专题06 反比例函数的图象性质及实际应用题（六大压轴题专项训练）数学新教材沪教版五四制八年级下册

**基本信息** 以k值为核心，通过六类题型系统构建从图象判断到综合应用的解题方法体系，注重几何直观与模型意识培养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |根据k的正负判断图象|2例+3变式|先定k符号，再判象限与增减性|从概念本质出发，建立k与图象的直接关联| |k值的几何意义|2例+3变式|用垂线围图形面积求|深化k的几何表征，连接代数与几何| |与一次函数图象判断|2例+3变式|统一k符号验证函数图象特征|融合一次函数知识，培养综合辨析能力| |与一次函数综合|2例+3变式|联立求交点，坐标割补算面积|提升方程思想与运算能力，解决复杂问题| |实际问题|2例+3变式|提取反比例关系，代入求k解应用|强化模型意识，实现数学与现实联结| |规律问题|2例+3变式|算前几项→找规律→归纳公式|发展抽象能力，培养逻辑推理素养|

专题06 反比例函数的图象性质及实际应用题 目录 典例讲解 类型一、根据k的正负判断图象 类型二、反比例函数k值的几何意义 类型三、反比例函数与一次函数的图象判断 类型四、反比例函数与一次函数的综合 类型五、利用反比例函数解决实际问题 类型六、反比例函数规律问题 压轴专练 类型一、根据k的正负判断图象 处理方式： 解题时先牢记反比例函数基本形式，时图象在一、三象限，随增大而减小；时图象在二、四象限，随增大而增大。判断时先确定的符号，再对应象限与增减性，注意、，双曲线不与坐标轴相交。 【例1】函数在平面直角坐标系中的图像如图所示，则在该平面直角坐标系中，函数的大致图像是（    ）    A．   B．   C．   D．   【答案】A 【详解】∵ ∴ ∴函数的图象可以看作由函数的图象向右平移2个单位长度得到 故选：A 【点睛】本题考查反比例函数的图象，理解两个函数图象的特点是解题的关键． 【例2】当时，反比例函数的最大值为m，则反比例函数的最大值为________．（用含m的式子表示） 【答案】 【详解】解：∵，即，且， ∴， ∴自变量的取值范围在的负半轴上， 由得，在每个象限内的图象，随的增大而减小， 则，在每个象限内的图象，随的增大而增大， 在内，当时，反比例函数取得最大值为m， ∴， ∴， ∴， 在内，当时，反比例函数取得最大值， ∴． 【变式1-1】在平面直角坐标系中，函数的图象是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 【详解】解：由题意得，当时，，则此时图象分布在第四象限； 当时，，则此时图象分布在第三象限； 故选C． 【变式1-2】已知点，，在反比例函数的图象上，且，则下列结论一定正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【详解】解：∵反比例函数， ∴函数图象在第一象限，第三象限，在每个象限中，随的增大而减小； A、当，， ∴点，点在同一个象限， 若三个点都在第一象限时，则；若，则 ∴A错误； B、当，， ∴点，点在同一个象限， 若三点在第一象限，则；若点在第三象限，则； B、错误； C、当， ∴点，点在不同的象限， ∵， ∴点在第三象限，点在第一象限， ∴当点在第一象限时，；当点在第三象限时，； ∴C错误； D、当， ∴点在第三象限，点在第一象限，点在第一象限， ∴； D、正确． 【变式1-3】反比例函数的图象如图所示，以下结论： ①常数； ②随的增大而减小； ③若，在图象上，则； ④若在图象上，则不一定在图象上．其中正确的是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】C 【详解】解：观察图象得：函数图象位于第一、三象限， ∴在每一象限内，y随x的增大而减小，，故①②错误； 当时，， 当时，， ∴，故③正确； ∵， ∴， ∴， ∴若在图象上，则一定在图象上，故④错误． 故选：C． 类型二、反比例函数k值的几何意义 处理方式： 核心是过双曲线上任意一点作轴、轴垂线，所得矩形面积恒等于，三角形面积为。解题先找垂线围成的图形，用面积公式求出，再结合图象所在象限确定的正负，注意面积一定为正，可正可负。 【例3】如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点在轴上，顶点在反比例函数的图象上，顶点在反比例函数的图象上，则平行四边形的面积是___________． 【答案】14 【详解】过A作于点M，过C作于点N，如图， ∵在平行四边形中，，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可得：， ∵顶点在反比例函数的图象上， ∴， ∵， ∴， 同理可得：， ∴，， ∴． 【例4】如图，点A在的图象上，过点A作轴，垂足为B，过点A作轴，垂足为，交的图象于点E，连接，若，四边形的面积为7，则__________． 【答案】6 【详解】解：由题意知，，， ∵轴，轴，点A在的图象上，点E在的图象上， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， 故答案为：6． 【变式2-1】如图，在平面直角坐标系中，点A为函数的图象上一点，连接，点B为的中点，将点B向右平移到函数图象上的点C处．若的面积为2，则k的值为（    ） A． B．4 C． D．6 【答案】C 【详解】解：设点，点A为函数的图象上一点， 则，即， 又点B为的中点，则， 将点B向右平移到函数图象上的点C处， 所以，即， 所以点， 因为的面积为2， 所以，即， 整理得， 解得． 【变式2-2】如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点在反比例函数的图象上，点在轴上，边交该反比例函数的图象于点，连接，若，则的面积为___________． 【答案】4 【详解】解：如图，过点作轴于点， ， ， ， 点在反比例函数的图象上， ， ， 四边形是平行四边形， 点到的距离相等， ． 【变式2-3】如图，在平面直角坐标系中，点分别在反比例函数和的图象上，是轴上的一个动点，连接，，．若轴，且的面积为5，则k的值为______． 【答案】 【详解】解：轴， 、两点纵坐标相同，设其为， 点在上， 坐标为， 点在上， 坐标为， ， 的面积为5， ， 解得． 类型三、反比例函数与一次函数的图象判断 处理方式： 先分别判断两个函数图象，同一题目中值符号保持一致，一次函数看斜率与截距，反比例函数看象限分布。逐一验证选项中两个函数的符号是否统一，排除矛盾选项，注意的正负必须同时满足两个函数图象特征。 【例5】在同一平面直角坐标系中，函数与的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：反比例函数在一、三象限， ， 当时，， 直线与轴的交点坐标是， 直线与轴的交点在轴的正半轴， 故A选项错误； 反比例函数在二、四象限， ， 一次函数中随的增大而减小， 故B选项错误； 反比例函数在二、四象限， ， 一次函数中随的增大而减小， 故C选项错误； 反比例函数在一、三象限， ， 一次函数中随的增大而增大， 当时，， 直线与轴的交点坐标是， 直线与轴的交点在轴的正半轴， 故D选项正确． 故选：D． 【例6】反比例函数与一次函数（其中为自变量，为非零常数）在同一直角坐标系中的大致图象可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A：根据反比例函数图象，得即，根据一次函数图象，得，且交点在y轴的正半轴上,则，矛盾，不符合题意； B：根据反比例函数图象，得即，根据一次函数图象，得，且交点在y轴的正半轴上，故，且，符合题意； C：根据反比例函数图象，得即，根据一次函数图象，得，矛盾，不符合题意； D：根据反比例函数图象，得即，根据一次函数图象，得,且交点在y轴的负半轴上矛盾，不符合题意． 【变式3-1】一次函数与反比例函数，其中，，均为常数，它们在同一坐标系中的图象可以是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A选项：一次函数的图像是随的增大而减小， ， 一次函数的图像与轴的交点在轴的正半轴， ， ， 反比例函数在第二、四象限， 故A选项错误； B选项：一次函数的图像是随的增大而减小， ， 一次函数的图像与轴的交点在轴的正半轴， ， ， 反比例函数在第二、四象限， 故B选项正确； C选项：一次函数的图像是随的增大而增大， ， 一次函数的图像与轴的交点在轴的负半轴， ， ， 反比例函数在第一、三象限， 故C选项错误； D选项：一次函数的图像是随的增大而增大， ， 一次函数的图像与轴的交点在轴的正半轴， ， 又， 一次函数的图像不成立， 故D选项错误． 故选：B． 【变式3-2】和在同一坐标系内的图像可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 【详解】解：A．由一次函数的图像可知，由反比例函数图像可知，存在矛盾，不符合题意； B．由一次函数的图像可知，由反比例函数图像可知，不存在矛盾，符合题意； C．由一次函数的增减性来看，又其与y轴的交点在y轴的负半轴，即，即存在矛盾，不符合题意； D．由一次函数的增减性来看，又其与y轴的交点在y轴的负半轴，即，即存在矛盾，不符合题意． 故选B． 【变式3-3】一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、一次函数的图象经过第一、二、三象限，则，即，反比例函数的图象经过第二、四象限，则，即，二者不一致，不符合题意； B、一次函数的图象经过第一、二、四象限，则，此种情况不成立，不符合题意； C、一次函数的图象经过第一、二、四象限，则，此种情况不成立，不符合题意； D、一次函数的图象经过第一、三、四象限，则，即，反比例函数的图象经过第二、四象限，则，即，二者一致，符合题意； 类型四、反比例函数与一次函数的综合 处理方式： 先联立解析式构成方程组，求解得到交点坐标，再用交点信息求解析式、判断增减性或计算面积。求交点用联立消元法，求值代入点坐标，求面积结合的几何意义或坐标割补法，步骤清晰、计算准确。 【例7】将直线沿轴平移个单位，与反比例函数的图象只有一个公共点，则实数的值是______． 【答案】1或7 【分析】 【详解】解：分两种情况讨论： ①将直线沿轴向上平移个单位， ∴平移后解析式为：， 联立， 整理得：， ∴，即， 解得，或， ∵， ∴舍去， ∴； ②将直线沿轴向下平移个单位， ∴平移后解析式为： 联立， 整理得：， ， 解得，或， ∵， ∴舍去， ∴； 综上，实数的值为或． 【例8】如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)将一次函数的图象沿轴向下平移，使直线经过点，交轴于点．连接，求的面积； (3)请直接写出关于的不等式的解集． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】 【详解】（1）解：将代入双曲线， ∴, ∴双曲线的解析式为， 将点代入， ∴, ∴, 将代入, ， 解得， ∴直线解析式为； （2）∵直线向下平移至,    ∴, 设直线的解析式为将点代入 ∴解得 ∴直线的解析式为 ∴ 过点作交于, 设直线与轴的交点为，与轴的交点为, ∴, ∵, ∴, ∵, ， ， ∵， ， ， ∴的面积 （3）由图可知或时, 【变式4-1】已知双曲线与函数的图象有两个交点，则b的值是________． 【答案】4 【详解】解：由函数得，且， 联立，则， ∴， ∵， ∴必有两个不相等的实数根， ∵时，，且双曲线的图象在第一、三象限， ∴与的图象在第一象限必有一个交点； 联立，则， ∴， ∵与的图象在第一象限有一个交点， ∴要使总交点数为2， ∴与的图象必有一个交点， ∴有两个相等的实数根， ∴， 解得， 当时，则，解得， 当时，，符合题意； 当时，则，解得， ∵， ∴不符合题意，舍去； 综上所述，． 【变式4-2】如图，一次函数的图象与x轴，y轴分别交于两点，与反比例函数的图象交于点C，过点B作x轴的平行线与反比例函数的图象交于点D，连接． (1)求一次函数的解析式； (2)若是以为底边的等腰三角形，求k的值． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）解：一次函数的图象过两点 ， ． （2）解：如图，过点C作，垂足为E， ， ， 令，则， ， 点D的坐标为， 点C的坐标为， 点C在一次函数的图象上， ， 解得． 【变式4-3】在平面直角坐标系中，一次函数的图象与函数的图象的一个交点为． (1)求a值及一次函数的表达式； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值大于函数的值，且小于一次函数的值，直接写出n的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】 【详解】（1）解：将点代入， 得：， 解得， ∴， 将点代入， 得：， 解得， ∴一次函数的解析式为． （2）解：联立与， 得：，解得或， ∴一次函数的图象与函数的图象的交点为，， 如图，作一次函数的图象和函数的图象， ∵当时，，， ∴当直线过点时，， ∴， 当直线过点时，， ∴， ∵当时，对于x的每一个值，函数的值都大于函数的值，且小于一次函数的值， ∴n的取值范围是．nn 类型五、利用反比例函数解决实际问题 处理方式： 先从实际情境中提取变量关系，确定成反比例关系，设出解析式，代入已知数据求出值。再根据题目要求代入求值或判断变化趋势，注意实际问题中、通常取正值，结果要符合现实意义。 【例9】如图1，这是某电路图，滑动变阻器的电阻为，电功率为，关于的反比例函数图像如图2所示．某同学通过调节电阻，发现当从增加到时，电功率减少了，则当时，的值为（   ） A．18 B．15 C．12 D．10 【答案】D 【详解】解：设关于的反比例函数关系式为，当时，功率为，则当时，功率为， ∴，， ∴，解得， ∴， ， 当时，，即当时，P的值为． 【例10】一款有能量回收功能的电动车的一次加速到停止加速后因能量回收产生的速度衰减过程大致趋势如图，轴为时间轴（单位：每个单位长度为一个单位时间），轴为速度轴（每个单位长度为一个单位速度），研究该车在较短的一段时间内（）的速度的大小关于时间的函数，该车加速的过程近似于一个一次函数图像的一部分，速度衰减过程近似于一个反比例函数图像的一部分． (1)根据图中信息，分别求出两段图像所对应的函数的解析式，并写出各自的定义域； (2)若有另一辆同款电动车，与原电动车同时以同样的起始速度启动加速，但在30个单位时间内都不停止加速，那么两车的速度差能否达到10个单位速度的差距？若可能，问经过多少个单位时间达到此速度差；若不可能，请说明理由． 【答案】(1)加速段：，自变量取值范围 ．衰减段： 解析式为，自变量取值范围 ． (2)两车的速度差能达到10个单位速度的差距，个单位时间达到此速度差． 【分析】 【详解】（1）解：加速段：设解析式为，代入，得 ， 解得，， ∴，自变量取值范围 ． 衰减段：设解析式为，代入得 ， ∴解析式为，自变量取值范围 ． （2）解：由题意可得另一辆车速度函数：（）． 当 时，两车速度相同，速度差为0，无法达到10． 当 时，有， ， ， 解得或（舍去）， 经检验，是原分式方程的解． ∴两车的速度差能达到10个单位速度的差距，个单位时间达到此速度差． 【变式5-1】某种型号的温控水箱的工作过程是：接通电源后，在初始温度下加热水箱中的水；当水温达到设定温度时，加热停止；此后水箱中的水温开始逐渐下降，当下降到时，再次自动加热水箱中的水至时，加热停止；当水箱中的水温下降到时，再次自动加热，按照以上方式不断循环． 小明根据学习函数的经验，对该型号温控水箱中的水温随时间变化的规律进行了探究．发现水温是时间的函数，其中（单位：）表示水箱中水的温度．（单位：min）表示接通电源后的时间．下面是小明的探究过程，请补充完整： 下表记录了内14个时间点的温控水箱中水的温度随时间的变化情况 接通电源后的时间（单位：min） 0 1 2 3 4 5 8 10 16 18 20 21 24 32 水箱中水的温度（单位：℃） 20 35 50 65 80 64 40 32 20 50 64 40 20 (1)的值为___________； (2)①如图，在平面直角坐标系中，描出了上表中部分数据对应的点，根据描出的点，画出当时，温度随时间变化的函数图象； ②求出当时最符合表中数据的函数解析式； (3)如果水温随时间的变化规律不变，预测水温第9次达到时，距离接通电源___________min． 【答案】(1)80 (2)①图象见解析；② (3)66 【分析】 【详解】（1）解：由题意可知，阶段，为加热，且每分钟水温上升， 又， ∴20分钟时，对应的水温为，即； （2）解：①图象如下： ②由表格，可知， ∴当时，， 由表格，可知，当，y是x的一次函数，由题意，， 设， 代入，得， ∴， ∴； （3）解：由表格和图象可知，每16分钟一循环， 在第一个16分钟，当和时，水温为， 故每个16分钟，有2次水温为，第9次为第5个16分钟的第1次， 此时（分钟）． 【变式5-2】如图，为做好校园疫情防控工作，学校对教室进行喷雾消毒，已知喷雾阶段教室内每立方米空气中含药量与时间成正比例，喷雾完成后与成反比例（如图所示）．当每立方米空气中含药量低于时，对人体无毒害作用，则下列说法中正确的是（   ） A．每立方米空气中含药量从上升到需要2分钟 B．每立方米空气中含药量下降过程中，与的函数关系式是 C．为了确保对人体无毒害作用，消毒开始25分钟后学生才能进入教室 D．每立方米空气中含药量不低于的持续时间为10分钟 【答案】C 【分析】 【详解】解：设喷雾阶段函数解析式为， 由题意得， 解得， ∴此阶段函数解析式为； 设喷雾结束后函数解析式为， 由题意得， 解得， ∴此阶段函数解析式为； A.在喷雾阶段，当时，，当时，，共需要，故此选项不符合题意． B.每立方米空气中含药量下降过程中，与的函数关系式是，故此选项不符合题意． C.喷雾结束后，当时，，为了确保对人体无毒害作用，消毒开始后学生才能进入教室，故此选项符合题意． D.在喷雾阶段，当时，，在喷雾结束后，当时，，所以每立方米空气中含药量不低于的持续时间为，故此选项不符合题意． 故选：C． 【变式5-3】某工艺品的制作有、两道工序，其中工序需在材料温度为下操作，工序需在材料温度为下操作．生产时，先将材料进行加热，加热过程中，温度是时间的一次函数；加热到后停止加热，随后转入冷却过程，此时温度与时间成反比例；当温度降到时，保温功能会自动启动，将材料温度保持在．某天早上，工人开始加热材料，设材料温度为，从加热开始计算的时间为（分）材料温度随时间的变化情况如图所示． (1)分别求出材料加热与冷却过程中，关于的函数表达式． (2)当时，求可进行工序操作的时间． (3)若工人需要在开始再次进行工序的操作，则他应最迟何时开始对材料进行重新加热？ 【答案】(1)加热阶段：，降温阶段： (2)可进行工序操作的时间为分钟 (3)最迟应在开始重新加热材料 【分析】 【详解】（1）解：加热阶段： 据题可知，图像过点和，设函数表达式为， 将代入得：，解得， 则加热阶段表达式为； 降温阶段： 设函数表达式为，将代入得：， 则表达式为， 将代入得， 则降温阶段表达式为． （2）解：将代入可得：， 将代入得：， 则可进行工序操作的时间为分钟． （3）解：由，则应在冷却阶段再次加热， 再次加热时，设函数表达式为，由题意，图象过点，代入得：， 解得，则， 令，即，解得：或（舍）， 故最迟应在开始重新加热材料． 类型六、反比例函数规律问题 处理方式： 先计算前几个点的坐标或值，找出序号与坐标、面积之间的规律，写出通项表达式。按“算前几项→找规律→归纳公式→代入验证”四步解题，重点观察横纵坐标、图形面积的变化周期，确保规律适用所有项。 【例11】如图，等腰三角形的底边均在轴负半轴上，且每个等腰三角形的底边长相等，顶点均在反比例函数的图象上，已知第个等腰三角形顶点的横坐标为，第个等腰三角形顶点的横坐标为，，依此类推，则第个等腰三角形顶点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由题意知，每个等腰三角形的底边长均为，且顶点在反比例函数的图象上， ∵第个等腰三角形顶点的横坐标为， 第个等腰三角形顶点的横坐标为， 第个等腰三角形顶点的横坐标为， ， ∴第个等腰三角形顶点的横坐标为， ∴第个等腰三角形顶点的纵坐标为， ∴第个等腰三角形顶点的坐标为， 故选：． 【例12】在直角坐标系中，点在函数（k是常数，，）上，点，，，⋯⋯在x轴上，，，，⋯均为等边三角形． 【探究】 (1) ； (2) ； (3) ； 【答案】(1) (2) (3) 【分析】 【详解】（1）解：∵是等边三角形，且点的坐标为， ， ∵点P在函数（k是常数，，）上， ∴， 故答案为：； （2）解：过点作轴于，如图所示： 设， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵点在函数上， ∴，即， 解得或（舍去）， ∴， 故答案为：； （3）解：由（2）可得，， 过点作轴于点H，设， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵点在函数上， ∴， 解得，（舍去）， ∴， 同理可得，， ⋯， 以此类推即可猜想：， 故答案为：． 【点睛】本题考查数字变化类、等边三角形的性质、解一元二次方程、勾股定理、用待定系数法求反比例函数解析式、反比例函数图象上点的坐标的特征，过点分别作x轴的垂线，构造直角三角形是解题的关键． 【变式6-1】观察下列等式：，，，…，运用你发现的规律解决以下问题：如图，直线，，，…，（且n为整数）与反比例函数的图象分别交于点，，，…，，则______． 【答案】 【详解】解：∵直线，，，…，（且n为整数）与反比例函数的图象分别交于点，，，…，， ∴，，，，，…，， ∴ ． 故答案为： 【变式6-2】如图，平面直角坐标系中，边长为1的正方形的顶点A、B分别在x轴、y轴上，点在反比例函数的图象上，过的中点作矩形，使顶点落在反比例函数的图象上，再过的中点作矩形，使顶点落在反比例函数的图象上，…，依此规律，作出矩形时，落在反比例函数图象上的顶点的横坐标为______． 【答案】 【详解】解：∵正方形的边长为1，点在反比例函数（）的图象上， ∴， ∴， ∴反比例函数的解析式为：， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴． 同理可得得… ∴， 当时，． 故答案为：． 【变式6-3】如图，在轴的正半轴上依次截取，过分别作轴的垂线，与双曲线相交于，得，设它们的面积从左到右依次为，按此规律，则______． 【答案】 【详解】解：过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积是个定值，， ，，， ， ， ∴， 同理可得 以此类推，． ， 故答案为：． 1．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象在第一象限内交于点，且该一次函数的图象与轴正半轴交于点，过分别作轴的垂线，垂足分别为．若点为反比例函数图象在之间的动点，作射线交直线于点N．给出下面四个结论： ①； ②四边形的面积为； ③当点的坐标为时，线段的长度最大； ④当点的坐标为时，线段的长度最大． 上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】A 【详解】解：一次函数，则， ，解得或， ，则， ，，故①正确； 由题可知四边形为直角梯形，且， 四边形的面积为，故②错误； ∵点A与点B关于直线对称，反比例函数关于对称， ∴当的解析式为时，的长度最大， 解方程组得或， ∴此时M点的坐标为，故③正确； 当的长度最大时，求对应的点的坐标， 得 此时N点的坐标为，故④错误． 2．如图：点A、B在反比例函数的图象上，过点A、B作x轴的垂线，垂足分别是M、N，射线交x轴于点C，若，四边形的面积是3，则k的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵点A、B在反比例函数y的图象上， ∴， ∵， ∴， ∴，，， ∵四边形的面积是3， ∴， ∴， ∴， ∵反比例函数的图象在第二四象限， ∴ 3．一次函数（）与反比例函数（，）的图象交于点P，点P的纵坐标为．过反比例函数图象上的点M（与点P不重合）作y轴垂线，垂足为点N，交的图象于点Q，其中O为坐标原点．若，则下列选项正确的是（   ） A． B．m的值为 C．当时，反比例函数的值大于一次函数的值 D．点M的坐标为 【答案】D 【详解】解：， ，， 轴，，点Q在上，， ， ，解得，故选项A错误，不符合题意； ， 一次函数解析式为， 点P是两函数图象的交点，且纵坐标为， 当时，，解得，即， 则，故选项B错误，不符合题意； 反比例函数解析式为， 则两函数图象如图所示， 交点， 由图可知，当时，反比例函数的值小于一次函数的值，故选项C错误，不符合题意； 点M与Q纵坐标相同，， ， 点M在反比例函数上， ，即，故选项D正确，符合题意． 4．如图，在中，，，点和点都在反比例函数图象上，过点作轴于点，过点作轴于点．的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：作于点，作于点， 设点的坐标为，点的坐标为， ， ， ， ， ，， ， ，， ，，，， ，整理得， ，整理得， ，整理得，解得或， ， ，即， ． 5．如图，在平面直角坐标系中，点，点，以为边，在x轴上方作正方形，双曲线经过点B，其中，若直线将正方形的面积分为两部分，则k的值为________． 【答案】或 【详解】解：∵点，点， ∴， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， 如图1所示，当直线L与分别交于点M，点N时， 在中，当时，，当时，， ∴， ∵直线将正方形的面积分为两部分， ∴， ∴， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∵双曲线经过点B， ∴； 如图2所示，当直线L与分别交于点M，点N时， 在中，当时，，当时，， ∴， 同理可得， ∴， 解得或（舍去）， ∴同理可得点B的坐标为， ∴； 综上所述，k的值为或． 6．如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，点，线段绕点逆时针旋转得到线段，点都在双曲线上，则的值为_____． 【答案】6 【详解】解：如图所示，过点作轴于点，过点作轴于点， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，且四边形为平行四边形， ∴， ∴， 假设，则，即， ∵点都在双曲线上， ∴， 解得， ∴， ∴的值为． 7．如图，在平面直角坐标系中，点A为反比例函数的图象上一点，连接并延长到点B，使，将点向下平移个单位长度得到点，点恰好在反比例函数的图象上，连接并延长交轴于点，连接．已知的面积为，则的长为______． 【答案】 【详解】解：如图，过点作轴于点， ∵点，点在反比例函数的图象上，的面积为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点向下平移个单位长度得到点， ∴， ∴， ∵的面积为， ∴， ∴． 8．如图，在中，．动点从点出发，沿运动，速度为每秒1个单位长度，同时点以相同的速度从点出发沿射线运动．设运动时间为秒，的面积为，的面积与的面积之比为．        (1)请直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； (2)在平面直角坐标系中，画出函数的图像，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图像，请直接写出时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过）． 【答案】(1)， (2)函数的图像见解析，函数的性质：当时，y随x增大而增大；时，y随x的增大而减小； (3)或． 【分析】 【详解】（1）解：∵在中，， ∴； 如图：当点P在上，即时，，边上的高为， ∴，即； 如图：当点P在上，即时，，边上的高为， ∴，即； 综上； 如图：由题意可得：，过B作于D，则是和的高， ∴，即． （2）解：按照描点、连线画出函数图像如下： 函数的性质：当时，y随x增大而增大；时，y随x的增大而减小． （3）解：由函数图像可知：当时，或， ∴当时，或． 9．如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． (1)求正比例函数与反比例函数的解析式； (2)将正比例函数的图象沿轴平移得直线与轴交于点，若的面积为，求与的值． 【答案】(1)正比例函数的解析式为，反比例函数的解析式为 (2)， 【分析】 【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数的解析式为， 把代入，得， ∴， ∵在正比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴正比例函数的解析式为； （2）解：∵直线是正比例函数的图象沿轴平移得到， ∴， ∴， 把代入 ，得， 解得， ∴， ∴， ∵点关于原点对称， ∴， ∴， 又∵的面积为， ∴， 解得． 10．如图，反比例函数与一次函数的图象相交于和两点． (1)求这两个函数的解析式： (2)如图，直线与反比例函数的图象的另一个交点为点，点是第四象限反比例函数图象上的一点，当的面积为6时，求点的坐标； (3)在第（2）问的条件下，若点为轴上的点，则在反比例函数的图象上是否存在点，使得以点、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有符合条件的点的坐标：若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)或 (3)存在，或 【分析】 【详解】（1）解：将点代入，得， ， 将代入，得， ， ， 将点、代入，得 ， 解得， ； （2）解：连接，过作轴的平行线交直线于点 直线与反比例函数交于点， 、关于原点对称， ， 是的中点， 的面积为6， 的面积为3， ，， 直线的表达式为：， 设，则， ， ， ， 当时，解得：（舍去）或， ， 当时解得：（舍去）或， ， 综上所述：点的坐标为或； （3）解：存在点，理由如下： 设，， 当为对角线时， 解得， ； 当为对角线时，， 解得， ； 综上所述：点坐标为：或． 11．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点，与轴交于点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式． (2)求的面积． (3)将线段沿某一方向进行平移后得到线段，使得点落在反比例函数的图象上，点落在轴上，直接写出平移后点的坐标． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】 【详解】（1）解：∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点， ∴把点的纵横坐标代入，得， ∴， ∴反比例函数解析式为； 把点代入得， ∴； 把和代入得：， 解得， ∴一次函数解析式为：； （2）解：对于，当时，； ∴ ∴； 当时，， 解得：， ∴； ∴ ； （3）解：设， ∵点平移后在对应点在轴上， ∴点的纵坐标为0， ∴线段向下平移1个单位， ∴点的纵坐标为， 把代入得， 平移后点的坐标为． 12．如图，直线与反比例函数（）的图像交于点和两点． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)直接写出当x为何值时，； (3)若点C为直线下方且在x轴上的一点，当时，求的面积． 【答案】(1)， (2)或 (3) 【分析】 【详解】（1）解：点和两点在反比例函数的图像上， ， ， 点A、B的坐标为和， 依题意知：， 反比例函数的解析式为：， 把A、B两点的坐标代入一次函数表达式中： ， 解得：， 一次函数的解析式为：； （2），即，也就是反比例函数图像在一次函数图像上方， 或； （3）如图，设直线与x轴的交点为D，点C的坐标为， 在直线中，令，即解得：， ， 过点C作y轴的平行线，分别过A、B作于点F，于点E，如下图所示， ， ， ， ， ， ， ， ， ，（不符合题意，舍去）， 检验：当时，， 是方程的解， ， ， ． 【点睛】本题考查了一次函数和反比例函数的解析式求解以及函数图像的应用，掌握一次函数和反比例函数的特征是解题的关键． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 反比例函数的图象性质及实际应用题 目录 典例讲解 类型一、根据k的正负判断图象 类型二、反比例函数k值的几何意义 类型三、反比例函数与一次函数的图象判断 类型四、反比例函数与一次函数的综合 类型五、利用反比例函数解决实际问题 类型六、反比例函数规律问题 压轴专练 类型一、根据k的正负判断图象 处理方式： 解题时先牢记反比例函数基本形式，时图象在一、三象限，随增大而减小；时图象在二、四象限，随增大而增大。判断时先确定的符号，再对应象限与增减性，注意、，双曲线不与坐标轴相交。 【例1】函数在平面直角坐标系中的图像如图所示，则在该平面直角坐标系中，函数的大致图像是（    ）    A．   B．   C．   D．   【例2】当时，反比例函数的最大值为m，则反比例函数的最大值为________．（用含m的式子表示） 【变式1-1】在平面直角坐标系中，函数的图象是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】已知点，，在反比例函数的图象上，且，则下列结论一定正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式1-3】反比例函数的图象如图所示，以下结论： ①常数； ②随的增大而减小； ③若，在图象上，则； ④若在图象上，则不一定在图象上．其中正确的是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 类型二、反比例函数k值的几何意义 处理方式： 核心是过双曲线上任意一点作轴、轴垂线，所得矩形面积恒等于，三角形面积为。解题先找垂线围成的图形，用面积公式求出，再结合图象所在象限确定的正负，注意面积一定为正，可正可负。 【例3】如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点在轴上，顶点在反比例函数的图象上，顶点在反比例函数的图象上，则平行四边形的面积是___________． 【例4】如图，点A在的图象上，过点A作轴，垂足为B，过点A作轴，垂足为，交的图象于点E，连接，若，四边形的面积为7，则__________． 【变式2-1】如图，在平面直角坐标系中，点A为函数的图象上一点，连接，点B为的中点，将点B向右平移到函数图象上的点C处．若的面积为2，则k的值为（    ） A． B．4 C． D．6 【变式2-2】如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点在反比例函数的图象上，点在轴上，边交该反比例函数的图象于点，连接，若，则的面积为___________． 【变式2-3】如图，在平面直角坐标系中，点分别在反比例函数和的图象上，是轴上的一个动点，连接，，．若轴，且的面积为5，则k的值为______． 类型三、反比例函数与一次函数的图象判断 处理方式： 先分别判断两个函数图象，同一题目中值符号保持一致，一次函数看斜率与截距，反比例函数看象限分布。逐一验证选项中两个函数的符号是否统一，排除矛盾选项，注意的正负必须同时满足两个函数图象特征。 【例5】在同一平面直角坐标系中，函数与的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【例6】反比例函数与一次函数（其中为自变量，为非零常数）在同一直角坐标系中的大致图象可以是（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】一次函数与反比例函数，其中，，均为常数，它们在同一坐标系中的图象可以是（　　） A． B． C． D． 【变式3-2】和在同一坐标系内的图像可能是（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 类型四、反比例函数与一次函数的综合 处理方式： 先联立解析式构成方程组，求解得到交点坐标，再用交点信息求解析式、判断增减性或计算面积。求交点用联立消元法，求值代入点坐标，求面积结合的几何意义或坐标割补法，步骤清晰、计算准确。 【例7】将直线沿轴平移个单位，与反比例函数的图象只有一个公共点，则实数的值是______． 【例8】如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)将一次函数的图象沿轴向下平移，使直线经过点，交轴于点．连接，求的面积； (3)请直接写出关于的不等式的解集． 【变式4-1】已知双曲线与函数的图象有两个交点，则b的值是________． 【变式4-2】如图，一次函数的图象与x轴，y轴分别交于两点，与反比例函数的图象交于点C，过点B作x轴的平行线与反比例函数的图象交于点D，连接． (1)求一次函数的解析式； (2)若是以为底边的等腰三角形，求k的值． 【变式4-3】在平面直角坐标系中，一次函数的图象与函数的图象的一个交点为． (1)求a值及一次函数的表达式； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值大于函数的值，且小于一次函数的值，直接写出n的取值范围． 类型五、利用反比例函数解决实际问题 处理方式： 先从实际情境中提取变量关系，确定成反比例关系，设出解析式，代入已知数据求出值。再根据题目要求代入求值或判断变化趋势，注意实际问题中、通常取正值，结果要符合现实意义。 【例9】如图1，这是某电路图，滑动变阻器的电阻为，电功率为，关于的反比例函数图像如图2所示．某同学通过调节电阻，发现当从增加到时，电功率减少了，则当时，的值为（   ） A．18 B．15 C．12 D．10 【例10】一款有能量回收功能的电动车的一次加速到停止加速后因能量回收产生的速度衰减过程大致趋势如图，轴为时间轴（单位：每个单位长度为一个单位时间），轴为速度轴（每个单位长度为一个单位速度），研究该车在较短的一段时间内（）的速度的大小关于时间的函数，该车加速的过程近似于一个一次函数图像的一部分，速度衰减过程近似于一个反比例函数图像的一部分． (1)根据图中信息，分别求出两段图像所对应的函数的解析式，并写出各自的定义域； (2)若有另一辆同款电动车，与原电动车同时以同样的起始速度启动加速，但在30个单位时间内都不停止加速，那么两车的速度差能否达到10个单位速度的差距？若可能，问经过多少个单位时间达到此速度差；若不可能，请说明理由． 【变式5-1】某种型号的温控水箱的工作过程是：接通电源后，在初始温度下加热水箱中的水；当水温达到设定温度时，加热停止；此后水箱中的水温开始逐渐下降，当下降到时，再次自动加热水箱中的水至时，加热停止；当水箱中的水温下降到时，再次自动加热，按照以上方式不断循环． 小明根据学习函数的经验，对该型号温控水箱中的水温随时间变化的规律进行了探究．发现水温是时间的函数，其中（单位：）表示水箱中水的温度．（单位：min）表示接通电源后的时间．下面是小明的探究过程，请补充完整： 下表记录了内14个时间点的温控水箱中水的温度随时间的变化情况 接通电源后的时间（单位：min） 0 1 2 3 4 5 8 10 16 18 20 21 24 32 水箱中水的温度（单位：℃） 20 35 50 65 80 64 40 32 20 50 64 40 20 (1)的值为___________； (2)①如图，在平面直角坐标系中，描出了上表中部分数据对应的点，根据描出的点，画出当时，温度随时间变化的函数图象； ②求出当时最符合表中数据的函数解析式； (3)如果水温随时间的变化规律不变，预测水温第9次达到时，距离接通电源___________min． 【变式5-2】如图，为做好校园疫情防控工作，学校对教室进行喷雾消毒，已知喷雾阶段教室内每立方米空气中含药量与时间成正比例，喷雾完成后与成反比例（如图所示）．当每立方米空气中含药量低于时，对人体无毒害作用，则下列说法中正确的是（   ） A．每立方米空气中含药量从上升到需要2分钟 B．每立方米空气中含药量下降过程中，与的函数关系式是 C．为了确保对人体无毒害作用，消毒开始25分钟后学生才能进入教室 D．每立方米空气中含药量不低于的持续时间为10分钟 【变式5-3】某工艺品的制作有、两道工序，其中工序需在材料温度为下操作，工序需在材料温度为下操作．生产时，先将材料进行加热，加热过程中，温度是时间的一次函数；加热到后停止加热，随后转入冷却过程，此时温度与时间成反比例；当温度降到时，保温功能会自动启动，将材料温度保持在．某天早上，工人开始加热材料，设材料温度为，从加热开始计算的时间为（分）材料温度随时间的变化情况如图所示． (1)分别求出材料加热与冷却过程中，关于的函数表达式． (2)当时，求可进行工序操作的时间． (3)若工人需要在开始再次进行工序的操作，则他应最迟何时开始对材料进行重新加热？ 类型六、反比例函数规律问题 处理方式： 先计算前几个点的坐标或值，找出序号与坐标、面积之间的规律，写出通项表达式。按“算前几项→找规律→归纳公式→代入验证”四步解题，重点观察横纵坐标、图形面积的变化周期，确保规律适用所有项。 【例11】如图，等腰三角形的底边均在轴负半轴上，且每个等腰三角形的底边长相等，顶点均在反比例函数的图象上，已知第个等腰三角形顶点的横坐标为，第个等腰三角形顶点的横坐标为，，依此类推，则第个等腰三角形顶点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【例12】在直角坐标系中，点在函数（k是常数，，）上，点，，，⋯⋯在x轴上，，，，⋯均为等边三角形． 【探究】 (1) ； (2) ； (3) ； 【变式6-1】观察下列等式：，，，…，运用你发现的规律解决以下问题：如图，直线，，，…，（且n为整数）与反比例函数的图象分别交于点，，，…，，则______． 【变式6-2】如图，平面直角坐标系中，边长为1的正方形的顶点A、B分别在x轴、y轴上，点在反比例函数的图象上，过的中点作矩形，使顶点落在反比例函数的图象上，再过的中点作矩形，使顶点落在反比例函数的图象上，…，依此规律，作出矩形时，落在反比例函数图象上的顶点的横坐标为______． 【变式6-3】如图，在轴的正半轴上依次截取，过分别作轴的垂线，与双曲线相交于，得，设它们的面积从左到右依次为，按此规律，则______． 1．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象在第一象限内交于点，且该一次函数的图象与轴正半轴交于点，过分别作轴的垂线，垂足分别为．若点为反比例函数图象在之间的动点，作射线交直线于点N．给出下面四个结论： ①； ②四边形的面积为； ③当点的坐标为时，线段的长度最大； ④当点的坐标为时，线段的长度最大． 上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 2．如图：点A、B在反比例函数的图象上，过点A、B作x轴的垂线，垂足分别是M、N，射线交x轴于点C，若，四边形的面积是3，则k的值为（    ） A． B． C． D． 3．一次函数（）与反比例函数（，）的图象交于点P，点P的纵坐标为．过反比例函数图象上的点M（与点P不重合）作y轴垂线，垂足为点N，交的图象于点Q，其中O为坐标原点．若，则下列选项正确的是（   ） A． B．m的值为 C．当时，反比例函数的值大于一次函数的值 D．点M的坐标为 4．如图，在中，，，点和点都在反比例函数图象上，过点作轴于点，过点作轴于点．的值为（   ） A． B． C． D． 5．如图，在平面直角坐标系中，点，点，以为边，在x轴上方作正方形，双曲线经过点B，其中，若直线将正方形的面积分为两部分，则k的值为________． 6．如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，点，线段绕点逆时针旋转得到线段，点都在双曲线上，则的值为_____． 7．如图，在平面直角坐标系中，点A为反比例函数的图象上一点，连接并延长到点B，使，将点向下平移个单位长度得到点，点恰好在反比例函数的图象上，连接并延长交轴于点，连接．已知的面积为，则的长为______． 8．如图，在中，．动点从点出发，沿运动，速度为每秒1个单位长度，同时点以相同的速度从点出发沿射线运动．设运动时间为秒，的面积为，的面积与的面积之比为．        (1)请直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； (2)在平面直角坐标系中，画出函数的图像，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图像，请直接写出时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过）． 9．如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． (1)求正比例函数与反比例函数的解析式； (2)将正比例函数的图象沿轴平移得直线与轴交于点，若的面积为，求与的值． 10．如图，反比例函数与一次函数的图象相交于和两点． (1)求这两个函数的解析式： (2)如图，直线与反比例函数的图象的另一个交点为点，点是第四象限反比例函数图象上的一点，当的面积为6时，求点的坐标； (3)在第（2）问的条件下，若点为轴上的点，则在反比例函数的图象上是否存在点，使得以点、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有符合条件的点的坐标：若不存在，请说明理由． 11．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点，与轴交于点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式． (2)求的面积． (3)将线段沿某一方向进行平移后得到线段，使得点落在反比例函数的图象上，点落在轴上，直接写出平移后点的坐标． 12．如图，直线与反比例函数（）的图像交于点和两点． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)直接写出当x为何值时，； (3)若点C为直线下方且在x轴上的一点，当时，求的面积． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $