专题02 矩形、菱形、正方形的性质与判定（九大压轴题专项训练）数学新教材沪教版五四制八年级下册

品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题02矩形、菱形、正方形的性质与判定 目录 典例讲解 类型一、利用矩形的性质求角度、线段长、面积 类型二、矩形的判定 类型三、矩形的判定与性质的综合 类型四、利用菱形的性质求角度、线段长、面积 类型五、菱形的判定 类型六、菱形的判定与性质的综合 类型七、利用正方形的性质求角度、线段长、面积 类型八、正方形的判定 类型九、正方形的判定与性质的综合 压轴专练 典例详解 类型一、利用矩形的性质求角度、线段长、面积 处理方式：矩形的性质 (1)矩形的对边平行且相等；(2)矩形的四个角都是直角；(3)矩形的对角线相等。 1.如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转90°后，得到矩形ABCD,如果CD=2DA=2,那么CC'的长度 等于() A.5 B.2W5 C.√1o D.210 【答案】C 1/74 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【分析】 【详解】解：：将矩形ABCD绕点A顺时针旋转90°后，得到矩形ABCD, .∠CAC'=90°=LCDA,AC=AC', .CD=2DA=2, .DA=1, 在R△ACD中，由勾股定理得：AC=√AD'+CD?=2+22=√5， 在Rt△CAC'中，由勾股定理得：CC'=√AC2+AC2=√o, 故选：C 2.如图，在矩形ABCD中，AB=5,AD=12,对角线AC与BD交于点O,点E为BC边上的一个动点， EF⊥AC,EG⊥BD,垂足分别为点F,G,则EF+EG的值为() G 30 B. C. 60 12 13 13 【答案】C 【详解】解：作CH⊥BD于点H,连接OE, D B E :四边形ABCD是矩形， :.AC=BD.OC=0A=1AC,OB=OD=1BD, 2 ∴.0C=0B, :∠BCD=90°，CD=AB=5,BC=AD=12, BD=VCD2+BC2=V52+122=13, 0C=0B=x13=13, 2 2/74 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D.CH-BC.CD= 3-CH-5x12. 解得：CH=60 3 :EF⊥AC,EG⊥BD,S.cOE+S.BOE=SBoc, F0B-FG-o8-cm. EF+EG=CH=60 3 故选：C 3.如图，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O,过点O的直线分别交AD和BC于点E、F,AB=3, BC=4,则图中阴影部分的面积为一 G D B F 【答案】6 【详解】解：：四边形ABCD是矩形， :AO=CO,BO=DO,AD∥BC,∠ABC=90°， ∴.∠OAE=∠OCF, 又∠AOE=∠COF, △AOE≌aCOF(SAS), ..S.4OE =S.COF .S阴影=S.COF+SBOF+S.DOC =S.AOE+S.BOF+S.DOC =S.BCD 1 25矩形cD LAB×BC 2 3/74 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 =6, 故答案为：6. 4.如图，在矩形ABCD中，AB=6,BC=8,P是AD上的动点，PE⊥AC于E,PF⊥BD于F,则 PE+PF的值是 P D E 【指1号 【分析】 【详解】解：连接OP, :矩形ABCD中，AB=6,BC=8, A D B 1 LABC=90°，S4Op= AB·BC=×6×8=12, 4 4 ∴AC=BD=VAB2+BC2=10, 0A=0D=5, S.40D=S.40P+.PD 04PE+0DF=2, .5PE+5PF=24, PE+PF-5 24 故答案为：5 4 5.翻花绳是中国民间流传的儿童游戏，在中国不同的地域，有不同的称法，如线翻花、翻花鼓、挑绷绷、 4/74 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 解股等等.图①是翻花绳的一种图案，可以抽象成图②.在矩形ABCD中，J∥KL,EF∥GH, ∠1=∠2=30°.求∠3的度数. G B H 图① 图② 【答案】60° 【详解】解：如图，设J交EF于点O,交GH于点M,KL交EF于点N,交GH于点P. G 04 5 四边形ABCD是矩形， 2 H :∠C=∠D=90°， .∠1+∠MJG=90°，∠2+∠MGJ=90°. ∠1=∠2=30°， ∠MJG=∠MGJ=60°， ∠GMJ=180°-∠MJG-∠MGJ=60°， .∠5=60°. J∥KL,EF∥GH, ·四边形NPMO是平行四边形， .∠4=∠5=60°， .∠3=∠4=60°. 【点晴】本题考查了矩形的性质、平行线的性质与平行四边形的判定及性质，掌握矩形的直角性质、利用 三角形内角和求角，及平行四边形的角相等传递角的关系是解题的关键 6.如图，在矩形ABCD中，点E在AD边上，且EC平分∠BED.若AB=I,BC=√2，求∠ECD的度数. 5/74 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D B 【答案】∠ECD=22.5° 【分析】 【详解】解：过点C作CM⊥BE交BE于点M,如图. M :四边形ABCD是矩形， .∠EDC=∠EMC=90°. :EC平分∠BED, ∠CEM=∠CED. 在△EMC和△EDC中， ∠EMC=∠EDC, ∠CEM=∠CED, EC=EC, △EMC≌AEDC(AAS), .∠MCE=∠DCE,MC=DC=AB=1. 在Rt△BMC中，BM=√BC2-MC2=V(N2)2-12=1=MC, “△BMC为等腰直角三角形， :∠BCM=45°， .∠MCD=45°， LECD=22.5°. 类型二、 矩形的判定 处理方式：矩形的判定 (1)有一个角是直角的平行四边形是矩形：(2)对角线相等的平行四边形是矩形； 6/74 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (3)有三各直角的四边形是矩形 7.如图，己知四边形ABCD是平行四边形，添加下列条件，能判定平行四边形ABCD是矩形的是() B A.∠A+∠B=180 B.∠B+∠C=180 C.∠A=∠B D.∠B=∠D 【答案】C 【分析】 【详解】解：A、在平行四边形ABCD中，AD‖BC,根据平行线性质，∠A+∠B=180°是恒成立的，这只 是平行四边形的基本性质，不能判定它是矩形，不符合题意； B、在平行四边形ABCD中，AB‖DC,根据平行线性质，∠B+∠C=180°也是恒成立的，不能判定它是矩 形，不符合题意； C、在平行四边形ABCD中，AD‖BC,,∠A+∠B=180°，若∠A=∠B,则可推出∠A=∠B=90°.根据“有 一个角是直角的平行四边形是矩形”，可判定平行四边形ABCD是矩形，符合题意； D、在平行四边形ABCD中，本身就有对角相等的性质，即∠B=∠D,这不能判定它是矩形，不符合题意. 故选：C 8.如图，在口ABCD中，M,N是BD上的两点，BM=DN,连接AM,MC,CN,NA.为使得四边 形AMCN是矩形，可以添加的一个条件是」 _(写出一种情况即可). D 【答案】∠AMC=90°（答案不唯一） 【分析】 【详解】解：添加的一个条件是：∠AMC=90°. 理由如下：：四边形ABCD是平行四边形， .0A=0C,0B=0D, BM DN, 7/74 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 .0B-BM OD-DN OM=ON :.四边形AMCN是平行四边形， 又：∠AMC=90°， :.四边形AMCN是矩形，添加的条件符合要求. 故答案为：AMC=90°（答案不唯一）. 9.如图，在口ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,点E,F每秒运动1个单位长度，分别从点A,C 出发，沿AC,CA方向运动.若AC=12,BD=8,则经过 S后，四边形BEDF是矩形. D B 【答案】2或10 【详解】解：设运动的时间为s, :四边形ABCD是平行四边形，AC=12,BD=8, 01=0c-4C=6,0B=00-BD=4. 由题意可知，AE=CF=t, 0E=0F=6-1或0E=0F=1-6, ·四边形BEDF是平行四边形， ·当EF=BD时，四边形BEDF是矩形， .0E=0D,即6-t=4或t-6=4, .t=2或t=10. 故经过2s或1Os后，四边形BEDF是矩形. 【点睛】此题重点考查平行四边形的性质、矩形的判定、动点问题的求解等知识与方法，正确地用代数式 表示OE、OF的长是解题的关键， 10.如图，在菱形ABCD中，∠BAD=60°，点E是AD边的中点.点M是AB边上一动点（不与点A重合）， 延长ME交射线CD的延长线于点N,连接MD,AW. 8/74 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B (I)求证：△NED≌△MEA; (2)当点M在什么位置时，四边形AMDN是矩形？请证明你的结论 【答案】(1)见解析 2当AM=AB时，四边形AMDN是矩形，证明见解析 【分析】 【详解】(1)证明：：四边形ABCD为菱形， CD∥AB, .∠DNE=∠AME, E为AD的中点， .DE=AE, 在△NED和△MEA中， ∠DNE=∠AME ∠DEN=∠AEM, DE=AE :△NED≌△MEA(AAS); (2)解：当AM=AB时，四边形AMDN是矩形，证明如下： 由(1)知aNED≌aMEA, .NE =ME, 又：DE=AE, :四边形AMDN是平行四边形， .AD=2AE,NM =2ME, :菱形ABCD,E为AD中点， :.AE=1AD=1AB=AM, 2 2 又：∠DAB=60°， 9/74 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 .△MEA为等边三角形， ∴.AE=ME, .AD MN, :平行四边形AMDN为矩形. 11.如图，ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC.设MN交∠ACB的平分线于点E ·交∠ACB的外角平分线于点F. (1)求证：OE=OF: (②)当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)点O在AC中点时，理由见解析 【分析】 【详解】(1)证明：：MW‖BC, .∠OEC=∠BCE, 又CE是∠ACB的平分线， ∠OCE=LBCE, ∴.∠OEC=∠OCE, .0E=0C, 同理，可得0F=0C, ..OE=OF; (2)解：当点O为AC的中点时，四边形AECF是矩形， 理由：当点O为AC的中点时，0A=OC, 又由(1)，得0E=OF, :四边形AECF是平行四边形， :CE是∠ACB的平分线，CF是∠ACD的平分线， i∠ocE=4cB,40cp-4cD, 10/74 专题02 矩形、菱形、正方形的性质与判定 目录 典例讲解 类型一、利用矩形的性质求角度、线段长、面积 类型二、矩形的判定 类型三、矩形的判定与性质的综合 类型四、利用菱形的性质求角度、线段长、面积 类型五、菱形的判定 类型六、菱形的判定与性质的综合 类型七、利用正方形的性质求角度、线段长、面积 类型八、正方形的判定 类型九、正方形的判定与性质的综合 压轴专练 类型一、利用矩形的性质求角度、线段长、面积 处理方式：矩形的性质 （1）矩形的对边平行且相等；（2）矩形的四个角都是直角；（3）矩形的对角线相等。 1．如图，将矩形绕点顺时针旋转后，得到矩形，如果，那么的长度等于（    ） A． B． C． D． 2．如图，在矩形中，，，对角线与交于点O，点E为边上的一个动点，，，垂足分别为点F，G，则的值为（　　） A． B． C． D． 3．如图，矩形的对角线和相交于点O，过点O的直线分别交和于点、，，，则图中阴影部分的面积为 ． 4．如图，在矩形中，，，P是上的动点，于E，于F，则的值是 ． 5．翻花绳是中国民间流传的儿童游戏，在中国不同的地域，有不同的称法，如线翻花、翻花鼓、挑绷绷、解股等等．图①是翻花绳的一种图案，可以抽象成图②．在矩形中，，，．求的度数． 6．如图，在矩形ABCD中，点E在AD边上，且EC平分．若，，求的度数． 类型二、矩形的判定 处理方式：矩形的判定 （1）有一个角是直角的平行四边形是矩形；（2）对角线相等的平行四边形是矩形； （3）有三各直角的四边形是矩形 7．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，添加下列条件，能判定平行四边形ABCD是矩形的是（    ） A． B． C． D． 8．如图，在中，，是上的两点，，连接，，，．为使得四边形是矩形，可以添加的一个条件是 （写出一种情况即可）． 9．如图，在中，对角线，相交于点，点，每秒运动1个单位长度，分别从点，出发，沿，方向运动．若，，则经过 后，四边形是矩形． 10．如图，在菱形中，，点是边的中点．点是边上一动点（不与点重合），延长交射线的延长线于点，连接． (1)求证：； (2)当点在什么位置时，四边形是矩形？请证明你的结论． 11．如图，中，点O是边上一个动点，过O作直线．设交的平分线于点E．交的外角平分线于点F． (1)求证：； (2)当点O在边上运动到什么位置时，四边形是矩形？并说明理由． 类型三、矩形的判定与性质的综合 12．如图，在四边形中，，，，，点E、F分别是、的中点，连接、，则线段的长是（    ） A． B． C． D．8 13．如图，在中，，，，P为边上一动点，于E，于，为的中点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 14．如图，在中，为斜边的中点，． （1）线段的长为 ； （2）过点作的垂线，与相交于点，若，则边的长为 ． 15．矩形中，点在对角线上，过作的平行线交于，交于，连接和，已知，，则图中阴影部分的面积是 ． 16．如图，点是菱形对角线的交点，过点作，过点作，与相交于点． (1)求证：四边形是矩形． (2)若，，求矩形的面积． 类型四、利用菱形的性质求角度、线段长、面积 处理方式：菱形的性质： （1）边：菱形的四条边都相等． （2）对角线：菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角． （3）菱形的面积：菱形的面积等于对角线乘积的一半． 17．如图，在菱形中，点，分别在，上，且，与交于点，连接．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 18．如图，将菱形绕点按逆时针方向旋转得到菱形，当平分时，则与之间的数量关系是（    ） A． B． C． D． 19．如图，菱形中，，，于，则等于（    ）． A． B． C． D． 20．如图，在菱形中，连接，的垂直平分线分别交、于点E、F，连接．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 21．已知菱形在平面直角坐标系中位置如图所示，，点在轴正半轴上，点的坐标为，点是对角线的中点，，则点的坐标为 ． 22．如图，把3个相同的矩形填充到菱形中，如果图中阴影部分的周长为22，且小矩形的长与宽之比为，那么菱形的面积为 ． 23．如图，在菱形中，对角线，交于点，点是边上一点，连接，把沿直线翻折到菱形所在平面内得到，点正好落在的延长线上，若，则的度数为 ． 类型五、菱形的判定 处理方式：菱形的判定： （1）有一组邻边相等的平行四边形是菱形（定义） （2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形（对角线） （3）四条边相等的四边形是菱形（边） 24．如图，在四边形中，，且．添加下列条件，不能判定四边形为菱形的是（   ） A． B． C． D． 25．如图，在中，对角线相交于点，点在上，且，添加一个适当的条件，使四边形是菱形，这个条件可以是 ．（填一个正确条件即可） 26．如图是正五边形，连接对角线，，与相交于点O．试判断四边形的形状，并说明理由． 27．如图，在矩形中，是对角线． (1)尺规作图：请用无刻度的直尺和圆规，作线段的垂直平分线，垂足为点O，与边，分别交于点E，F（要求：不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，连接，，求证：四边形为菱形． 28．如图，在中，，，．点从点出发沿方向以每秒2个单位的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以每秒1个单位的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点，运动的时间是．过点作于点，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当的值为多少时，四边形为菱形？并求出该菱形的面积． 29．如图．在中，，过点B作于点D．点E为的中点，连接，过点E作交的延长线于点F．若，求证：四边形是菱形． 类型六、菱形的判定与性质的综合 30．如图，在中，，D是中点，，是的角平分线，连接、． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求的长． 31．如图，在中，，是的斜边上的中线，过点和点分别作和的平行线交于点． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求四边形的面积． 32．如图，平行四边形中，平分交于点E，F为边上的点，且，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)连接，若，，，求的长． 33．如图，矩形的对角线与相交于点O，，直线是线段的垂直平分线，分别交，于点F，G，连接． (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)当时，求四边形的面积． 34．如图，四边形的对角线、交于点O，延长至点E，使得，连接交边于点F，点D、F分别是、的中点，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求四边形的面积． 35．如图，是的角平分线，过点作，交于点，在上取一点，连接，使得． (1)求证：四边形是菱形． (2)若，，，求的长度和四边形的面积． 类型七、利用正方形的性质求角度、线段长、面积 处理方式：正方形的性质： （1）具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质 （2）正方形的四个角都是直角，四条边都相等 （3）正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角 （4）正方形是轴对称图形，有4条对称轴 （5）正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，两条对角线把正方形分成四个全等的小等腰直角三角形 （6）正方形的一条对角线上的一点到另一条对角线的两端点的距离相等。 36．如图，四边形是正方形，是等边三角形，则等于（    ）    A． B． C． D． 37．点为正方形中对角线上一点（点不与端点、重合），当为等腰三角形时，的度数为 ． 38．如图，、分别在正方形的边、上，连结、、，且，将绕点顺时针旋转，点与点重合，得到，若，则的周长为 ． 39．如图，点和点分别在正方形纸片的边和上，连接，，沿所在直线折叠该纸片，点恰好落在线段上的点处．若正方形纸片的边长为12，，则的长为 ． 40．四边形不具有稳定性．如图，改变正方形ABCD的内角，使正方形ABCD变为菱形．如果，那么菱形与正方形ABCD的面积之比是 ． 类型八、正方形的判定 处理方式：正方形的判定： （1）有一个角是直角的菱形是正方形； （2）对角线相等的菱形是正方形； （3）对角线互相垂直的矩形是正方形。 注意：判定一个四边形为正方形的一般顺序如下：先证明它是平行四边形，再证明它是菱形（或矩形），最后证明它是矩形（或菱形）。 41．如图，在中，是边的中点，过点作直线，交的平分线于点，交的外角平分线于点，连接，．当 时，四边形是正方形． 42．如图，在中，，过点C的直线，D为边上一点，过点D作，垂足为F，交直线于E，连接． (1)求证：； (2)若点为中点，当______时，四边形是正方形． 43．如图，在中，过点的直线，为边上一点、过点作，交直线于，垂足为，连接． (1)求证：； (2)当在中点时，四边形是什么特殊四边形？说明你的理由； (3)若为中点，则当________时，四边形是正方形（直接写出答案）． 44．如图，在菱形中，对角线与相交于点，过点作的平行线，过点作的平行线，两直线相交于点． (1)求证：四边形是矩形； (2)当______时，四边形是正方形，并证明你的结论． 45．如图所示，分别是四边形各边中点，连接，则四边形为________形．在横线上填上合适的条件，并说明你所填条件的合理性． （1）当四边形满足________条件时，四边形是菱形． （2）当四边形满足________条件时，四边形是矩形． （3）当四边形满足________条件时，四边形是正方形． 类型九、正方形的判定与性质的综合 46．如图，分别为正方形的边上的点，且，则图中的值为（    ） A． B． C． D． 47．直角梯形中，是边上的一点，恰好使，并且，则的长是 ． 48．如图，在矩形中，，点E是边上的一个动点，连接，将沿折叠，点B落在点F处，当为直角三角形时，的长为 ．    49．在正方形中，，点在对角线上，．点E、F分别在边、上，且，连接、，则的最小值为 ． 50．如图，四边形为正方形，点E为对角线上一点，连接，过点E作 交边于点 F，以为邻边作矩形，连接．若，则 ． 51．已知：是的角平分线，点在边上，，过点作，交于点F，连接． (1)如图1，求证：四边形是菱形； (2)如图2，当时，请直接写出图2中度数为2倍的角． 一、单选题 1．如图，点是正方形的中心（对角线的交点），以点为直角顶点作，的两直角边，分别交，于点，，若正方形的边长为8，则重叠部分四边形的面积为（    ） A．6 B．9 C．12 D．16 2．如图，在正方形和正方形中，点在上，点在同一条直线上，，，是的中点，连接，则的长是（    ）． A．6 B． C． D．10 3．矩形中，，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于长为半径画弧交于点P，作射线，过点C作的垂线分别交，于点M，N，则的长为（    ） A． B． C．4 D．5 4．如图，正方形的边长为，点在边上，连接，过点作，与的延长线相交于点，连接，与边相交于点，与对角线相交于点．若，则的长为（   ） A．2 B． C． D． 二、填空题 5．如图，在中，，，点D在直线上，，连结，以为斜边在直线的上方作等腰直角三角形，则点E到直线的距离是 6．如图，正方形的对角线长为10．是的平分线，点E是边上的动点，在上找一点F，使得的值最小，则最小值为 ． 7．如图，在边长为6的正方形内作，交于点E，交于点F，连接，将绕点A顺时针旋转得到．若，则的长为 ． 8．如图，四边形是正方形，E为上一点，将绕点A顺时针旋转至，连接，于点H，交于点G，若，，则的长为 ． 三、解答题 9．如图，已知正方形 的边长为1，P，E分别是上的点，且，． (1)求证：四边形是正方形； (2)若点P在线段上移动，其他条件不变，设，求y关于x的表达式，并写出自变量x的取值范围． 10．如图，四边形是矩形，点是的中点，将绕点旋转，分别交于点，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求菱形的面积． 11．如图1，将矩形绕点逆时针方向旋转得到矩形，连接． (1)若，求的度数； (2)如图2，当点落在边上时，连接与交于点．求证：是的中点． 12．如图（1），在平面直角坐标系中，轴于，轴于，点，，过点作分别交线段、于、两点． (1)若，求证：． (2)如图（2），且，，求的值． 13．如图，在中，边的垂直平分线分别交边，于点D，E，点F是线段的中点，过点D作，交的延长线于点G，连接． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，，，求的面积． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $