数列的概念与简单表示 课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦数列核心考点，涵盖通项公式、递推关系、函数性质等高考必查内容，依据高考评价体系梳理知识网络，通过表格对比数列分类标准，归纳4大常考题型，明确累加法、构造法等高频方法的考查权重，体现备考针对性。 课件亮点在于“题型精析+方法建模+素养落地”，如通过例3累加法、例5构造法突破递推公式求通项，培养数学思维与运算能力。含高考模拟题及变式训练，总结Sn与an关系转化等得分技巧，助力学生高效掌握考点，教师可据此系统开展复习教学，提升备考效率。

数列的概念与简单表示 序号n D C D 30 B 420 C an＝8n－4 an＝n2 3·2n-1－2 2·3n-1－1 ABD B A D ACD C A [知识梳理] 1．数列的通项公式 (1)如果数列{an}的第n项与它的 之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式． (2)若已知数列{an}的前n项和为Sn，则an＝ 2．数列的递推公式 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式． 由递推公式求通项的常用方法： 方法 转化过程 适合题型 累加法 (a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝an－a1 an＋1－an＝f (n)，f (n)可求和 累乘法 ××…××＝ ＝f (n)， f (n)可求积 构造法 由an＋1＝pan＋q化为an＋1＋m＝p(an＋m)，构造{an＋m}为等比数列，其中m＝(p≠1) an＋1＝pan＋q 取倒 数法 对an＝取倒数，得＝·＋，令bn＝ an＝ 取对 数法 对an＝pa取对数，得lg an＝r lg an－1＋lg p，令bn＝lg an an＝pa(p>0) 3.数列的分类 分类标准 类型 满足条件 项数 有穷数列 项数有限 无穷数列 项数无限 项与项 间的大 小关系 递增数列 an＋1>an 其中n∈N* 递减数列 an＋1<an 常数列 an＋1＝an [热身训练] 1．若数列{an}的前n项和Sn＝，则a3等于( ). A．1　　　 B． C．　　　 D． 2．如图6.1­1，这是一个正六边形的序列，则第n个图形的边数为( ). 图6.1­1 A．5n－1　　　 B．6n C．5n＋1　　　 D．4n＋2 3．若数列an＝n2－2λn(n∈N*)是递增数列，则实数λ的取值范围是( ). A．(1，＋∞)　　　 B． C．　　　 D． 4．数列{an}中，an＝－n2＋11n(n∈N*)，则此数列最大项的值是 ． 5．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋1，则an＝ ． 题型1　数列的概念 【例1】(1)已知数列{an}的前5项依次为－1，，－，，－，则{an}的一个通项公式是( ). A．an＝－　　　　B．an＝(－1)n C．an＝－　　　　D．an＝(－1)n (2)大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中国传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．大衍数列的前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，则此数列的第20项与21项的和为 ． 【解析】由数列的前10项可知，数列的偶数项的通项公式为a2n＝2n2，所以a20＝2×102＝200，奇数项的通项公式为a2n－1＝2(n－1)n，所以a21＝a2×11－1＝2×10×11＝220，所以a20＋a21＝200＋220＝420. (1)常用方法：观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法； (2)具体策略：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项的符号特征和绝对值特征． 【变式】已知r，s，t均为整数，集合A＝{a|a＝2r＋2s＋2t，0≤r＜s＜t}中的数从小到大排列，组成数列{an}，如a1＝7，a2＝11，则a121＝( ). A．515　　　 B．896 C．1 027　　　 D．1 792 【解析】当t＝2时，r只能取0，s只能取1，故符合条件的元素个数为C＝1；当t＝3时，r和s从0，1，2中取两个，故符合条件的元素个数为C＝3；同理，当t＝4时，符合条件的元素个数为C＝6；以此类推，因为C＋C＋C＋…＋C＝120.当t＝10，且r，s，t所组成最小的元素时，r＝0，s＝1，所以a121＝20＋21＋210＝1 027. 题型2　根据an与Sn或Sn＋1与Sn的关系求通项公式 【例2】(1)已知正项数列{an}中，a1＝4且＋＝(n≥2)，其中Sn为数列{an}的前n项和，则数列{an}的通项公式为 ． 【解析】在数列{an}中，Sn－Sn－1＝an(n≥2)①，又＋＝(n≥2)②，an>0，所以①除以②得－＝2(n≥2).又＝＝2，所以数列{}是以2为首项，2为公差的等差数列，所以＝2＋2(n－1)＝2n，所以Sn＝4n2.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝4n2－4(n－1)2＝8n－4；当n＝1时，a1＝4，也满足上式，所以数列{an}的通项公式为an＝8n－4. (2)(2025·太原调研)已知数列{an}满足a1＋3a2＋5a3＋…＋(2n－1)an＝ (n＋1)2，n∈N*，则{an}的通项公式为an＝ ． 【解析】因为a1＋3a2＋5a3＋…＋(2n－1)an＝(n＋1)2①，所以a1＝22＝4，当n≥2时，a1＋3a2＋5a3＋…＋(2n－3)an－1＝n2②，由①－②，可得(2n－1)an＝2n＋1，所以an＝(n≥2，n∈N*)，当n＝1时，a1＝4不满足上式，所以数列{an}的通项公式是an＝ Sn与an的关系问题转化的两个方向 (1)利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)转化为含Sn，Sn－1的关系式，再求解； (2)利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为含an的关系式，再求解． 【变式】(1)已知数列{an}的前n项和Sn＝3n2－2n＋1(n∈N*)，那么{an}的通项公式为 ． (2)已知在正项数列{an}中，＋＋…＋＝，则数列{an}的通项公式为 ． an＝ 【解析】因为＋＋…＋＝，所以＋＋…＋＝(n≥2)，两式相减得＝－＝n(n≥2)，所以an＝n2(n≥2)①.又当n＝1时，＝＝1，a1＝1适合①式，所以an＝n2，n∈N*. 题型3　由数列的递推关系求通项公式 角度1　累加法 【例3】设数列{an}满足a1＝1，且an＋1－an＝n＋1(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为an＝ ． 【解析】由题意得a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，an－an－1＝n(n≥2).以上各式相加，得an－a1＝2＋3＋…＋n＝＝(n≥2).又因为a1＝1，所以an＝(n≥2).因为当n＝1时，a1＝1满足上式，所以an＝(n∈N*). 角度2　累乘法 【例4】若a1＝1，an＝an－1(n≥2)，则数列{an}的通项公式为an＝ ． 【解析】an＝···…···a1＝···…·1＝(n≥2).当n＝1时，a1＝1满足上式，所以an＝. 角度3　构造法 【例5】在数列{an}中， (1)若a1＝1，a2＝4，an＋2＋2an＝3an＋1(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为an＝ ． (2)若a1＝1，an＋1＝，则数列{an}的通项公式为an＝ ． (3)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3an＋2，则数列{an}的通项公式为an＝ ． 【解析】(1)由an＋2＋2an－3an＋1＝0，得an＋2－an＋1＝2(an＋1－an)，所以数列{an＋1－an}是以a2－a1＝3为首项，2为公比的等比数列，所以an＋1－an＝3×2n-1，所以n≥2时，an－an－1＝3×2n-2，…，a3－a2＝3×2，a2－a1＝3，将以上各式累加得an－a1＝3×2n-2＋…＋3×2＋3＝3(2n-1－1)，所以an＝3×2n-1－2(当n＝1时，也满足). (2)对an＋1＝两边取倒数，得＝＋3，所以数列是首项为＝1，公差为3的等差数列，所以＝3n－2，an＝. (3)因为an＋1＝3an＋2，所以an＋1＋1＝3(an＋1)，所以＝3，所以数列{an＋1}为等比数列且公比q＝3，又a1＋1＝2，所以an＋1＝2·3n-1，所以an＝2·3n-1－1. 已知递推关系求通项公式的三种常用方法 (1)算出前几项，再归纳、猜想． (2)形如“an＋1＝pan＋q”的递推关系通常转化为an＋1＋λ＝p(an＋λ)，由待定系数法求出λ，再化为等比数列． (3)递推公式化简整理后，若为an＋1－an＝f (n)型，则采用累加法；若为＝f (n)型，则采用累乘法． (2)对an＋1＝两边取倒数，得＝＋3，所以数列是首项为＝1，公差为3的等差数列，所以＝3n－2，an＝. (3)因为an＋1＝3an＋2，所以an＋1＋1＝3(an＋1)，所以＝3，所以数列{an＋1}为等比数列且公比q＝3，又a1＋1＝2，所以an＋1＝2·3n-1，所以an＝2·3n-1－1. 【变式】在①nan＋1＝(n＋1)an，②an＋1＝3an－2，③an＋1－3an＝3n+1这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答． 已知在数列{an}中，a1＝3，满足 ，求数列{an}的通项公式． 【解析】若选①，因为nan＋1＝(n＋1)an，所以＝.因为a1＝3，所以an＝a1×××…×＝3×××…×＝3n(n≥2).又a1＝3符合上式，所以an＝3n. 若选②，因为an＋1＝3an－2，所以an＋1－1＝3(an－1).因为a1＝3，所以数列{an－1}是以2为首项，3为公比的等比数列，所以an＝2×3n-1＋1. 若选③，因为an＋1－3an＝3n+1，所以－＝1.因为a1＝3，所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列，所以＝1＋(n－1)×1＝n，所以an＝n×3n. 题型4　数列的函数性质 角度1　数列的单调性 【例6】(多选)设曲线f (x)＝xn+1(n∈N*)在点(1，1)处的切线与x轴交点的横坐标为xn，则( ). A．{xn}的通项公式为xn＝ B．{xn}是递增数列 C．{xn}的最大项为1 D．x1x2x3…x2 025＝ 【解析】由f (x)＝xn+1，得f ′(x)＝(n＋1)xn，f ′(1)＝n＋1，则曲线y＝f (x)在点(1，1)处的切线方程为y－1＝(n＋1)(x－1)，令y＝0，得xn＝，A正确；由xn＝＝1－，得xn＋1－xn＝－>0，得xn＋1>xn，B正确；xn＝1－<1恒成立，C错误；x1x2x3x4…x2 025＝××…×＝，D正确． 角度2　数列的周期性 【例7】数列{an}满足a1＝，an＋1＝(n∈N*)，则a2 026＝( ). A．　　　 B．3 C．－2　　　 D．－ 【解析】因为数列{an}满足a1＝，an＋1＝(n∈N*)，所以a2＝＝3，a3＝＝－2，a4＝＝－，a5＝＝，所以{an}是以4为周期的周期数列，所以a2 026＝a506×4＋2＝a2＝3. 角度3　数列的最值 【例8】(洛阳模拟)已知数列{an}的通项公式为an＝(n∈N*)，则数列{an}的前30项中的最大项和最小项分别是( ). A．a10，a9　　　 B．a10，a30 C．a1，a30　　　 D．a1，a9 【解析】an＝＝1＋，当n≥10时，an＝＝1＋>1，为正值且随n的增大而减小，则{an}递减；当n≤9时，an＝＝1＋<1，为负值且随n增大而减小，则{an}递减，所以数列{an}的前30项中的最大项和最小项分别是a10，a9. (1)解决数列周期性问题，根据给出的关系式求出数列的若干项，通过观察归纳出数列的周期，进而求出有关项的值或前n项和． (2)求数列的最大项与最小项的常用方法 ①函数法：利用函数的单调性求最值． ②利用(n≥2)确定最大项，利用(n≥2)确定最小项． 【变式】(1)(2025·河南模拟预测)已知数列{an}满足a1＝－1，a2＝－8，且对任意n∈N*，anan＋1＋2an＋1＝an＋m，则a2 025＝( ). A．－8　　　 B．－1 C．　　　 D． (2)(多选)(2025·池州模拟)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝，则下列说法正确的有( ). A．a2 026>a2 025 B．为递增数列 C．4a－1＝4an＋1an D．a<1 014 神奇的斐波那契数列 斐波那契数列，又称黄金分割数列，是意大利数学家斐波那契提出的，指的是这样一个数列：0，1，1，2，3，5，8，13，21，34，…. 【例题】意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数：1，1，2，3，5，8，…，该数列的特点是前两个数均为1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和．人们把这样的一列数所组成的数列{an}称为“斐波那契数列”，数列{an}的前n项和为Sn，则下列结论错误的是( ). A．S8＝54 B．a1＋a3＋a5＋a7＋…＋a2 023＝a2 024 C．a2＋a4＋a6＋a8＋…＋a2 024＝a2 025 D．S2 024＋S2 023－S2 022－S2 021＝a2 026 【解析】斐波那契数列满足递推关系an＋2＝an＋1＋an，对于A，斐波那契数列的前8项为1，1，2，3，5，8，13，21，所以S8＝1＋1＋2＋3＋5＋8＋13＋21＝54，A正确；对于B，a1＝a2，a3＝a4－a2，a5＝a6－a4，…，a2 023＝a2 024－a2 022，各式相加得a1＋a3＋a5＋a7＋…＋a2 023＝a2 024，B正确；对于C，a2＝a3－a1，a4＝a5－a3，a6＝a7－a5，…，a2 024＝a2 025－a2 023，各式相加得a2＋a4＋a6＋a8＋…＋a2 024＝a2 025－a1，C错误；对于D，S2 024＋S2 023－S2 022－S2 021＝(S2 024－S2 022)＋(S2 023－S2 021)＝(a2 024＋a2 023)＋(a2 023＋a2 022)＝a2 025＋a2 024＝a2 026，D正确． 处理斐波那契数列问题的关键是把握其递推关系an＝an－1＋an－2(n≥3).针对此数列常围绕其几个常见性质出题，如“黄金分割”“矩形面积”“斐波那契螺旋线”等． 【变式】斐波那契螺旋线被誉为自然界最完美的“黄金螺旋”，它的画法是：以斐波那契数1，1，2，3，5，…为边长的正方形拼成长方形，然后在每个正方形中画一条圆心角为90°的圆弧，这些圆弧所连起来的弧线就是斐波那契螺旋线．自然界存在很多斐波那契螺旋线的图案，例如向日葵、鹦鹉螺等，图6.1­2为该螺旋线的前一部分，如果用接下来的一段圆弧所对应的扇形做圆锥的侧面，则该圆锥的高为( ). A．2　　　 B．4 C．5　　　 D．6 【解析】由斐波那契数的规律可知，从第三项起，每一个数都是前面两个数之和，所以接下来的圆弧对应的圆的半径是3＋5＝8，对应的弧长l＝2π×8×＝4π，设圆锥底面半径为r，则2πr＝4π，解得r＝2，所以圆锥的高h＝＝＝2. $