专题07 反比例函数与几何图形的综合问题（五大压轴题专项训练）数学新教材沪教版五四制八年级下册

**基本信息** 以五大几何图形为载体，构建“几何性质-坐标表示-方程建立”三阶解题体系，系统提炼反比例函数综合问题的转化方法，培养几何直观与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |特殊三角形综合|1例+3变式|直角用斜率乘积/勾股定理，等腰分类讨论|反比例函数几何意义与三角形边角关系的坐标转化| |平行四边形综合|1例+3变式|对边平行斜率相等，中点坐标公式建方程|平行四边形性质与反比例函数点坐标特征结合| |矩形综合|1例+3变式|坐标差表边长，面积与k值直接关联|矩形直角性质与反比例函数k值几何意义应用| |菱形综合|1例+3变式|对角线垂直斜率关系，四边相等列方程|菱形对称性与反比例函数图象性质融合| |正方形综合|1例+3变式|邻边垂直且相等转化横纵坐标关系|正方形双重性质与反比例函数坐标计算综合应用|

专题07 反比例函数与几何图形的综合问题 目录 典例讲解 类型一、反比例函数与特殊三角形的综合 类型二、反比例函数与平行四边形的综合 类型三、反比例函数与矩形的综合 类型四、反比例函数与菱形的综合 类型五、反比例函数与正方形的综合 压轴专练 类型一、反比例函数与特殊三角形的综合 处理方式： 解题时先抓住等腰三角形、直角三角形、等边三角形的判定与性质，结合反比例函数中的几何意义进行分析。遇到直角三角形优先用垂直判定斜率乘积为－1或勾股定理，遇到等腰三角形则按两边相等、三线合一分类讨论，再结合点在双曲线上的坐标关系列式计算。 做题时先设出双曲线上点的坐标，用坐标表示三角形的边长与高，再根据特殊三角形的边角关系建立等式，求出坐标或值。注意图形位置与象限符号，计算边长与面积时统一取绝对值，最后验证结果是否符合图象所在象限。 【例1】如图，在平面直角坐标系中，函数的图象与等边三角形的边，分别交于点，．若，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【例2】如图，已知，是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点． (1)求反比例函数的解析式； (2)求的面积； (3)点P是在y轴上一动点，连接，若是等腰三角形，直接写出点P的坐标． 【变式1-1】如图，是等边三角形，点A在x轴的正半轴上，在第一象限，轴，点D为的中点，反比例函数的图象经过点C和点D，的延长线与反比例函数的图象相交于点E，连结．已知，，则_____，的值是________． 【变式1-2】如图，点、是反比例函数与一次函数的交点． (1)连接，求的面积； (2)一次函数与轴相交于点，在坐标轴上存在点使得是等腰三角形，求点的坐标． 【变式1-3】已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，；与x轴交于点C． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)若点P在y轴上，且满足，求点P的坐标； (3)我们将有一个内角为的三角形称为“半直角三角形”，这个角所对的边为“半直角边”．反比例函数在第四象限的图象上是否存在点Q，使得是不以为“半直角边”的“半直角三角形”？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 类型二、反比例函数与平行四边形的综合 处理方式： 解决此类题型核心依据平行四边形对边平行且相等、对角线互相平分的性质，结合反比例函数点坐标特征进行转化。通常利用“对边平行则斜率相等”“对边相等则距离相等”，或用中点坐标相同来建立方程，快速求解未知点坐标。 先设出关键点坐标，利用平行四边形性质表示出第四个顶点坐标，再将点代入反比例解析式求或参数。遇到面积问题可直接用底乘高，或结合的几何意义简化运算，确保坐标符号与象限一致。 【例3】如图，平行四边形的顶点在轴的负半轴上，顶点都在反比例函数的图象上，且边经过原点．则平行四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 【例4】如图1，已知点，，且、满足，平行四边形的边与轴交于点，且为中点，双曲线经过、两点．      (1)________，________； (2)求反比例函数表达式； (3)点在双曲线上，点在轴上，若以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，直接写出满足要求的所有点的坐标． 【变式2-1】如图，平行四边形顶点O为原点，点A在x轴正半轴上，点在反比例函数第一象限图象上，双曲线交边于点E，延长交y轴于点D，若，平行四边形的面积为6，则点E的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】如图，已知平行四边形的顶点，分别在轴和轴的正半轴上，顶点，分别落在反比例函数的图象上，过点作轴的垂线，垂足为点，且，若平行四边形的面积为18，则的值为____________． 【变式2-3】定义：把能被一条对角线分成两个全等直角三角形的四边形叫做勾股四边形，比如：矩形就是勾股四边形． (1)如图，在直角坐标系中，直线与双曲线相交于两点，点在轴负半轴上，为直角坐标平面上一点． ①分别求出两点的坐标； ②如图，当四边形是平行四边形时，请证明平行四边形是勾股四边形． (2)在（）的条件下，当以为顶点的四边形是勾股四边形时，请直接写出点的坐标． 类型三、反比例函数与矩形的综合 处理方式： 矩形综合题优先使用矩形四个角为直角、对边相等、对角线相等且平分的性质，结合反比例函数坐标特点解题。因为矩形邻边互相垂直，常转化为横平竖直的线段长度计算，直接用坐标差表示长和宽，再用面积公式建立关系。 设出图象上点的坐标，用横坐标、纵坐标的绝对值表示矩形边长，根据面积相等或边长相等列式，代入求解。矩形面积常与直接相关，可快速由面积得出，再根据象限确定的正负。 【例5】如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点分别在轴，轴正半轴上，点在线段上，且，函数的图象经过点及矩形的对称中心，顺次连接点若的面积为3，则的值为（   ） A．6 B．4 C．3 D．2 【例6】如图，在平面直角坐标系中，C，A分别为轴、轴正半轴上的点，以为边，在第一象限内作矩形，且，将矩形翻折，使点与原点重合，折痕为，点的对应点落在第四象限，过点的反比例函数的图像恰好过的中点，则的长为______．    【变式3-1】如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过矩形的顶点C，D，若，且，则点B的坐标为_____． 【变式3-2】如图，矩形的顶点O 为坐标原点，边分别在y轴、x轴上，，，反比例函数 的图象经过矩形对角线的交点E． （1）_______； （2）过点 B作，交该反比例函数的图象于点 F，交 x轴于点D，则 的值为__________ 【变式3-3】如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，C的坐标分别为，．将矩形绕原点O顺时针旋转，得到矩形． (1)求经过点的反比例函数解析式； (2)点P是直线上的动点，过点P作x轴的平行线，交反比例函数图象于点Q．设点P的横坐标为t，线段的长为d． ①用含t的代数式表示d； ②当时，求点P的坐标． (3)在（1）的条件下，在过点的反比例函数图象上求点M，且M在第一象限，使的所有满足条件的点M的坐标． 类型四、反比例函数与菱形的综合 处理方式： 菱形题型核心抓住四边相等、对边平行、对角线垂直平分、对角线平分内角的性质，结合反比例函数特点分析。由于菱形对角线互相垂直，常转化为垂直直线斜率关系与中点重合两类条件，用于求点坐标。 先利用菱形对称性设点，再根据边长相等或对角线垂直列式，将点代入反比例函数求。面积计算可用对角线乘积的一半，也可结合几何意义快速求解，注意菱形在坐标系中的方向与象限位置。 【例7】如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴的正半轴上，顶点在反比例函数的图象上，顶点的坐标为．已知该反比例函数图象上有一点，连接，，若的面积是菱形面积的，则点的横坐标为（   ） A． B． C．或 D．或 【例8】如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于点，点在轴正半轴上，点，连接，四边形为菱形． (1)求和的值； (2)设点是直线上一动点，且，求点的坐标． 【变式4-1】如图，菱形的顶点O与原点重合，点A落在x轴上，点B在第一象限，反比例函数的图象经过点C，交于点D，点A的坐标为，菱形的面积为20． (1)求k的值； (2)求点D的坐标． 【变式4-2】如图，点A是平面直角坐标系中第一象限内的点，将线段绕着点A顺时针方向旋转至，以为边作菱形，边分别与反比例函数交于点E、F，且轴，，连接，当，时，k的值为________． 【变式4-3】如图，等边三角形的顶点A在x轴上，顶点B在y轴上，顶点C在反比例函数的图象上，且轴，已知． (1)求该反比例函数的解析式； (2)在反比例函数图象上是否存在点N，使四边形是菱形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 类型五、反比例函数与正方形的综合 处理方式： 正方形综合题同时具备矩形与菱形性质，解题优先用四边相等、邻边垂直、对角线相等垂直平分，结合反比例函数坐标计算。因为边长相等且垂直，常把线段关系转化为横纵坐标绝对值相等，大幅简化计算。 设出正方形顶点坐标，利用边长相等、垂直、中点相同等条件表示未知点，再代入反比例解析式求。面积可由边长平方得出，也可直接用快速推导，做题时注意图象象限，保证符号与图形位置一致。 【例9】如图，在平面直角坐标系中，正方形和正方形的顶点，都在第一象限，，都在轴的正半轴上，在轴的正半轴上，点在边上，反比例函数的图象过点．若的面积为2，则的值为（    ） A．10 B． C． D．8 【例10】如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点．正方形的顶点C、D在第一象限，顶点D在反比例函数的图象上．若正方形向左平移n个单位后，顶点C恰好落在反比例函数的图象上，则n的值是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式5-1】如图，正方形的边长为，顶点，分别在轴，轴的正半轴上，正方形的边长为，顶点在轴的负半轴上，若双曲线恰好同时经过点和点，则的值是___________． 【变式5-2】正方形的顶点在直线上，顶点，在双曲线上，若正方形的面积为32，则的值为______． 【变式5-3】如下图，反比例函数与一次函数的图象都经过点和点，以为边作正方形（点A、B、C、D逆时针排列）． (1)求m的值和一次函数的解析式． (2)求点C的坐标． (3)将正方形平移得到正方形，在平移过程中，使点A的对应顶点M始终在第一象限内且在反比例函数的图象上（点M与点A不重合），当正方形与正方形的重叠部分为正方形时，求重叠正方形的边长． 1．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A，C分别在轴和轴上，点，点，反比例函数的图象经过点，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．如图，四边形是平行四边形，点B在x轴上，的延长线与y轴交于点D， 反比例函数的图象经过点，且与边交于点E．若，且，则点E的横坐标为（    ）．    A． B． C． D． 3．如图，平行四边形的顶点，在轴上，顶点在上，顶点在上，则平行四边形的面积是_________． 4．如图，矩形的顶点A，C分别在y轴、x轴的正半轴上，且，反比例函数的图象经过点D及矩形的对称中心M，连接．若的面积为3，则k的值为____． 5．如图，点A、B分别是双曲线和上的两个动点，轴，过A、B两点分别作轴的垂线，垂足分别为D、C，连接、． (1)四边形的面积为 ； (2)设点C的坐标为． ① 当 时，四边形为正方形； ② 当是直角三角形时，求的值． 6．已知反比例函数的图像与一次函数的图像在第一象限内交于点，其中一次函数的图像过点和． (1)求反比例函数的解析式； (2)请问在轴上是否存在点，使为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点坐标：若不存在，请说明理由． 7．如图，一次函数的图象与反比例函数（k为常数且）的图象交于，B两点． (1)求此反比例函数的表达式及点B的坐标； (2)在x轴上找一点C使的周长最小，求点C坐标； (3)在y轴上是否存在一点P，使A、O、P的三点围成等腰三角形，若存在直接写出点坐标；若不存在请说明理由． 8．一次函数 与反比例函数的图象交于A，B两点，与x轴交于点C，其中．    (1)求反比例函数表达式； (2)结合图象，直接写出时，x的取值范围； (3)若点P在x轴上，且是直角三角形，求点P的坐标． 9．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点与原点重合，点在轴的正半轴上，点在反比例函数的图象上，点的坐标为．         （1）求反比例函数的关系式； （2）若将菱形边沿轴正方向平移，当点落在函数的图象上时，求线段扫过图形的面积．                     （3）在轴上是否存在一点使有最小值，若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由．     10．如图，点，分别在轴和轴的正半轴上，以线段为边在第一象限作等边三角形，，且轴． (1)若点在反比例函数的图象上，求该反比例函数的表达式． (2)在（1）中的反比例函数图象上是否存在点，使四边形是菱形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题07反比例函数与几何图形的综合问题 目录 典例讲解 类型一、反比例函数与特殊三角形的综合 类型二、反比例函数与平行四边形的综合 类型三、反比例函数与矩形的综合 类型四、反比例函数与菱形的综合 类型五、反比例函数与正方形的综合 压轴专练 典例详解 类型一、反比例函数与特殊三角形的综合 处理方式： 解题时先抓住等腰三角形、直角三角形、等边三角形的判定与性质，结合反比例函数y=尝中k的几何意 义进行分析。遇到直角三角形优先用垂直判定斜率乘积为一1或勾股定理，遇到等腰三角形则按两边相等 三线合一分类讨论，再结合点在双曲线上的坐标关系列式计算。 做题时先设出双曲线上点的坐标，用坐标表示三角形的边长与高，再根据特殊三角形的边角关系建立等 式，求出坐标或k值。注意图形位置与象限符号，计算边长与面积时统一取绝对值，最后验证结果是否符 合图象所在象限。 【例1】如图，在平面直角坐标系x0中，函数y=(k>0,x>0)的图象与等边三角形0AB的边OA,B分 别交于点M,N.若B(10,0),MN⊥OA,则k的值为() 1/67 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A.6V5 B.7√3 C.83 D.9√5 【答案】D 【详解】解：如图，作NE⊥x轴，垂足为E,MF⊥x轴，垂足为F, A少 M EB衣 :B(10,0), 0B=10, :AOB是等边三角形， 0A=0B=AB=10,∠A0B=∠0BA=∠0AB=60°， 设N的横坐标为m,则OE=m,BE=10-m, :NE⊥x轴， ∴.∠BNE=30°， .BN=2BE=20-2m, .NE =BN2-BE2=3(10-m) .AN=AB-BN=10-20-2m）=2m-10 :NM⊥A0,∠A=60°， .∠ANM=30°， MAM=m-5,0M=A0-AM=10-m-5=15 :MF⊥x轴，∠A0B=60°， .∠0MF=30°， 0F=M0=15-m), Mr=M0-OF=515-m. 2 :M,N在y=k, 2/67 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 6m10二m5-m5-m,解得m=5舍去)，m9 k=V5×9×(10-9)=95, 故选：D, 【例2】如图，已知A-3,2),B(m,-3)是一次函数y=c+b的图象与反比例函数y=C的图象的两个交点. y= m y=kx+b ()求反比例函数的解析式： (2)求A0B的面积： (3)点P是在y轴上一动点，连接AP,若△AOP是等腰三角形，直接写出点P的坐标. 【答案】（①）y=-6 吲 P0,4),PB0,3,P(0-3 【分析】 【详解】(1)解：：已知A(-3,2),B,-3)是一次函数y=+b的图象与反比例函数y="m的图象的两个 交点， .m=-3×2=-3n, ∴m=-6,n=2, :反比例函数解析式为：y=-6 (2)解：A(-3,2),B(2,-3)在一次函数y=x+b图象上， [-3k+b=2 k=-1 2k+6=3解得6=1 ·一次函数解析式为：y=-x-1, 3/67 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 设一次函数与y轴交点为C,则C(0,-1),0C=1, 1 S=S+S0x (3) 解：在y轴上存在点P,使△AOP是等腰三角形， 设点P(0,t),A(-3,2), :0A=V32+22=13, 分四种情况考虑，如图所示： P B P y=kx+b 当AR=PO时，△APO为等腰三角形， 则AP2=P02，即(-32+(2-t2=t2, 解得1=13 4 (。13 :R0,4 当OA=OP时， 则0B=0A=3, 此时B(0,3: 当OA=AP时，OP,=4, 此时P(0,4): 当OA=OP时， 则0P=0A=3, 此时P0,-3）； 4/67 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 。13 综上，满足题意坐标为0,4 P,(0,4),P0,V13,P0,-V13 【变式1-1】如图，ABC是等边三角形，点A在x轴的正半轴上，BC在第一象限，BC∥x轴，点D为 AB的中点，反比例函数y=上的图象经过点C和点D,BC的延长线与反比例函数y=上的图象相交于点 B,连结4，C0.已知k-6-6,Se心Sa48,则sC-一 k+k2的值是 0 【答案】 205205 33 【详解】解：连接OC、OE,作AM⊥BC于M,设BC交y轴于点F, F 1 1 由题意可知S.cor=与k,S,or=与k, 2 2 1 1 1 ..S.co=S.cor-S.cor=k-k:=(k-ka). :k-k=165, 3 =5×165-85 S.c0e=23 3 :BC∥x轴， .CE∥OA, S.EAC =S.EOC S.EAC:S.BCD =4:3, .S.EOC:S.BCD =4:3, :8w3 3 SBcD=43, S.uCD=23, 5/67 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :点D为AB的中点， ABC是等边三角形， .CD⊥BD, :.BD--BC,CD=5BC. 2 2 SB三BD.CD=23 :x1 2×2BC.Y3B℃=2W3 2 .BC=4, cD=3 x4=25, :AM -CD-23.CM-7BC=2. 设Cm,25,则CF=m,Bm+4,25, .FM=m+2, 根据题意得四边形FOAM为矩形， 0A=FM=m+2, Am+2,0, :Bm+4,2V5, :由中点坐标公式得D m+2+m+40+2V3 即D(m+3,3, 2 :反比例函数y=上的图象经过点C和点D, :k=25m=V3(m+3), 解得m=3, k=6V3,CF=3, :点D为AB的中点， S.ABC =2S8CD, S.EAC:S.BCD =4:3, SEC:S4Bc=4:6,即CE:BC=4:6=2:3, :BC=4, 6/67 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 CE=3 8 ·EF=CF-CE=3-8-1 33' 62 :反比例函数y=的图象过点E, k=×25=25 3 3 ÷k+k3=6V5+ 2V320V5 33 故答案为：4， 20W3 3 【变式1-2】如图，点A(2,)、B(b,-4)是反比例函数片=4与一次函数为=：-2的交点 B (1)连接0A、OB,求△0AB的面积； (②)一次函数y2=x-2与y轴相交于点C,在坐标轴上存在点D使得△ACD是等腰三角形，求点D的坐标. 【答案】(1)3 (2)点D的坐标为(6,0)或(-2,0)或(0,6)或(4,0)或(-4,0)或0，-2-2V5或(0，-2+2V5或1,0)或(0,0.5】 【分析】 【详解】)解：点42.小、B6-4到在反比例函数=兰的图象上。 =4=2,-4= .a 2 b b=-1, A2,2),B-1,-4), 把A2,2)代入一次函数y2=-2,得2=2k-2, .k=2, .一次函数y2=2x-2, 7/67 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 把x=0代入y2=2x-2,得y2=-2, C(0,-2, 0C=2, 5nu-Smne +5.wx23 2 (2)解：：A2,2),C(0,-2), .AC=V2-0)2+(2+22=25, ①当AC=AD时， 若点D在x轴上，设D(d,0,则AD=V2-d2+(2-02=25, 解得d=6或d=-2, D(6,0)或D(-2,0: 若点D在y轴上，设D(0,,则AD=V2-02+(2-t2=25, 解得1=-2或t=6, 当t=-2时，点D(0,-2)与点C重合，不合，舍去， D(0,6); ②当CA=CD时， 若点D在x轴上，设D(d,0),则CD=0-d2+(-2-0)2=25, 解得d=±4， D(4,0)或D(-4,0) 若点D在y轴上，设D(0,,则CD=V0-0)2+(-2-t)}2=25, 解得1=-2-25或1=-2+2√5， :D0,-2-25)或D0,-2+25): ③当DA=DC时， 若点D在x轴上，设D(d,0),则Vd-2)2+0-22=Vd-0)2+(0+2)2, 解得d=1, 8/67 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D(1,0); 若点D在y轴上，设D(0,,则V0-2+(t-2=√0-0+(t+22, 解得t=0.5, D(0,0.5 综上所述，点D的坐标为6,0)或(-2,0)或(0,6)或(4,0)或(-4,0)或0，-2-25)或0，-2+2V5)或1,0或 (0,0.5. 【变式1-3】已知一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=上的图象交于点A(-3,m),B1,-3)；与x轴 交于点C. 大 备用图 (1)求一次函数和反比例函数的表达式： ②若点P在y轴上，且满足SA-子Sc,求点P的坐标： 3 (3)我们将有一个内角为45°的三角形称为“半直角三角形”，这个45°角所对的边为半直角边”.反比例函数 y=在第四象限的图象上是否存在点Q,使得△0BQ是不以OB为“半直角边的“半直角三角形？若存在， 请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由. 3 【答案】(1)y=-x-2,y=- (2)点P的坐标为(0,2)或0，-6； (3)存在，点Q的坐标为 【分析】 9/67 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【详解】(1)解：：一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=上的图象交于点A-3,m,B1,-3): k2=1×-3)=-3,k2=-3m, ∴.k2=-3,m=1, y=-3,A-3, -3k+b=1 k=-1 k+b=3,解得 b=-2 y=-x-2; (2)解：设直线AB交y轴于点D, :y=-X-2, 当y=0时，x=-2,x=0时，y=-2, .C-2,0,D(0,-2, 1 1 S△40B=Sa40c+S&BOC=)×2×1+5×2x3=4, 2 设P(0,p), 5m=5w+5amx2p+2分x+2-p+2, 2 SAOn-3SAOPC 4 .p+2=4, p=2或p=6, :点P的坐标为0,2)或(0，-6)： 10/67 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (3)解：存在： ①当∠BOQ=45°时，将OB绕点O旋转90度得到0B',连接BB',交O0的延长线于点D,如图，则： B'3,1,LB0B'=90°，OB=OB, B B :∠B0Q=45°， .∠B'OQ=45°=∠B0Q, .BD DB', D(2,-1, 设0D的解析式为：y=mx,则：-1=2m, 1 .m=- 1 y=-2x, 1 y=- x=√6 x=-V6 联立 解得： 6或6 (舍去)： 3 y=- y=- 2 s 2 ②当∠OBQ=45°时，将OB绕点B旋转90度得到0'B,连接OO,交BQ于点E,则0'(4，-2)， ∠OBE=∠O'BE, 11/67 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 .0E=0'E, E(2,-1, 同法可得：BE的解析式为：y=2x-5, y=2x-5 (3 x=1 联立 y=-3，解得：2或 x= y=-2y=-3 (舍去)， 6, 综上：点Q的坐标为 2 会类型二、反比例函数与平行四边形的综合 处理方式： 解决此类题型核心依据平行四边形对边平行且相等、对角线互相平分的性质，结合反比例函数点坐标特 征进行转化。通常利用“对边平行则斜率相等“对边相等则距离相等”，或用中点坐标相同来建立方程，快 速求解未知点坐标。 先设出关键点坐标，利用平行四边形性质表示出第四个顶点坐标，再将点代入反比例解析式求k或参数。 遇到面积问题可直接用底乘高，或结合的几何意义简化运算，确保坐标符号与象限一致。 【例3】如图，平行四边形ABCD的顶点A在x轴的负半轴上，顶点B,C,D都在反比例函数y=4的图象上， 且边BC经过原点O.则平行四边形ABCD的面积为() 12/67 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A.8 B.10 C.12 D.16 【答案】C 4 【详解】解：设点C的坐标为m, (m>0), :四边形ABCD是平行四边形，且边BC经过原点O, ··点B与点C关于原点对称， 且O为BC的中点， S.c=2540 S平行图边形4BCD=2S.4BC=4S。AB0, 设Aa,0), :四边形ABCD是平行四边形，且设点D(P,q), a+m p-m 2 2 4 4， 0+ 9+ m三 m 2 2 p=2+2m 整理得： 8 9= m 8 .点Da+2m, :点D在反比例函数y=4的图象上， :(a+2m.8=4,整理得：2a+2m=m,即2a+4m=m, m :2a=-3m,即a= 2m :A在x轴负半轴， 13/67 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 a<0,符合题意 “S平行四边形4BcD=4S。AB0=4×3=12. 故选：C 【例4】如图1，已知点Aa,0),B(0,b),且a、b满足√a+I+(a+b+32=0,平行四边形ABCD的边AD与 y轴交于点E,且E为AD中点，双曲线y=经过C、D两点， 图1 图2（备用图） (1)a= b= (②)求反比例函数表达式： ③)点P在双曲线y=《上，点Q在x轴上，若以点A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，直接写出 满足要求的所有点Q的坐标. 【答案】(1)a=-1,b=-2 ②)y=4 x 3)0-3,0)；223,0)；23(1,0)； 【分析】 【详解】(1)解：Va+1+(a+b+3)2=0,√a+1≥0，(a+b+32≥0， a+1=0 a=-1 a+b+3=0' 解得， b=-21 ∴.a=-1,b=-2 (2)解：由(1)可知，a=-1,b=-2, A-1,0),B(0,-2), 14/67 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 .A0=1 :E为AD中点，且点E的横坐标为O,设点D的横坐标为o, :-l=0. 2 xp=1,设D(1,), 如图，过点D作DF⊥x轴于点F,过点C作CG⊥DF于点G, D DF∥y轴， ∠FDE=∠OEA=∠EBC, ∠AB0=∠CDG,且AB=CD,∠A0B=∠CGD=90°， △AOB≌aCGD(AAS), CG=A0=1,DG=B0=2, .C2,t-2), :点D,),C(2,1-2)都在双曲线y=的图像上， .k=y=t=2(t-2), 1=21-4,解得：y=4, D(1,4), :D1,4在双曲线y=《上， “.k=xy=1×4=4, :反比例函数的解析式为y=4 3解：设0(g,0),PPp ①当AB为边时： 15/67 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 第一种情况：如图所示，若ABPQ为平行四边形，则AB∥AQ,AQ=PB,即PB∥x轴 5点P的纵坐标为-2，即4-2，解得：p=-2. .P-2,-2),即PB=2, AQ=-1-9=2,解得：q=-3, .0-3,0)； 第二种情况：如图所示，若ABQP为平行四边形， -1+9=0+2 2 -2+4，解得： p=2 0+0_卫 (9=3 2=2 023,0)； ②当AB为对角线时：如图所示， :PB∥AQ,PB=AQ, 16/67 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 六点P、B的横坐标相同，即4=-2，解得：p=-2, P(-2,-2),即PB=2, .PB=AO=2, q-(-1=2,解得：q=1, 21,0). 综上，0(-3,0)；Q23,0)；Q3(1,0). 【变式2-1】如图，平行四边形0ABC顶点O为原点，点A在x轴正半轴上，点C(3,m)在反比例函数y=k 第二象限图象上，双曲线交B边于点E,延长BC交y销于点D,若C6,平行四边形0A8C的面积为 6,则点E的坐标为() D A A( B. C.（i0+1,0-D.(0-1,0+1 【答案】C 【详解】解：如图，作CM⊥x轴于M,EN⊥x轴于N, B :四边形OABC为平行四边形， AM N .BD∥OA, .∠0DB=180°-∠D0A=90°， ,∠D0M=∠CMO=90°， .四边形ODCM为矩形， 17/67 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :点C(3,m)在反比例函数y=←第一象限图象上， ·S图边形OMCD=k, BC 2 ,平行四边形0ABC的面积为6， CD 3 :矩形ODCM的面积为9， k=9, 9 :反比例函数为y=一， 1 ∴3m=9,解得m=3, C3,3, .0D=CD=3,BC=0A=2, ·矩形ODCM为正方形， ∠A0C=∠0CD=45°， .OCI AB, .∠EAN=45°， :△EAN是等腰直角三角形， :EN AN 设EN=AN=a, .E2+a,a, :点E在反比例函数y=二的图象上， a2+a=9, 解得a=-1+√10（负数舍去）， EW10+1,V10-1. 【变式2-2】如图，己知平行四边形ABCD的顶点A,B分别在x轴和y轴的正半轴上，顶点C,D分别落 在反比例函数y=(k>0,x>0)的图象上，过点C作y轴的垂线，垂足为点E,且OB=3BE,若平行四边 形ABCD的面积为18，则k的值为 18/67 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B 【答案】12 【详解】如图，连接AC, y沐 E B :平行四边形ABCD的面积为18， A S4c=9, 设OB=3a,则BE=a, B0,3a,E(0,4a), :点C在反比例函数图象上， c) 设点A(m,O),由平行四边形性质可知BC∥AD, 由B到C向上移动a个单位，再向右移动 Aa k :由A到D向上移动Q个单位，向右移动 Aa k .Dm+,a,· 4a) :点D在反比例函数图象上， kk .m+ 。解得m=3张 Aa a 4a 1k,3k SBc=So4cE-S40s-SACBE=2(4a4a a_1.3kx3a-zxax x4a-2 4a xk=9. 4a 解得：k=12 【变式2-3】定义：把能被一条对角线分成两个全等直角三角形的四边形叫做勾股四边形，比如：矩形就是 勾股四边形 19/67 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ①)如图，在直角坐标系x0y中，直线y=-x+1与双曲线y=6相交于4、B两点，点P-3,0)在x轴负半轴 上，Q为直角坐标平面上一点. ①分别求出A、B两点的坐标： ②如图，当四边形APQB是平行四边形时，请证明平行四边形APQB是勾股四边形， (②)在(1)的条件下，当以A、B、P、Q为顶点的四边形是勾股四边形时，请直接写出Q点的坐标 【答案】(1)①A-2,3),B(3,-2)；②证明见解析： (2)0点的坐标为(2，-5)或(4,1或(1,4)或(-8,5). 【分析】 y=-x+1 【详解】(1)解：①由 6,解得 x=-2x3=3 y=- =-21 .A-2,3),B(3,-2): ②证明：：A-2,3,B(3,-2),P(-3,0, AB2-(-2-3)2+(3+22=50,AP2=(-2+3)2+(3-0)2=10,Bp2=(3+3)2+(-2-02=40, .AP2+BP2=AB2, ∠APB=90°， :四边形APQB是平行四边形， AP=BQ,AB=QP,AP∥BQ, .∠APB=∠QBP=90°， 在Rt△APB和Rt△QBP中， AP=OB AB=OP' 20/67 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 .Rt△APB≌RtAOBP(HL, :.平行四边形APQB是勾股四边形； (2)解：由(1)知，A-2,3),B(3,-2),P(-3,0, 设点Q的坐标为x,y), ①如图，当Rt△ABP≌Rt△QPB时， AP=QB,AP∥QB, 「3-(-2)=x-(-3) 13-(-2)=0-y 解得 x=2 y=-5’ 02,-5): ②如图，当Rt△ABP≌RtaBAO时， A :AP=QB,AP∥QB, [3-(-2=x-(-3) 3-y=0-(-2 21/67 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 x=4 解得 y=1' 0(4,1； ③如图，当Rt△ABP≌RtAABO时，设直线AB与x轴交于点C,过点A作AE⊥x轴于点E,作AF∥x轴， 过点Q作QF⊥AF于点F,则F(x,3, B :直线AB:y=-x+1,令y=0,则-x+1=0, 解得y=1, C1,0), A-2,3,AE1x轴， E-2,0), AE=3,CE=3,PE=1, “.△AEC是等腰直角三角形， .∠EAC=∠ACE=45°， :AF∥x轴， .∠BAF=∠ACE=45°， ∠EAC=∠BAF, :∠BAP-∠EAC=∠BAQ-∠BAF, ∠EAP=∠FAQ, 在△AEP和△AFQ中， I∠EAP=∠FAQ ∠AEP=∠AFQ=90°， AP=AO 22/67 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 .△AEP≌△AFQ(AAS), .AF=AE =3,QF=PE=1, x-(-2)=3 y-3=1 x=1 解得 y=4' 01,4； ④如图，当Rt△ABP≌RtAPOA时， :AB=PQ,AB∥PQ, -2-x=3-（-3 y-0=3-(-2 x=-8 解得=5 0-8,5): 综上，0点的坐标为(2，-5)或(4,1或1,4或(-8,5). 【点晴】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，反比例函数与一次函数交点问题，勾 股定理及逆定理，平移的性质等知识，运用数形结合的思想和分类讨论的思想解决问题是解题的关键。 会类型三、反比例函数与矩形的综合 处理方式： 矩形综合题优先使用矩形四个角为直角、对边相等、对角线相等且平分的性质，结合反比例函数坐标特 点解题。因为矩形邻边互相垂直，常转化为横平竖直的线段长度计算，直接用坐标差表示长和宽，再用 面积公式建立关系。 设出图象上点的坐标，用横坐标、纵坐标的绝对值表示矩形边长，根据面积相等或边长相等列式，代入 y=会求解。矩形面积常与k直接相关，可快速由面积得出k,再根据象限确定k的正负。 【例5】如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A4,C分别在y轴，x轴正半轴上，点D在线段BC 23/67 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 上，且BD=3CD,函数y=k(x>0)的图象经过点D及矩形OABC的对称中心M,顺次连接点D,O,M,若 △ODM的面积为3，则k的值为() M D A.6 B.4 C.3 D.2 【答案】B 【详解】解：如图，过点M作ME⊥OC于点E,设ME交OD于点F, B :矩形OABC的顶点A,C分别在y轴，x轴正半轴上， 又：点D在线段BC上，函数y=《(x>0)的图象经过点D, :BD=3CD, .BC=4CD 4k 2.B.x :点M为矩形OABC的对称中心， 2 :函数y=《(x>0)的图象经过点D及矩形0ABC的对称中心M, 3e5x0Exw6-号话4-95m3ocpc-x44 1 1 2 2x2 .S.MOE =S.DOC, .S.MOE -S.FOE S.DOC -S.FOE 即S,MOF=S四边形FECD, 24/67 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 .S.MoP+SMFD=S图边形FECD+S,MFD, 即S,MOD=S稀形MEcD' :△ODM的面积为3， S。MoD=S稀形MEcD=3, :samw8+ncac-{整-} +引 k=4. 【例6】如图，在平面直角坐标系中，C,A分别为x轴、y轴正半轴上的点，以0A,0C为边，在第一象 限内作矩形OABC,且S矩形o4Bc=2V5,将矩形OABC翻折，使点B与原点O重合，折痕为MN,点C的对 应点C落在第四象限，过M点的反比例函数y=《(k≠O)的图像恰好过MN的中点，则MN的长为 0 C C 【答案】 【详解】连接OB,交MN于点Q, M B 0 N :将矩形OABC翻折，使点B与原点O重合，折痕为MN, .OB=20,OM MB, 设B(a,b) 25/67 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 OA=a.AB=b :AB∥C0, .∠ABQ=∠NOQ, :∠MQB=∠NQO, 而QB=Q0, .△BQM=△OQN(AAS), :QM=QW,即点Q是MN的中点， :SE形0Hc=2V2 ·S矩形04Bc=ab=2W2 11, :024,2在y=k≠0)上， k=a6=2 4 2 Sw022k4 1, 1 :SAB0=)SE形01Bc=V2 S.w.0 4 :AM=1AB=Ib 41 4 :.OM=BM=AB-AM=36, :在△AM0中OM2=AM2+OA2, (学-+心，解得成=马6（负数关系色去， 2 2 :S矩形o4c=ab=2V2 b=2,a=√2 w- 26/67 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 故答案为：√. 【点晴】本题是反比例函数综合题，主要考查了反比例函数的性质、反比例函数系数k的几何意义，两点 的中点公式和距离公式，勾股定理等，综合性强，难度较大， 【变式31】如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=5V5 x>O)的图象经过矩形ABCD的顶点C,D, 4x 若∠BA0=60°，且A(1,0),则点B的坐标为一· 【答案】-1,2V3 【详解】解：如图，过B作BF⊥x轴于点F,过D作DE⊥x轴于点E,过C作CH⊥x轴于点H,过B作 BG⊥CH于点G, G B D FOHA E :∠BA0=60°，∠BAD=90°， ∠DAE=30°， .AE =3DE 设DE=m,则D1+V3m,m, :反比例函数y= 5v5 x>O)的图象经过点D, 4x 27/67 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 m+V5m-5y5,即4V5m2+4m-5V5=0, 4 解得：m=5或m=55(不符合题意，舍去. 6 :四边形ABCD是矩形， AD∥BC,AD=BC, .∠CBG=∠DAE, .∠CGB=∠DEA, △CBG≌△DAE(AAS, CG=DE-,BG-AE-5 2 13 3 3 Xc=yc=ya+ :反比例函数y=5V (x>0)的图象经过点C, 4x .∠BA0=60°， :yg=V3(1-xg)=V3-V3x, 4 解得：x=-1或xg=1(不符合题意，舍去)， y期=2V3, B-1,25) 【变式3-2】如图，矩形ABC0的顶点O为坐标原点，边0A,OC分别在y轴、x轴上，∠ACB=60°， BC=1,反比例函数y=《(k>0)的图象经过矩形ABC0对角线的交点E. 28/67 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (1)k= (2)过点B作BD∥AC,交该反比例函数的图象于点F,交x轴于点D,则 BF的值为 O 【答案】 5 3 4 2 【分析】 【详解】(I):四边形ABCO是矩形， LABC=90°，AB=OC,AC=OB,E为AC的中点 :∠ACB=60°， .∠BAC=30°， .AC=0B=2BC=2, AB=0C=VAC2-BC2=V22-12=V5, B5, 51 由中点坐标公式得E 22 .k= 515 224 (2)设直线AC的解析式为y=k+b, 把A(0,1,C3,0代入直线解析式得， [b=1 V5k+b=0' k=- 解得， 3, b=1 直线4C的解析式为y=- 3+1, BD∥AC, 三设直线BD的函数解析式为y=- -x+n 3 29/67 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :该直线过点B5,, xv3+n=1, 3 解得n=2, :直线BD的函数解析式为)y=-5 x+2. 由1)可知，反比例函数的解析式为y= 4x :F为这两个图象的交点， 5 2W3+3 2W3-3 y= 七= “解方程组 4x 2 x2= 2 得： y=- 3r+2 2+V5 2-5 2 2 点F的坐标为 2W3+32-V3 22 或 2V3-32+√3 22 0B=2,BV5, :当点F的坐标为 …BF=V5, BF OB 2 当点F的坐标为 BF=√3， BF OB 2 综上所述， 的值为 OB 2 【变式3-3】如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A,C的坐标分别为A(0,3),C-1,0).将矩 形OABC绕原点O顺时针旋转90°，得到矩形OAB,C1. 30/67 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (1)求经过点B的反比例函数解析式： (2)点P是直线BB,上的动点，过点P作x轴的平行线，交反比例函数图象于点Q.设点P的横坐标为t,线 段PQ的长为d. ①用含t的代数式表示d ②当d=2时，求点P的坐标. (3)在(1)的条件下，在过点B的反比例函数图象上求点M,且M在第一象限，使S△4CM=S四边形OHBc的所 有满足条件的点M的坐标. 【答案】0- 2)①d= -t2+5t-6 -t+5 ②-或(4 (3) 9+35,3-5成9-35,3+5 或 222,2 【分析】 【详解】(1)解：：矩形0ABC的顶点A,C的坐标分别为A(0,3),C(-1,0), .0C=1,BC=0A=3, 由旋转的性质可得B,C1=BC=3,∠B,C,0=∠BC0=90°，∠C0C1=90°， ∠COC1=∠C0A, A、CO三点共线，即点C在y轴上， .B3,1, 设经过点B的反比例函数解析式为y=(k≠0， 31/67 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 k=3, :经过点B的反比例函数解析式为y=: 3 (2)解：矩形0ABC的顶点A,C的坐标分别为A(0,3),C(-1,0), ∴.BC⊥OC,OC=1,BC=OA=3, .B(-1,3, 设直线BB,的函数解析式为y=+b, 「-K'+b=3 3K+b=1' 1 k'=- 2 5 b=- 2 “直线BB的函数解析式为y=- 5 2 +21 :点P的横坐标为t, 点P的坐标为-+ P0∥x轴， 15 “点Q的纵坐标为- t+ 2, 2 3 6 在中，当=+时，X 1.5 -1,5 -t+5, 2 2 61.5) “点Q的坐标为 -t+ -1+52+2 6 -t2+5t-6 ∴.d=t- -1+5 -t+5 -t2+5t-6 ②当d=2时，则 =2, -t+5 ：-1+51-6=2, -t+5 .-2+51-6=-2t+10或-t2+5t-6=2t-10, 解方程-t2+5t-6=-2t+10可知此方程无解， 32/67 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 解方程-t2+5t-6=2t-10得t=4或t=-1, x4451 22 当t=-1时，- 1,51 2-2 =3 -10+2 :点P的坐标为-1,3)或42： 1) (3)解：由(1)得0C=1,0A=3,C(0,1, “S匹边形04Bc=0A:0C=1x3=3,AC,=3-1=2, S△AC,M=S四边形O4Bc=3; 如图所示，连接A,C,AA, YA B B 由旋转的性质可得OA,=0A=3,∠AOA1=90°，则点A在x轴上， 1 1 .S△4G4=7AC0A=7×2×3=3, 2 2 S△4GA=S△4C,M, :点M在第一象限， :点M和点A在直线A,C的同侧， :AC∥AM, 同理可得直线4C的解析式为y=- 3+1, :直线AM的解析式为y= 3+3, 1 1y=- X+3 [9+35.9-35 X= x= 联立 3 2 2 3 ,解得 或{ y= -3-V5 3+√5 x y=- 2 2 33/67 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 9+3√53-V5 9-353+√5 2 ，2 :点M的坐标为 类型四、反比例函数与菱形的综合 处理方式 菱形题型核心抓住四边相等、对边平行、对角线垂直平分、对角线平分内角的性质，结合反比例函数特 点分析。由于菱形对角线互相垂直，常转化为垂直直线斜率关系与中点重合两类条件，用于求点坐标。 先利用菱形对称性设点，再根据边长相等或对角线垂直列式，将点代入反比例函数求k。面积计算可用对 角线乘积的一半，也可结合几何意义快速求解，注意菱形在坐标系中的方向与象限位置。 【例7】如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形AOBC的顶点A在y轴的正半轴上，顶点C在反比例函数 y=(k>0,x>0)的图象上，顶点B的坐标为(4,3).已知该反比例函数图象上有一点P,连接PA,PC, x 若△PAC的面积是菱形A0BC面积的；，则点P的横坐标为(） A.82 B.&v6 D. 或86 3 3 3 3 【答案】D 【分析】 【详解】解：B(4,3), .0B=V4-0)2+(3-0)2=5, :四边形OACB为菱形， .0A=BC=B0=AC=5,菱形A0BC的面积为4×5=20， .C(4,8, 把C4,8到代入y=,可得8= ’ 解得k=32, 34/67 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :反比例函数的解析式为y=3卫， 32 设点Pm,3 m 当点P在点A右侧时，过点C作CM∥x轴，交y轴于点M,过点P作PN⊥CM于点N,如图， B 则4M=0M-0A=8-5=3,MC=4,MN=m,P=8-32,CN=m-4, m S△ACP=S梯形MAPN-S△AMC-S△CNP AM+PN).MN AM.MC CN.NP 2 2 2 m3+8-32 m 3x4(m-4)8-32 1m, 2 2 2 3m+10-64 m 根据题意可得方程3m+10-64=10, m 解得m=8v6 (负数舍去)， 3 经检验，m= 86是原方程的解： 当点P在点A左侧时，过点P作PG∥x轴，交y轴于点G,过点C作CH⊥GH于点H,如图， P.H B 0 则4G=32-5,GP=m,PH=4-m,GH=4,HC=32-8, m m 35/67 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ·.S△ACP=S8形AGHC-S△AGP-S△cHP -AG+CH).GH AG.GPPH·HC 2 2 432-5+32-8)m32-5)(4-m2-8】 mm （m m 2 -3m-10+64 2 根据题意可得方程-10+64=10 1 解得四 (负数舍去)， 经检验，m= 是原方程的解， 综上，点P的横坐标为成号 故选：D 【例8】如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=mx+2与双曲线y=《k>0)相交于点A、B,点C在x轴 正半轴上，点D(2,-4),连接0A、OD、DC、AC,四边形A0DC为菱形. (I)求k和m的值； (②)设点P是直线AB上一动点，且SoP -S0en,求点P的坐标， 4 【答案】(1)k=8,m=1 (2)点P的坐标为(6,8)或(-2,0 【分析】 【详解】(1)解：：四边形AODC为菱形， .A与D关于0C即x轴对称， 点D2,-4, 36/67 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 点A的坐标为2,4). :点A(2,4在双曲线y=《上， .k=2×4=8; :点A2,4)在直线y=mx+2上， .4=2m+2, 解得m=1; (2②)解：如图，连接4D,设直线B与y轴的交点为E2,则S,:×2x2=2. :四边形A0DC为菱形，A2,4,D(2,-4), .根据菱形对称性，C(4,0), 0C=4,AD=8, S菱服0c=)×0C×AD=×4x8=16. 1 2 2 :S.op=4S数彩4o0c S.op=4×16=4. 点》是直线B上一动点，设点P的坐标为1+2，则Se×2x4= ①当1<0时，S4oE+SPoE=2+(-)=4,解得1=-2 P-2,0); ②当t>0时：S.PoE-S。4oE=t-2=4,解得t=6 P(6,8). 37/67 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 综上，点P的坐标为6,8或(-2,0) 【变式4-1】如图，菱形OABC的顶点O与原点重合，点A落在x轴上，点B在第一象限，反比例函数 y=(x>0)的图象经过点C,交AB于点D,点A的坐标为5,0)，菱形OABC的面积为20. B (I)求k的值： (2)求点D的坐标. 【答案】(1)12 5+V6i2(V6-5) (2) 2 【分析】 【详解】(1)解：：点A的坐标为5,0)， .0A=5, :菱形OABC的面积为20， 5×yc=20, 解得yc=4, :点B在第一象限， .点C的纵坐标yc=4, :四边形OABC是菱形， ..0A=AB=BC=CO=5, 38/67 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 过点C作CE⊥x轴于点E, V 在Rta0CE中，OC=5,CE=4, 根据勾股定理得：0E=√0C2-CE2=V52-42=3, 点C的坐标为3,4)， :反比例函数y=过点C3,4), .k=3×4=12; (2)解：四边形OABC是菱形，所以AB∥OC,AB=OC=5, 又：点A的坐标为(5,0)， .点B的坐标为5+3,4，即(8,4). 设直线AB的解析式为y=x+b 5m+n=0 将点A(5,0),B(8,4)代入可得 8m+n=4 4 1m= 3 解得 20' n=- 3 :直线AB的解析式为y=x-3, 420 420 y= 联立直线AB与反比例函数的解析式得 3 12 x 42012 可得-3= 解得x=5土V6 2 x>0, 5+V61 .x= 2 39/67 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 将x5+6代入y-2得：y 26-5 点D的坐标为 5+V6ī2(6-5) 2， 3 【变式42】如图，点A是平面直角坐标系中第一象限内的点，将线段A0绕着点A顺时针方向旋转90°至 AD,以AD为边作菱形ABCD,边CD、AB分别与反比例函数y=《(x>0)交于点E、F,且AB∥x轴， AE⊥CD,连接OE,OF,EF,当DE=4CE,S△Eor=11时，k的值为 A 【务案) 3 【详解】解：延长EA交x轴于点G,过点F作FH⊥x轴于点H,如图所示， VA E .B G H :AB∥x轴，AE⊥CD,AB∥CD, .AG⊥x轴， :AO⊥AD, .∠DAE+∠0AG=90°， 40/67 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :AE⊥CD, .∠DAE+∠D=90°， .∠D=L0AG, 在△DAE和△AOG中， ∠DEA=∠AGO=90° ∠D=∠OAG AD=OA △DAE≌△AOG(AAS), .DE=AG,AE=0G, :四边形ABCD是菱形，DE=4CE, AD-CD-5 DE. 4 设DE=4a,则AD=0A=5a, OG=AE=AD2-DE2=3a, :EG=AE+AG=7a, .E(3a,7a, :反比例函数y=《(x>0)的图象经过点E, k=21a2, :AG⊥GH,FH⊥GH,AF⊥AG, :四边形AGHF为矩形， .HF AG 4a, :点F在反比例函数y=(x>0)的图象上， 21a221 .x= a 4a4 :21 (4a,4a, :.OH-21a,FH=4a. 4 9 .GH =OH-OG=a, 4 :S&OEF=SA0EG+S稀形EGHr-SA0FH,S△EOr=11, 41/67 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 xOGxEG+(G+FH-GHOHxF x21r2+7a+4a×9 1 91 ×21a2=11, 2 4”2 解得：4心-8， 9 .a>0, a=22 3 点F7282) 2’3 :点F在反比例函数y=的图象上， 7√28√256 ∴k= 2x3=3 故答案为：的 【变式43】如图，等边三角形ABC的顶点A在x轴上，顶点B在y轴上，顶点C在反比例函数 y=上x>0的图象上，且AC1x轴，已知Sc=5. B O A (1)求该反比例函数的解析式； (2)在反比例函数y=《(x>0)图象上是否存在点N,使四边形ABCN是菱形？若存在，请求出点N的坐标： 若不存在，请说明理由. 【答案】①y=23 x>0 (2)存在，点N的坐标为(2W5, 【分析】 【详解】(1)解：过点C作CD⊥y轴于点D,则四边形OACD是矩形， 42/67 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 Dh---- S矩形04cD=2SAc=2V5, 的 O A .k=2V3, 故反比例函数的解析式为y=2 2(x>0). (2)解：存在. 如图，连接BN交AC于点E,则EN=BE,CE=AE, B y 设CE=AE=m,则EN=BE=√3m· S A8c=3, 2mxim-55. m=1(舍负)， .AE=1,BN=2V5, N(25,. 对Fy-25,当=25时，y-2 261, 故点N在反比例函数y=25 x>0)的图象上， y= 2v5 x>0 故在反比例函数 图象上存在点N,使四边形A8CN是菱形，点N的坐标为(2√5， n 类型五、反比例函数与正方形的综合 处理方式： 43/67 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 正方形综合题同时具备矩形与菱形性质，解题优先用四边相等、邻边垂直、对角线相等垂直平分，结合 反比例函数坐标计算。因为边长相等且垂直，常把线段关系转化为横纵坐标绝对值相等，大幅简化计算。 设出正方形顶点坐标，利用边长相等、垂直、中点相同等条件表示未知点，再代入反比例解析式求k。面 积可由边长平方得出，也可直接用k✉快速推导，做题时注意图象象限，保证k符号与图形位置一致。 【例9】如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC和正方形ADEF的顶点B,E都在第一象限，OA, AD都在x轴的正半轴上，OC在y轴的正半轴上，点F在AB边上，反比例函数y=(k≠0，x>0)的图象过 点B,E.若CDF的面积为2，则k的值为() A A.10 B.6+25 C.4V5 D.8 【答案】B 【详解】解：设正方形OABC的边长为a,正方形ADEF的边长为b, :B(a,a c(0,aD(a+b,0 F(a,b E(a+b,b, 设直线CD的解析式为y=mx+n, 将C(0,a)代入，得n=a, 将D(a+b,0代入，得0=ma+b)+a, a ∴.m=- a+b' ·直线CD的解析式为y=-a x+a, a+b 设CD交AB于点G, :AB所在直线为x=a, 将x=a代入，得。=-a a+b a+a=ab a+b' ab ..Ga,- a+b .FG=b-ab b2 a+b a+b S.cpF=S.cFG+S.DFG以FG为底， 44/67 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 点C到AB的距离为a,点D到AB的距离为b, Sm号Ga+号Gb号PGa+创， 2 2 :a+b1=6=2 2 a+b 2 b=2, :B(a,a小、E(a+b,b)在反比例函数y=《的图像上， ∴.k=a2=(a+b)b即a2=ab+b2, 将b=2代入，得a2-2a-4=0, 解得，a=2±4+16-1士5， 2 5a>0, .a=1+5, k=a2=(1+5=6+25. A D 【例10】如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=-3x+3的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点.正方 形ABCD的顶点C、D在第一象限，顶点D在反比例函数y=(k≠0)的图象上.若正方形ABCD向左平移 n个单位后，顶点C恰好落在反比例函数的图象上，则n的值是() A A.2 B.3 C.4 D.5 【答案】A 45/67 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【详解】解：过D、C分别作DE⊥x轴，CF⊥y轴，垂足分别为E、F,CF交反比例函数的图象于G, B A E A,B为函数y=-3x+3与x轴、y轴的交点. 当x=0时，y=3；当y=0时，x=1, A1,0),B(0,3, 0A=1,0B=3: :ABCD是正方形， ∠BAD=90°， ∠BA0+∠DAE=90°， :∠BA0+∠0BA=90° ∠OBA=∠EAD 在AOB和△DEA中 ∠OBA=∠EAD ∠BOA=∠AED AB=AD :△AOB≌△DEA(AAS, 同理可证得：△AOB≌△BFC(AAS), .△AOB≌△DEA≌△BFC(AAS) .DE=BF=0A=1,AE=CF=OB=3, .D(4,1,F(0,4), 把D(4,,代入y=中， 解得：k=4, 46/67 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 把y=4代入y=4中， 解得：x=1, FG=1, CG=CF-FG=3-1=2, n=2, 故选：A. 【点晴】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，全等三角形判定与性质，图形平移等， 给性比较强，正确添加常用辅助线是解题的关键， 【变式5-1】如图，正方形OABC的边长为a,顶点A,C分别在y轴，x轴的正半轴上，正方形CDEF的 边长为b,顶点F在x轴的负半轴上，若双曲线y=《恰好同时经过点B和点E,则二的值是 b B D 【答案】5-1 2 【详解】解：设DE与y轴的交点为点G, :四边形OABC是正方形， G :AB=BC=a, :B a,a, :四边形CDEF是正方形， .DE=EF=b,OG=b, :EG=DE-DG=b-a, 47/67 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :顶点F在x轴的负半轴上， .E的横坐标为a-b, :E(a-b,-b), 将B(a,a、E(a-b,-b)代入y=得： k=a.a k=(a-b)t-b)' 2 整理得： a b a-1=0, b 解得：。 5-成9-1-5 b :a、b是正数， aV5-1 'b 2 【变式5-2】正方形ABCD的顶点4，C在直线y=kk<-上，顶点B,D在双曲线y=4上，若正方形 ABCD的面积为32，则k的值为· 【答案】-2-√5 【详解】解：：正方形ABCD的顶点A,C在直线y=kx(k<-1)上， ·正方形的对角线过原点， 如图，连接BD,正方形ABCD的面积为32， 2AC×BD=32,AC=BD, .AC=BD=8, :B,D在反比例函数y=4上， 4 ,且x>0, x+刘+=8 (xx .x4-16x2+16=0, x2=8+4V3或x2=8-4V3, 48/67 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 x=V6+2,x=-6-2,或x=6-2,x=-V6+√2， 经检验：x=√6+2，x=-√6-√，或x=√-√2，x=-√6+√2都是原方程的根， :x>0,A,C在y=kx(k<-1)上，结合正方形的性质可得： :x=-√6-√2，x=6-√2，x=-√6+√2不符合题意舍去， 当x=6+5时，446-回-6-2 √6+√2 4 D(6+V2,N6- 过D作DG⊥x轴于G过A作AH⊥y轴于H, ∴.∠OHA=∠OGD=90°， :正方形ABCD, ∴.OA=OD,OA⊥OD, ∴.∠AOH+∠HOD=∠HOD+∠DOG=90°， .∠AOH=∠DOG, .∴，△AOH≌△DOG, 0H=0G=V6+2,AH=DG=√6-√2， A2-6,6+2), (2-6)k=6+2, H D :k=6+ =-2-5 V2-√6 G x 49/67 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 故答案为：-2-√5. 【点晴】本题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，勾股定理的应用，一元二次方程的解法， 二次根式的运算，反比例函数的性质，掌握以上知识是解题的关键 【变式5-3】如下图，反比例函数片=1(k≠0)与一次函数，=k,x+bk,≠0)的图象都经过点AL,m)和点 B(-2,-2),以AB为边作正方形ABCD（点A、B、C、D逆时针排列). VA (1)求m的值和一次函数y的解析式. (2)求点C的坐标. (3)将正方形ABCD平移得到正方形MNPQ,在平移过程中，使点A的对应顶点M始终在第一象限内且在反 比例函数y的图象上（点M与点A不重合），当正方形MNPQ与正方形ABCD的重叠部分为正方形时，求 重叠正方形的边长. 【答案】(1)m=4,y=2x+2 (2)C(4,-5 3)8v5 3 【分析】 【详解】(1)将点A、B的坐标代入反比例函数表达式得：k,=-2×-2)=1×m, 解得：m=4, 将点A1,4)、B的坐标代入函数表达式得： 4=k2+b k3=2 -2=-2k2+b’ 解得： b=2 则一次函数的表达式为：y=2x+2; (2)过点B作y轴的平行线交过点A和x轴的平行线于点G,交故点C和x轴的平行线于点H, 50/67 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 Gr-- 0 ,∠GBA+∠CBH=90°，∠CBH+∠HBC=90°， B ∠GAB=∠HBC, :∠BGA=∠CHB=90°，AB=CB, ∴△BGA≌△CHB(AAS), CH=GB=4-（-2=6,BH=GA=1--2=3, 点C(4,-5): (3)当正方形MNPQ与正方形ABCD的重叠部分为正方形时，则点M在AC上， V 由点A、C的坐标得，直线AC的表达式为：y=-3x+7, 由(1)知，反比例函数表达式为：y=4, 联立上述两个函数表达式得：-3x+7=4, 4 解得：x=1(舍去)或 3’ 即点M 由点CM的坐标得，CM=8i0 3 则重叠正方形的边长为 CM=&5 2 3 51/67 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 0 压轴专练 1.如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A,C分别在x轴和y轴上，点A(-2,0),点C(0,8), 反比例函数y=二(x<O)的图象经过点B,则k的值为() VA A.-18 B.-20 C.-24 D.-25 【答案】D 【分析】 【详解】解：过B作BE⊥x轴于E,BF⊥y轴于F, .∠BFC=∠BEA=90°， A :四边形ABCD是正方形， BC=AB,∠ABC=90°，∠CBF+∠ABF=90°， :四边形OEBF是矩形， .∠EBF=90°，则∠ABE+∠ABF=90°， .∠CBF=∠ABE, △ABE≌△CBF(AAS), .BE =BF,AE CF, ·四边形OEBF是正方形， :点A(-2,0),点C(0,8), 52/67 函学科风网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 0A=2,0C=8, 设正方形OEBF的边长为m,则AE=m-2,CF=8-m, m-2=8-m, 解得m=5, :B点的坐标为(-5,5)，又反比例函数y=(x<O)的图象经过点B, k=-25, 故选：D, 2.如图，四边形AOBC是平行四边形，点B在x轴上，CA的延长线与y轴交于点D,反比例函数 y=上(k>0,x>0)的图象经过点4A(2,),且与边BC交于点E.若S学行540c=6,且D=4C,则点E的横 坐标为(). B X A.1+2 B.1+2W2 C.1+25 D.1+V5 【答案】D 【详解】解：：A(2,y),AD=AC, .CD=2AD=4, :四边形AOBC是平行四边形 ..AC=0B=2 B2,0), :S平行四边形408C=6 2y=6,即y=3, C4,3),A2,3, 53/67 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 “反比例函数为y=6, 设直线BC解析式为y=c+b(k≠O), 把B(2,0),C(4,3代入可得： 3 4k+b=3 k 2k+b=0' 解得： 2, b=-3 3 .直线BC解析式为y=二x-3, 将=代入y-3可有：-3，解得：=1t5, 3 2 :点E在第一象限， x=1+5, “点E横坐标为1+√5. 故选D. 【点晴】本题主要考查了一次函数和反比例函数的综合、平行四边形的性质等知识点，正确求得反比例函 数和直线BC解析式是解答本题的关键. 3.如图，平行四边形0ABC的顶点0，B在y轴上，顶点A在y=-2上，顶点C在y=9上，则平行四边 形OABC的面积是 B 【答案】11 【详解】解：如图所示，过点A作AE⊥y于点E,过点C作CD⊥y轴于点D, 54/67 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 VA k y= :四边形OABC是平行四边形， A x :.0A=BC,ZAOE =ZCBD, :AE⊥y,CD⊥y, ∠AE0=∠CDB=90°， .△AEO≌△CDB(AAS, :S。AEo=S.cDB, 同理可得：△AEB≌aCDO(AAS),S.MEB=S.cD0, :点A在反比例函数y=-2上， 1 .S..0:=S.cx=1 9 :点C在反比例函数y=二上， SAB=S.CDO- 2 :平行四边形0ABC的面积为：1×2+9×2=11， 故答案为：11. 【点晴】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一 点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是，且保持不变。 4.如图，矩形0ABC的顶点A,C分别在y轴、x轴的正半轴上，且AD=AB,反比例函数y=k>O)的 图象经过点D及矩形OABC的对称中心M,连接OD,OM,DM,若△ODM的面积为3，则k的值为 55/67 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B M 【答案】4 【详解】解：：四边形OCBA是矩形， .AB=0C,OA=BC 设B点的坐标为(a,b), :矩形OABC的对称中心M, “延长oM恰好经过点B,M日，b (22 :点D在AB上，且AD= -AB, 3 :BD=a, 4 13,b 5.0=28D-h=2*子a6-2i6 :D在反比例函数的图象上， 1 六4ab=k, S on=S 08-S 400-M =ab 1 ab=3, 2 216 ab=16, 1 .k=-ab=4, 4 故答案为：4. 5.如图，点A、B分别是双曲线y=-(x<0)和y=4(x>0)上的两个动点，AB∥x轴，过A、B两点分别 56/67 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 作x轴的垂线，垂足分别为D、C,连接OA、OB. (1)四边形ABCD的面积为-； (2)设点C的坐标为m,0). ①当=时，四边形ABCD为正方形； ②当AOB是直角三角形时，求m的值. 【答案】(1)5 @0手5，@m的值为25 【分析】 【详解】(1)解：由反比例函数系数的几何意义可得：S西边形cD=1+4=5, 故答案为：5. (2)解：①四边形ABCD为正方形， .AB=AD=BC=CD=5, 点B的纵坐标为5， 把y=5代入y=4得，5=4 x=专5，即点8的横坐标为5。 :BC⊥x轴， 点C的精坐标为号5，即m=专5。 故答案为： ②：BC⊥x轴，Cm,0), 点〔骨) 57/67 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 o-(g-(8=m+,48-m+ :AOB是直角三角形， 0+0B=AB2, 门白 解得m=2√5， m的值为22. 6,知反比例函数y的图像与一次函数y=2x-的图像在第一象限内交于点A,其中一次函数的整 过点(a,b)和(a+1,b+k). (1)求反比例函数的解析式： (②)请问在x轴上是否存在点B,使AOB为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的B点坐标：若不存在， 请说明理由， 【答案10 2)存在，点B的坐标为V2,0,（-V2,0),(2,0),(,0) 【分析】 【详解】(1)解：：一次函数的图像过点(a,b)和(a+1,b+k), ∴将点(a,b)代入得：2a-1=b,即2a-b=1, 将(a+1,b+k)代入得：2(a+1-1=b+k,即k=2a-b+1, .k=2a-b+1=1+1=2, “反比例函数解析式为y=冬=2=1 2x 2x x （2)解：反比例函数解析式为y一次函数解析式为y=2x-山， 令2x-1=1,即2x2-x-1=0, x 解得：x1=1,x2= :点A在第一象限， A1,1, 0A=V2+12=V2, 58/67 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B B2 B.B 以O为圆心，以OA为半径画弧，交x轴于B、B, 0A=OB,=OB3=√2，即△AOB,、△AOB,为等腰三角形， B,-2,0或B,2,0, 以A为圆心，以OA半径画弧，交x轴于B, :OA=AB,=√2，即△AOB4为等腰三角形， 0B,=+2列=2， B42,0, 过A作AB,⊥x轴，交x轴于B, .∠AOB2=45°， .AB2=OB2,即△AOB,为等腰三角形， :AB22+0B22=0A2, OB2=1, B21,0, :所有符合条件的B点坐标为(V2,0),（-V2,0,(2,0),(1,0). 7.如图，一次函数y=x+4的图象与反比例函数y=《(k为常数且k≠0)的图象交于A-1,),B两点. 1 59/67 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (1)求此反比例函数的表达式及点B的坐标： (2)在x轴上找一点C使ABC的周长最小，求点C坐标： (3)在y轴上是否存在一点P,使A、O、P的三点围成等腰三角形，若存在直接写出点P坐标；若不存在请 说明理由 【答案】0)y=-3,B-3, e}或o6或e网或@-而 【分析】 【详解】(1)解：：A-l,a在y=x+4上， a=-1+4=3, A-1,3), :A-1,3)在y=上， k=-1x3=-3, y=-3, :一次函数与反比例函数交于A,B两点， y=x+4 3 y=- x=一1 x=-3 解得： y=3 或 y=1 B(-3,1. (2)解：过点B作关于x轴对称的点B,连接AB,交x轴于点C,此时BC+AC的值最小，则ABC的 周长最小， B B 60/67 画学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :B(-3,1 B(-3,-1, 设AB,的直线解析式为：y=mx+n, -3m+n=-1 -m+n=3 m=2 解得： n=5 AB,的直线解析式为：y=2x+5, 令=0，则x=-) (3)解：设P(0,k), :A-1,3,0(0,0), 0P=,0A=V0-12+(0-3)2=10,AP=V0-12+(k-3)2=V2-6k+10, :使A、O、P的三点围成等腰三角形，需要满足以下三种情况之一： ①PA=P0, ②0A=AP, ③0A=0P, 情况①：√k2-6k+10=k, 两边同时平方得：k2-6k+10=k2, 解得：k= 5 Po.: 情况②：V10=√k2-6k+10, 两边同时平方得：k2-6k+10=10, 解得：k=0(舍去)或k2=6, P(0,6: 61/67 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 情况③：=V10, 两边同时平方得：k2=10, 解得：k=V10或k,=-V10, :p0,o]或P0,-o), “在y轴上是否存在一点P,使A、O、P的三点围成等腰三角形，点P坐标为： 或(0,6)或(0,0或 (0,-1o). 8.一次函数y=-x+4与反比例函数y=《(x>0)的图象交于A,B两点，与x轴交于点C,其中A1,. W B (1)求反比例函数表达式： (2)结合图象，直接写出-x+4≥时，x的取值范围： (3)若点P在x轴上，且△APC是直角三角形，求点P的坐标. 【答案】（①y=3 (2)1<x≤3 (3)P(1,0或P(-2,0 【分析】 【详解】(1)将A(1,a)代入y=-x+4, 得，a=-1+4, a=3, A1,3), 将4到代入y套每，3= 62/67 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 k=3, “反比例函数表达式为y=3 y=-x+4 (2)联立 3 ,解得， x=1 出3’或 x2=3 3=1’ x B(3,1, 观察图象可得当-x+4≥时，1<x≤3： 3 (3)①当∠APC=90°时，AP∥y轴， P1,0): ②当∠PAC=90°时， 如图，过点A作AD⊥x轴于点D, 则∠ADC=∠PAC=90°， :A1,3, AD=3,0D=1, :直线AB的表达式为y=-x+4, 当y=0时，x=4, .C(4,0, .0C=4, .DC=0C-0D=3, .AD=DC=3, DAC=Z4CD=90-ZADC)=45 .∠APC=90°-LACD=45°， 63/67 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∴.∠APC=∠ACP, .AP=AC, .PD =DC=3, 0P=2, P(-2,0, P1,0)或P(-2,0) 【点晴】本题主要考查了反比例函数与一次函数的综合.熟练掌握待定系数法求函数解析式，函数与方程 与不等式，等腰直角三角形性质，分类讨论，是解题的关键， 9.如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点C与原点O重合，点B在y轴的正半轴上，点A在反比 例函数y=化>0，x>0)的图象上，点D的坐标为(4,3. (1)求反比例函数的关系式： (2)若将菱形边0D沿x轴正方向平移，当点D落在函数y=k>0,x>0)的图象上时，求线段0D扫过图形 的面积， (3)在x轴上是否存在一点P使PA+PB有最小值，若存在，请求出点P坐标；若不存在，请说明理由. B D o(c) 【答案】y-是c>0:Q)20:3)存在，P点坐标侣0 【分析】 【详解】(1)过点D作x轴的垂线，垂足为F, :点D的坐标为(4,3)， 0F=4,DF=3.0D=5 :四边形ABCD为菱形，.AD=5 .点A坐标为(4,8)， .k=xy=4×8=32k=32; 64/67 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 32 y=32(x>0 32 (2)将OD沿x轴正方向平移，使得点D落在函数y=二(x>O)的图象D'点处， 过点D'做x轴的垂线，垂足为F, DF=3,D'F'=3, :点D的纵坐标为3， :点D在y-32的图象上 3=32 解得：x= 2 3 DD=2-4= 20 3 3 又：OD扫过图形为平行四边形， :平行四边形面积为20. y=x B D D O(C)F (3)存在。 :OB=0D=5,.B(0,5则关于x轴对称点B'(0,-5 则点P在直线AB'与x轴交点处 设直线AB的表达式：y=c+b 将点A的坐标(4,8)，点B的坐标(0，-5)代入： 得直线AB关系式为：y= 45. 20 当y=0时解得x= 13 20 P点坐标（ 0 【点晴】本题主要考查反比例函数与几何综合，解题关键在于能够求出反例函数解析式， 65/67 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 10.如图，点A,B分别在x轴和y轴的正半轴上，以线段AB为边在第一象限作等边三角形ABC, SBc=V3,且CA∥y轴. B ①)若点C在反比例函数y=(k≠0)的图象上，求该反比例函数的表达式。 (②)在(1)中的反比例函数图象上是否存在点N,使四边形ABCN是菱形？若存在，请求出点N的坐标； 若不存在，请说明理由 【答案】（①）反比例函数的表达式为)y=2⑤ (2)存在，点N的坐标为(25,1 【分析】 【详解】(1)解：如图①，过点C作CD⊥y轴于点D. D卢 B :CAy轴，CD⊥y轴， 图① :CD1/OA,ACI/OD, ·四边形OACD是平行四边形. :∠A0D=90°， :四边形OACD是矩形， ∴k=SE形04cD=2S。Ac=2V5,k=士2√5. :k>0,k=25, ·反比例函数的表达式为y=25 66/67 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (2)解：存在，理由如下： 如图②，过点B作BM⊥AC于点M,交反比例函数图象于点N,连接CN,AN, AI :△ABC是等边三角形，面积为√3， 图② :可设CM=AM=m,则BC=2m, :BM =3m, :.1x2m.3m=, m=1(负值已舍去)， ∴B(0,1,C(5,2,A5,0, N(25,, :BM MN. :AC⊥BN, :BC=CN,AB=AN. :AB=BC, :AB=BC=CN AN, :四边形ABCN是菱形， :反比例函数图象上存在点N,使四边形ABCN是菱形，点N的坐标为2√3,1 67/67