第26章 反比例函数（压轴题专项训练）数学新教材沪教版五四制八年级下册

**基本信息** 聚焦反比例函数压轴题，以几何综合、动态问题、实际应用为载体，系统覆盖k值计算、函数交点、面积关系等核心考点，强化数形结合与逻辑推理。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础性质应用|单选1-2、填空7-9|点坐标与函数关系、参数范围|从反比例函数定义到图象性质的直接应用| |函数与几何综合|单选3-6、填空10-18|结合正方形、三角形等图形求k值|几何图形性质与函数表达式的转化推导| |实际情境建模|单选4、填空8、解答21|水温变化、密度测量等实际问题|实际问题抽象为反比例函数模型的过程| |综合探究|解答19-24|新定义运算、存在性问题、平移综合|函数与代数、几何知识的综合应用与推理|

品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 第26章 反比例函数 (压轴题专项训川练) 一、单选题 1.已知点A-1,y小，B(a,在反比例函数y=-1的图象上，若乃，>，则a的取值范围是() A.a>-1 B.a<-1或a>0 C.-1<a<0 D.a<-1 【答案】C 【详解】解：：反比例函数y=-1中，k=-1<0, ·函数图象分布在第二、四象限，且每个象限内，y随x的增大而增大， :点A(-1,)在反比例函数图象上， 1 代入得=1， y2>,即y2>1>0, :点B(a,y2)在第二象限， .a<0, :第二象限内y随x增大而增大，y2>, .a>-1, 综上，a的取值范围是-1<a<0. 2.如图，一次函数y=ax(a≠0)与反比例函数y=(k≠0，x>0)的图象交于点A2,4),过点4作x轴的平 行线1，将直线y=ax向上平移b(b>0)个单位长度后、分别与x轴，反比例函数，直线1交于点B,C,D.当 CD≥BD时，b的取值范围为() B O A.0<b≤6 B.b≥6 C.0<b≤4 D.b≥4 【答案】B 1/35 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【详解】将点4(2,4)分别代入一次函数y=axa≠0)与反比例函数y=k≠0，x>0中， 得4=20,4=今，解得a=2,:8. 8 ·一次函数的解析式为y=2x,反比例函数的解析式为y=二， :.将直线y=2x向上平移b个单位长度后得到的新直线的解析式为y=2x+b. :AD∥x轴，A(2,4), :点D的纵坐标为4，易得点D的坐标为 4-b 20 、2,4 点B的坐标为 b 当D为BC的中点时，点C的坐标为 4-28 :点C在反比例函数y-8的图象上， b 4-2 ×8=8,解得b=6, 结合函数图象可得，当CD≥BD时，b的取值范围为b≥26. 3.如图，点A在y轴正半轴上，点C在反比例函数y=《(x>0)的图象上，线段4C交反比例函数图象于 点D,连接OD并延长至点B,使得BC∥y轴，如果OA=AB=BC=3,则k的值为() YA A.2 B.4W2 C.4 D.2N2 【答案】D 【详解】解：如图，连接OC,过点C作CM⊥x轴于点M, M :BC∥y轴，即BC∥OA,OA=BC, .四边形OABC是平行四边形， 又：0A=AB, 2/35 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 .四边形OABC是菱形， .OC=0A=3,点D是AC的中点， c :A(0,3,点D是AC的中点， 1 k D 2 :点D在反比例函数图象上， .1 k3 2 =k, 解得m=k, m ∴.CM=1, 在Rt△C0M中，0M=V0C2-CM2=V32-12=2√2， ·m=k=2√2. 4.长江高级中学的自动饮水机，开机加热时每分钟上升10℃，加热到100℃，停止加热，水温开始下降.此 时水温y(℃)与通电时间x(mi)成反比例关系.当水温降至20℃时，饮水机再自动加热，若水温在 20℃时接通电源，水温y与通电时间x之间的关系如图所示，则下列说法中正确的是() y/C 100 20 0 x/min A.水温从20℃加热到100℃，需要7min B.水温下降过程中，y与x的函数关系式是y=400 C.上午8点接通电源，可以保证当天9：30能喝到不超过40℃的水 D.水温不低于30C的时间为3min 77 【答案】D 3/35 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【分析】 【详解】解：：水温从20℃加热到100℃，升温幅度为100-20=80℃，加热速度是每分钟10℃ .所需时间为80÷10=8min,故A项错误 :加热到100℃时，用时8min,即此时x=8,y=100,降温阶段y与x成反比例， “设y=,代入得100=， k =8,解得及=800，即y=800, 故B项错误. 上午8点接通电源，9：30距离接通电源的时间为90min, 当y=20时，代入y=800 ，得x=40,即40min后水温降至20℃，然后饮水机再次加热8min后，水温再次 升到100℃，90-40-40-8=2min, 当x=2时，y=20+2×10.20=40,故上午8点接通电源，可以保证当天9：30不能喝到不超过40C的水， 8 故C项错误 加热阶段：水温从20℃到100℃，当y=30时，20+10x=30,解得x=1,加热阶段满足y≥30的时间是 8-1=7min 降温阶段：代入y=30到y三，存r=80 3,降温阶段满足y≥30的时间是80-8=80.24_56 in. 3 333 总时间为7+56-7 min,故D项正确 33 故选：D, 5.如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点O在原点，C,A分别在x轴和y轴的正半轴上，反 比例函数y=(k>0)的图象交AB边于点E,交BC边于点D,连接E0并延长，交y=k>O)的图象于点 X F,连接DE,D0,DF,若AE:EB=1:2,SDoF=12,则k的值等于() A.3 B.6 C.9 D.12 【答案】C 【详解】解：设正方形OABC的边长为3a, 4/35 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 AE:EB=1:2, :AE a,EB 2a,E(a,3a). 将Ea,3a)代入y=, ，得k=a×3a=3a2. D在BC上，横坐标为3a,代入y=冬，得y-3 =a, 3a ..D(3a,a) :OE与0F关于原点对称， 0E=0F, S.EOD =S.FOD =12. 由割补法，SEoD=SE方形0HBc-S。AOE-S0cD-S,BED *3axa 1 =3a×3a- 2×3axa ×2a×2a=4a2. 1 S.E0D=12, .4a2=12,解得a2=3, ∴.k=3a2=9、 故选：C 6.如图，A0B是等腰直角三角形，∠AB0=90°，双曲线y=《(x>0,k>0)经过点B,将线段AB绕点 A(4,0)顺时针旋转90°交双曲线于点C,连接BC,则ABC的面积是() B 0 A.4 B.4N2 C.4v2-4 D.8V2-8 【答案】C 【详解】解：过点B作BD⊥x轴于点D,过点C作CE⊥x轴于点E, 5/35 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B :△A0B是等腰直角三角形，∠AB0=90°，A4,0), ◇yh D 0B=AB,∠0AB=45°， 1 .BD=OD=AD=二OA=2, B2,2), :双曲线y=经过点B, 4 k=2×2=4,即y=- :线段AB绕点A顺时针旋转90°交双曲线于点C, ∠BAC=90°， ∠OAB=45°，∠BAC=90°， ∠CAE=180°-90°-45°=45°， CE⊥x轴， “△ACE是等腰直角三角形， :AE CE, 设C(m,m-4)(m>4) :点C在双曲线y=4上， ∴.mm-4=4,即m2-4m-4=0, 解得m=2±2√2， m>4, m=2+2√2， AE=m-4=2V2-2, AC=V2AE=V22V2-2=4-22, 在Rt△ABD中，AB=VAD2+BD2=V22+22=2√2， 6/35 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 Sc=号AB.4C=)x2V2×4-22=4W2-4 2 二、填空题 7.如图，过原点0的直线与双曲线y=《交于4，B两点，点C坐标为(4,0)，若AC1BC,0A=AC,则k 的值为 【答案】4√5 【详解】解：如图，过点A作AD⊥OC于D, D C B :AC⊥BC,OA=AC, ..OD=CD, :点C坐标为(4,0)， .0C=4, .0D=CD=2, :AC⊥BC, ∠ACB=90°， :点A、B关于原点对称， .0A=0B, .0A=0C=4, 7/35 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 AD=V0A2-0D2=V42-22=25, A2,25, :点A在双曲线上， k=2×2V5=4V5. 8.某天，小颖爷爷像往常一样用收音机收听所在地区的音乐广播，其电台发出的广播的频率∫(kHz)和 波长元(m)之间满足表达式/=30000，已知该地区的音乐广括的波长约在350m~360m,若小颖爷谷 能收听到该地区的音乐广播，则收音机所调的频率范围是 kHz（结果精确为整数). 【答案】833~857 【详解】解：由题意可知，f=300000 当元=350时，f=300000 857(kHz: 350 当元=360时，f= 300000 ≈833kHz, 360 因此，若小颗爷爷能收听到该地区的音乐广播，收音机所调的频率范围是(833~857)kHz, 9.在平面直角坐标系中，过点4m,0且垂直于x轴的直线1与反比例函数y=-9的图象交于点B,将直线 1绕点B逆时针旋转45°，所得的直线经过第二、三、四象限，则m的取值范围是· 【答案】m<-3或0<m<3 【详解】解：如图所示，当m>0时，设旋转后的直线交x轴于点C, :AB⊥x轴，Am,0), LBAC=90°，Bm, 9 m 9 .AB= m 由旋转的性质可得∠ABC=45°， 8/35 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :ABC是等腰直角三角形， ·AC=AB=9 m 9 ..OC=0A-AC=m-- m cm-90: m 设直线BC的解析式为y=kx+bk≠0)， mk+b=-9 m 9 m- k+b=0 m k=-1 9 b=m- m 9 .直线BC的解析式为y=-x+m- m 由题意得，直线BC的图象经过第二、三、四象限， 9 <0, m m2-9 <0, n =m+3m-3到<0. 名 m>0, ∴.m+3>0, .m-3<0, .m<3, ∴.0<m<3; 如图所示，当m<0时，设旋转后的直线交x轴于点C, 9/35 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 9 同理可得直线BC的解析式为y=-x+m-一， m 由题意得，直线BC的图象经过第二、三、四象限， m-9 <0, m :m2-9 <0, m :(m+3m-3到<0， .m<0, .m-3<0, ∴.m+3<0, m<-3; 综上所述，m<-3或0<m<3. 10.综合实践小组的同学们利用自制密度计测量溶液的密度，当密度计悬浮在不同的液体中时，浸在溶液 中的高度h(cm)是液体的密度p(g/cm)的反比例函数，其图象如图所示(p>0),当溶液密度p=2g/cm3时， 密度计浸在溶液中的高度h为 cm. y h/cm 20 p(g/cm) 【答案】10 【详解】解：设h关于P的函数解析式为= 把p=1,h=20代入解析式，得k=20, 20 ·h关于P的函数解析式为h= 当p=2g/cm3时，h=10cm, 故答案为：10. 11.如图，直线y=x-3与反比例函数y=(x>0的图象交于点A,与x轴交于点B,将直线y=x-3向 上平移得到直线y=k,x+b,直线y=k,x+b与反比例函数y=(x>0)的图象交于点C,与y轴交于点D,若 10/35 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 AB=CD=√2，则b的值为 0 B 【答案】3 【详解】解：如图，过A作AE⊥x轴于点E,过C作CF⊥y轴于点F,设直线AB与y轴交于点G,直线 CD与x轴交于点H,则∠AEB=∠CFD=90°， H BE 由直线y=x-3得，当x=0时，y=-3;当y=0时，x=3; B3,0,G(0,-3), 0B=0G=3, ∠0BG=45°， LABE=LBAE=45°， .AE BE, AB=VAE2+BE2=√2AE=√2， ∴.AE=BE=1, A4,1, :点A在反比例函数y=(x>0)的图象上， k1=4×1=4, ·反比例函数解析式为y=4 11/35 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :直线y=x-3向上平移得到直线y=kx+b, ..y=x+b, 同理可得：OD=OH=b,CF=DF=1, C(1,b+1, :点C在反比例函数y=4的图象上， 1×b+1=4, 解得：b=3, b的值为3. 12.如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=(k为常数，k+0)的图象与口0ABC交于M,N两 点，且OM=BN,若点A和点C的坐标分别是8,0)和(4,4)，则k的值是 y M 【答案】9 【详解】解：过点M作ME⊥x轴于点E,过点C作CF⊥x轴于点F,连接MN,AC交于点D,如图 C M D N EF A ∴.∠0EM=∠0FC=90°， 设点Mm, 则OE=m,ME=上 m m :点C的坐标是4,4)， CF=0F=4, .∠C0F=5×(180°-∠OFC)=45°， 2 ∴△OEM是等腰直角三角形，且OE=ME, 12/35 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :m=太，即k=㎡，M(m,m, m :四边形OABC为平行四边形，0M=BN,点A和点C的坐标分别是(8,0)和(4,4)， .BC=AO=8,OA∥BC,OC∥AB, .B4+8,4),OM+CM=AN+BN,∠DCM=∠DAN,∠DMC=∠DNA, .B(12,4,CM AN :△CDM≌△ADN(ASA, ∴.CD=AD,DM=DN, 即点D为AC与MN的中点， D4+84） （22 即D(6,2), :y+y=6,w+=2, 2 2 则N(12-m,4-m, 将N12-m,4-m),k=㎡代入y=,得4-m= m2 12-m 解得m=3, 经检验m=3是原方程的解， 六k=32=9. 13.如图，点P(a,2)和点A在反比例函数y=(x<0)的图象上，连接OP,AP.若OP=AP,且 3 ∠0PA=90°，则k的值为 A 【答案】2-2√5 【详解】解：如图所示，过点P作CD上y轴于点D,过点A作AC⊥CD于点C, 13/35 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∠C=∠CD0=90°， OP=AP,∠OPA=90°， .LDP0=90°-∠CPA=∠CAP ∴.△DPO≌ACAP(AAS) .DP=CA,CP=OD :Pa,2). .CP=OD=2,AC=DP=a .A(a-2,a+2) :A,P在反比例函数y=二(x<O)的图象上， 2a=(a+2(a-2, 解得：a=1-√5或a=1+5(舍去) k=2a=2-2V5. 14.如图所示，Rt△ABC的三个顶点都在反比例函数y=《(k>0)的图象上，点A在点C的右侧， ∠ACB=90°，CA=CB,且CB过原点O.若C的横坐标为1，则k的值为 【答案】√2+1/1+√2 【详解】如图，过点C作I∥x轴，过点B作BD⊥I交于点D,过点A作AE⊥I交于点E, 14/35 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :Rt△ABC的三个顶点都在反比例函数y=,C的横坐标为1， k】 设点C1,k),点Aa,二 a :CB过原点O, 点B(-1,-k), :1∥x轴，BD⊥1，AE⊥I, 点D(-l,k),点E(a,k), :DB=yp -y8=2k, ÷AE=yE-y,=k-,CE=xe-X。=a-1, a :∠ACB=90°， ∴.LCDB+LACE=90°， :BD⊥1，AE⊥1， ∠CDB=∠CEA=90°， .∠CDB+∠CBD=90°， .∠ACE=∠CBD, :在△CBD和△ACE中， [∠CDB=∠CEA ∠CBD=∠ACE, CB=CA :△CBD≌△ACE(AAS), .CD=AE,DB=CE, 2=k-k,2k=0-1, 六将2站=a-1整理为：0=21，代入2=k-合，即2=k水 a 15/35 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 整理得2-2k-1=0,解得：k=士2+1，经检验，k=士2+1为2=k-《的解， .k>0, k=√2+1. 5.如图，四边形A8CD的顶点A,B在反比例函数y=x>0)图象上，C,D在反比例函数y>0 图象上，过点B作x轴的平行线交y轴于点E,交y=?于点F,连接AE. D (1)若点A的横坐标为1，△ABE的面积为3，则EF的长为； (2)若四边形ABCD为正方形，则四边形ABCD的面积为 【答案】 8 7 5 【分析】 【详解】解：1)把=1代入y子，得=-。 1 A1,3), 设Bm,3】 则BE=m, m :△ABE的面积为3， 1 =3,解得：m=3, B3,1, 把y=1代入y=2,得1=7，解得：x=7 EF=7. (2)如图所示，y=3(x>0与y=2(x>0)的图象都关于y=x对称， 16/35 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 PA D 10 E :四边形ABCD为正方形， .AD=BC, :y=3(x>0)与y=(x>0)图象的距离，离y=x越远距离越小， :.要使四边形ABCD为正方形，那么四边形ABCD也要关于y=x对称， 连接AC,BD相交于点O,延长AB交x轴于E, .∠AEB=45°， 又：∠CAB=45°， AC∥x轴，BD⊥x轴， :点A,B在反比例函数y=3(x>0)图象上，C,D在反比例函数y=x>0)图象上， 设4a,， a>0, a :点O为AB、CD的中点， 解得：a=-35(舍去)或a-35 5 AC=BD=2x353545 3555 :S正方形BCD21 4CxBD=x45x45_8 2555 4 16.已知，如图双曲线y=-(x>O)与直线AB交于点C,点B,且AC=CB,连接CO,BO,则S.ocB= 17/35 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【答案】3 【详解】解：设A(O,b),直线AB解析式为y=c+b, 联立双曲线得：+6兰整理为一元=次方程：公：40， 设交点C(x1,),B(x2,2), 4 +五三6，x七=一 AC=CB,C是AB中点，A横坐标为O, 根据中点坐标公式得：x= 0+,即x2=2x 2 X+x2=- 3 AC =CB, S OCB-S.0I6=3 17.在平面直角坐标系中，口ABCD的顶点A1,0),B0,2),顶点C,D在第三象限且在双曲线y=的同 一分支上，直线BC交x轴于点E,直线AD交y轴于点F,若S,ABCD=2S西边形ABP,则k的值为 【答案】 4 :四边形ABCD是平行四边形， x4+XC=xB+XD :对角线中点重合，可得 y+yc=y8+yD 代入A1,0),B(0,2), [1+m=0+xD 得 k=2+yD 10+ xp=m+l 解得 m 18/35 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 即Dm+1,《-2, m :点D在双曲线y=上， :-2m+1=k, m 整理得k=2m(m+1, 即k=2m+2, Cm,2m+2),D(m+1,2m, 设直线BC解析式为y=+b, 代入B(0,2)得b=2, 代入C(m,2m+2)得km+2=2m+2, 解得k'=2, :直线BC解析式为y=2x+2, 令y=0得x=-1, E(-1,0), 设直线AD解析式为y=kx+b, k=-b f代入4,0，D(m+1,2m得k(m++=2m1 k=2 解得： 6=-2' 即：直线AD解析式为y=2x-2, 令x=0得y=-2, F(0,-2), :BC斜率等于AD斜率等于2， .BC‖AD,点F在直线AD上，点E在直线BC上， .BE‖AF, 又BE=-1-0+(0-22=5，AF=V1-02+(0+22=5, 19/35 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 .BE AF, :四边形ABEF是平行四边形， :S。4BcD=2S四边形ABEF,两个平行四边形等高， :BC =2BE, C在第三象限，可得m<0,2m+2<0,点E在线段BC上，E为BC中点， 得0+m=-1,2+2m+2=0, 由中点坐标公式得2 2 解得m=-2, C-2,-2), k=-2)×-2)=4. 18.如图，在平面直角坐标系中，线段AB两个端点的坐标分别为A(0,),B(2,),若双曲线y=《与射线 AB相交于点D,使A,B,D三点中的两点关于第三点对称，则k的值为· B -10 123 -1 【答案】1或4 【详解】解：①如图，当D为AB的中点时， 2 123 :A0,1,B(2,1, 点D的损坐标为2-1，纵坐标为 1 2 .D(1,1, k=1x1=1: ②如图，当B为AD的中点， 20/35 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 2 -10123x -1 设D(x,y), :A0,1,B(2,1, (0+x=2 2 1+y=1 2 x=4 解得 y=1 D(4,1, k=4×1=4: 综上所述，k的值为1或4. 三、解答题 19.定义新运算：对于分式M、N,规定M※N=M-N NM )若M=X,N=1,求M※N化简结果： x+1 x (2)当x=2时，求(1)中式子的值： (3)若一次函数y=a+2与反比例函数y=6图象无交点，求a的取值范围 【答案】（①）4-x2-2x-1 x3+x2 2 )a<-1 6 【分析】 Ni M=x 【详解】(1)解：：M※N=M_V, 21/35 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 1 M※N=x+L-x 1 x xx+l =2x+1 x+1x2 x x+1)2 x2(x+1)x2(x+1 =-x2-2x-1 x3+x2 (2)解：当x=2时， x4-x2-2x-124-22-2×2-17 x3+x2 2+22129 (3)解：将x=0代入y=ax+2,则y=2, .一次函数y=ax+2的图象过定点(0,2)， 当a>0时，一次函数y=+2的图象过一，三象限，与反比例函数y=6图象必有交点，不符合题意； 当a<0时，一次函数y=ax+2的图象过二，四象限，如图， :一次函数y=ax+2与反比例函数y=6图象无交点， 1 :当x<0时，反比例函数y=6图象始终在一次函数y=+2图象的下方，且无交点，当x>0时，反比例 函数y=6图象在一次函数y=a+2图象的上方， 6 .>ax+2(x>0), 6>ax2+2x,即ax2+2x<6, (.1<6 22/35 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 a a2 ≥0，a2>0, a 6a+1<0,即6a+1<0, 1 6 .a< 20.小军用四根硬纸条和钉子制作了一个矩形，按如图方式摆放在平面直角坐标系中，矩形的边OA落在x轴 上，边0C落在y轴上，点C的坐标为(0,4).若将矩形向右平移1个单位长度，则点C恰好落在反比例函 数y=x>0)的图象上. y◆ 6 B D C y (1)求反比例函数的表达式： (②)若固定矩形边OA,向右“推矩形，得到如图所示平行四边形OAB'C',当∠0AB=30°时，边B'C'交反比 例函数图象于点D,求D点坐标 【答案】（①y=4 (2)D(2,2) 【分析】 【详解】(1)解：由题意得，点C平移后落在反比例函数图象上的坐标为1,4)， 4← ’=4. y= x (2)解：过点B作B'E⊥OA于点E,如图所示， 23/35 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 夕 B D C A E :四边形OABC是矩形， AB=0C=4. .AB'=AB=4, 在Rt△AB'E中，∠OAB'=30°， B'E=1 1 B0=2×4=2 2 n=2,代入y=4得x=2. ∴.D2,2) 21.如图1是一种测量油箱内油量的装置“油位传感器”示意图.其中滑动变阻器的滑片跟滑杆连接，滑杆可 以绕固定轴O转动，滑杆的一端固定着一个浮子.油箱中的油量减少时，油面下降，浮子随油面落下，带 动滑杆使滑动变阻器的滑片向上移动，从而改变电路中电流表的示数.因此电流表上一定的示数对应着油 面一定的高度，如果把电流表刻度盘上的数值改为相应的油量体积，就可以直接读出油箱中的油量.电流 (单位：A)与总电阻R(单位：2)成反比例，其中R=R+R,己知R,=202.可变电阻R(单位：) 与油量体积V(单位：L)之间的关系如图2所示，R≥0.当油箱内油量体积为35L时，电流表显示为 0.1A. R(单位：2) 240 滑杆 浮子 60V(单位：L) 图1 图2 (1)当油箱内油量体积为35L时，求总电阻R的值； (②)求I关于总电阻R的函数解析式： (3)当油箱中油量体积满足5≤V≤55时，求电流表显示电流的取值范围. 24/35 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【答案】(1)1202 ②1=12 (3)0.05A≤1≤0.3A 【详解】(1)解：设R与V的函数关系式为R=kΨ+b, 由图2可知，图像经过点(0,240)和60,0， b=240 代入得： 60k+b=0 k=4 解得： b=2401 .R=-4P+240 当∥=35L时，R=-4×35+240=100(2), R=R+R,且R=202, R=20+100=120(2). (2)解：：电流I与总电阻R成反比例， 酸1茶 由(1)可知，当V=35L时，R=1202,此时1=01A, 代入得：0.1= 120 解得：k'=12, :I关于电阻R的函数解析式为1= R (3)解：由(1)可知，R=20+R1=20+(-4V+240)=260-4V, 当V=5时，R=260-4×5=240(2), 当V=55时，R=260-4×55=40(2) ·当5≤V≤55时，40≤R≤240， 1= R,且12>0， I随R的增大而减小， 12 当R=40时，I取最大值，Iax= =0.3(A), 40 当R=240时，取最小值，1= =0.05(A), 240 25/35 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 .电流表显示电流的取值范围0.05A≤I≤0.3A, 22.在平面直角坐标系x0y中，直线y=x与反比例函数y=的图象相交于A2,和B两点. V 备用图 (1)分别求反比例函数的表达式及点B的坐标： (2)在反比例函数图象上取点M(1,m),过点M作直线1(1不与x轴垂直)，交x轴于点C,连接BC. ①如图，当直线1与反比例函数的图象有且只有交点M时，求BC的长： ②设直线1与反比例函数的图象在第一象限内相交于另一点D,连接OD,当OD∥BC时，求点D的坐标. 【答案】（四点B的坐标为(-2，-2），反比例函数的表达式为y=4 (2)①BC=2√5；②点D的坐标为 【分析】 【详解】(1)解：：直线y=x经过点A2,a, .a=2, A2,2), 点B的坐标为(-2，-2)， :反比例函数y-的图象经过点42,2)， k=2×2=4, :反比例函数的表达式为y=4, (2)解：①：点M山，m在反比例函数y=4的图象上， M1,4, 26/35 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 设直线1的表达式为y=ax+b, ∴.4=a+b, .b=-a+4, :直线1的表达式为y=ax-a+4, 联立得4=ax-a+4,整理得ar2+4-a)x-4=0, :直线1与反比例函数的图象有且只有交点M, .△=(4-a)-4a×-4)=0, 解得a=-4, .直线1的表达式为y=-4x+8, 令y=0,则-4x+8=0, 解得x=2, C(2,0), :点B的坐标为(-2，-2)， BC=V2+22+22=25: ②：ax2+(4-ax-4=0,整理得x-1ax+4)=0, 4 解得x=1,x2= :点D的坐标为 aa. 4 设直线OD的表达式为y=kx, 六-0=-4k,解得k=4 4 a 对于直线1的表达式为y=ax-a+4, 令y=0,则ar-a+4=0,解得x=a-4 a 点C的华标为0 直线BC的表达式为y=k2x+n2, 27/35 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 「-2k2+m2=-2 a-4k3+m=0 a 解得k,= 2a a-4' :OD∥BC, k=k,即 2a 43a-4' 解得a= 2+2√7 (舍去)或a-2-2v7 3 3 点D的坐标为 5+2-2 23.如图，在平面直角坐标系中，直线y=ar+2与反比例函数y=《的图象相交于A1,3,B(b,-1)两点， 与y轴交于点C.点D,E是第一象限内反比例函数图象上的两点，且点D位于点A右侧，点E位于A,D 两点之间， (1)求a,b和k的值； (2)当△ACD面积为3时，求点D的坐标： (3)将ADE沿着射线AB的方向平移后得到△A'D'E',当AE=DE时，是否存在△A'D'E'两顶点同时落在反 比例函数图象上？若存在，请求出点E的坐标，若不存在，请说明理由 【答案】(1)a=1,b=-3,k=3 2)D(2+7,7-2 (3)存在，点E的坐标为(3,1或(V3,V3） 【分析】 【详解】(1)解：：直线y=+2与反比例函数y=-的图象相交于点41,3a, .a+2=3a, 28/35 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 解得a=1, A1,3), k=1×3=3, b=3 (2)解：如图，作DF∥y轴交直线AB于点F,作AG∥CH∥x轴交DF于点G,H, F 根据()可得一次函数解析式为y=x+2,反比例函数解析式为y=3. 3 设Dm, 则F(m,m+2), m A1,3, :.CH-AG=1, 5.am-2DFcH-4Gj=×m+2-3x1=, 1 20 m 化简得m2-4m-3=0, 解得m1=2+√万，m2=2-√7（负值舍去）， 经检验，m,=2+√7是原方程的解 D(2+√7，V7-2: (3)解：存在， :△A'D'E'两顶点同时落在反比例函数图象上， 点与点B重合， :A1,3,B(-3,-1, :.平移方向为向左平移4个单位长度，向下平移4个单位长度， 29/35 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ①如图①，点A,E落在反比例函数图象上， V 图① 陵e引则e-44e>, e-424=3, 解得：e=3或1（舍去）， E(3,1: ②如图②，点A,D落在反比例函数图象上， V 图② d d-4 解得：d=3或1（舍去）， D(3,1, 设E(p,9), :E在反比例函数上， Pg=3, 30/35 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :EA=ED, (p-3)2+(g-1)2=(p-1)2+(g-32 化简得p=9, p2=3, 解得p=√3（负数舍去）， E5,5), :综上所述，点E的坐标为3,1或3，√3 24.如图1，在平面直角坐标系x0y中，直线y=x与反比例函数y=《(k≠0的图象在第一象限内交于点A ,且0A=3V2. 图1 图2 (①)求反比例函数的表达式； (②)如图2，当x>0时，点C，,D在反比例函数的图象上（点C在点D左侧），且CD⊥射线OA,若 CD=8√2，求点C的坐标； (3)在(2)的条件下，作BC∥OA,点N为直线BC上一点，点M在反比例函数在第一象限内的图象上， 当aAMN为等腰直角三角形时，求点M的坐标. 【答案】①y=9 (2)C(1,9 (3)点M的坐标为 37j成（号川或-2io,1+2i而或7+2io,7-21o 【分析】 【详解】(1)解：：直线y=x与反比例函数y=《的图象在第一象限内交于点A 31/35 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 .设点Aa,a, 04=32, 0A=Va2+a2=3v2, 解得a=3(负值已舍去)， :点A3,3, k=3×3=9, 反比例函数的表达式为y-9, (2)解：如解图①，过点C作CH∥y轴，过点D作DH∥x轴交于点H, :CD⊥射线OA, H D 图① 由反比例函数图象的对称性可知，点C和D关于直线y=x对称，且点H在射线OA上， :△CDH为等腰直角三角形. 段点ac则ac)2 :CD=8√2， ·CH=DH=8,即 -c=8, 解得c=1或c=-9(舍去)， :点C的坐标为1,9)： (3)解：由(2)得点C1,9, :BC∥OA, :.kgc=kpa =1. 设直线BC的表达式为y=x+b,将点C(1,9)代入，得 32/35 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 1+b=9, b=8, ·直线BC的表达式为y=x+8, ①如解图②，∠AMN=90,MN=MA, H M H B A 图② 过点M作H,H2∥x轴，过点N,A分别作NH1⊥MH,AH2⊥MH2,垂足分别为点H,H2, .∠H1=∠H2=90°， ∠H2AM+∠H,MA=90°. :∠HMN+∠H,MA=90°， .∠HMW=∠H2AM, △NMH,≌△MAH,AAS). 设点Mmm 9 ∴MH,=AH2=9-3,NH,=MH2=3-m, m 点Nm-9+3,9-3+m, m 将点N代入直线BC的表达式y=x+8中， 9 得m-之+3+8= m 9-3+, m 9 ∴.m= > ②如解图③，∠ANM=90°，MN=AN,过点N作H,H2∥y轴，过点M,A分别作MH1⊥H,H2,AH2⊥HH2, 垂足分别为点H,H2,由①同理，可得△AH,W≌△NH M(AAS), 33/35 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 H B/H25 Λ0 图③ 同理，设点N(n,n+8),则点H,n,3), AH2=NH=3-n,NH2=MH1=n+8-3=n+5, :点H,的纵坐标为NH2+NH,+y4=n+5+3-n+3=11, 点H,n,11, ·点M的纵坐标为山，将点M的纵坐标代入反比例函数y=9中，得 x 9=11,即x= 9 11 点品 ③∠MAN=90°，AM=AW,点M在点A的上方时，如解图④，过点A作H,H,∥y轴，过点M,N分别作 MH⊥HH2,NH2⊥H,H2,垂足分别为H1,H2, 由①同理，可得△AHM≌△NH2AAAS), M.H A 10 图④ 9 同理，设点Mm,二 则点H3,之 MH,=AH=3-m,4H=NH,=9-3, m “点H,的纵坐标为y,-AH,=m,点N的横坐标为X,-NH,=3-9+3, m 34/35 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 9 :点N6-一，m m 将点N代入直线BC的表达式y=x+8中，得 6-9+8=m m m1=7-2V10,m2=7+2V10（舍去)， :点M7-20,7+20； ④点N在点A的上方时，如解图⑤，过点A作HH,∥y轴，过点N,M分别作NH1⊥H,H2,MH2⊥H,H2, 垂足分别为H1,H2, 由①同理可得△AH,N≌△MH,A, 同题，设度M品)则点 9 MH:AH,=m-3.AH,NH,=3-9 点H的纵坐标为4H+y,=m,点N的横坐标为NH,+x,=3-9+3=6- m m 将点N代入直线BC的表达式y=x+8中，得 6-9+8=m, m .m=7-2W10(舍去)，m2=7+2W10, :点M7+210,7-210 综上所述，点M的坐标为 97j品1-2o+2而)+2o.1-2 图⑤ 35/35 第26章 反比例函数（压轴题专项训练） 一、单选题 1．已知点，在反比例函数的图象上，若，则的取值范围是（   ） A． B．或 C． D． 2．如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，过点A作x轴的平行线l，将直线向上平移个单位长度后、分别与x轴，反比例函数，直线l交于点B，C，D．当时，b的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．如图，点A在y轴正半轴上，点C在反比例函数的图象上，线段交反比例函数图象于点D，连接并延长至点B，使得轴，如果，则k的值为（    ） A．2 B． C．4 D． 4．长江高级中学的自动饮水机，开机加热时每分钟上升，加热到，停止加热，水温开始下降．此时水温（）与通电时间（）成反比例关系．当水温降至时，饮水机再自动加热，若水温在时接通电源，水温与通电时间之间的关系如图所示，则下列说法中正确的是（   ） A．水温从加热到，需要 B．水温下降过程中，与的函数关系式是 C．上午点接通电源，可以保证当天能喝到不超过的水 D．水温不低于的时间为 5．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点O在原点，C，A分别在x轴和y轴的正半轴上，反比例函数的图象交边于点E，交边于点D，连接并延长，交的图象于点F，连接，，，若，，则k的值等于（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 6．如图，是等腰直角三角形，，双曲线经过点，将线段绕点顺时针旋转交双曲线于点，连接，则的面积是（    ） A．4 B． C． D． 二、填空题 7．如图，过原点的直线与双曲线交于两点，点坐标为，若，则的值为______． 8．某天，小颖爷爷像往常一样用收音机收听所在地区的音乐广播，其电台发出的广播的频率（）和波长（）之间满足表达式，已知该地区的音乐广播的波长约在，若小颖爷爷能收听到该地区的音乐广播，则收音机所调的频率范围是______（结果精确为整数）． 9．在平面直角坐标系中，过点且垂直于x轴的直线l与反比例函数的图象交于点B，将直线l绕点B逆时针旋转，所得的直线经过第二、三、四象限，则m的取值范围是___． 10．综合实践小组的同学们利用自制密度计测量溶液的密度，当密度计悬浮在不同的液体中时，浸在溶液中的高度是液体的密度的反比例函数，其图象如图所示，当溶液密度时，密度计浸在溶液中的高度h为________． 11．如图，直线与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，将直线向上平移得到直线，直线与反比例函数的图象交于点，与轴交于点．若，则的值为______． 12．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数（为常数，）的图象与交于，两点，且，若点和点的坐标分别是和，则的值是____________． 13．如图，点和点A在反比例函数的图象上，连接．若，且，则k的值为________． 14．如图所示，的三个顶点都在反比例函数的图象上，点在点的右侧，，且过原点．若的横坐标为，则的值为___________． 15．如图，四边形的顶点，在反比例函数图象上，，在反比例函数图象上，过点作轴的平行线交轴于点，交于点．连接． （）若点的横坐标为，的面积为，则的长为______； （）若四边形为正方形，则四边形的面积为______． 16．已知，如图双曲线与直线交于点，点，且，连接，则_______________． 17．在平面直角坐标系中，的顶点，，顶点，在第三象限且在双曲线的同一分支上，直线交轴于点，直线交轴于点．若，则的值为________． 18．如图，在平面直角坐标系中，线段两个端点的坐标分别为，，若双曲线与射线相交于点D，使A，B，D三点中的两点关于第三点对称，则k的值为___． 三、解答题 19．定义新运算：对于分式、，规定． (1)若，，求化简结果； (2)当时，求（1）中式子的值； (3)若一次函数与反比例函数图象无交点，求的取值范围． 20．小军用四根硬纸条和钉子制作了一个矩形，按如图方式摆放在平面直角坐标系中，矩形的边落在轴上，边落在轴上，点的坐标为．若将矩形向右平移1个单位长度，则点恰好落在反比例函数的图象上． (1)求反比例函数的表达式； (2)若固定矩形边，向右“推”矩形，得到如图所示平行四边形，当时，边交反比例函数图象于点，求点坐标． 21．如图1是一种测量油箱内油量的装置“油位传感器”示意图．其中滑动变阻器的滑片跟滑杆连接，滑杆可以绕固定轴转动，滑杆的一端固定着一个浮子．油箱中的油量减少时，油面下降，浮子随油面落下，带动滑杆使滑动变阻器的滑片向上移动，从而改变电路中电流表的示数．因此电流表上一定的示数对应着油面一定的高度．如果把电流表刻度盘上的数值改为相应的油量体积，就可以直接读出油箱中的油量．电流（单位：A）与总电阻（单位：Ω）成反比例，其中，已知．可变电阻（单位：）与油量体积（单位：）之间的关系如图2所示，．当油箱内油量体积为时，电流表显示为． (1)当油箱内油量体积为时，求总电阻的值； (2)求关于总电阻的函数解析式： (3)当油箱中油量体积满足时，求电流表显示电流的取值范围． 22．在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象相交于和B两点． (1)分别求反比例函数的表达式及点B的坐标； (2)在反比例函数图象上取点，过点M作直线l（l不与x轴垂直），交x轴于点C，连接． ①如图，当直线l与反比例函数的图象有且只有交点M时，求的长； ②设直线l与反比例函数的图象在第一象限内相交于另一点D，连接．当时，求点D的坐标． 23．如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象相交于，两点，与y轴交于点C．点D，E是第一象限内反比例函数图象上的两点，且点位于点右侧，点E位于A，D两点之间． (1)求a，b和k的值； (2)当面积为3时，求点D的坐标； (3)将沿着射线的方向平移后得到，当时，是否存在两顶点同时落在反比例函数图象上？若存在，请求出点E的坐标，若不存在，请说明理由． 24．如图1，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象在第一象限内交于点，且． (1)求反比例函数的表达式； (2)如图2，当时，点，在反比例函数的图象上（点在点左侧），且射线，若，求点的坐标； (3)在（2）的条件下，作，点为直线上一点，点在反比例函数在第一象限内的图象上，当为等腰直角三角形时，求点的坐标． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $