广东深圳市福田区红岭中学2025-2026学年第二学期第一学段考试高二数学试卷

**基本信息** 聚焦高二核心知识，梯度设计凸显数学思维与应用能力，涵盖导数、数列、概率统计等模块，解答题综合考查逻辑推理与运算能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|导数运算、二项式定理、等差数列|基础题为主，如第3题等差数列求和，第4题切线方程求参数| |多选题|3/15|导函数图像、函数极值、新定义集合|注重辨析能力，如第9题结合导函数图像判断单调性与极值| |填空题|3/15|二项式系数、随机变量期望、函数存在性问题|强调知识迁移，如第13题三轮投掷得分期望计算| |解答题|5/75|函数极值与值域、数列证明与求和、概率分布列、函数单调性讨论|综合性强，如第18题结合分布列与全概率公式，第19题含参数函数单调性分析，体现数学语言表达与逻辑推理|

红岭中学2025-2026学年度第二学期第一学段考试 高二数学试卷 （说明：本试卷考试时间为120分钟，满分为150分） 命题人：荣红莉 审题人：王磊 一、单选题 1．下列求导数运算正确的有（    ） A． B． C． D． 2．若的二项展开式中，有且仅有第5项是二项式系数最大的项，则（   ） A．8 B．9 C．10 D．11 3．已知等差数列的前项和为，，则（   ） A．10 B．20 C．15 D．25 4．曲线在点处的切线方程为，则（   ） A．1 B．0 C． D．2 5．若三对夫妻坐成一排照相，则同性别的人均不相邻的排法数为（   ） A．288 B．144 C．36 D．72 6．函数的零点所在的区间是（   ） A． B． C． D． 7．已知随机变量满足，，.若，则（    ） A．， B．， C．， D．， 8．对任意的正数，都存在两个不同的正数，使成立，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 二、多选题 9．函数的导函数的图象如图所示，以下命题错误的是（       ） A．是函数的极值点 B．是函数的极值点 C．在区间上单调递增 D．是函数的极值点 10．已知函数，是的一个极值点，则（   ） A． B．若方程有一个解，则 C．的图象关于点对称 D．对， 11．设正整数，其中，定义．设集合，从中随机选取一个元素，记为，则（   ） A． B．中的元素个数为36 C． D． 三、填空题 12．在的展开式中，的系数为________． 13．投掷一枚均匀的骰子（六面分别标有点）．规则如下：若某人投出点，则本轮得分；若投出其他点数，则本轮得分为该点数．投掷一次为一轮，共进行三轮．记此人的总得分为随机变量，则_____． 14．已知函数，若存在，使得成立，则实数的最小值是________. 四、解答题 15．已知函数． (1)求函数的极值； (2)求函数在上的值域． 16．已知正项数列满足，且． (1)证明为等差数列，并求出数列的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 17．甲、乙两人参加某高校的入学面试，入学面试有2道难度相当的题目，甲答对每道题目的概率都是，乙答对每道题目的概率都是，每位面试者共有两次机会，若答对第一次抽到的题目，则面试通过，结束答题；否则继续第2次答题，答对则面试通过，未答对则面试不通过，甲、乙两人对抽到的不同题目能否答对是独立的，且两人答题互不影响， (1)求甲、乙两人有且只有一人通过面试的概率； (2)设面试过程中甲、乙两人答题的次数之和为，求的分布列与期望. 18．在某工厂的产品质量检测中，设随机变量表示从一批产品中随机抽取的不合格产品数量.已知抽取到个不合格产品的分布列为： 0 1 2 3 每个不合格产品需要进行返工处理，返工成功（即将不合格产品修复为合格产品）的概率均为，且各个产品返工是否成功相互独立.事件表示抽取的产品中有个不合格产品（），事件表示抽取的产品中返工成功的数量比返工失败的数量多. (1)若，求，并根据全概率公式求； (2)是否存在值且，使得，请说明理由. 19．已知函数． (1)讨论在其定义域上的单调性； (2)当时，若，求实数的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A C A D A B A BD BCD 题号 11 答案 ACD 1．B 【详解】依题意，. 2．A 【分析】根据二项式系数的性质确定二项展开式的项数即可求得答案. 【详解】由题意知，二项式系数中只有第5个最大，即最大， 由二项式系数的性质可知，展开式共有9项，故. 故选：A. 3．C 【详解】在等差数列中，， 所以. 4．A 【详解】由题可知， 且曲线在点处的切线方程为，即， 所以，所以 5．D 【分析】可以先分男女男女男女和女男女男女男两种情况，再根据排列数公式求解. 【详解】若男女间隔排列，则有两种情况，男女男女男女  或女男女男女男， 若男女男女男女的情况，先排男生有种方法，再排女生也有种方法，所以共有, 第二种女男女男女男的情况也有种方法， 综上可知，共有种方法. 6．A 【分析】求导后利用极值点处导数为零求出参数，再验证后计算可得. 【详解】因为， 由题意，所以或， 经检验时，，可知时，取得极小值，不符合题意.所以，因此. 故选：A. 7．B 【分析】利用期望和方差公式将数学期望和方差用概率表述出来，然后比较大小即可. 【详解】∵，， ∴， ∵，，， ∴. 故选：B. 8．A 【分析】根据题意，化简方程为，令，得到，设，求得，得到的单调性及最大值，画出函数图象，结合图象，即可求得的取值范围. 【详解】由，可得，可得， 令，可得， 设，可得， 当时，，在单调递增； 当时，，在单调递减， 且时，，时，， 当时，取得最大值，最大值为 可得函数的图象，如图所示， 由图，当时，直线与的图象有两个交点， 即方程有两个实数根， 即正数，都存在两个不同的正数，使成立， 所以实数的取值范围为. 故选：A 9．BD 【分析】由导函数图象的正负即可判断原函数的增减，依次判断即可. 【详解】由图可得，当，，单调递减，当，，单调递增， 可知是函数的极值点，故A正确，不是函数的极值点，故B错误， 当，，故在区间上单调递增，故C正确，不是函数的极值点，故D错误. 10．BCD 【详解】求导得 ， 由题意得，解得 或 ， 由 得 ，故 A 错误； 由 得 ， ， 令，得或， 当 时， ，所以函数单调递增， 当 时， ，所以函数递减， 当 时， ，所以函数递增. 所以的极大值为， 的极小值为. 为三次函数，要使只有一个解，只需的极小值或的极大值. 所以或，故B正确； 若的图象关于点对称，则需满足，经验证成立，故C正确； 易知，则. 即 恒成立，故D正确. 故选：BCD 11．ACD 【分析】利用新定义判断AB；结合列举法利用古典概型概率公式求解判断C；求出所有满足的n，然后求平均值即可判断D. 【详解】对于A，因为，所以，所以，正确； 对于B，中的元素个数为，错误； 对于C，设，中满足元素如下： 因为，所以以的大小作为分类依据， 时，，，，， ，，，共有7个， 同理时有8个，时有9个，所以，正确； 对于D，集合中所有元素和为， 所以，正确. 12． 【分析】根据题意，求得二项展开式的通项，确定的值，代入即可求解. 【详解】由二项式的展开式的通项为，其中， 令，可得，所以的系数. 故答案为：. 13． 【分析】假设某人在第轮投掷的得分为随机变量，先求出某人第一轮投掷的得分期望，分析可知、、相互独立，且，再利用期望的可加性可求得结果. 【详解】假设某人在第轮投掷的得分为随机变量， 先求某人第一轮投掷的得分期望， 投掷一枚均匀骰子，结果为点的概率为，得分； 结果为、、、、点的概率均为，分别得对应分数． 由离散型随机变量的期望公式得， 共进行三轮，此人总得分， 且、、相互独立，且， 由期望的可加性可得. 14． 【详解】由，得， 当时，，故在上单调递减， 当时，，故在上单调递增， 故当时，， 而存在实数，使得成立，故，即实数的最小值是. 15．(1)极小值，无极大值； (2) 【分析】利用导数判断函数单调性求解函数的极值及所在区间的值域即可. 【详解】（1）已知函数的定义域为，， ​因，故，令得. 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 因此只有极小值，无极大值，且极小值为，无极大值. （2）由（1）的单调性可知在单调递减，在单调递增， 因此最小值为. 计算区间端点值， ， 因为，所以， 故最大值为. 因此在上的值域为. 16．【详解】（1）∵，∴，∴. 又，∴数列是以为首项，2为公差的等差数列. ∴，∴. （2）由（1）知，, ∴ . 17．(1) (2)分布列见解析， 【分析】（1）根据相互独立事件概率公式直接计算可得结果； （2）易知随机变量的可能取值为2，3，4，分别计算出对应概率可得分布列，计算出期望值. 【详解】（1）设事件为“甲通过面试”，事件为“乙通过面试”， （或） （或） 所以甲、乙两人有且只有一人通过面试的概率 . （2）随机变量的可能取值为2，3，4. ，，， 随机变量的分布列为 2 3 4 所以随机变量的期望为. 18．(1)， (2)不存在，理由见解析 【分析】（1）利用所给分布列，根据概率之和为1求出，再由条件概率公式及全概率公式求解即可； （2）根据分布列由期望公式求出得出方程，令，再由导数判断函数的最大值小于0，即可判断方程无解. 【详解】（1）当时，， 则，解得， 由题意，得， ， . 由全概率公式，得 . （2）假设存在，使 又. 得， 化简得 即 令 则 因为，所以在上存在，使得 所以即 且在为正，在为负 从而在为增函数，在为减函数 所以当时， 即不存在值，使得 19．(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）求出函数导数，再利用导数研究导函数的极值，判断的符号即可得解； （2）转化为，构造函数，利用导数，分类讨论函数的最大值即可得解. 【详解】（1）的定义域为求导有， 令，则， 当时，在上单调递增， 当时，在上单调递减， 所以，则有，所以在单调递减； （2）当时，等价于， 即， 令，则， ①若，即，则，在上单调递减，所以，满足题意； ②若，即，令，得， 当时，，在单调递增， 当时，在单调递减， 所以， 令，是减函数， 又，所以，与条件矛盾， 综上，所以． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $