浙江省余姚中学2025-2026学年第二学期学期期中考试高一数学试卷

报告查询：登录zhixue..com或扫描二维码下载App (用户名和初始密码均为准考证号) 余姚中学2025学年第二学期 期中考试高一数学学科答题卡 姓名： 班级： 考场/座位号： 正确填涂 考号 [0] [0] [0] [0] 0] [0] [0] [0] [0] [0] [0] ] 缺考标记 [1] [1] [1] 1] 1] [1] [1] [1] [1] [1] [1 口 [2] [2] [2] 「21 2] [2] [2] [2] [2] [2] [2 2] [3] [3] [31 37 [3] 「3] [31 「31 「31 [3 [3 [4] [4 47 4 「47 [41 [41 [4] [4] [4] [4] 可阁回 [5] [5] 5] 5] 5 [51 [5 [5] [5] [5] [5] [5] [6 [6] 61 61 6 [6 [6] [6] 6 [6 [6 [6] [7] [7] 71 7 [7] [7 [7 [71 [7 [7] [8] [8] 8] 8 8] L8] [8 [8 [8] [9] [9] 9] 9 9 [9] [9] 97 T91 [9] [9] 注意事项 1.答题前请将姓名、班级、考场、准考证号填写清楚 2.客观题答题，必须使用2B铅笔填涂，修改时用橡皮擦干净。 3.必须在题号对应的答题区域内作答，超出答题区域书写无效。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的. 1[A][B][C][D] 5[A][B][C][D] 2[A][B][C][D] 6[A][B][C][D] 3[A][B][C][D] 7[A][B][C][D] 4[A][B][C][D] 8[A][B][C][D] 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的 选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分 分，有选错的得0分。 9[A][B][C][D] I0[A][B][C][D] I1[A][B][C][D] 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12 13. 14 ㄖㄖ■ 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程 或演算步骤. 15.(13分) 囚囚■ ■ 16.(15分) ■ ■ 17.(15分) I I I ■ ㄖ■ㄖ 18.(17分) 囚■ㄖ 口 19.(17分) M∥ B D ■余姚中学2025学年第二学期期中考试高一数学学科试卷答案 命题：俞丽萍审题：史日能 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.若复数二=-1-2i,则：的虚部是（) A.-1 B.-2 C.2i D.-2i 【答案】B【详解】因为复数：=-1-2i,则：的虚部是-2， 2.直线4x-3y+1=0的一个方向向量是() A.(3,4) B.（-3,4) C.(-4,3) D.（4,3) 41 、【答案】A【详解】由4-3y+1=0,得y=x+3 所以白线4-3少-1=0的一个方司向军为号)》(4列与)美线所以A正璃 △4BC中，AD=AB,点E平分线段CD.设丽-a,4C=b,则4E= A3a-36 B3a--6 1 c.-ja-3B 2 37 32 D.1a+36 3 2 【答案】D【详解】因为AD=2AB,即AD=2A 2 二AB,又点E平分线段CD, u限-面ac列-m+c-号4+c亚+片4c-6 2 4.若在△ABC中，sinA:sinB:sinC=3:5:6,则sinB等于() A.214 B.V14 D.2 9 9 5 9+36-255 【答案】A【详解】根据正弦定理有a:b:c=3:5:6,由余弦定理得cosB= 36 0, 所以sin B=V1-cos2B= 2V14 9 5.如图所示，矩形OABC"是水平放置一个平面图形的直观图，其中O'A'=6,OC=2,则原图形的面积为 () A.12B.122C.24D.24√2 【答案】D【详解】由题意得OA'=6,O'C'=2,所以矩形OAB'C的面积为S'=OA×O'C=6×2=12, 6.正方体ABCD-ABCD1的棱长为1，若P在△ABC内（包含边界）运动，则直线DP与 平面ABCD所成角的正弦值的取值范围为() 第1页，共8页 「26 B [36 「32 D. 44 23 33 4’2 【答案】C【详解】在正方体ABCD-A1B1CD1中，DD⊥平面ABCD,对于平面ABC,DD1为垂线，D1P为 斜线，DP为射影，所以∠DPD1即为直线DP与平面ABC所成角，设AC∩BD=O,则ACLBD, 因为P是△ABC内（包括边界）的动点，所以当P与O重合时，DP=DB=y2最小，此时 2 2 1 V6 sin∠DPD1= 1v3 3， 当P与B重合时，DP=DB=V2最大，此时si血∠DPD1=D,P=3, 所以sin∠DPD1∈ V3 V6 3’3 7.已知平面向量a,6,c满足园=l,5-a=l,=5,(c-b)石=0，则+a+F-ad的最小值为() A.2V5 B.v10 C.3√2 D.4 【答案】B [详解]设a=OA=(（1,0),万=OB=(1,1),可得=0C的C的轨迹为直线1：y=-x+2,A关于y 轴和直线1的对称点分别为A(-l,0),A(2,1,则+a+E-d=A,C升ACA,A上M0 8.已知P,Q,R是长方体ABCD-ABCD1表面上任意三点，且AB=6,AD=4,AA1=2, 则P可·P的最小值为( ) A.-14 B.-13 C.-10 D.-5 【答案】B【详解】取QR中点为，由极化恒等式，P内PR=PM-Q。 又P,Q,R是长方体ABCD-A1B1CD1表面上任意三点， 所以当Q,R位于体对角线的两个端点时，QR最大，最大值为56： 此时M为长方体的中心，则当P位于长方形ABCD中心时，PM的值最小，最小值为1， 所以PQ·PR的最小值为-13. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.关于复数=4+3i,下列说法正确的是（) A.二+F=8 B.:是方程x-8x+25=0的一个根 C.若复数=满足o2=,则o=2+iD.若-=2，则[3，] 【答案】ABD【详解】选项A:z+z=4+3i+4-3i=8.故A正确. 选项B:把=4+3i代入x-8x+25=0成立，故B正确. 选项C:0=-2-i或0=2+i,故选项C错误. 选项D：乙的图形是以(4,3)为圆心，2为半径的圆，几何意义表示乙，到原点的距离。 ∴∈[3,7]，选项D正确. 第2页，共8页 10.动直线1：x+ky-k=0与动直线2：kx-y+2k-1=0相交于点C(a,b),则下列说法正确的是() A.直线1，过的定点是（-2，-1) B.点C的轨迹是一个完整的圆 c3a+b-3的最小值为知 a-1 D.a-b+3的取值范围为(0,4] 【答案】ACD【详解】 由x+-k=0,得x+k(y-1)=0,所以动直线过定点A(0,1),不含直线y=1; 由x-y+2k-1=0,得k(x+2)-(y+1)=0,所以动直线2：-y+2k-1=0过定点B(-2,-1),不含直线 x=-2. 又直线1：x+划-k=0与动直线2：kx-y+2k-1=0垂直， 所以点C(a,b)的轨迹是以AB为直径的圆（不含点(-2,1）).所以A对B错误。 因为线段AB的中点为(-1,0)，4B=√(-2-0)2+(-1-1)2=2W2, 所以点C(a,b)的轨迹方程为(x+1)2+y=2(x≠-2). 。,3-3+。:自图可知Ca与（10)剑率花为：-1≤。产≤1，枚03的最小值为2 a-1 所以C正确。 a-b+3= 口-+到x万=5a,其a灯ca,b)到直线-y+3=0的距离，d∈0,2正D正确 √2 11.已知四棱锥P-ABCD的高为2，底面ABCD是边长为2的正方形，PA=PB,则() A.△PAD的面积为定值 B.∠APD=∠BPC C.四棱锥P-ABCD表面积的最小值为3V5+4 D.若四棱锥P-ABCD存在内切球，则该球半径为N5-」 【答案】ABD【详解】对于选项A,因为PA=PB,所以P在底面ABCD的射影Po在直线AB的垂直平分线上， 过P作PH垂直AD于H,连接PH,因为PP⊥面ABCD,AD面ABCD, 则AD⊥PP,又HP∩PP%=Po,HP,PPC面PPH,所以ADL面PPH,又PHC面PPH, 则PH⊥AD,又底面是边长为2的正方形，则PH=1, 所以PH=V5,△PAD的面积为号PH×AD=V6,故选项A正确， 对于选项B,由选项A易知PCI=PDI,则△PAD三△PBC,所以∠APD=∠BPC,故选项B正确， 对于选项C,过P分别作AB,CD的垂线，垂足分别为E,F,由选项A知△PAD与△PBC面积为定值V5, 易知PELAB,PF⊥CD,若P在正方形ABCD内时， 不妨设RE=h,则BF=2-h,则PE+PF=V4+h2+y4+(2-h)2, 因为V4+2+V4+(2-)2=Vh2+4+V(h-22+4可看成点(h,0)到点(0,2)和点2，-2)的距离之和， 则PE+PF=V4+h2+V4+(2-h)2≥V(0-2)2+(2+2)2=2w5 所以SPA+Saon=号A.PE+CD-PP)=|PE+PA≥2v5, 此时四棱锥P-ABCD表面积的最小值为4+4V5, 若P在正方形ABCD外时，不妨设PE=h,PF=2+h, 第3页，共8页 则PE+PF=V√4+h2+√4+(2+h)2, 因为√4+2+√4+(2+h)2可看成点(，0)到点(0,2)和点(-2，-2)的距离之和， 则PE+PF到=V4+h2+V4+(2+h)2≥√0+2)2+(2+2)2=2W5, 1 所以SAPAB-+SAPCD=2IAB:|PE+CD·|PF)=PE+|PF≥2W5, 此时四棱锥P-ABCD表面积的最小值为4+4V5, 综上，四棱锥P-ABCD表面积的最小值为4+4v5,故选项C错误： 对于选项D,若四棱锥P-ABCD存在内切球，则该球与平面ABCD,平面PAD, 平面PBC均相切，过P作PG垂直BC于G,所以△PHG的内切圆半径等于该球半径， 又PH=PG=V5,HG=2,设△PHG的内切圆半径为r, 则吃+2同r=专×2×2，得到r=5,所以选项D正确， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12在△ABC巾，角A,8,C所对的边为a,b,c若A=至a=2,则△A8C外接圆的面积为 【答案】2π【详解】设△ABC外接圆的半径为R, 由正弦定理可得 2R=a=之=2N2故R=2,则△4BC外接圆的面积S=R:=2 sin A sin 元 4 13.己知在△ABC所在的平面内有一点P,满足P+PtPG=AB,则△PBC与△ABC的面积 之比是 【答案】2/3【详解】：P+ptP心=AB,P+p+PC-AB-0,∴P+PtB+P心=0,2P+P心=可， ∴PG=-2P本，可知向量PG、P方向相反，且PG模长是P的2倍，即P是AC的三等分点。 故△PBC的面积与△ABC的面积之比为×AC×h-3 2×PC×h2 14.正方体ABCD一A1BC1D1的棱长为4，P是侧面ADD1A1(包括边界)上一动点，E是棱CD上 一点，若∠APB=∠DPE,且△APB的面积是△DPE面积的9倍，则三棱锥P-ABE体积的最 大值是 【答案】&N2【详解】由己知ABL平面ADDA,APc平面ADD1A,所以ABLAP, J 因为DE⊥平面ADD1A1,DPC平面ADD1A1,所以DE⊥DP, 所以∠BAP=∠EDP=90°，又∠APB=∠DPE, 所以△APB∽△DPE,又△APB的面积是△DPE面积的9倍， 所以0P3,所以点P的迹为半径为15的阿氏圆在侧面ADD,A内的二段圆 P到地面距离的最大值为√2，三棱锥P-ABE体积最大值为8√反 3 第4页，共8页 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分) 已知向量a=(m,1),b=(-1,2). (1)若(a+b)12b,求a+2: (2)若向量=(4,2)，a//c,求a与a-2夹角的余弦值. 【答案解析】(1)己知a=(m,1),=(-1,2),则a+i=(m-1,3),26=(-2,4) 又(a+)126,所以(m-1)×(-2)+3×4=0,即-2m+14=0,解得m=7. 所以a=(7,1),则a+26=(5,5),所以a+26=√52+52=5v2 (2)因为/，所以2m-4×1=0,解得m=2,所以d=(2,1),则a-26=(4,-3). 则d=V22+1=V5,a-26=√42+(-3)2=5，a.(a-26=2×4+1×(-3)=5, a…(a-26 设a与a-26夹角为0，则cos0= 5 =5所以ā与ā-26夹角的余弦值为5 1@·a-26v5×55 16.(15分) 已知△ABC的顶点B(1,2),边BC的中线AP所在直线方程为x+2y-2=0, 边AB上的高CH所在直线方程为x-y-1=0. (1)求A的坐标： (2)求点A到直线BC的距离。 (1)求A的坐标 AB⊥CH,CH=1,.kAB=-12分 由B(1,2)得直线AB:y=-x+34分 又，A在中线AP:x+2y-2=0上， 联立 y=-x+3 x+2-2=0解得4(4，-1)6分 (2)求点A到直线BC的距离 P在直线AP:x+2-2=0上，设P(2- 2a,a）8分 :P是BC中点，B(1,2),∴.C(3-4a,2a-2) ..10分 :C在直线CH:x-y-1=0上， 2 .(3-4a）-(2a-2)-1=0,解得a=3… 12分 c(6-) 由B(1,2)、 c() 得直线BC:4x-y -2=0 点A(4,-1)到直线BC的距离： d=4×4-（-1)-2=15v7 .15分 V42+(-1)2 17 第5页，共8页 17.(15分) 如图，在平面四边形ABCD中，AB=V2,BC=V5,AC⊥CD,且AC=CD. 0若oLBAC- 32,求4AC, (2)求四边形ABCD面积的最大值. 【答案解析】 (1)在△ABC中，BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos∠BAC2分 故3=2+4C2-25AC×3,即(4C-2)(24C+1）=0,4分 8 因为AC>0,故AC=26分 (2)在△ABC中，AC2=AB2+BC2-2AB·BCcosLABC=5-2V6 cosABC 又AACD的面积为分AC2-号-V6 cosABC,8分 6 △4BC的面积为24B:BCsin 4 ABC=号sin ABC,…10分 所圆边形8c0前面积为修-水AC+与血LBC-多+ 2sim(∠ABC-p),其中tanp=2. 故四边形ABCD面积的最大值为9+B0 15分 2 18.(17分) 经过原点0的直线与圆M:(x+1)+y2=4相交于A,B两点，过点C(1,0) 且与AB垂直的直线与圆M的另一个交点为D。 (1D当点B的坐标为(-1，-2)时，求直线CD的方程： (2)记点A关于x轴的对称点为F(异于点A,B),求证：直线BF恒过轴上的一个定点； (3)求四边形ABCD的面积S的取值范围。 【答案解析】 解：1)B为(1.2》，00.0)，A8的斜率为子-82，又CDLAB,. CD的斜车为号：又C(1,0),直线cD的方程y=专(x1),即X*2y1=0: (2)根据题意可得AB直线的斜率存在且不为0，又AB过原点O(0,0), ∴.设直线AB方程为y=kx,联立圆M:(X+1)2+y2=4, 可得(k2+1)X2+2X-3=0,设A(X1,y1),B(x2,y2), 2 则 空，又F,y》:战时刚+n-款号n x12=-2+1 x2-x1 3 令y0,可得X=1驰十21=2k@12=212= 2（-+1=3, +2kx1+x2x1+2 2 2+1 ∴.直线BF恒过X轴上定点(3,0)； 第6页，共8页 (3)设圆心M(-1,0)到直线AB的距离平方为m,则m∈(0，MO2],即m∈(0,1]， 设圆心M(-1,0)到直线CD的距离平方为n, 根据圆的几何性质及平面几何知识易得（√元）2+(2√m)2=MC=4,∴.n=4-4m, AB|=2Vr2-m=2V4-m,CD|=2Vr2-n=2V4-n=2V4m=4vm, “四边形ABCD的面积S=2·AB·CD=4V(4-m)m=4V(m-2)2+4,又m∈(0,1]， .S=f(m)∈(f(0),f(1)],即S∈(0,4]， .四边形ABCD的面积S的取值范围为(0,4V. (3)法2： (3)当直线AB斜率不存在时，|AB=2V3,1CD1=4 S-IABICD-4V3. 当直线AB斜率存在时，可设直线AB的方程为 y=kz(k≠0)， 所以，圆心M到直线AB的距离为d=内 V1+21 2 1 所以，AB=24-1+=2√3+1+ 1 直线CD的方程可设为y=一(e-1)整理得 x+g-1=0, 2 圆心M到直线CD的距离为d= +夜，所以， 4 1 CD=2V4-1+=4V1-1+e 所以，S=ABCD=43+1+V1-1+ 1 1 1 令1+和=t∈0，，所以，上式可化为： S=4V3+t)(1-=4V-t2-2t+3,t∈(0,1)， 所以，S∈(0,4V3.综上，S的取值范围是(0,4V3。 19.(17分)（本题用向量法（坐标法）一律不给分) 如图，在三棱锥A-BCD中，∠ACD=∠BDC=罗，AC=BD=1,CD=x,记二面角A-CD-B的大小 为0，M,N分别为AD,BC的中点. (1)求证：CD⊥MN; (②)用x,日表示三棱锥M-CDN的体积： (3)设在三棱锥A-BCD内有一个半径为r的球，0<x≤2，且0=x,求证：r<: M 【答案解析】 (1)取CD中点O,连接OM,ON,又M,N分别为AD,BC的中点， 则OMI AC,ON BD,.因为∠ACD=∠BDC=, 所以CDLOM,CDLON,又OMnON=O,OM,ONc平面OMN, 所以CDL平面OMN,又MNc平面OMN,所以MN⊥CD. 第7页，共8页 (2)用x,0表示三棱锥M一CDN的体积 由(1)知CD⊥平面MON,又CDc平面 CDN, .平面MON⊥平面CDW,交线为ON。 过M作MG⊥ON于G, .·MGC平面MON，,由面面垂直的性质定理得 MG⊥平面CDN,即MG为三棱锥M一CDN 的高。 .·M、O分别为AD、CD中点，.MO∥ AC.MO-3 AC-. 1 由二面角的定义，∠MON=B, 1 .MG=2sin6。 N为BC中点，SACDN=专SARD=若。 1x1 VM-CDN 3:4·2sin6 xsine 24 (3)作GLON于G,由(2)知，MG=in,过G作GH/CD交BD于A, .BD⊥GH,又MG⊥平面BCD,BDC平面BCD,所以3DLMG, 又MG∩GH=G,MG,GHC平面MGH,所以BDL平面MGH, Hc面G.所以na,Mh=(（G)'+( 设△ABD的高h',所以h=2MH=Vsin2x+x2, 又AC=BD=1,BC=AD=V1+x,所以△ABD三△BAC, 1 1 BSAABD=SAADC-Vsin+2SAACD-SABCD= 所以三棱锥A-BCD的表面积S表=S△ACD+SABCD+SAABD+S△ABC=D+Vsin2x+2, 21 1 1 VA-BcD=2M-B0D=3×2×1×2simt=62sin2, 所以三棱锥A-BCD的内切球半径R= 3VA-BCD x sinx S表 2x+Vx2+sin2x)’ 所以”≤R= xsinx asinz sina 1 2(x+v22+sin2x)2(+V22) 4≤ 第8页，共8页余姚中学2025学年第二学期期中考试高一数学学科试卷 命题：俞丽萍审题：史日能 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的， 1.若复数z=-1-2i,则z的虚部是() A.-1 B.-2 C.2i D.-2i 2.直线4x-3y+1=0的一个方向向量是( A.（3,4) B.（-3,4) C.(-4,3) D.（4,3) 3.在△ABC中，AD=2AB,点E平分线段CD.设AB=a,AC=万，则AE-(） 2 B -6 1 2 2 2 4.若在△ABC中，sinA:sinB:sinC=3:5:6,则sinB等于() 2W14 14 V11 2V11 A.9 B.9 c.5 D.5 5.如图所示，矩形OA'B'C是水平放置一个平面图形的直观图，其中 y O'A=6,O'C'=2,则原图形的面积为() D B A.12 B.125 C.24 D.24√2 6.正方体ABCD-AB,CD,的棱长为1，若P在△ABC内（包括边界）运动，则直线D,P 与平面ABCD所成角的正弦值的取值范围为( √2V6 6 4’4 B. 23 33 D42 7.已知向量a,6,c满足d=l,5-a=l,=V2,(c-小i=0,则e+d+c-a的最小值为 () A.25 B.10 C.32 D.4 8.已知P,Q,R是长方体ABCD-ABCD1表面上任意三点，且AB=6,AD=4,A41=2, 则Pò.P的最小值为() A.-14 B.-13 C.-10 D.-5 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.关于复数z=4+3i,下列说法正确的是( A.z+z=8 B.z是方程x2-8x+25=0的一个根 C.若复数z满足o2=z,则0=2+i D若z-z=2,则ze[3,7] 10.动直线l1:x+ky-k=0与动直线l2:kx-y+2k-1=0相交于点C(,b),则下列说法 正确的是( A.直线1过的定点是(-2，-1) B.点C的轨迹是一个完整的圆 C.3a+b-3的最小值为2 D.a-b+3的取值范围为0,41 a-1 11.已知四棱锥P-ABCD的高为2，底面ABCD是边长为2的正方形，PA=PB,则() A.△PAD的面积为定值 B.∠APD=∠BPC C.四棱锥P-ABCD表面积的最小值为35+4 D.若四棱锥P-ABCD存在内切球，则该球半径为5-1 2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.在AABC中，角A,B,C所对的边为ab,c,若A=T,Q=2,则△ABC外接圆的面 4 积为」 13.己知在△ABC所在的平面内有一点P,满足PA+PB+PC=AB,则△PBC与△ABC 的面积之比是 14.正方体ABCD-AB,CD1的棱长为4，P是侧面ADD,A1(包括边界)上一动点，E是 棱CD上一点，若∠APB=∠DPE,且△APB的面积是△DPE面积的9倍，则三棱锥 P一ABE体积的最大值是 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15.(13分) 己知向量ā=(m,1),6=（1,2 (1)若(a+b)上⊥2b,求a+2b: (2)若向量c=(4,2),a∥c,求a与a-2b夹角的余弦值。 16.（15分) 已知△ABC的顶点B1,2),边BC的中线AP所在直线方程为x+2y-2=0,边AB上的高 CH所在直线方程为x-y-1=0。 (1)求A的坐标： (2)求点A到直线BC的距离。 17.(15分) 如图，在平面四边形ABCD中，AB=V2,BC=√3，AC⊥CD,且AC=CD。 (1)若cos∠BMC=3V2 求AC: 8 (2)求四边形ABCD面积的最大值。 B 18.（17分) 经过原点O的直线与圆M:(x+1+y2=4相交于A,B两点，过点C1,0)且与AB垂直的 直线与圆M的另一个交点为D。 (1)当点B的坐标为(-1，-2)时，求直线CD的方程： (2)记点A关于x轴的对称点为F(异于点A,B),求证：直线BF恒过x轴上的一个定 点； (3)求四边形ABCD的面积S的取值范围。 19.(17分)（本题用向量法（坐标法）一律不给分) 如图，在三楼推ABCD,∠ACD=∠BDC-受AC=BD=LCD=x记=面角 A-CD-B的大小为B,M,N分别为AD,BC的中点。 (1)求证：CD⊥MN; (2)用x,O表示三棱锥M-CDN的体积： (3)设在三棱锥A-BCD内有一个半径为r的球，0<x≤2，且0=x,求证：，<} M