精品解析：2026年河北石家庄市灵寿牛城乡初级中学模拟预测数学试卷

2026年河北省石家庄市灵寿牛城乡初级中学 模拟预测数学试卷 注意事项： 1.本试卷共8页，总分120分，考试时间120分钟． 2.答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡的相应位置． 3.答选择题时，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；答非选择题时，请在答题卡上对应题目的答题区域内答题． 4.必须保持答题卡的整洁，不要折叠答题卡． 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题意） 1. 若，则“？”是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 2. 若不等式“”可以表示“不超过3的数”，则被墨迹覆盖的不等号是（ ） A. B. C. D. 3. 观察图，若天平保持平衡，同一种物体的质量都相等，则一个羽毛球的质量是一个乒乓球质量的（ ） A. 8倍 B. 6倍 C. 4倍 D. 2倍 4. 将周长为的三角形三条边依次放在一条直线上，其中所标数据正确的是（　　） A. B. C. D. 5. 若（为整数），则 等于（ ） A. 7 B. 9 C. 11 D. 12 6. 一个骰子相对两面的点数之和为 ，将它按如图位置放置后，按箭头所示方向滚动，滚动到最后一格时，该骰子朝上一面的点数是（ ） A. B. C. D. 7. 若x，y都是正整数，且满足，则x与y的关系是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，已知的面积是12， ，点D是 上的动点，点E是 的中点，点F和点D关于点E成中心对称，则的最小值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 9. 某学校计划给每个班都安装节能灯，现分三个批次购买同一种节能灯，由于购买地点不同，三次购买的单价也不一样．第一次花费380元，第二次花费元，第三次花费元，第二次购买的单价比第一次少元，第三次购买的单价比第一次多元．若第二次和第三次购买的数量相同，现列出方程，则下列说法不正确的是（ ） A. 方程中的x表示的是第一次购买节能灯的单价 B. 第一次购买节能灯的单价是 元 C. 第二次购买节能灯的数量比第一次多了个 D. 如果设第二次购买的数量为y个，可列方程为 10. 如图1，有三张卡片，上面分别标有数字1，2，4，它们的背面完全相同．如图2，点P是正五边形 边上的动点，点P的起始位置在点A处．现将三张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张卡片，抽取的数字是几，点P就按顺时针方向走几个边长，然后将卡片放回，按照规则再次抽取，第二次从第一次结束后的位置开始，继续按照规则进行下去，则点P经过两次运动后到达点D的概率是（ ） A. B. C. D. 11. 嘉嘉在解关于x的一元二次方程时，不小心将一次项系数写成了 ，解出其中一个根是 ，现有以下两种说法： 甲：原方程必定有一个根是 ； 乙：当时，原方程有两个不相等的实数根． 则下列判断正确的是（ ） A. 甲对，乙错 B. 甲错，乙对 C. 甲、乙都对 D. 甲、乙都错 12. 如图，点O为矩形对角线的交点，，，点E是 边上一点（不含端点及中点），连接 并延长，交边于点F．将矩形沿折叠，点A，D的对应点分别是点，，直线和直线 相交于点H，连接 ， ， ，嘉嘉得出一个正确的结论：，淇淇继续探究，发现了以下四个结论，其中不正确的是（ ） A. B. 当点和点C不重合时， C. D. 当在直线 上方时，点到直线 距离的最大值为 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 因式分解：________． 14. 如图，小明与小敏玩跷跷板游戏。如果跷跷板的支点 （即跷跷板的中点）距地面的距离是，当小敏从水平位置下降 时，小明这时离地面的高度是______ ． 15. 学校图书馆分两次购买了相同版本的《红岩》和《昆虫记》供学生借阅．第一次买了2套《红岩》和3套《昆虫记》，共花费182.4元；第二次买了4套《红岩》和2套《昆虫记》，共花费217.6元．每套《红岩》和《昆虫记》的价格分别是多少元？设一套《红岩》的价格为 元，一套《昆虫记》的价格为 元．则列方程组为___________． 16. 如图，在 中，，为 边上的中线，平分与相交于点，已知，则线段的长为___________． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 按要求完成下列计算： （1）计算：； （2）化简：． 18. 已知整式（a，c为常数）． （1）若 ，且A为完全平方式，直接写出c的值并将整式A因式分解； （2）若，则；若 ，则，求a和c的值． 19. 如图，将平行四边形沿对角线折叠，使点落在平面上的点处， 与交于点． （1）求证：； （2）若平行四边形的对角线 与的交点为点，连接，求证：． 20. 随着全国各地掀起马拉松热，石家庄马拉松赛越来越引起众多跑步爱好者的关注．2026年3月，石家庄马拉松赛筹备期间，甲、乙两个社团各报名20名赛事志愿者．现对这40名志愿者进行基本素质测评（满分10分，且得分均为整数分），测评结束后，将他们的成绩绘制成不完整的统计图，如图． （1）补全条形统计图； （2）若按成绩的高低，赛事官方分别从甲、乙两个社团报名的志愿者中各选取10名，甲社团的嘉嘉和乙社团的洪洪均得7分，说明他们两人能否被录取； （3）通过计算平均成绩，判断哪个社团的测评成绩较好． 21. 为了加强道路管理，严查超速行为，某地交管部门在主要路段拍照测速，如图，一架无人机在道路正上方的点D处，米，现有一辆轿车沿着 方向行驶，无人机第一次拍摄时，轿车在点A处，测得轿车的俯角为，无人机第二次拍摄时，轿车行驶到点B，测得轿车的俯角为，无人机两次拍摄的时间间隔为3秒．（图中的点均在同一平面内，参考数据：） （1）求轿车在拍摄时间内行驶的距离 的长． （2）若该路段限速60千米/时，超速未超过10%，采取警告措施，超过10%，则需要交罚款．请通过计算说明该司机是否需要交罚款． 22. 如图，已知在平面直角坐标系中，点，，，． （1）求直线 的解析式； （2）当 时，连接，若直线与线段有交点，求整数的值； （3）若线段上存在一点 ，使得点 关于直线 的对称点在y轴上，请直接写出 的取值范围． 23. 已知点，点，其中 ．一束光从点沿直线 发出，形成的光线与线段 交于点，若点为整数点（横、纵坐标都为整数的点），则光线穿过线段 得到图1，否则光线在点处被反射得到射线 （光线的反射符合反射定律），进而得到图2． （1）若点， ①求射线的表达式（不必写自变量的取值范围）； ②射线 是否经过？请说明理由； （2）若 ，且 上的整数点被点分为个数之比为 的两部分，求的取值范围； （3）若光线穿过线段 ，且为正整数，点为 的中点，直接写出此时满足条件的整数的个数． 24. 如图1至图3，在矩形中，， ．点在 上，且1，连接和 ，将 绕点逆时针旋转，点A，B的对应点分别为点，，所在直线与 相交于点 ，所在直线与射线 相交于点，以， 为边构造平行四边形，当射线与 重合时， 停止旋转． （1）求的长； （2）如图2，当点落在线段 上时，探究， 的数量关系，并说明理由； （3）当点落在平行四边形的边上时，求弧的长； （4）如图3，当点落在线段 的延长线上时，连接， ， ，若的周长最小，直接写出此时的值．（参考数据：） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年河北省石家庄市灵寿牛城乡初级中学 模拟预测数学试卷 注意事项： 1.本试卷共8页，总分120分，考试时间120分钟． 2.答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡的相应位置． 3.答选择题时，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；答非选择题时，请在答题卡上对应题目的答题区域内答题． 4.必须保持答题卡的整洁，不要折叠答题卡． 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题意） 1. 若，则“？”是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】根据幂的乘方法则，计算指数即可得出结果． 本题考查了幂的运算，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得， 故选：B． 2. 若不等式“”可以表示“不超过3的数”，则被墨迹覆盖的不等号是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是列不等式，理解语言表示不等关系的含义是关键，由不超过表示小于或等于可得答案． 【详解】解：不等式“”可以表示“不超过3的数”，则被墨迹覆盖的不等号是： ， 故选：A 3. 观察图，若天平保持平衡，同一种物体的质量都相等，则一个羽毛球的质量是一个乒乓球质量的（ ） A. 8倍 B. 6倍 C. 4倍 D. 2倍 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查等式的性质，设一个羽毛球的质量为x，一个乒乓球质量为y．根据天平两边质量相等构建关系式可得结论． 【详解】解：设一个羽毛球的质量为x，一个乒乓球质量为y， 由题意 ∴ ∴一个羽毛球的质量是一个乒乓球质量的4倍． 故选：C． 4. 将周长为的三角形三条边依次放在一条直线上，其中所标数据正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系．由三角形的较短两边之和大于第三边可得答案． 【详解】解：A、由，此选项不符合题意； B、由，此选项不符合题意； C、由，此选项符合题意； D、由，此选项不符合题意； 故选：C． 5. 若（为整数），则 等于（ ） A. 7 B. 9 C. 11 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式，二次根式的运算，掌握完全平方公式的计算方法是解题的关键． 根据完全平方公式展开，即可得出答案 【详解】解：， 等式左边：， ∴， ∴，   故选：C ． 6. 一个骰子相对两面的点数之和为 ，将它按如图位置放置后，按箭头所示方向滚动，滚动到最后一格时，该骰子朝上一面的点数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，弄清各个面上的数字，动手操作是解题关键． 根据题意弄清各个面上的数字，动手操作即可解答． 【详解】解：骰子相对两面的点数之和为 ， 的对面是，的对面是 ，的对面是， 第一次滚动后，朝下，朝上， 第二次滚动后， 朝下，朝上， 第三次滚动后，朝下， 朝上． 故选：B． 7. 若x，y都是正整数，且满足，则x与y的关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据，，即可得出结果. 【详解】解：∵，，， ∴， ∴. 8. 如图，已知 的面积是12， ，点D是上的动点，点E是 的中点，点F和点D关于点E成中心对称，则的最小值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】连接、、，由中心对称的定义得出，且点、、在同一直线上，从而可得四边形 为平行四边形，由平行四边形的性质可得 ，最后由垂线段最短并结合三角形的面积公式计算即可得出结果． 【详解】解：如图，连接、、， ∵点E是 的中点， ∴ ， ∵点F和点D关于点E成中心对称， ∴，且点、、在同一直线上， ∴四边形 为平行四边形， ∴ ， ∵ 的面积是12， ，点D是上的动点， ∴由垂线段最短可得，当 时，的长度最小，且此时， ∴ ， ∴的最小值为 【点睛】中心对称是指把一个图形绕着某一点旋转 ，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称． 9. 某学校计划给每个班都安装节能灯，现分三个批次购买同一种节能灯，由于购买地点不同，三次购买的单价也不一样．第一次花费380元，第二次花费元，第三次花费元，第二次购买的单价比第一次少 元，第三次购买的单价比第一次多元．若第二次和第三次购买的数量相同，现列出方程，则下列说法不正确的是（ ） A. 方程中的x表示的是第一次购买节能灯的单价 B. 第一次购买节能灯的单价是 元 C. 第二次购买节能灯的数量比第一次多了个 D. 如果设第二次购买的数量为y个，可列方程为 【答案】D 【解析】 【分析】根据总价，单价，数量的关系，逐一验证各选项即可得出结果． 【详解】解：∵方程中，是第二次购买的总价，是第三次购买的总价，且第二次和第三次购买的数量相同， 故第二次购买的单价为，第三次购买的单价为， ∵第二次购买的单价比第一次少 元，第三次购买的单价比第一次多元， ∴ 表示第一次购买节能灯单价，故A选项说法正确，不符合题意； ， ， ， ， 解得， ∴ 第一次购买节能灯的单价是 元，故B选项说法正确，不符合题意； 故第二次购买单价为元， ∴第一次购买数量为个，第二次购买数量为个，个， ∴ 第二次购买数量比第一次多个，故C选项说法正确，不符合题意； 若设第二次购买数量为 个， ∵ 第二次和第三次购买数量相同， ∴ 第三次购买数量也为 个， 故第二次单价为，第一次单价为，第三次单价为， ∵第三次单价比第一次单价多元， 故， 整理得，与选项D给出的方程不符，故D选项说法错误，符合题意． 10. 如图1，有三张卡片，上面分别标有数字1，2，4，它们的背面完全相同．如图2，点P是正五边形 边上的动点，点P的起始位置在点A处．现将三张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张卡片，抽取的数字是几，点P就按顺时针方向走几个边长，然后将卡片放回，按照规则再次抽取，第二次从第一次结束后的位置开始，继续按照规则进行下去，则点P经过两次运动后到达点D的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】理解题意，熟练掌握列表法和概率公式是关键 根据题意列出表格，然后找出符合题意的情况，利用概率公式法求解即可 【详解】解：根据题意列表求和如下： 1 2 4 1 2 3 5 2 3 4 6 4 5 6 8 ∵点P经过两次运动后到达点D， ∴点P两次运动的数字和为3或8， 由表格得：共有9种等可能的结果，其中符合题意的有3种， ∴点P经过两次运动后到达点D的概率是 11. 嘉嘉在解关于x的一元二次方程时，不小心将一次项系数写成了 ，解出其中一个根是 ，现有以下两种说法： 甲：原方程必定有一个根是 ； 乙：当时，原方程有两个不相等的实数根． 则下列判断正确的是（ ） A. 甲对，乙错 B. 甲错，乙对 C. 甲、乙都对 D. 甲、乙都错 【答案】C 【解析】 【分析】先根据写错的方程的根得到a与b的关系，再进行验证甲、乙说法的正确性，分别用到一元二次方程根的定义和根的判别式的性质． 【详解】解：由题意可知，写错一次项系数后的方程为， ∵该方程一个根为 ， ∴将 代入得， 解得， 甲：∵原方程为， ∴将 代入原方程得， 解得， ∴ 是原方程的根，甲说法正确； 乙：由题意得，， 代入得， ， 当时，，即， ∴原方程有两个不相等的实数根，乙说法正确． ∴甲、乙都对． 12. 如图，点O为矩形对角线的交点，，，点E是 边上一点（不含端点及中点），连接 并延长，交边于点F．将矩形沿折叠，点A，D的对应点分别是点，，直线和直线相交于点H，连接 ， ，，嘉嘉得出一个正确的结论：，淇淇继续探究，发现了以下四个结论，其中不正确的是（ ） A. B. 当点和点C不重合时， C. D. 当在直线 上方时，点到直线 距离的最大值为 【答案】D 【解析】 【分析】由矩形的性质可得 ，结合题意得出 垂直平分，即可判断A；连接，先证明，得出 ，由折叠的性质可得，，从而可得，，即可判断B；连接，证明点、 、、四点共圆，得出，从而可得，最后由正切的定义计算即可判断C；连接，则点在以点 为圆心，为半径的圆弧上，求出，由图形并结合垂径定理可得，当时，此时点距离 最远，即可判断D． 【详解】解：∵点O为矩形对角线的交点， ∴ ， ∵， ∴ 垂直平分， ∴，故A选项正确，不符合题意； 如图：连接， ∵点O为矩形对角线的交点， ∴ ， ，， ∴ ， ∵ ， ∴， ∴ ， 由折叠的性质可得：，， ∴，， ∵， ∴，故B选项正确，不符合题意； 如图，连接， ∵点O为矩形对角线的交点， ∴， ∴， ∵， ∴ ， ∵， ∴点、 、、四点共圆， ∴， ∴， ∴，故C选项正确，不符合题意； 如图，连接， 由折叠的性质可得：， ∴点在以点 为圆心，为半径的圆弧上， ∵， ∴， 由图形并结合垂径定理可得，当时，此时点距离 最远，此时最大距离为，故D选项错误，符合题意． 【点睛】矩形的对角线相等；同弧所对的圆周角相等；折叠的性质：对应边相等，对应角相等． 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 因式分解：________． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再利用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解：． 14. 如图，小明与小敏玩跷跷板游戏。如果跷跷板的支点 （即跷跷板的中点）距地面的距离是，当小敏从水平位置下降 时，小明这时离地面的高度是______ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质．熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 根据全等三角形的判定和性质即可得到结论． 【详解】解：在与中， ∵， ∴， ∴， ∴小明离地面的高度是， 故答案为： ． 15. 学校图书馆分两次购买了相同版本的《红岩》和《昆虫记》供学生借阅．第一次买了2套《红岩》和3套《昆虫记》，共花费182.4元；第二次买了4套《红岩》和2套《昆虫记》，共花费217.6元．每套《红岩》和《昆虫记》的价格分别是多少元？设一套《红岩》的价格为 元，一套《昆虫记》的价格为 元．则列方程组为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据两次购买的数量与总花费，找出对应等量关系即可列出方程组. 【详解】解：根据题意，总花费等于单价乘以数量之和， 第一次购买2套《红岩》和3套《昆虫记》，总花费182.4元，可得方程， 第二次购买4套《红岩》和2套《昆虫记》，总花费217.6元，可得方程， 联立得方程组. 16. 如图，在 中，，为边上的中线，平分与相交于点，已知，则线段的长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】过E作交是延长线于G，根据平行线的性质和角平分线的定义得出，根据等角对等边得出，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出，根据勾股定理求出 ，证明，根据相似三角形的对应边成比例求解即可． 【详解】解：过E作交是延长线于G， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵，为边上的中线，， ∴， ∴， ∵，，， ∴ ， ∵， ∴， ∴，即， 解得，经检验，符合题意． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 按要求完成下列计算： （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 . 18. 已知整式（a，c为常数）． （1）若 ，且A为完全平方式，直接写出c的值并将整式A因式分解； （2）若，则；若 ，则，求a和c的值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）由题意易得，然后根据完全平方式可得，进而问题可求解； （2）由题意可代值进行求解即可． 【小问1详解】 解：由 可得， ∵A为完全平方式，且， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：当，时，则有，① 当 ，时，则有，② 由①②可得：． 19. 如图，将平行四边形沿对角线折叠，使点落在平面上的点处，与交于点． （1）求证：； （2）若平行四边形的对角线与的交点为点，连接，求证：． 【答案】（1） 证明：由折叠得，， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， 又∵， ∴； （2） 证明：∵， ∴， ∵平行四边形的对角线与的交点为点， ∴为 中点， ∴ 为 中 边上的高， ∴． 【解析】 【分析】（1）由折叠得，，由四边形是平行四边形得，，即可得，，结合对顶角即可证明； （2）由得，由平行四边形的对角线与的交点为点得为 中点，由等腰三角形三线合一可得 为 中 边上的高，即可证明． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】折叠的本质是轴对称变换，折叠前后的图形关于折痕成轴对称，因此对应边相等、对应角相等，这一性质是解决此类折叠问题的核心依据． 20. 随着全国各地掀起马拉松热，石家庄马拉松赛越来越引起众多跑步爱好者的关注．2026年3月，石家庄马拉松赛筹备期间，甲、乙两个社团各报名20名赛事志愿者．现对这40名志愿者进行基本素质测评（满分10分，且得分均为整数分），测评结束后，将他们的成绩绘制成不完整的统计图，如图． （1）补全条形统计图； （2）若按成绩的高低，赛事官方分别从甲、乙两个社团报名的志愿者中各选取10名，甲社团的嘉嘉和乙社团的洪洪均得7分，说明他们两人能否被录取； （3）通过计算平均成绩，判断哪个社团的测评成绩较好． 【答案】（1） 补全条形统计图，如下： （2）甲社团的嘉嘉不能被录取，乙社团的洪洪能被录取 （3）甲社团的测评成绩较好 【解析】 【分析】（1）计算出甲社团成绩为8分的人数，补全条形统计图即可； （2）计算出甲乙两个社团成绩超过7分的人数即可判断能否被录取； （3）计算出甲乙社团的平均成绩即可判断． 【小问1详解】 解：根据题意得：甲社团成绩为8分的人数为 （人）， 补全条形统计图略 【小问2详解】 解：甲社团成绩超过7分的人数为（人），乙社团成绩超过7分的人数为 ， ∵从甲、乙两个社团报名的志愿者中各选取10名， ∴甲社团的嘉嘉不能被录取，乙社团的洪洪能被录取． 【小问3详解】 解：甲社团的平均数为 （分）， 乙社团的平均数为 （分）， ∵ ， ∴甲社团的测评成绩较好． 21. 为了加强道路管理，严查超速行为，某地交管部门在主要路段拍照测速，如图，一架无人机在道路正上方的点D处，米，现有一辆轿车沿着 方向行驶，无人机第一次拍摄时，轿车在点A处，测得轿车的俯角为，无人机第二次拍摄时，轿车行驶到点B，测得轿车的俯角为，无人机两次拍摄的时间间隔为3秒．（图中的点均在同一平面内，参考数据：） （1）求轿车在拍摄时间内行驶的距离 的长． （2）若该路段限速60千米/时，超速未超过10%，采取警告措施，超过10%，则需要交罚款．请通过计算说明该司机是否需要交罚款． 【答案】（1） 的长为60米 （2） 解：∵无人机两次拍照间隔3秒，轿车行驶了60米， ∴车速为20米/秒，即72千米/时， 该路段限速60千米/时， ∴超速了，超速，超速超过10%， ∴司机需要交罚款． 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用、勾股定理、三角形外角的定义及性质、有理数的混合运算的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由题意得出，设米，则米，由勾股定理计算得出 ，由三角形外角的定义及性质得出，即可推出米； （2）求出司机的速度与最大速度，比较即可得解． 【小问1详解】 解：∵米，，， ∴， 设，则， 根据勾股定理可列方程为， 解得 （负值舍去）． 易知的外角，， 则， ∴米， 即轿车在拍摄时间内行驶的距离 的长为60米． 【小问2详解】 略 22. 如图，已知在平面直角坐标系中，点，，，． （1）求直线 的解析式； （2）当 时，连接，若直线与线段有交点，求整数的值； （3）若线段上存在一点 ，使得点 关于直线 的对称点在y轴上，请直接写出 的取值范围． 【答案】（1）直线 的函数解析式为 （2）整数k的值为 或 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数，轴对称图形的性质，掌握待定系数法，轴对称图形的性质是解题的关键． （1）运用待定系数法求解即可； （2）当 时，点 的坐标为，分类讨论：当直线经过点 时，当直线经过点时，代入计算即可求解； （3）根据轴对称图形的性质，数形结合分析即可求解． 【小问1详解】 解：设直线 的函数解析式为，且直线经过点，， ∴， ∴， ∴直线 的函数解析式为 ． 【小问2详解】 解：当 时，点 的坐标为， 当直线经过点 时，可列方程为， 解得， 当直线经过点时，可列方程为， 解得， ∴， ∴整数k的值为 或 ． 【小问3详解】 解：． 如图，设线段关于直线 的对称线段为，则 垂直平分线段和，分别交于点， 若点恰好在y轴上， ∴为等腰直角三角形 ∵点， ∴点P的坐标为． 当点P向上平移时，线段与y轴有交点，即线段上存在一点M，使得点M关于直线 的对称点在y轴上， ∴． 23. 已知点，点，其中 ．一束光从点沿直线 发出，形成的光线与线段 交于点，若点为整数点（横、纵坐标都为整数的点），则光线穿过线段 得到图1，否则光线在点处被反射得到射线 （光线的反射符合反射定律），进而得到图2． （1）若点， ①求射线的表达式（不必写自变量的取值范围）； ②射线 是否经过？请说明理由； （2）若 ，且 上的整数点被点分为个数之比为 的两部分，求的取值范围； （3）若光线穿过线段 ，且为正整数，点为 的中点，直接写出此时满足条件的整数的个数． 【答案】（1）① ； ②不经过， 根据光的反射定律，可知直线与直线 关于直线对称， 点关于直线的对称点在射线 上． 设射线 的表达式为． 将，代入， 得解得 射线 的表达式为 ． 当 时， ， 射线 不经过点． （2）或； （3）满足条件的整数的个数为2． 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与几何的综合应用，熟练掌握待定系数法求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键： （1）①根据待定系数法求出解析式即可；②设射线 的表达式为，根据待定系数法求出解析式，再把代入看是否成立即可； （2）根据题意得到线段 上的整数点有共9个，且点在和之间或在和之间，分别把，，，代入 中求解，即可求出结果； （3）根据题意得出，将代入直线 ，得 ，解得．结合为正整数， 且为整数，且点为整数点，求出结果即可． 【小问1详解】 解：①直线 经过点，， 射线的表达式为 ． ②略 【小问2详解】 解： 时，点，点， 线段 上的整数点有，，，，，，，，，共9个． 上的整数点被点分为个数之比为 的两部分， 点在和之间或在和之间， 将代入 ，得， 将代入 ，得 ； 将代入 ，得， 将代入 ，得． 的取值范围为或； 【小问3详解】 点为线段 的中点，． 将代入直线 ， 得 ，解得． 为正整数， 且为整数，且点为整数点， 可列表如下： 1 2 5 10 11 6 3 2 5 2.5 1 0.5 3 4 7 12 综上所述，满足条件的整数的个数为2，分别是11和3． 24. 如图1至图3，在矩形中，，．点在 上，且1，连接和 ，将 绕点逆时针旋转，点A，B的对应点分别为点，，所在直线与 相交于点 ，所在直线与射线相交于点，以， 为边构造平行四边形，当射线与 重合时， 停止旋转． （1）求的长； （2）如图2，当点落在线段上时，探究， 的数量关系，并说明理由； （3）当点落在平行四边形的边上时，求弧的长； （4）如图3，当点落在线段的延长线上时，连接， ， ，若的周长最小，直接写出此时的值．（参考数据：） 【答案】（1）； （2） ． 理由如下： ∵，，且， ∴． 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 由旋转的性质，可得． ∴， ∴， ∴． （3）或； （4）3． 【解析】 【小问1详解】 解：在中，，， ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解∶ 由（2）易得，平行四边形是矩形．当点落在平行四边形的边上时，有以下两种情况． 情况一：如图1，此时点C，N重合，点B，H重合． 四边形为矩形， ，，， ， ， ； 情况二：如图2，此时点在 上． ，， ，，． ， ，解得， ， ， ． ， ， ， ， ， 综上， 弧的长为或； 【小问4详解】 解∶ 如图3，由（1）（2）知，，． 当点落在线段上时，． 同理可得当点落在线段的延长线上时，， ∴， ∴． 过点作于点，则 ，， ， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴，， ∴，即， ∴， ∴， ∴点在过点且垂直于 的直线上运动． 延长 至点，使得，连接， ∴垂直平分， ∴， ∴的周长， ∴当最小时，的周长最小， ∴当，，三点共线时，最小，如图3． 过点作于点． 在中，由面积法得， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴在 中，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $