专题04 平面直角坐标系（五大压轴题专项训练）数学新教材沪教版五四制八年级下册

专题04平面直角坐标系 目录 典例讲解 类型一、坐标系中的动点问题 类型二、坐标系中的面积问题 类型三、坐标系中的角度问题 类型四、坐标系中的将军饮马问题 类型五、坐标系中的全等问题 压轴专练 类型一、坐标系中的动点问题 1．如图，点的坐标为，点在第一、三象限的角平分线上运动，当线段最短时，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．如图，在平面直角坐标系中．为轴正半轴上一点，且．点从点出发，沿射线方向运动，同时点从点出发，沿射线方向运动，在运动过程中若点的速度为每秒3个单位长度，点的速度为每秒1个单位长度，当是等腰三角形时，求点的坐标（    ） A． B．或 C．或 D．或 3．如图，在平面直角坐标系中，长方形与长方形，顶点，，．将长方形与长方形分别以每秒2个单位长度和每秒1个单位长度的速度向右平移．同时，动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线运动，当长方形与长方形的重叠面积为1时，点M的坐标是 ． 4．如图所示，点的坐标为，点的坐标为，且，为轴上的一个动点，，且，连接交轴于点． (1)求，两点的坐标； (2)若点的坐标为，求点的坐标； (3)当点在轴上运动时，求证为定值． 5．如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，．将线段向下平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到线段，连接，．    (1)点的坐标为________，点的坐标为________； (2)，分别是线段，上的动点，点从点出发向点运动，速度为每秒1个单位长度，点从点出发向点运动，速度为每秒0.5个单位长度．若两点同时出发，则几秒后轴？ 6．如图，在长方形中，为平面直角坐标系的原点，点坐标为，点的坐标为，且、满足，点在第一象限内，点从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的线路移动． (1)点的坐标为__________； (2)当点移动4秒时，直接写出点的坐标； (3)在移动过程中，当点到轴的距离为5个单位长度时，求点移动的时间． 类型二、坐标系中的面积问题 处理方式：（1）规则图形（三角形/矩形）：用坐标求边长，套面积公式； （2）不规则图形：割补法拆为规则图形，算各部分面积和/差； （3）三角形补形：选水平/竖直线为底，用坐标求底和高（横坐标/纵坐标差） 7．如图，在平面直角坐标系中，已知，，． (1)求出的面积． (2)在y轴上有一点P，使得的面积与的面积相等，请求出点P的坐标． 8．如图，在直角坐标平面内，已知点A的坐标为，点B的坐标为，点P为直线上任意一点（不与A、B重合），点Q是点P关于y轴的对称点． (1)设点P的横坐标为a，那么点Q的坐标为______． (2)设和的面积相等，且点P在点Q的右侧，请求出此时P点坐标． (3)如果的面积是的面积的2倍，请直接写出此时点P的坐标． 9．如图，，，三点的坐标分别为，，． (1)求三角形的面积； (2)过点作直线平行于轴，点为直线上任意一点，试猜想三角形的面积与三角形的面积的关系，并证明你的猜想； (3)试在坐标轴上找一点，使，请直接写出满足条件的点的坐标． 10．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，且满足关系式． (1)求三点的坐标； (2)若在第四象限内有一点，请用含的式子表示四边形的面积； (3)在（2）的条件下，当时，在轴上是否存在点，使三角形的面积等于四边形面积的？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 11．如图，在平面直角坐标系中，长方形的顶点A、C分别在x轴、y轴上，x轴，轴，点B的坐标为，且． (1)直接写出点A的坐标为________，点B的坐标为________． (2)若动点P从原O出发，沿y轴以每秒2个长度单位的速度向上运动，在运动过程中形成的三角形的面积与长方形面积相等时，点P停止运动，求点P的运动时间； (3)在（2）的条件下，在x轴上是否存在一点Q，使三角形的面积是长方形的面积的2倍？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 类型三、坐标系中的角度问题 12．综合与实践 问题背景 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为；点的坐标为，点的坐标为，将线段沿射线方向平移，平移距离为线段的长度． 动手操作 （1）画出线段平移后的线段，直接写出的对应点的坐标； 探究证明 （2）连接，试探究、的数量关系，并说明理由； 拓展延伸 （3）若点在线段上，连接、，且满足，请求出与的数量关系，并说明理由． 13．如图，在平面直角坐标系中，点在轴上，坐标为，将线段沿轴正方向平移3个单位长度得到线段，点是线段上的一个动点（不与点、重合），平分，平分，与交于点．    (1)线段与之间的位置关系和数量关系分别是______；点的坐标为______； (2)若三角形的面积为6，求点的坐标； (3)若，则_____度； (4)当点（不与点、重合）在线段上运动时，猜想与有怎样的数量关系，并说明理由． 14．综合与实践 如图1，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，，将线段AB向下平移2个单位长度，再向右平移5个单位长度，得到线段CD，连接，分别与y轴交于点E，F，点P为y轴上一点，连接．    (1)如图1，直接写出点C与点D的坐标：C（______），D（______） (2)如图1，当点P在线段EF上时，求证：． (3)①如图2，当点P在点E的上方时，直接写出、、的数量关系：____________； ②如图3，当点P在点F的下方时，直接写出、、的数量关系：____________． 15．如图，在平面直角坐标系中，已知，，，．三角形是经三角形平移得到的，点的对应点为点． (1)请写出点，的坐标； (2)若为三角形内一点，直接写出其平移后的对应点的坐标； (3)计算四边形的面积； (4)探究，，之间的数量关系． 16．如图所示，平面直角坐标系中有，把向左平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度得到． (1)在图中画出三角形． (2)连接，探究与之间的数量关系，并说明理由； (3)若点是三角形内一点，它随三角形按（1）中方式平移后得到的对应点为点，求a和b的值． 17．如图，在平面直角坐标系中有两点，现将点A向上平移7个单位长度，得到对应点C，连接，交x轴于点M，连接． (1)如图1，点C的坐标是_______； (2)如图1，与x轴的位置关系是_______； (3)如图2，P是线段上的一个动点（不与点A，M，C重合），连接，，请你探究三个角之间的数量关系，并说明理由． 类型四、坐标系中的将军饮马问题 处理方式：（1）找对称点：作定点关于定直线（x轴/y轴/已知直线）的对称点； （2）连对称点与另一定点，求连线与定直线的交点（饮马点）； （3）用两点间距离公式求最短路径长度，或求交点坐标 18．小明求代数式的最小值时，采用如下方法：如图，在同一直角坐标平面内，设为轴上的一个动点，选取点和，根据两点的距离公式得，，通过构造，将求代数式的最小值转化为求的最小值，由此小明求出的最小值等于 ． 19．如图所示，在边长为1的小正方形网格中，建立平面直角坐标系，已知的顶点都在格点上，直线经过且与轴平行． (1)请画出关于轴对称的的坐标为 ； (2)直线上有一动点，当的周长取最小值时，请在图中画出点(保留作图痕迹)，的周长的最小值是 ． 20．如图，在平面直角坐标系中，已知，，． (1)在平面直角坐标系中画出及其关于y轴对称的图形； (2)的面积为_______； (3)在轴上找一点，使得有最小值，该最小值为_______． 21．如图，三个顶点的坐标分别为． (1)画出向左平移5个单位长度，再向下平移5个单位长度后得到的； (2)画出关于原点的中心对称图形； (3)P为x轴上的一个动点．当有最小值时，求这个最小值． 22．如图在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为：，，． (1)在图中作，使和关于轴对称； (2)写出点的坐标； (3)点是轴上一动点，则的是否存在最小值？若存在，请写出最小值，若不存在，请说明理由． 23．阅读材料：对于平面直角坐标系中的任意两点，，我们把叫做，两点间的距离，记作．如，，则． 请根据以上阅读材料，解答下列问题： (1)若，，直接写出的值； (2)当，的距离时，求出的值； (3)若在平面内有一点，使式子有最小值，请求出这个最小值． 类型五、坐标系中的全等问题 24．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点为轴上一动点，以为边在直线的右侧作等边三角形．若点为的中点，连接，则长的最小值为 ． 25．如图，在平面直角坐标系中，，．为等腰直角三角形，且，则点C的坐标为 ． 26．如图，将一块等腰直角三角板放在平面直角坐标系中，三角板的两个顶点分别在轴，轴上的点，处，，．若，，则点的坐标为 ． 27．如图，在平面直角坐标系中，直线轴，垂足为B，，点P为射线上一动点（不与点A，B重合），连接，将线段绕点P逆时针旋转得到线段，连接． (1)填空：点A关于x轴的对称点的坐标为______，点B关于的对称点的坐标为______； (2)若，求点B关于的对称点的横坐标； (3)若点C关于的对称点为M，点C关于的对称点为N，求证：点M与点N关于x轴对称． 28．在平面直角坐标系中，点是坐标原点，点在第一象限，与轴所夹的锐角为，点A，C分别在x轴的负半轴和第四象限． (1)直接写出a的值； (2)若，，的面积为3，求点C的坐标． 29．在平面直角坐标系中． (1)点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，是以点为直角顶点的等腰直角三角形，点在第三象限，点在轴上运动． ①若，则；；． ②如图所示，点在线段上运动时，连接、，连接并延长与轴交于点，求点的坐标； (2)如图2，，且，点是轴上一动点，点是线段的中点，连接，若点在第二象限，满足，且，连接，，，随着点在轴上运动，求的度数． 1．已知点，，点是轴上一动点，则的最小值为 ． 2．在平面直角坐标系中，点，，，轴，点Q的纵坐标为m，则有以下结论： ①当，点B是线段的中点； ②无论m取何值，都为定值； ③存在唯一一个m的值，使得； ④存在唯一一个m的值，使得． 其中正确的结论是 ．（写出所有正确结论的序号） 3．如图，小萱将等腰直角三角板放置于直角坐标系中，直角顶点与轴上表示的点重合，点坐标为，则点关于轴的对称点的坐标为 ； 4．如图，在平面直角坐标系中，、，为轴正半轴上一点，且．点从点出发，沿射线方向运动，同时点从点出发，沿射线方向运动，在运动过程中若点的速度为每秒2个单位长度，点的速度为每秒1个单位长度，当是等腰三角形时，求点的坐标 ． 5．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，在长方形中，点，D为的中点，P为边上一点．若为等腰三角形，求所有满足条件的点P的坐标． 6．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是，点B的坐标是，点C是的中点，若点D在x轴上，且，求点D的坐标． 7．已知点，点，点，且． (1)求、、三点的坐标； (2)将线段平移得到线段，点的对应点是点，求三角形的面积； (3)过点作轴于点，在射线上，是否存在点，使得三角形的面积等于三角形面积的一半？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 8．如图，在平面直角坐标系中，已知，，，且． (1)求a，b的值； (2)在y轴的正半轴上存在一点M，使三角形的面积等于三角形面积的一半，求出点M的坐标； (3)在坐标轴的其他位置是否存在点M，使三角形的面积等于三角形面积的一半？若存在，请直接写出符合条件的点M的坐标，若不存在，请说明理由． 9．综合与实践课中的“最短路径问题”，可以转化为数学中求线段和的最小值问题．所以探讨线段和最小值问题成为解决此类问题的核心． 如图1，已知直线及同侧的两点A、B，求直线上一点C，使的值最小． (1)【作图】：用直尺和圆规作点A关于直线的对称点，连接交于点C，则点C即为所求点．（保留作图痕迹）； (2)【验证】：在上任找一点Q，连接，，，求证：； (3)【迁移】：如图2，已知点，点，点F在x轴上，且的值最小，则________． 10．如图，在平面直角坐标系中，点，且a，b满足，线段向上平移k个单位长度得到线段． (1)求点A，B的坐标； (2)若点P在x轴上．且，求满足条件的点P的坐标； (3)当点F，E分别为线段上任意一点时，，点G为线段与之间一点，连接， ，试猜想与的数量关系，并说明理由． 1/10 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题04平面直角坐标系 目录 典例讲解 类型一、坐标系中的动点问题 类型二、坐标系中的面积问题 类型三、坐标系中的角度问题 类型四、坐标系中的将军饮马问题 类型五、坐标系中的全等问题 压轴专练 典例详解 ≈在类型一、坐标系中的动点问题 1.如图，点A的坐标为(-1,0)，点B在第一、三象限的角平分线上运动，当线段AB最短时，点B的坐标 为() A.(0,0 【答案】C 【分析】详解】解：过A点作垂直于直线y=x的垂线AB, 1/59 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :点B在第一、三象限的角平分线上运动，即点B在直线y=x上运动， B ∠A0B=45°， ∴△AOB为等腰直角三角形， 过B作BC垂直x轴垂足为C, 则点C为OA的中点， 则0C=8c=方， 由作图可知B在x轴下方，y轴的左方， :横坐标为负，纵坐标为负， 所以当线段AB最短时，点B的坐标为 故选：C 2.如图，在平面直角坐标系中A(-8,0)、B(4,0),C为y轴正半轴上一点，且∠ABC=60°.点P从点A出 发，沿射线AB方向运动，同时点Q从点B出发，沿射线BC方向运动，在运动过程中若点P的速度为每秒3 个单位长度，点Q的速度为每秒1个单位长度，当△PQB是等腰三角形时，求点P的坐标() PO B x A.3,0 B.(1,0)或(9,0) C.(1,0)或10,0) D.3,0或6,0 【答案】C 【详解】解：“在平面直角坐标系x0y中，A-8,0)、B(4,0), .0A=8,0B=4, .AB=12, 设点P的运动时间为t, 2/59 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :点P的速度为每秒3个单位长度，点Q的速度为每秒1个单位长度， :AP 31,BO=t, 当点P在点B左边时，如图， :△PQB是等腰三角形，∠ABC=60°， OP 图1 ·△PQB是等边三角形， .PB=BO, 12-3t=t, 解得：t=3, ·AP=9, .0P=9-8=1, 此时点P的坐标为1,0)； 当点P在点B右边时，如图， .∠ABC=60°， A 图2 .∠PBQ=120°， :△PQB是等腰三角形， .PB=OB, :3t-12=t, 解得：t=6, AP=18, .0P=18-8=10 3/59 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 此时点P的坐标为10,0)： 综上所述，点P的坐标为1,0)或10,0). 故选：C 3.如图，在平面直角坐标系中，长方形ABCD与长方形0EFG,顶点A(-2,0),C(-1,2),F(6,2).将长方 形ABCD与长方形OEFG分别以每秒2个单位长度和每秒1个单位长度的速度向右平移.同时，动点M从 点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线A-D-C-B-A运动，当长方形ABCD与长方形OEFG的重 叠面积为1时，点M的坐标是 D CG A BO E 【答案】(1,1.5)、(13,1.5 【详解】解：由题意知，B(-1,0),E(6,0),AD=2,矩形ABCD的周长为2×1+2)=6， 设运动时间为t,则运动过程中的点0坐标为t,0),E（6+1,0),A-2+2,0),B(-1+21,0), 当长方形ABCD与长方形OEFG的重叠部分在长方形OEFG的左侧时，如图， 3 2 DGC 1 B E 1(0)2 3456789 :高必为2，重叠部分也为矩形，面积为1， :底为)即0B-2 1 .-1+2t-t= 解得t=1.5, 4/59 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 此时A(1,0),点M走的路程为1×1.5=1.5，位置在线段AD上， M(1,1.5); 当长方形ABCD与长方形OEFG的重叠部分在长方形OEFG的右侧时，如图， 7 5 4 3 G DFC 2 (O) -1012345678910i1213E1415163 :高必为2，重叠部分也为矩形，面积为1， :底为)，即E=2 1 :6+1-(-2+24=2' 1 解得1=7.5， 此时A(13,0),点M走的路程为1×7.5=7.5,7.5-6=1.5，位置在线段AD上， M13,1.5): 故答案为：(1,1.5)、(13,1.5). 4.如图所示，点A的坐标为(0，m),点B的坐标为(n,0),且m-6+√n+6=0,D为x轴上的一个动点， AE⊥AD,且AE=AD,连接BE交y轴于点M. D M M 备用图 (1)求A,B两点的坐标； 5/59 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (2)若点D的坐标为-8,0)，求点E的坐标； ③)当点D在x轴上运动时，求证OM为定值. BD 【答案】(1)A(0,6),B(-6,0): (2)E(6,-2): (3)证明见解析. 【详解】(1)解：：m-6+√n+6=0, ∴.m-6=0,n+6=0, .m=6,n=-6, A0,6,B(-6,0): (2)解：如图，过点E作EH⊥y轴于H, B M H :A0,6,B(-6,0),D-8,0, 0A=6,0B=6,0D=8, :AE⊥AD,EH⊥y轴， ∠AOD=∠AHE=∠DAE=90°， ∠DAO+∠EAH=90°，∠EAH+LAEH=90°， .∠DAO=∠AEH, 又AE=AD, .△DOA≌△AHE(AAS), ∴.AH=0D=8,EH=OA=6, ∴.0H=AH-0A=8-6=2, 6/59 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 E(6,-2: (3)证明：：△D0A≌aAHE, .OD=AH, :0A=0B, .BD=OH, :EH⊥y轴， .LEH0=LB0H=90°， :∠BMO=∠EMH,OB=EH=4, .△BOM≌△EHM(AAS), .OM =MH, :OM=OH=1BD, 2 2 OM 1 BD 2 是定值. 5.如图，在平面直角坐标系中，点A,B的坐标分别为3,5)，(3,0).将线段AB向下平移2个单位长度， 再向左平移4个单位长度，得到线段CD,连接AC,BD. B (1)点C的坐标为 ,点D的坐标为 ； (②)M,N分别是线段AB,CD上的动点，点M从点A出发向点B运动，速度为每秒1个单位长度，点N 从点D出发向点C运动，速度为每秒0.5个单位长度.若两点同时出发，则几秒后MN∥x轴？ 【答案】(1)-1,3)，-1，-2 哈 【详解】(1)解：（-1,3)，（-1，-2) :线段AB向下平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到线段CD,A(3,5),B(3,0), 7/59 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 C(-1,3,D-1,-2 (2)解：设t秒后MN‖x轴， :MN‖x轴， :点M与点N的纵坐标相同， 则有5-t=0.51-2, 解得=了' 14 =时，MNIx轴 6.如图，在长方形0ABC中，O为平面直角坐标系的原点，点A坐标为(a,0),点C的坐标为(0，b),且a、 b满足√a-4+b-6=0,点B在第一象限内，点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着 0-C-B-A-O的线路移动： B C (1)点B的坐标为 (2)当点P移动4秒时，直接写出点P的坐标； (3)在移动过程中，当点P到x轴的距离为5个单位长度时，求点P移动的时间. 【答案】(1)(4,6) (2)点P的坐标是(2,6) (3)在移动过程中，当点P到x轴的距离为5个单位长度时，点P移动的时间是2.5秒或5.5秒 【详解】(1)解：a、b满足Va-4+b-6=0, a-4=0,b-6=0, 解得：a=4,b=6, A4,0,C(0,b, :OABC是长方形， 8/59 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 .XB=X=4,yB=yc=6, 点B的坐标是(4,6). 故答案是：（4,6). (2)解：点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着0-C-B-A-0的线路移动， .2×4=8, :0A=CB=4,0C=AB=6, 当点P移动4秒时，在线段CB上，离点C的距离是：8-6=2， 即当点P移动4秒时，此时点P在线段CB上，离点C的距离是2个单位长度，点P的坐标是(2,6). (3)解：由题意可得，在移动过程中，当点P到x轴的距离为5个单位长度时，存在两种情况， 第一种情况，当点P在OC上时， 点P移动的时间是：5÷2=2.5（秒）， 第二种情况，当点P在BA上时， 点P移动的时间是：（6+4+1÷2=5.5秒， 故在移动过程中，当点P到x轴的距离为5个单位长度时，点P移动的时间是2.5秒或5.5秒， 类型二、坐标系中的面积问题 处理方式：(1)规则图形（三角形/矩形）：用坐标求边长，套面积公式： (2)不规则图形：割补法拆为规则图形，算各部分面积和/差； (3)三角形补形：选水平/竖直线为底，用坐标求底和高（横坐标/纵坐标差） 7.如图，在平面直角坐标系中，已知A(-1,0),B(3,0,M(-2,-2) (I)求出△ABM的面积. (2)在y轴上有一点P,使得△ABP的面积与△ABM的面积相等，请求出点P的坐标. 【答案】(1)4 (2)(0,-2)或(0,2) 9/59 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【详解】(1)解：如图所示，过点M作MN⊥x轴于点N, :A-1,0),B(3,0),M(-2,-2), AB=3--1=4,MN=2, m4BN-2x4=4, B (2)解：设点P的坐标为0，p,则OP=p, :△ABP的面积与△ABM的面积相等， 号80p-4. 1 5×4p=4, 2 .p=2, 点P的坐标为(0，-2)或(0,2). 8.如图，在直角坐标平面内，己知点A的坐标为3,3)，点B的坐标为(-4,3)，点P为直线AB上任意一点 (不与A、B重合)，点Q是点P关于y轴的对称点， (I)设点P的横坐标为α，那么点Q的坐标为 (2)设△OPA和△OPQ的面积相等，且点P在点Q的右侧，请求出此时P点坐标. (3)如果△0PA的面积是△BOQ的面积的2倍，请直接写出此时点P的坐标。 【答案】(1)-a,3 10/59