第一节 数列的概念与简单表示法 课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦数列核心考点，涵盖概念、表示法、通项公式及函数性质，依据高考评价体系明确Sn与an关系、累加累乘法、周期性等高频考点，通过分类解析和真题改编小题，构建完整备考体系。 课件亮点在于“真题训练+方法归纳”策略，如累加法求通项、周期数列判定等典型题型解析，培养数学思维与抽象能力，助力学生掌握解题技巧，教师可据此系统教学，提升复习效率。

第一节 第六章　数列 数列的概念与简单表示法 【目标要求】　1.了解数列的概念和表示方法(列表、图象、通项公式).2.了解数列是一种特殊函数. 1.数列的有关概念 (1)数列的定义 按照_____________排列的一列数称为数列.数列中的每一个数叫做这个数列的________. 确定的顺序 项 (2)数列的分类 分类标准 类型 满足条件 按项数 分类 有穷数列 项数_____________ 无穷数列 项数_____________ 按项与项 间的大小 关系分类 递增数列 an+1_________an 其中n∈N* 递减数列 an+1_________an 常数列 an+1=an 按其他 标准分类 有界数列 存在正数M,使|an|≤M 摆动数列 从第2项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项 周期数列 对n∈N*,存在正整数k,使an+k=an 有限 无限 > < (3)数列的表示法 数列有三种表示法,它们分别是_______________、_______________和_______________. 2.数列的通项公式 (1)数列的通项公式 如果数列{an}的第n项an与它的___________之间的对应关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的通项公式. 列表法 图象法 解析式法 序号n (2)已知数列{an}的前n项和为Sn,则an= S1 Sn-Sn-1 [微点清]　①并不是所有的数列都有通项公式;②同一个数列的通项公式在形式上未必唯一. 3.数列的递推公式 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的递推公式. 1.在数列{an}中,若an最大,则(n≥2,n∈N*);若an最小,则(n≥2,n∈N*). 2.由于数列可以看作一个关于n(n∈N*)的函数,因此它具备函数的某些性质: (1)单调性——若an+1>an,则{an}为递增数列;若an+1<an,则{an}为递减数列,否则为摆动数列或常数列(an+1=an). (2)周期性——若=an(k为非零常数),则{an}为周期数列,k为{an}的一个周期. 1.思考辨析(对的打“√”,错的打“×”) (1)数列中的项互换次序后还是原来的数列.(　　) 数列中的项互换次序后可以不是原来的数列,如数列1,2,3,故错误. 解析 (2)若数列用图象表示,则从图象上看是一群孤立的点.(　　) (3)S2n表示数列{an}中所有偶数项的和.(　　) S2n=a1+a2+a3+…+a2n,其中既包含奇数项,也包含偶数项,故错误. 解析 (4)数列1,0,1,0,1,0,…的通项公式只能是an=.(　　) 2.(北师大选二P4T2改编)已知数列{an}的通项公式为an=9+12n,则在下列各数中,不是{an}的项的是(　　) A.21 B.33 C.152 D.153 由数列的通项公式得,a1=21,a2=33,a12=153. 解析 3.(人A选二P8练习3题改编)在数列{an}中,a1=1,an=1+(n≥2),则a5=(　　) A. B. C. D. a2=1+=2,a3=1+=,a4=1+=3,a5=1+=. 解析 4.(人B选三P13例3改编)已知数列{an}的前n项和Sn=n2+n,那么它的通项公式an等于(　　) A.n B.2n C.2n+1 D.n+1 因为a1=S1=1+1=2,an=Sn-Sn-1=(n2+n)-[(n-1)2+(n-1)]=2n(n≥2),当n=1时,2n=2=a1,所以an=2n. 解析 5.已知数列{an}满足a1=28,=2,则的最小值为(　　) A.　　 B.4-1　　 C.　　 D. 由an+1-an=2n,可得an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)=28+2+4+…+ 2(n-1)=n2-n+28,所以=n+-1,设f(x)=x+,可知f(x)在(0,2]上单调递减,在(2,+∞)上单调递增,又n∈N*,且=<=,故选C. 解析 【例1】　(1)已知数列{an}的前n项和为Sn,Sn=4n-3,则数列{an}的通项 公式为_____________________. 考点一 由an与Sn的关系求通项公式 当n=1时,a1=S1=41-3=1;当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(4n-3)-(4n-1-3)=3×4n-1,而3×41-1=3≠1.故数列{an}的通项公式为an= 解析 an= (2)已知数列{an}中,Sn是其前n项和,且Sn=2an+1,则数列的通项公式an=_____________. 当n=1时,a1=S1=2a1+1,所以a1=-1.Sn=2an+1　①,当n≥2时,Sn-1=2an-1 +1　②.①-②得Sn-Sn-1=2an-2an-1,即an=2an-2an-1,即an=2an-1(n≥2),所以{an}是首项为a1=-1,公比为q=2的等比数列,所以an=a1·qn-1=-2n-1. 解析 -2n-1 Sn与an的关系问题的求解思路 1.利用an=Sn-Sn-1(n≥2)转化为只含Sn,Sn-1的关系式,再求解. 2.利用Sn-Sn-1=an(n≥2)转化为只含an,an-1的关系式,再求解. 【训练1】　(2026·太原调研)已知数列{an}满足a1+3a2+5a3+…+(2n- 1)an=(n+1)2,n∈N*,则{an}的通项公式an=_______________. 因为a1+3a2+5a3+…+(2n-1)an=(n+1)2　①,所以a1=22=4,当n≥2时, a1+3a2+5a3+…+(2n-3)an-1=n2　②,由①-②,可得(2n-1)an=2n+1,所以an=(n≥2,n∈N*),当n=1时,不满足上式,所以数列{an}的通项公式是an= 解析 【例2】　(1)在数列{an}中,an+1-an=3n-22,a1=-2,则a30=(　　) A.659 B.661 C.663 D.665 考点二 累加、累乘法求通项公式 (累加法)因为an+1-an=3n-22,所以a2-a1=-19,a3-a2=-16,…,a30-a29=65,所以a30-a1==667,故a30=a1+667=665.故选D. 解析 (2)设数列{an}是首项为1的正项数列,且(n+1)-n+an+1an=0(n=1,2, 3,…),则它的通项公式an=_____________. (累乘法)原式可化为[(n+1)an+1-nan]·(an+1+an)=0.因为an+1+an>0,所以=.则=,=,=,…,=,逐项相乘,得=,又a1=1,故an=. 解析 已知数列的递推公式求通项公式的典型方法 1.形如an+1=an+f(n)的递推关系式,可利用累加法求解.特别注重能消去多少项,保留多少项. 2.形如an+1=an·f(n)的递推关系式,可化为=f(n)的形式,用累乘法an=·…··a1代入求通项公式. 【训练2】　(1)(2026·汕头调研)已知数列{an},a1=1,an+1-an=2n,则a10=(　　) A.511 B.1 022 C.1 023 D.2 047 因为an+1-an=2n,所以a2-a1=2,a3-a2=22,a4-a3=23,a5-a4=24,…,a10-a9=29,累加可得a10-a1=2+22+23+…+29==210-2,所以a10=210-1=1 023.故选C. 解析 (2)已知数列{an}满足a1=2,(n+1)an=(n-1)an-1(n≥2,n∈N*),则数列{an}的 通项公式为_______________. 因为(n+1)an=(n-1)an-1(n≥2,n∈N*),所以=,an=×× ×…××××a1=×××…××××2=,而a1=2也满足上式,因此数列的通项公式为an=. 解析 an= 考向❶ 数列的周期性 【例3】　(2026·南昌模拟)若数列{an}满足a2=11,an+1=,则a985= (　　) A. B.11 C.- D. 考点三 数列的函数性质 因为an+3= = = = = an,所以数列{an}是周期为3的数列,所以a985=a328×3+1=a1,因为a2=11,所以11=,解得a1=,故a985=a1=.故选D. 解析 解决数列的周期性问题,先求出数列的前几项,确定数列的周期,再根据周期性求值. 考向❷ 数列的单调性 【例4】　已知数列{an}中,an=1+(n∈N*,a∈R且a≠0). (1)若a=-7,求数列{an}中的最大项和最小项的值; 因为an=1+(n∈N*,a∈R,且a≠0),又a=-7,所以an=1+(n∈N*).结合函数f(x)=1+的单调性,可知1>a1>a2>a3>a4,a5>a6>a7>…>an>1 (n∈N*).所以数列{an}中的最大项为a5=2,最小项为a4=0. 解 an=1+=1+,已知对任意的n∈N*,都有an≤a6成立,结合函数f(x)=1+的单调性,可知5<<6,即-10<a<-8,即a的取值范围是(-10,-8). 解 (2)若对任意的n∈N*,都有an≤a6成立,求a的取值范围. 确定数列的单调性常用比较法或借助常见函数的单调性,如本例借助反比例函数的单调性确定数列的单调性. 【题组对点练】 题号 1 2 3 考向 ❶ ❷ ❷ (1)设数列{an}满足:a1=2,an+1=(n∈N*),则数列{an}前2 026项的乘积a1a2a3a4…a2 026=_____________. 由a1=2得a2=-3,a3=-,a4=,a5=2,…,因此数列{an}是周期为4的周期数列.又a1a2a3a4=1,故a1a2a3a4…a2 025a2 026=(a1a2a3a4)506·a2 025a2 026=-6. 解析 -6 (2)已知数列{an}满足an=n2-λn,n∈N*,数列{an}是递增数列,试写出一个满足条件的实数λ的值:__________________________________. 因为数列{an}是递增数列,且an=n2-λn,则an+1>an,即(n+1)2-λ(n+1)>n2-λn,整理可得2n+1-λ>0,即λ<2n+1,因为n∈N*,即n≥1,所以2n+1≥3,所以λ<3(满足λ<3的任意一个实数值即可). 解析 2(满足λ<3的任意一个实数值即可) (3)已知数列{an}的通项公式是an=(n+2)×(n∈N*),设数列{an}中最 大项为am,则m=_____________,am=____________. 解法一(作差法):an+1-an=(n+3)×-(n+2)×=×.当n<5时,an+1-an>0,即an+1>an;当n=5时,an+1-an=0,即an+1=an;当n>5时,an+1-an<0,即an+1<an.故a1<a2<a3<a4<a5=a6>a7>a8>…,所以当n=5或n=6时,数列{an}有最大项,且最大项为a5=a6=. 解析 5或6 解法二(作商法):==.令>1,解得n<5;令=1,解得n=5;令<1,解得n>5.又an>0,故有a1<a2<a3<a4<a5=a6>a7>…,所以当n=5或n=6时,{an}有最大项,且最大项为a5=a6=. 解析 解法三(解不等式(组)):由题知a1<a2.假设{an}中有最大项,且最大项为第n(n≥2)项,则 即5≤n≤6.又n∈N*,故当n=5或n=6时,{an}有最大项a5和a6,且a5=a6=. 解析 $