广东江门市鹤山市昆仑学校2025-2026学年高二下学期5月期中考试数学试题

**基本信息** 鹤山市昆仑学校高二年级数学期中卷，聚焦数列、导数、排列组合等核心知识，通过解答题（如数列证明与求和、函数综合应用）考查推理论证与创新应用能力，体现运算能力与数学思维。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8题|等比数列求和、导数计算、切线方程|基础巩固，如第5题结合分类加法计数原理| |多选题|3题|导数应用、等差数列性质|能力辨析，如第11题考查排列组合实际应用| |填空题|3题|二项式系数、函数单调性|简洁综合，如第14题结合导数研究函数递增| |解答题|5题|数列证明与求和、函数切线极值、排列组合应用|创新拓展，如第19题推广等比数列结论，培养推理与创新意识|

鹤山市昆仑学校2025-2026学年度第二学期期中考 高二级数学2026.5 命题人：黄海霞 审题人：蒋兴 一、单选题 1．设等比数列的前项和为，若，则（    ） A．18 B．21 C．63 D．64 2．已知函数，则＝（    ） A． B． C． D． 3．在等差数列中，，，则（    ） A．13 B．14 C．16 D．17 4．在曲线上的点处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 5．小夏计划某日从武汉到兰州游玩，当天的交通工具中，火车共有12个车次，飞机共有2个航班，则乘坐方式的种数共有（   ） A．12 B．14 C．16 D．24 6．已知函数在处取得极大值，则（   ） A．0 B．12 C．16 D．96 7．在的展开式中，的系数为（    ） A．252 B．210 C．126 D．120 8．已知不等式对恒成立，则实数a的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．下列命题正确的有（   ） A．若，则 B．已知函数，若，则 C．若，则 D．曲线上点P处切线的倾斜角的取值范围是 10．已知等差数列中，，，前项和为，则下列选项正确的有（    ） A． B． C． D． 11．某学校高二年级数学课外活动小组中有男生6人，女生4人，则下列说法正确的是（   ） A．若从中选2人，1人做正组长，1人做副组长，则有90种不同的选法 B．若从中选4人参加数学建模比赛，其中男、女生各2人，则有90种不同的选法 C．若从中选5人参加数学建模比赛，其中学生甲一定要参加，则有252种不同的选法 D．若从中选5人参加数学建模比赛，其中至少一名女生，共有246种不同的选法 三、填空题 12．由0，1，2，3，4，5这六个数字，能组成___________个无重复数字的四位数． 13．的展开式中的系数为，则的值为___________． 14．已知函数是单调递增函数，则的最小值是____________. 四、解答题 15．已知的展开式中，第3项与第5项的二项式系数相等， (1)求； (2)求展开式的常数项； (3)求展开式中系数最大的项． 16．某次文艺晚会上共演出8个节目，其中2个唱歌、3个舞蹈、3个曲艺节目，求分别满足下列条件的排节目单的方法种数. （1）一个唱歌节目开头，另一个压台； （2）两个唱歌节目不相邻； （3）两个唱歌节目相邻且3个舞蹈节目不相邻． 17．已知数列的首项，前项和为，且满足． (1)求证：数列为等比数列； (2)若，求数列的前项和． 18．已知函数，． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求函数的极小值； （3）求函数的零点个数． 19．在数列中，设，， (1)若数列是公比为的等比数列，求证：成等比数列，并求这个数列的公比； (2)推广上述结论，提出新的猜想，并加以证明． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 鹤山市昆仑学校2025-2026学年度第二学期期中考 高二级数学答案 1-4．BAAB 5．B 【分析】根据分类加法计数原理即可求解. 【详解】根据分类加法计数原理，从武汉到兰州可以乘火车（12种）或飞机（2种），总计种方式． 故选：B 6．A 【分析】求导后利用极值点处导数为零求出参数，再验证后计算可得. 【详解】因为， 由题意，所以或， 经检验时，，可知时，取得极小值，不符合题意.所以，因此. 故选：A. 7．B 【分析】根据二项式定理，把每一项的的系数求出来，然后结合组合数的性质求和即可 【详解】由题意可得的系数为 ． 故选：B． 8．C 【分析】先利用同构变形得到，构造函数，， 结合其单调性和求解的是a的最小值，考虑两种情况，进行求解，最终求得实数a的最小值. 【详解】因为， 所以， 即， 构造函数， 所以 ， 令，解得：，令，解得：， 故在上单调递减，在上单调递增， 当时，与1的大小不定，但当实数a最小时，只需考虑其为负数的情况，此时 因为当时，单调递减， 故， 两边取对数得： ， 令，则， 令得：，令得：， 所以在单调递增，在单调递减， 所以 故a的最小值是． 故选：C 【点睛】同构法针对与不等式或者等式中同时出现指数函数与对数函数时，要将两边变形得到结构相同，再构造函数进行求解. 9．BC 【分析】利用导数公式求导判断ABC选项，根据导数和倾斜角的关系和正切函数图象判断D选项． 【详解】对于A，易得，故A错误； 对于B，，令，解得，故B正确； 对于C，，则，解得，故C正确； 对于D，，即，而，则，故D错误. 故选：BC 10．ACD 【分析】根据等差数列通项公式求出首项和公差，从而逐项判断. 【详解】根据题意，等差数列中，，， 可得，解得， 由于，A正确； ，B错误； ， 所以，C正确； ，D正确. 故选：ACD 11．ABD 【详解】总人数有人. A：有序选取，，A正确. B：男生选2人、女生选2人，，B正确. C：甲必选，剩余9人选4人，，C错误. D：个人任意选人有种，人全选男生有种，所以至少一名女生的选择法有种，D正确. 12．300 【详解】 13． 【详解】展开式通项为：， 令，则；令，则； 展开式中的系数为，解得：. 故答案为：. 14． 【详解】函数的定义域为. . 因为函数是单调递增函数， 所以即恒成立， 由得，当且仅当即时等号成立. 所以，所以. 故的最小值是. 15．(1) (2) (3) 【分析】（1）结合题意建立方程，求解参数即可. （2）求出展开式的通项，再结合赋值法求解常数项即可. （3）结合题意建立不等式，得到，再求出系数最大的项即可. 【详解】（1）因为第3项与第5项的二项式系数相等，所以，解得. （2）由已知得， 其展开式的通项为，令，解得， 则展开式的常数项为. （3）由已知得展开式的通项为， 则第项的系数为，设第项的系数最大， 则，解得， 因为是整数，所以， 此时系数最大的项为. 16．(1)；（2）；（3）. 【详解】试题分析：（1）先排歌曲节目，再排其他节目，利用乘法原理，即可得出结论；（2）先排3个舞蹈，3个曲艺节目，再利用插空法排唱歌，即可得到结论；（3）两个唱歌节目相邻，用捆绑法，3个舞蹈节目不相邻，利用插空法，即可得到结论． 试题解析：（1）种排法.（2）种排法.（3）种排法. 17．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由已知分别求得时的值，当时，由即可证明； （2）由分组求和及错位相减法即可求解． 【详解】（1）由，① 当时，，由，解得， 当时，，② ①-②得：，即， 从而， 又因为，且也满足上式， 所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列． （2）由（1）得，则， 从而， 所以， ， 令，① 则，② ①-②得：， 所以， 又， 所以． 18．（1）；（2）；（3）个． 【解析】（1）求出和的值，利用点斜式可得出所求切线的方程； （2）利用导数分析函数的单调性，进而可得出该函数的极小值； （3）由当时，以及，结合函数在区间上的单调性可得出函数的零点个数. 【详解】（1）因为，所以． 所以，． 所以曲线在点处的切线为； （2）因为，令，得或． 列表如下： a 0 极大值 极小值 所以，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为， 所以，当时，函数有极小值； （3）因为，， 所以由（2）得，当时，，又． 由（2）可知，函数在上单调递增，所以函数的零点个数为． 19．解析：(1)若是公比为的等比数列，则 是一个公比为的等比数列． (2)推广：若是公比为的等比数列，是它的前项之和，则有成等比数列，公比为． 证明：， 成等比数列． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $