精品解析：上海市洋泾中学2025-2026学年第二学期高一年级数学期中考试试卷

洋泾中学2025-2026学年第二学期高一年级数学期中考试试卷 考试时间：2026年4月 一、填空题（1～6题每题3分，7～10题每题4分，共34分） 1. 复数（为虚数单位）的共轭复数________． 【答案】 【解析】 【分析】根据共轭复数定义求解即可. 【详解】复数（为虚数单位）的共轭复数． 故答案为：. 2. 函数的最小正周期是________________． 【答案】 【解析】 【分析】根据三角函数周期计算公式得出结果. 【详解】函数的最小正周期是 故答案为： 3. 已知向量和满足，则实数______. 【答案】## 【解析】 【分析】由向量垂直坐标表示列方程可得答案. 【详解】因，，， 则. 4. 已知为等差数列，，，则______. 【答案】6 【解析】 【详解】因为为等差数列，，，则， 即，解得，所以. 5. 已知向量与的夹角为，且，．则_____． 【答案】 【解析】 【分析】先求平方再开方即可求解. 【详解】， 故答案为：. 6. 已知平面上两点的坐标分别是，，是直线上的一点，且，则点的坐标为______. 【答案】## 【解析】 【详解】设，因为平面上两点的坐标分别是，，且， 即，所以，解得，即的坐标为. 7. 如图所示，点C在线段BD上，且BC=3CD，用表示，则=____________. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用向量线性运算求解即可. 【详解】依题意，， 所以. 故答案为： 8. 已知向量，则向量在上的投影向量为__________. 【答案】 【解析】 【分析】分别求出与，再代入向量在上的投影向量即可. 【详解】因为， 所以,， 向量在上的投影向量为， 故答案为：. 9. 已知方程的两虚根为、，若，则实数的值为_____ 【答案】 【解析】 【分析】由求根公式得，解方程即可求解. 【详解】因为方程的两虚根为、，则, 若， 则， 解得，适合题意， 故答案为：. 10. 设，，函数，且，若在区间上恰有3次使得函数的值能取遍区间内的所有值，则的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】由，可得，然后由题设结合正切函数性质列出不等式可得答案. 【详解】因，则，又， 则，从而， 当时，， 由已知可得. 二、选择题 11. “”是“”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充分必要条件 D. 既非充分又非必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用相等向量的概念，结合充分条件、必要条件的定义得到答案. 【详解】若成立，由向量相等得到两向量的长度方向都相同，即， 反之，若成立，若两向量的方向不同则推不到， 所以“”是“”的充分非必要条件， 故选：A. 12. 在复平面内，复数对应的点位于（ ）. A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【详解】在复平面内，复数对应的点的坐标为，位于第二象限. 13. 为了得到函数的图象，只需把函数的图象（ ） A. 向左平移个单位 B. 向左平移个单位 C. 向右平移个单位 D. 向右平移个单位 【答案】D 【解析】 【分析】 先将转化成，再与比较进行判断即可. 【详解】要得到函数，可由中x变成，即函数的图象向右平移个单位. 故选：D. 14. 已知向量与的夹角为，且，向量满足，且，记向量在向量与方向上的投影分别为x､y.现有两个结论：①若，则；②的最大值为.则正确的判断是（ ） A. ①成立，②成立 B. ①成立，②不成立 C. ①不成立，②成立 D. ①不成立，②不成立 【答案】C 【解析】 【分析】①根据及与的夹角为求出，假设成立，求出与，代入后发现等式不成立，故①错误；②利用向量共线定理可知，点C在线段AB上，再结合，可得：，利用投影公式求出，只需求出最大值，利用面积公式和基本不等式求出最大值为1，进而求出的最大值. 【详解】由，解得：，当时，，由得：，即，由得：，因为，假设，则可求出，，代入中，等号不成立，故①错误； 设，，，因为，由向量共线定理可知，点C在线段AB上，如图，设，则，因为，所以，即，故在方向的投影等于在方向的投影相等，故点C满足，又，，所以 ，其中，而要想保证最大，只需最小，由余弦定理可得：，当且仅当时，等号成立，所以最小值为，所以最大值为，故的最大值为，②正确. 故选：C 【点睛】向量投影的理解是很重要的，在出题中往往会画出图形来进行思考问题，利用几何法来解决问题，这道题目的突破口就是结合与，可得：点C在线段AB上且，进而得到最小值. 三、解答题（共52分） 15. 已知等差数列的前项和为，且，． （1）求数列的通项公式： （2）求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 设等差数列的公差为，由， 则，即， 所以. 【小问2详解】 由（1）知，， 则. 16. 已知向量； （1）若，求的值； （2）若，求向量与的夹角的大小. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量平行的坐标运算即可求解； （2）根据向量夹角公式计算余弦值，最后求出夹角的大小. 【小问1详解】 由题意得，即， 解得或. 【小问2详解】 当时，， 设向量与的夹角为， 所以， 所以. 17. 已知函数. （1）求函数的最小正周期； （2）求函数在上的最小值以及取得该最小值时的值. 【答案】（1） （2），此时 【解析】 【分析】（1）先借助三角二倍角公式对函数降次化简，再用辅助角公式整理为正弦型函数，利用正弦型函数周期公式求出最小正周期. （2）先由定义域求出整体角的范围，结合正弦函数在对应区间的单调性，进而确定函数最小值以及取最小值时对应的值. 【小问1详解】 对化简， 由二倍角公式，， 代入得. 故. 函数最小正周期. 【小问2详解】 已知，则，. 正弦函数在单调递减，在单调递增. 故在时取最小值. 令，解得，此时. 18. 已知z是复数，若是实数，是纯虚数，其中i为虚数单位． （1）求复数； （2）设复数z，在复平面内所对应的向量分别是，若向量与的夹角为钝角，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）且. 【解析】 【分析】（1）由是实数，是纯虚数，列出等式求解即可； （2）由，且与不共线，列出不等式求解即可. 【小问1详解】 设复数， 由是实数知，即， 所以． 又因为是纯虚数，则为纯虚数， 即且， 所以， 所以． 【小问2详解】 由（1）知， 则， 所以，， 因为向量与的夹角为钝角， 所以，且与不共线， 即，且 解得且. 19. 如图，设Ox、Oy是平面内相交成的两条射线，分别为Ox、Oy同向的单位向量，定义平面坐标系xOy为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，则记. （1）－仿射坐标系中，，以下两个结论①若，则；②若，则是否一定成立？（不必说明理由） （2）在仿射坐标系中，若，且与的夹角为，求； （3）如图所示，在仿射坐标系中，B、C分别在轴、轴正半轴上，分别为BD、BC中点，求的最大值. 【答案】（1）①成立②不成立； （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）根据向量坐标运算法则以及仿射坐标系定义利用共线定理和数量积坐标运算，即可判断①成立，②不成立； （2）由－仿射坐标系中向量坐标表示以及数量积的运算律计算可得结果； （3）设，以为基底将表示出来，得出数量积的表达式，再由正弦定理以及辅助角公式计算即可得出最大值. 【详解】（1）①成立，②不成立. 若，则存在非零实数满足， 因此可得，即，所以①成立， 若，可得， 则，因此不成立，即②不成立 （2）由，得，且， 所以， 则， 故， 因为与的夹角为， 则，解得； （3）依题意设，且， 因为为BC的中点，则， 因为为BD中点，同理可得 所以 由题意可知，， 则 在中，由余弦定理得，所以， 代入上式得 在中，由正弦定理得， 设，则，且， 所以， 因为，则， 故当时，取最大值， 则的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 洋泾中学2025-2026学年第二学期高一年级数学期中考试试卷 考试时间：2026年4月 一、填空题（1～6题每题3分，7～10题每题4分，共34分） 1. 复数（为虚数单位）的共轭复数________． 2. 函数的最小正周期是________________． 3. 已知向量和满足，则实数______. 4. 已知为等差数列，，，则______. 5. 已知向量与的夹角为，且，．则_____． 6. 已知平面上两点的坐标分别是，，是直线上的一点，且，则点的坐标为______. 7. 如图所示，点C在线段BD上，且BC=3CD，用表示，则=____________. 8. 已知向量，则向量在上的投影向量为__________. 9. 已知方程的两虚根为、，若，则实数的值为_____ 10. 设，，函数，且，若在区间上恰有3次使得函数的值能取遍区间内的所有值，则的取值范围为______. 二、选择题 11. “”是“”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充分必要条件 D. 既非充分又非必要条件 12. 在复平面内，复数对应的点位于（ ）. A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 13. 为了得到函数的图象，只需把函数的图象（ ） A. 向左平移个单位 B. 向左平移个单位 C. 向右平移个单位 D. 向右平移个单位 14. 已知向量与的夹角为，且，向量满足，且，记向量在向量与方向上的投影分别为x､y.现有两个结论：①若，则；②的最大值为.则正确的判断是（ ） A. ①成立，②成立 B. ①成立，②不成立 C. ①不成立，②成立 D. ①不成立，②不成立 三、解答题（共52分） 15. 已知等差数列的前项和为，且，． （1）求数列的通项公式： （2）求． 16. 已知向量； （1）若，求的值； （2）若，求向量与的夹角的大小. 17. 已知函数. （1）求函数的最小正周期； （2）求函数在上的最小值以及取得该最小值时的值. 18. 已知z是复数，若是实数，是纯虚数，其中i为虚数单位． （1）求复数； （2）设复数z，在复平面内所对应的向量分别是，若向量与的夹角为钝角，求实数的取值范围． 19. 如图，设Ox、Oy是平面内相交成的两条射线，分别为Ox、Oy同向的单位向量，定义平面坐标系xOy为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，则记. （1）－仿射坐标系中，，以下两个结论①若，则；②若，则是否一定成立？（不必说明理由） （2）在仿射坐标系中，若，且与的夹角为，求； （3）如图所示，在仿射坐标系中，B、C分别在轴、轴正半轴上，分别为BD、BC中点，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $