专题四 指数函数与对数函数01指数幂的运算 导学案-2027届高考数学一轮复习

该高中数学高考复习学案系统梳理了指数幂运算专题，涵盖根式概念与性质、分数指数幂定义及指数幂运算性质，按“概念-性质-运算”逻辑构建知识体系，通过填空式知识梳理和问题链设计，引导学生自主完成从根式到指数幂的转化，形成层级化知识网络。 亮点在于诊断性变式训练与数学情境应用结合，如设置根式化简、指数幂运算等类型变式题作为自测工具，通过“2倍数码变焦”等情境题培养数学眼光，综合运算题提升数学思维。每个类型配例题与变式，帮助学生自主诊断薄弱点，教师可依据学情精准指导，助力个性化复习与能力提升。

高考一轮总复习导学案 专题四 指数函数与对数函数01指数幂的运算 1、 考情分析 本节内容是新高考卷的命题载体内容，通常会结合其他知识点考查，需要掌握指数的运算及指数函数的基本性质，难度中等偏下，分值为5-6分 2、 知识梳理 知识点一 指数与指数幂的运算 1．根式 （1）次方根的概念与性质 次 方 根 概念 一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，. 性质 ①当是奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数.这时，的次方根用符号表示. ②当是偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数.这时，正数的正的次方根用符号表示，负的次方根用符号表示.正的次方根与负的次方根可以合并写成.负数没有偶次方根. ③0的任何次方根都为0，记作. （2）根式的概念与性质 根 式 概念 式子叫做根式，这里叫做根指数，叫做被开方数. 性质 ①. ②当为奇数时，. ③当为偶数时，. 2．分数指数幂 ①我们规定正数的正分数指数幂的意义是. 于是，在条件下，根式都可以写成分数指数幂的形式. ②正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定且 . ③0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义. 3.指数幂运算性质 对于任意实数，均有下面的运算性质： ①； ②； ③. 3、 类型应用 类型一 根式的化简与求值 例1：求下列各式的值： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4). 【知识点】根式的化简求值 【分析】根据给定条件结合根式的运算性质直接计算作答. 【详解】（1）. （2）. （3）. （4）. 变式训练1-1：下列各式运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【知识点】根式的化简求值 【分析】根据根式运算法依次验证各个选项即可得到结果. 【详解】对于A，，A正确 对于B，，B正确， 对于C，，C错误， 对于D，，D错误， 故选：AB. 变式训练1-2：下列各式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【知识点】指数幂的运算、根式的化简求值、指数幂的化简、求值、分数指数幂与根式的互化 【分析】利用指数和幂的运算，即可得到判断. 【详解】对于A：由，故A正确； 对于B：由，故B正确； 对于C：当为正奇数，则，当为正偶数，则， 如，故C错误； 对于D：由，故D正确. 故选：ABD 类型二 指数幂的运算 例2：计算下列各式（式中字母都是正数）： (1)；:(2)． 【答案】(1)； (2)． 【知识点】指数幂的化简、求值、指数幂的运算 【分析】根据分数指数幂的运算法则，求解各小题，即得答案. 【详解】（1）； （2）． 变式训练2-1：计算：． 【答案】99 【知识点】指数幂的化简、求值 【分析】根据指数运算公式化简求值. 【详解】 变式训练2-2：求值：________． 【答案】100 【知识点】分数指数幂与根式的互化、指数幂的运算 【分析】根据题意，由指数幂的运算代入计算，即可得到结果. 【详解】原式． 故答案为： 类型三 分数指数幂与根式的互化 例3：用分数指数幂表示下列各式（式中的字母均为正实数）： (1)；:(2)；(3)． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】分数指数幂与根式的互化、指数幂的运算 【分析】（1）（2）根据分数指数幂和根式的关系进行求解；（3）根据分数指数幂和根式的关系和分数指数幂的运算法则计算出答案. 【详解】（1） （2） （3） 变式训练3-1：代数式化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】分数指数幂与根式的互化 【分析】由指数函数的运算性质化简即可. 【详解】， 故选：A 变式训练3-2：设，，是正整数，且，则下列各式中不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】分数指数幂与根式的互化、指数幂的运算 【分析】结合指数幂的运算性质逐项判断即可. 【详解】对于A，，A错误； 对于B，，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，，D正确； 故选：A. 类型四 指数幂的综合运算 例4：（1）已知，求的值； （2）已知，求的值. 【答案】（1）；（2）. 【知识点】指数幂的化简、求值、指数幂的运算 【解析】（1）根据指数幂运算法则将原式转化为即可求值； （2）利用立方和公式化简因式分解再求值. 【详解】（1）原式； （2）原式 . 【点睛】此题考查根据指数幂的运算法则求代数式的值，利用整体代换，涉及因式分解. 变式训练4-1:设，则＝（   ） A．10 B． C．25 D．5 【答案】D 【知识点】指数幂的化简、求值、指数幂的运算 【分析】根据题意得，再结合同底数幂的乘法的运算法则进行求解. 【详解】由题意知，， 所以， 故选：D. 变式训练4-2:若，则___________．（用m，n表示） 【答案】 【知识点】指数幂的化简、求值 【分析】由条件结合指数幂的运算性质可得，结合关系可得结论. 【详解】因为，所以， 所以． 变式训练4-3:已知，求下列各式的值：（1）；（2）. 【答案】（1）7；（2）47. 【知识点】指数幂的化简、求值、指数幂的运算 【解析】（1）对等式两边同时平方即可得解； （2）根据（1）对两边同时平方即可得解. 【详解】（1），∴两边平方得.. （2）由（1）知，两边平方得. 【点睛】此题考查与指数幂运算相关的化简求值，关键在于找准关系，准确化简代换求值. 例5：:已知函数为奇函数，则实数______． 【答案】1 【知识点】指数幂的运算、由奇偶性求参数 【分析】根据奇函数的定义可将问题转化为对定义域内的任意恒成立，即可求解. 【详解】由题意可得对定义域内的任意恒成立，故，因此， 化简可得：对定义域内的任意恒成立， 由于是变化的，因此，故. 变式训练5：若函数为偶函数，则正实数的值为___________． 【答案】4 【知识点】指数幂的运算、由奇偶性求参数 【分析】根据偶函数满足对定义域内任意恒成立的性质，列等式求解正实数的值. 【详解】由偶函数定义可知，对任意，均有成立， 因为正实数，整理得： 该式对任意恒成立，故 ，解得. 例6：已知函数，则对任意实数x，有（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】指数函数的判定与求值、指数幂的化简、求值 【分析】直接代入计算，注意通分不要计算错误． 【详解】，故A错误，C正确； ，不是常数，故BD错误； 故选：C． 变式训练6-1：已知函数，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】对数的运算、指数幂的运算、求函数值 【详解】法1：由，得，所以，所以， 所以，即，所以． 法2：， 所以． 类型五 数学情境 1．某人用手机拍摄月亮，发现每进行一次“2倍数码变焦”，画面中月亮的直径就变为原来的2倍，若最初月亮在画面中的直径为2毫米，则他连续进行4次这样的“2倍数码变焦”操作后画面中月亮的直径是（    ） A．8毫米 B．16毫米 C．32毫米 D．64毫米 【答案】C 【知识点】指数函数模型的应用（1）、指数幂的运算 【分析】根据题意，结合指数函数的定义与运算，即可求解. 【详解】因为每次变焦后，直径变为前一次的2倍，所以进行4次变焦后， 则画面中月亮的直径是（毫米）. 故选：C. 2．自然界中，大多数生物存在着世代重叠现象，它们在生活史中会持续不断地繁殖后代，且有时不同的世代能在同一时间进行繁殖．假定某类生物的生长发育不受密度制约时，其增长符合模型：，其中为种群起始个体数量，为增长系数，为时刻的种群个体数量．当时，种群个体数量是起始个体数量的2倍．若，则（   ） A．1000 B．800 C．600 D．400 【答案】B 【知识点】利用给定函数模型解决实际问题、指数幂的运算 【分析】根据题目所给模型，通过指数的计算得到结果. 【详解】由题意可知，即，∴， 又∵，即，∴， . 故选：B. 3．我国某电子企业通过技术创新，于本月成功推出了首款5纳米芯片，并且随着技术的进步，每个月都会推出其改进型号，已知三年内该芯片的晶体管数目与以后第个月的关系满足，单个晶体管的价格与的关系为，每18个月芯片的晶体管数目会变为之前的2倍，每12个月单个晶体管的价格会变成原来的一半，芯片的价格为晶体管数目与单个晶体管价格之积，则以后第6个月时推出的改进型号芯片的价格是首款芯片价格的（    ）倍. A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】指数函数模型的应用（2）、指数幂的运算、利用给定函数模型解决实际问题 【分析】由题意根据单个晶体管的数目和价格变化情况列出方程，解得，再分别表示出首款芯片与改进型号芯片的价格，即可得解. 【详解】由题可知，若，则，得，即； 若，则，得，即. 设首款芯片价格为， 则以后第6个月时推出的改进型号芯片的价格， 则， 故选：B. 4、 素养提升 1.把函数的图象向右平移2个单位长度，再把所得图象上所有点的纵坐标变为原来的倍，得到图象，若此时图象恰与重合，则的值为（    ） A．4 B．2 C． D． 【答案】C 【知识点】指数幂的运算、函数图象的变换 【分析】首先根据平移变换求出图象的函数解析式，然后根据图象重合列方程解出的值. 【详解】把函数的图象向右平移2个单位长度， 得到函数表达式为， 再把所得图象上所有点的纵坐标变为原来的倍， 得到图象的函数表达式为， 因为图象与重合，所以， 即，解得，. 2．若正数满足，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】指数幂的运算、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】根据条件，利用指数的运算得到，再利用基本不等式，即可求解. 【详解】因为，所以，又是正数， 则， 当且仅当，即时取等号，所以的最小值为. 3．已知实数，满足，则的最小值为（   ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】B 【知识点】指数幂的运算、基本不等式求和的最小值 【分析】借助基本不等式计算即可得. 【详解】， 当且仅当，即、时，等号成立， 即的最小值为. 4．已知，，且，则的最小值为__________． 【答案】/ 【知识点】指数幂的运算、基本不等式“1”的妙用求最值、条件等式求最值 【分析】通过指数运算求出，进而根据常数代换和基本不等式即可求解. 【详解】由得，所以， 所以，当且仅当，即时等号成立. 则的最小值为. 第1页，共3页 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高考一轮总复习导学案 专题四 指数函数与对数函数01指数幂的运算 1、 考情分析 本节内容是新高考卷的命题载体内容，通常会结合其他知识点考查，需要掌握指数的运算及指数函数的基本性质，难度中等偏下，分值为5-6分 2、 知识梳理 知识点一 指数与指数幂的运算 1．根式 （1）次方根的概念与性质 次 方 根 概念 一般地，如果 ，那么叫做的次方根，其中，. 性质 ①当是奇数时，正数的次方根是一个 ，负数的次方根是一个 .这时，的次方根用符号 表示. ②当是偶数时，正数的次方根有 ，这两个数互为 数.这时，正数的正的次方根用符号 表示，负的次方根用符号 表示.正的次方根与负的次方根可以合并写成 .负数没有偶次方根. ③0的任何次方根都为0，记作 . （2）根式的概念与性质 根 式 概念 式子叫做根式，这里叫做 ，叫做被开方数. 性质 ①. ②当为奇数时， . ③当为偶数时， . 2．分数指数幂 ①我们规定正数的正分数指数幂的意义是 . 于是，在条件下，根式都可以写成分数指数幂的形式. ②正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定 且. ③0的正分数指数幂等于 ，0的负分数指数幂没有意义. 3.指数幂运算性质 对于任意实数，均有下面的运算性质： ① ； ② ； ③ . 3、 类型应用 类型一 根式的化简与求值 例1：求下列各式的值： (1)； (2)； (3)； (4)． 变式训练1-1：下列各式运算正确的是（    ） A． B． C． D． 变式训练1-2：下列各式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 类型二 指数幂的运算 例2：计算下列各式（式中字母都是正数）： (1)；:(2)． 变式训练2-1：计算：． 变式训练2-2：求值：________． 类型三 分数指数幂与根式的互化 例3：用分数指数幂表示下列各式（式中的字母均为正实数）： (1)；:(2)；(3)． 变式训练3-1：代数式化简的结果是（    ） A． B． C． D． 变式训练3-2：设，，是正整数，且，则下列各式中不正确的是（   ） A． B． C． D． 类型四 指数幂的综合运算 例4：（1）已知，求的值； （2）已知，求的值. 变式训练4-1:设，则＝（   ） A．10 B． C．25 D．5 变式训练4-2:若，则___________．（用m，n表示） 变式训练4-3:已知，求下列各式的值：（1）；（2）. 例5：:已知函数为奇函数，则实数______． 变式训练5：若函数为偶函数，则正实数的值为___________． 例6：已知函数，则对任意实数x，有（    ） A． B． C． D． 变式训练6-1：已知函数，若，则（    ） A． B． C． D． 类型五 数学情境 1．某人用手机拍摄月亮，发现每进行一次“2倍数码变焦”，画面中月亮的直径就变为原来的2倍，若最初月亮在画面中的直径为2毫米，则他连续进行4次这样的“2倍数码变焦”操作后画面中月亮的直径是（    ） A．8毫米 B．16毫米 C．32毫米 D．64毫米 2．自然界中，大多数生物存在着世代重叠现象，它们在生活史中会持续不断地繁殖后代，且有时不同的世代能在同一时间进行繁殖．假定某类生物的生长发育不受密度制约时，其增长符合模型：，其中为种群起始个体数量，为增长系数，为时刻的种群个体数量．当时，种群个体数量是起始个体数量的2倍．若，则（   ） A．1000 B．800 C．600 D．400 3．我国某电子企业通过技术创新，于本月成功推出了首款5纳米芯片，并且随着技术的进步，每个月都会推出其改进型号，已知三年内该芯片的晶体管数目与以后第个月的关系满足，单个晶体管的价格与的关系为，每18个月芯片的晶体管数目会变为之前的2倍，每12个月单个晶体管的价格会变成原来的一半，芯片的价格为晶体管数目与单个晶体管价格之积，则以后第6个月时推出的改进型号芯片的价格是首款芯片价格的（    ）倍. A． B． C． D． 4、 素养提升 1.把函数的图象向右平移2个单位长度，再把所得图象上所有点的纵坐标变为原来的倍，得到图象，若此时图象恰与重合，则的值为（    ） A．4 B．2 C． D． 2．若正数满足，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 3．已知实数，满足，则的最小值为（   ） A．2 B．4 C．8 D．16 4．已知，，且，则的最小值为__________． 第1页，共3页 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $