精品解析：上海市华东师范大学附属浦东临港高级中学2025-2026学年高一下学期期中数学试题

华师大浦东临港高中2025学年高一下期中 一､填空题（本大题满分36分）本大题共有12题. 1. 已知，若，则______. 【答案】 【解析】 【详解】已知，，且，即. ， 化简得， 解得. 2. 函数的最小正周期是__________. 【答案】； 【解析】 【分析】利用余弦函数的最小正周期公式即可求解. 【详解】因为函数， 所以， 故答案为： 【点睛】本题考查了含余弦函数的最小正周期，需熟记求最小正周期的公式，属于基础题. 3. 已知，，，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用结合已知条件求解即可. 【详解】因为，，， 所以 . 故答案为： 4. 函数的值域是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，利用三角函数辅助角公式化简得，再利用正弦函数的性质求解即可. 【详解】由已知， 因为， 所以 的值域为. 5. 已知向量与不平行，与平行，则实数__________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据向量平行可列出方程组，即可求解. 【详解】由于与平行，故设， 即，而向量与不平行， 故，解得， 故答案为： 6. 若，，则的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【详解】由于，当且仅当同向时等号成立， 故的最小值为4； 又，当且仅当反向时等号成立， 故的最大值为8； 即得的取值范围是. 7. 已知函数的部分图象如图所示，则__________. 【答案】0.5## 【解析】 【详解】由题意可得：， 又因为，所以，解得：， 8. 把函数的图像向右平移个单位，再将横坐标缩短到原来的，所得函数的解析式为____________. 【答案】 【解析】 【分析】把函数的图象向右平移个单位，只需用替换原函数中的，整理后把的系数乘以2，就是把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的，则变化后的函数解析式可求． 【详解】解：把函数的图象向右平移个单位， 所得图象的函数解析式为． 再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的， 所得图象的函数解析式为． 故答案为． 【点睛】本题考查了函数的图象变换，关键是明确先改变周期还是先平移，顺序不同，平移的单位不同，是中档题，也是易错题． 9. 已知，若，则向量与的夹角的余弦值为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】设向量与的夹角为，根据向量垂直运算可得答案. 【详解】设向量与的夹角为， 若，则， 所以， 可得. 故答案为：. 10. 已知向量，且，则在方向上的数量投影的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】代入数量投影公式，转化为三角函数值域问题求解. 【详解】因， 则在方向上的数量投影为， 因，则，故， 故在方向上的投影的取值范围是 11. 已知函数和函数的图象交于三点，则的面积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】画出两个函数图像，求出三个交点的坐标，由此计算出三角形的面积. 【详解】画出两个函数图像如下图所示，由图可知，对于点，由，解得，所以. 【点睛】本小题主要考查正弦函数和正切函数的图像，考查三角函数图像交点坐标的求法，考查三角函数面积公式，属于中档题. 12. 如图，在锐角中，，，，，且、、是常数，是的外心，于，于，于，设，，，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，设，利用三角形外接圆的性质以及平面向量数量积的运算可求得，同理可得，进而求出结果. 【详解】 连接， 设，可得 ，，， 同理可得， 所以, 故答案为：. 二､选择题（本大题满分12分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案. 13. 在中，，则是（ ）三角形. A. 等腰 B. 等腰直角 C. 等腰或直角 D. 等边 【答案】D 【解析】 【详解】因为， 所以该三角形是等边三角形. 14. 设是非零向量，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据充分必要条件的概念分析即可. 【详解】由题，若，则，解得，即； 反之，若，则有，得，即， 因此“”是“”的充分必要条件，故C正确. 15. 已知是平面向量的一组基底，则下列各组向量中，不能作为平面向量的一组基的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用平面向量基底的定义及共线的充要条件，对各个选项逐一分析判断，即可求解. 【详解】A选项，是平面向量的一组基底，故为不共线的非零向量， 设，故，无解，故为不共线的非零向量， 故可以作为一组基底，A错误； B选项，设，解得，无解，故为不共线的非零向量，B错误； C选项，设，故，无解，故为不共线的非零向 量，C错误； D选项，，故共线，故不能作为基底，D正确. 16. 已知为所在平面内的一点，则下列命题中正确的个数为（ ） ①若，则为内心 ②若，则为等腰三角形 ③若，则为的外心 ④若，则点的轨迹一定经过的重心 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】利用重心向量公式判断①；利用数量积运算律及定义求解判断②；利用数量积的运算律及垂直关系的向量表示判断③；设的中点为，再根据正弦定理结合平面向量共线定理即可判断④. 【详解】对于①：由得为重心，故①错误； 对于②：由得， 又，所以，所以为等腰三角形，故②正确； 对于③：由得，同理得， 所以为的垂心，故③错误； 对于④：取的中点为，所以，由正弦定理得，令， 则，所以，点的轨迹经过的重心，故④正确. 故选：B. 三､解答题（本大题满分52分）本大题共有5题. 17. 已知，与的夹角，求： （1）； （2）向量和的夹角余弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据数量积的定义可得，再根据模长与数量积的关系求解即可； （2）根据平面向量夹角余弦公式求解即可. 【小问1详解】 因为，与的夹角， 所以， 则 所以； 【小问2详解】 . 18. 设两个向量满足与的夹角为，若向量与向量的夹角为锐角，求实数的取值范围. 【答案】 【解析】 【分析】根据向量与向量的夹角为锐角，得其数量积大于0，展开后得到关于的不等式求解的范围，然后除掉两向量共线同向时的的值． 【详解】解：由向量与向量的夹角为锐角，得 ， 即， ， ， 化简即得， 解得或， 当夹角为0°时，也有， 但此时夹角不是锐角， 设，， 则，∴， ∴所求实数的范围是． 【点睛】本题考查了平面向量数量积的运算，两向量夹角为锐角，数量积大于0，夹角为钝角，数量积小于0，注意数量积大于0时夹角还有0°的情况，此题是中档题，也是易错题． 19. 如图所示：湖面上甲、乙、丙三艘船沿着同一条直线航行，某一时刻，甲船在最前面的点处，乙船在中间点处，丙船在最后面的点处，且.一架无人机在空中的点处对它们进行数据测量，在同一时刻测得，.（船只与无人机的大小及其他因素忽略不计） （1）求此时无人机到甲、丙两船的距离之比； （2）若此时甲、乙两船相距100米，求无人机到丙船的距离.（精确到1米） 【答案】（1）;（2）米. 【解析】 【分析】如图：（1）因为，在两个三角形和中用正弦定理，即可求出；（2）因为，所以，在中，，设，则，由余弦定理即可求出的值，进而求出. 【详解】 （1）在中，由正弦定理，得，， 在中，由正弦定理，得， 又，， 故. 即无人机到甲、丙两船的距离之比为. （2）由得，且，由（1），可设，则， 在中，由余弦定理，得， 解得， 即无人机到丙船的距离为 米. 20. 已知，设函数. （1）当，求函数的值域； （2）当且，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用平面向量数量积的运算，两角和与差的正弦函数可得 ，由，可得：，利用正弦函数的图象和性质即可求得的值域. （2）由，解得：，可求范围，可求，利用二倍角的正弦函数公式即可求值. 【小问1详解】 ， ， ，可得：， ，可得：. 【小问2详解】 ， ∴解得， ， ， . 21. 定义：若非零向量，函数的解析式满足，则称为的伴随函数，为的伴随向量． （1）若向量为函数的伴随向量，求； （2）已知，，为函数的伴随向量，，请问在的图象上是否存在一点P，使得？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由． （3）若函数为向量的伴随函数，关于x的方程在上有且仅有四个不相等的实数根，求实数m的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先将函数化简为的形式，从而得到伴随向量的坐标，再根据向量模长的计算公式即可求出； （2）根据题意求出的解析式，并据此设，又由列出关于x的方程，最后借助三角函数值域及一元二次不等式解出该方程即可． （3）先根据伴随函数的定义求出函数的表达式，再化简方程，原方程可等价为，令，分类讨论并画出的图象，然后将问题转化为两个函数有交点问题，最后根据函数图象的交点情况即可求出实数的取值范围． 【小问1详解】 ， 所以，． 【小问2详解】 由伴随向量的定义可知， 又， 所以可得，解得，因此， 所以， 即，设点， 又，由， 得， 展开并化简可得（*），令，且， 方程变为，即， 解得，又，所以，此时且， 所以，对应，即． 【小问3详解】 函数为向量的伴随函数，所以， 又关于的方程为， 所以可得， 即， 记， 化简得，作出函数的图像， 方程在上有且仅有四个不相等的实数根， 等价于图象与直线有四个交点，故， 即． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 华师大浦东临港高中2025学年高一下期中 一､填空题（本大题满分36分）本大题共有12题. 1. 已知，若，则______. 2. 函数的最小正周期是__________. 3. 已知，，，则__________． 4. 函数的值域是______. 5. 已知向量与不平行，与平行，则实数__________． 6. 若，，则的取值范围是______. 7. 已知函数的部分图象如图所示，则__________. 8. 把函数的图像向右平移个单位，再将横坐标缩短到原来的，所得函数的解析式为____________. 9. 已知，若，则向量与的夹角的余弦值为__________. 10. 已知向量，且，则在方向上的数量投影的取值范围是__________. 11. 已知函数和函数的图象交于三点，则的面积为__________． 12. 如图，在锐角中，，，，，且、、是常数，是的外心，于，于，于，设，，，则__________． 二､选择题（本大题满分12分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案. 13. 在中，，则是（ ）三角形. A. 等腰 B. 等腰直角 C. 等腰或直角 D. 等边 14. 设是非零向量，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 15. 已知是平面向量的一组基底，则下列各组向量中，不能作为平面向量的一组基的是（ ） A. B. C. D. 16. 已知为所在平面内的一点，则下列命题中正确的个数为（ ） ①若，则为内心 ②若，则为等腰三角形 ③若，则为的外心 ④若，则点的轨迹一定经过的重心 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 三､解答题（本大题满分52分）本大题共有5题. 17. 已知，与的夹角，求： （1）； （2）向量和的夹角余弦值. 18. 设两个向量满足与的夹角为，若向量与向量的夹角为锐角，求实数的取值范围. 19. 如图所示：湖面上甲、乙、丙三艘船沿着同一条直线航行，某一时刻，甲船在最前面的点处，乙船在中间点处，丙船在最后面的点处，且.一架无人机在空中的点处对它们进行数据测量，在同一时刻测得，.（船只与无人机的大小及其他因素忽略不计） （1）求此时无人机到甲、丙两船的距离之比； （2）若此时甲、乙两船相距100米，求无人机到丙船的距离.（精确到1米） 20. 已知，设函数. （1）当，求函数的值域； （2）当且，求的值. 21. 定义：若非零向量，函数的解析式满足，则称为的伴随函数，为的伴随向量． （1）若向量为函数的伴随向量，求； （2）已知，，为函数的伴随向量，，请问在的图象上是否存在一点P，使得？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由． （3）若函数为向量的伴随函数，关于x的方程在上有且仅有四个不相等的实数根，求实数m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $