符合题意； D．方程组含有4个未知数，不是三元一次方程组，不符合题意； 故选：A． 3．若方程组的解满足方程，则k的值为（　　） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】C 【详解】解：将方程组中的三个方程相加： ∴ ∴ 将代入方程中： 解得： 故选：C． 4．《九章算术》是中国古代的一本重要数学著作，其中有一道方程的应用题：“五只雀，六只燕，共重16两，雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重．问每只雀、燕的重量各为多少？”若设雀每只两，燕每只两，则可列出方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设雀每只两，燕每只两， ． 5．已知关于的方程组的解为，则关于的方程组的解是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由题意，方程组的解为， 方程组整理得：， ∴方程组的解为：， 解得， 故选：B． 6．对于任意有理数，，，，规定．若，满足， ，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵，， ∴，解得：， ∴， 故选：． 二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，满分24分） 7．把方程化成用含x的式子表示y的形式为______． 【答案】 【详解】解： ， ， 故答案为：． 8．已知是关于，的二元一次方程，则____． 【答案】2 【详解】解：∵是关于，的二元一次方程， ∴且， ∴，， 解得， 故答案为：2． 9．若是关于，的方程的一组解，则的值为______． 【答案】 【详解】解：将代入可得， 解得：． 故答案为：． 10．利用两块形状和大小完全相同的长方体木块测量一张桌子的高度．首先按如图①所示的方式放置，再将两块木块按如图②所示的方式放置．测量的数据如图所示，则桌子的高度是______ ． 【答案】 【详解】解：设桌子的高度为，长方体的长为，宽为， 根据题意得：， 得：， ∴桌子的高度为 故答案为：． 11．已知方程组的解使代数式的值等于，则a的值为 ___________________． 【答案】 【详解】解：， 得：，即， 得：， 得：， 得：， 将，，代入中得：， 解得：． 故答案为：． 12．古代一歌谣：栖树一群鸦，鸦树不知数；三个坐一棵，五个地上落；五个坐一棵，闲了一棵树．意思是说，有一群乌鸦到树林休息，如果每棵树上有3只乌鸦，则有5只落在地上；如果每棵树上有5只乌鸦，则有一棵树上没有乌鸦．设共有只乌鸦，棵树，则可列方程组为___________． 【答案】 【详解】解：可列方程组为． 13．甲、乙两人共同解方程组由于甲看错了方程中的，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的，得到方程组的解为，则的值___________． 【答案】 【详解】解：将代入方程中可得，， 解得：， 将代入方程中可得， 解得：， ∴， 故答案为：． 14．若关于x、y的二元一次方程组 的解是 ，则关于、的二元一次方程组的解是_____． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∵方程组的解为， ∴， 解得． 15．在一个的方格中填写9个数字，使得每行每列每条对角线上的三个数之和相等，得到的的方格称为一个三阶幻方，如图，方格中填写了一些数和字母，为使该方格构成一个三阶幻方，则______________． 【答案】 【详解】根据题意可得： 解得， ∴， 故答案为：． 16．已知x、y、z满足方程组，且，则_____． 【答案】 【详解】解：，整理得：， 得：， ， 把代入①得：， ． 17．关于的方程组有无数组解，则________． 【答案】 【详解】解：， 得：， 方程组有无数组解， ，， 解得：，， ∴． 故答案为：． 18．若方程的解满足，则__________． 【答案】2025 【详解】解：方程组两个方程相加，得， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为： 三、解答题（本大题共8小题，58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（6分）解方程组：． 【详解】解：由②，得③，……（1分） 把③代入①，得， 解得：，……（3分） 把代入③，得，……（5分） 所以原方程组的解是．……（6分） 20．（6分）解方程组 【详解】解：将方程组变形为： ②①得：，……（2分） 解得∶……（3分） 把代入①式得：，……（4分） 解得：，……（5分） 则方程组的解为：……（6分） 21．（6分）解三元一次方程组： 【详解】解：， 由②③得：，即④，……（1分） 由①④得：，……（2分） 解得，……（3分） 将代入①得：， 解得，……（4分） 将，代入②得：， 解得，……（5分） 则方程组的解为．……（6分） 22．（7分）甲、乙两人解方程组，甲正确地解得，乙因为把c看错，误认为d，解得，求、、、的值 【详解】解：把代入得： ， ，……（3分） 再根据乙把看错，误认为，解得代入得： ， ，……（5分） ，……（6分） 、、、的值是：4，5，，．……（7分） 23．（7分）若关于m，n的方程组与有相同的解，求a、b的值． 【详解】解：∵关于m，n的方程组与有相同的解， ∴关于m，n的方程组与有相同的解， 解关于m，n的方程组得：，……（1分） 解关于m，n的方程组得：，……（2分） ∵关于m，n的方程组与有相同的解， ∴，……（3分） 由②得：，……（4分） 把代入①得：，……（5分） 解得：，……（6分） ∴，．……（7分） 24．（8分）虹口区正在创建全国文明城区，现对区内的部分河道进行整治，现有一段长340米的河道整治任务由甲、乙两个工程队先后接力完成，甲工程队每天整治15米，乙工程队每天整治20米，共用时20天．求甲、乙两工程队分别整治河道多少米？ (1)小泓和小智两位同学提出的解题思路如下，请你补全两位同学的解题思路． ①小泓：设甲队整治x米，乙队整治y米 由题得： ②小智：设甲队工作m天，乙队工作n天 由题得： (2)请从①②中任选一个解题思路，继续完成解答过程． 【详解】（1）解：小泓和小智两位同学提出的解题思路如下： ①小泓：设甲队整治x米，乙队整治y米 由题得： ②小智：设甲队工作m天，乙队工作n天 由题得： 故答案为：①；②．……（4分） （2）若选择① 则， 解得 答：甲工程队整治河道180米，乙工程队整治河道160米． 若选择② 则， 解得 甲整治的河道长度：米；乙整治的河道长度：米．……（8分） 25．（8分）某商店销售甲、乙两种商品．现有如下信息： 信息1：甲、乙两种商品零售单价之和是元． 信息2：按零售单价购买甲商品3件和乙商品件共需支付元． (1)根据情境中的信息，求出甲、乙两种商品的单价． (2)恰逢“”活动，乙商品降价销售，已知乙商品的成本为元，求此时的盈利率． 【详解】（1）解：设甲商品的单价为元，乙商品的单价为元， 根据题意可得，， 解得，， 答：甲商品的单价为元，乙商品的单价为元．……（4分） （2）解：设盈利率为， 根据题意可得，， 解得，， 答：此时的盈利率为．……（8分） 26．（10分）某铁件加工厂用如图1所示的长方形和正方形铁片（长方形的宽与正方形的边长相等），加工成如图2所示的竖式与横式两种无盖的长方体铁容器．（加工时接缝材料不计） (1)如果加工竖式铁容器与横式铁容器各1个，则共需要长方形铁片______张，正方形铁片______张； (2)现有长方形快片100张，正方形铁片50张，如果加工成这两种铁容器，刚好铁片全部用完，那加工的竖式铁容器、横式铁容器各有多少个？ (3)把长方体铁容器加盖则可以加工成为铁盒．现准备用33张铁板先做成长方形铁片和正方形铁片，再加工成铁盒，每张铁板有两种裁法： 方法1：可以裁出3个长方形铁片； 方法2：可以截出4个正方形铁片． 若充分利用这些铁板加工成铁盒，则可以加工成多少个铁盒？ 【详解】（1）解：如果加工竖式铁容器与横式铁容器各1个，则共需要长方形铁片张，正方形铁片张， 故答案为：7，3；……（2分） （2）解：设加工的竖式铁容器有x个，横式铁容器有y个， 根据题意得， 解得：， 答：竖式铁容器加工10个，横式铁容器加工20个；……（6分） （3）解：设做长方形铁片的铁板为m块，做正方形铁片的铁板为n块， 依题意，得：， 解得：， 在这33块铁板中，24块做长方形铁片可做（张），9块做正方形铁片可做（张），做一个铁盒需要长方形铁片4个，正方形铁片2个．因此最多可以加工铁盒18个． 答：最多可以加工成18个铁盒．……（10分） 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年六年级下册数学单元自测卷 第9章 二元一次方程组·基础通关 建议用时：90分钟，满分：100分 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．下列方程组是二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 2．下列方程组中，是三元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 3．若方程组的解满足方程，则k的值为（　　） A．1 B．3 C．5 D．7 4．《九章算术》是中国古代的一本重要数学著作，其中有一道方程的应用题：“五只雀，六只燕，共重16两，雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重．问每只雀、燕的重量各为多少？”若设雀每只两，燕每只两，则可列出方程组为（    ） A． B． C． D． 5．已知关于的方程组的解为，则关于的方程组的解是（　　） A． B． C． D． 6．对于任意有理数，，，，规定．若，满足， ，则（    ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，满分24分） 7．把方程化成用含x的式子表示y的形式为______． 8．已知是关于，的二元一次方程，则____． 9．若是关于，的方程的一组解，则的值为______． 10．利用两块形状和大小完全相同的长方体木块测量一张桌子的高度．首先按如图①所示的方式放置，再将两块木块按如图②所示的方式放置．测量的数据如图所示，则桌子的高度是______ ． 11．已知方程组的解使代数式的值等于，则a的值为 ___________________． 12．古代一歌谣：栖树一群鸦，鸦树不知数；三个坐一棵，五个地上落；五个坐一棵，闲了一棵树．意思是说，有一群乌鸦到树林休息，如果每棵树上有3只乌鸦，则有5只落在地上；如果每棵树上有5只乌鸦，则有一棵树上没有乌鸦．设共有只乌鸦，棵树，则可列方程组为___________． 13．甲、乙两人共同解方程组由于甲看错了方程中的，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的，得到方程组的解为，则的值___________． 14．若关于x、y的二元一次方程组 的解是 ，则关于、的二元一次方程组的解是_____． 15．在一个的方格中填写9个数字，使得每行每列每条对角线上的三个数之和相等，得到的的方格称为一个三阶幻方，如图，方格中填写了一些数和字母，为使该方格构成一个三阶幻方，则______________． 16．已知x、y、z满足方程组，且，则_____． 17．关于的方程组有无数组解，则________． 18．若方程的解满足，则__________． 三、解答题（本大题共8小题，58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（6分）解方程组：． 20．（6分）解方程组 21．（6分）解三元一次方程组： 22．（7分）甲、乙两人解方程组，甲正确地解得，乙因为把c看错，误认为d，解得，求、、、的值 23．（7分）若关于m，n的方程组与有相同的解，求a、b的值． 24．（8分）虹口区正在创建全国文明城区，现对区内的部分河道进行整治，现有一段长340米的河道整治任务由甲、乙两个工程队先后接力完成，甲工程队每天整治15米，乙工程队每天整治20米，共用时20天．求甲、乙两工程队分别整治河道多少米？ (1)小泓和小智两位同学提出的解题思路如下，请你补全两位同学的解题思路． ①小泓：设甲队整治x米，乙队整治y米 由题得： ②小智：设甲队工作m天，乙队工作n天 由题得： (2)请从①②中任选一个解题思路，继续完成解答过程． 25．（8分）某商店销售甲、乙两种商品．现有如下信息： 信息1：甲、乙两种商品零售单价之和是元． 信息2：按零售单价购买甲商品3件和乙商品件共需支付元． (1)根据情境中的信息，求出甲、乙两种商品的单价． (2)恰逢“”活动，乙商品降价销售，已知乙商品的成本为元，求此时的盈利率． 26．（10分）某铁件加工厂用如图1所示的长方形和正方形铁片（长方形的宽与正方形的边长相等），加工成如图2所示的竖式与横式两种无盖的长方体铁容器．（加工时接缝材料不计） (1)如果加工竖式铁容器与横式铁容器各1个，则共需要长方形铁片______张，正方形铁片______张； (2)现有长方形快片100张，正方形铁片50张，如果加工成这两种铁容器，刚好铁片全部用完，那加工的竖式铁容器、横式铁容器各有多少个？ (3)把长方体铁容器加盖则可以加工成为铁盒．现准备用33张铁板先做成长方形铁片和正方形铁片，再加工成铁盒，每张铁板有两种裁法： 方法1：可以裁出3个长方形铁片； 方法2：可以截出4个正方形铁片． 若充分利用这些铁板加工成铁盒，则可以加工成多少个铁盒？ 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $