第一节 平面向量的概念及线性运算 课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“平面向量的概念及线性运算”专题，依据高考评价体系梳理了向量概念、线性运算、共线定理三大核心考点，通过真题分析明确线性运算（占比约45%）和共线定理（占比约35%）为高频考点，归纳出几何图形中向量表示、参数求解等常考题型。 课件亮点在于“真题引领+策略归纳+素养提升”，如以2022新高考Ⅰ卷向量分解题为例，提炼“基底选择—线性转化—系数对比”三步法，培养学生数学思维和数学语言表达能力。特设“微点延伸”和“易错警示”，帮助学生突破零向量特殊性、共线条件等易错点，教师可据此构建系统性复习框架，提升备考效率。

第一节 第五章　平面向量与复数 平面向量的概念及线性运算 【目标要求】　1.了解平面向量的实际背景,理解平面向量的意义和两向量相等的含义.2.理解平面向量的几何表示和基本要素.3.掌握平面向量加、减运算及运算规则,理解其几何意义.4.掌握平面向量数乘的运算及运算规则,理解其几何意义.5.理解两个平面向量共线的含义. 6.了解平面向量线性运算的性质及其几何意义. 1.向量的有关概念 (1)向量:既有大小又有_____________的量叫做向量,向量的大小称为向量的_____________(或称___________). (2)零向量:长度为___________的向量,记作___________. (3)单位向量:长度等于_______________的向量. 方向 长度 模 0 0 1个单位长度 (4)平行向量:方向相同或_____________的非零向量,也叫做共线向量,规定:零向量与任意向量_____________. (5)相等向量:长度相等且方向___________的向量. (6)相反向量:长度相等且方向___________的向量. 相反 平行 相同 相反 2.向量的线性运算 向量运算 法则(或几何意义) 运算律 加法   交换律:a+b=___________; 结合律:(a+b)+c=_____________ 减法   几何意义 a-b=a+(-b) b+a a+(b+c) 数乘 |λa|=_____________; 当λ>0时,λa的方向与a的方向___________; 当λ<0时,λa的方向与a的方向_____________; 当λ=0时,λa=___________ λ(μa)=_______________; (λ+μ)a=_____________; λ(a+b)=_____________ |λ||a| 相同 相反 0 (λμ)a λa+μa λa+λb 3.向量共线定理 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是:存在唯一一个实数λ,使_____________. b=λa 1.一般地,首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量,即 +++…+=,特别地,一个封闭图形,首尾连接而成的向量和为零向量. 2.若F为线段AB的中点,O为平面内任意一点,则=(+). 3.若A,B,C是平面内不共线的三点,则++=0⇔P为△ABC的重心,=(+). 4.若平行四边形ABCD满足|+|=|-|,则该平行四边形为矩形. 5.若=λ+μ(λ,μ为常数),O,B,C三点不共线,则A,B,C三点共线的充要条件是λ+μ=1. 6.向量三角不等式:||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|,||a|-|b||≤|a-b|≤|a|+|b|. 1.思考辨析(对的打“√”,错的打“×”) (1)海拔、温度、角度都不是向量.(　　) 海拔、温度、角度只有大小,没有方向,故不是向量. 解析 (2)对于非零向量a,-8a的模是4a的模的-2倍.(　　) 一个数m乘一个向量a,结果是一个向量ma,其模是|m||a|,所以对于非零向量a,-8a的模是8|a|是4a的模的2倍,所以错误. 解析 (3)若向量a与b同向,且|a|>|b|,则a>b.(　　) 向量是矢量,不能比较大小. 解析 (4)如果非零向量a与b的方向相同或相反,那么a+b的方向必与a,b之一的方向相同.(　　) 因非零向量a与b的方向相同或相反,若向量a与b互为相反向量,则a+b=0,而零向量的方向是任意的. 解析 2.如图,e1,e2为互相垂直的单位向量,向量a+b+c可表示为(　　) A.2e1-3e2 B.3e1-2e2 C.2e1+3e2 D.3e1+2e2 由题意得a=e1+2e2,b=e1-2e2,c=e1+2e2,所以a+b+c=e1+2e2+e1-2e2+e1+ 2e2=3e1+2e2. 解析 3.(人A必二P14例6改编)在平行四边形ABCD中,AC与BD交于点O,E是线段OD的中点,AE的延长线与CD交于点F.若=a,=b,则=(　　) A.a+b B.a+b C.a+b D.a+b 如图,作OG∥FE交DC于G,由DE=EO,得DF=FG,又由AO=OC,得FG=GC,于是= =,那么=+=+=a+b. 解析 4.(苏教必二P47复习题9题改编)设A,B,C三点在一条直线上,点O在该直线外,已知=3x+(2-5x),则x=_________. 因为A,B,C三点共线,所以3x+(2-5x)=1,解得x=. 解析 (1)(多选题)下列关于向量的说法正确的是(　　) A.若|a|=0,则a=0 B.若向量与是共线向量,则A,B,C,D四点必在同一条直线上 C.对于任意向量a,b,必有|a+b|≤|a|+|b| D.若a∥b,则存在唯一实数λ,使a=λb 考点一 平面向量的概念………………自练自悟 对于A,若|a|=0,则a=0,故A正确;对于B,若向量是共线向量,则A,B,C,D四点不一定在同一条直线上,故B错误;对于C,若a,b方向相同,则|a+b|=|a|+|b|,若a,b方向相反,则|a+b|<|a|+|b|,若a,b不共线,根据向量加法的三角形法则及三角形两边之和大于第三边可知|a+b|<|a|+|b|.综上可知,对于任意向量a,b,必有|a+b|≤|a|+|b|,故C正确;对于D,若a≠0,b=0,则a∥b,此时不存在实数λ,使a=λb,故D错误. 解析 (2)如图,在正△ABC中,D,E,F均为所在边的中点,则以下向量和相等的是(　　) A. B. C. D. 因为,,方向不同,所以,,均不相等.因为方向相同,长度相等,所以=. 解析 (3)下列四个命题中正确的有(　　) A.若a∥b,b∥c,则a∥c B.“a=b”的充要条件是“|a|=|b|且a∥b” C.在平行四边形ABCD中,一定有= D.若a为平面内的某个向量,a0为单位向量,则a=|a|a0 A不正确,若b=0,则由a∥b,b∥c,无法得到a ∥ c;B不正确,当|a|=|b|且a∥b时,a,b的方向可能相反,此时a与b是相反向量,即a=-b;当a=b时,a与b的模相等且方向相同,即|a|=|b|且a∥b,故“|a|=|b|且a∥b”是“a=b”的必要不充分条件;C正确,平行四边形ABCD对边平行且相等,且方向相同,故=;D不正确,向量是既有大小又有方向的量, a与|a|a0的模相等,但方向不一定相同. 解析 (4)设a,b都是非零向量,下列四个条件中,为=成立的充分条件是 (　　) A.a=3b B.a∥b C.a=-b D.a∥b且|a|=|b| =等价于a,b同向,只有a=3b时a,b同向,而B,C,D只能确定a,b共线.故选A. 解析 1.解决向量的概念问题要注意两点:一是不仅要考虑向量的大小,还要考虑向量的方向;二是考虑零向量是否也满足条件,要特别注意零向量的特殊性. 2.只要不改变向量a的大小和方向,可以自由平移a,平移后的向量与a相等. 【例1】　(1)(2022·新高考Ⅰ卷)在△ABC中,点D在边AB上,BD=2DA.记=m,=n,则=(　　) A.3m-2n B.-2m+3n C.3m+2n D.2m+3n 考点二 平面向量的线性运算 因为BD=2DA,所以=3,所以=+=+3=+3(-)=-2+3=-2m+3n.故选B. 解析 (2)在梯形ABCD中,=2,E为CD的中点,AC,BE交于点F,若=λ+μ,则λ+μ= (　　) A. B. C. D. 如图所示,连接BD,交AC于点G.在梯形ABCD中,由=2,得AB∥DC,且CD∶AB=1∶2.所以 ==,所以=,且=+=+= 解析 +(-)=+.因为E为CD的中点,所以AB∥EC,且EC∶AB=1∶4.所以==,所以=.所以===+.所以λ=,μ=.所以λ+μ=.故选C. 解析 平面向量线性运算的解题策略 1.向量求和用平行四边形法则或三角形法则;求差用向量减法的几何意义. 2.求参数问题可以通过向量的运算将向量表示出来进行比较,求参数的值. 【训练】　(1)如图,已知=3,△ABE,△EDC都是等边三角形,设=a,=b,则=(　　) A.2a+b B.2a+b C.2a-b D.2a-b 由题,可得=2,=,所以=+=+2=2a+b.故选A. 解析 (2)在△ABC中,=,=,若=λ+μ(λ,μ∈R),则=_________. 因为=,所以=-=-,因为==-,又因为=λ+μ,所以λ=-,μ=,即=-3. 解析 -3 考向❶ 判断向量共线、三点共线 【例2】　(人A必二P15例7改编)设两向量a与b不共线. (1)若=a+b,=2a+8b,=3(a-b).求证:A,B,D三点共线; 考点三 共线定理及其应用 证明:因为=a+b,=2a+8b,=3(a-b).所以=+=2a+8b+ 3(a-b)=2a+8b+3a-3b=5(a+b)=5,所以,共线.又它们有公共点B,所以A,B,D三点共线. 解 (2)试确定实数k,使ka+b和a+kb共线. 因为ka+b与a+kb共线,所以存在实数λ,使ka+b=λ(a+kb),即ka+b=λa +λkb,所以(k-λ)a=(λk-1)b.因为a,b是不共线的两个向量,所以k-λ=λk-1=0,所以k2-1=0,所以k=±1. 解 利用向量共线定理解题方法 1.a∥b⇔a=λb(b≠0)是判断两个向量共线的主要依据.若a=λb(b≠0),则a与b共线.当λ>0时,a与b同向;当λ<0时,a与b反向. 2.要证明A,B,C三点共线,只需证明共线,即证=λ(λ∈R).若已知A,B,C三点共线,则必有共线,从而存在实数λ,使得=λ. 3.若点P在直线BC上,则根据三点共线,设=λ=λ+(1-λ),再结合条件求解. 考向❷ 利用向量共线定理求参数 【例3】　(1)如图,已知在△ABC中,P为AC的中点, =4,=4,PQ与CF相交于点E.若=λ +μ(λ,μ∈R),则λ+μ=(　　) A. B. C. D. 因为=4,则=+=+=+(-)=+,又C,E,F三点共线,所以=m=+(m∈R),又P为AC的中点, 解析 所以=,又=4,所以=,又P,E,Q三点共线,所以=n+(1-n)=+,由平面向量基本定理知,,解得,所以=+,即λ=,μ=,所以λ+μ=,故选D. 解析 (2)(2026·泰州调研)设e1,e2是两个不共线的向量,若向量m=-e1+ke2(k∈ R)与向量n=ke1-4e2(k∈R)共线,则k=_____________. ±2 因为e1,e2是两个不共线的向量,且m=-e1+ke2,n=ke1-4e2(k∈R)共线,所以存在实数λ∈R,使得m=λn,则则k=±2. 解析 利用向量共线定理求参数的方法 已知向量共线求参数,常根据向量共线的条件将其转化为相应向量的系数相等来求解.若两个向量不共线,则向量的系数必为零,利用待定系数法建立方程(组),从而求得参数. 【题组对点练】 题号 1 2 考向 ❶ ❷ (1)(2026·深圳模拟)设e1,e2是两个不共线的向量,已知=2e1-ke2,=e1+3e2,=2e1-e2,若A,B,D三点共线,则实数k的值为(　　) A.-8 B.8 C.6 D.-6 根据题意,得=-=e1-4e2,若A,B,D三点共线,设=t,则有2e1-ke2=t(e1-4e2)=te1-4te2,所以所以k=8. 解析 (2)已知点O是△ABC的重心,过点O的直线与边AB,AC分别交于M,N两点,D为边BC的中点.若=x+y(x,y∈R),则x+y=(　　) A. B. C.2 D. 如图所示,由三角形重心的性质,可得=,所以 =,所以=x+y,即=x+y. 易知M,O,N三点共线,可得x+y=1,所以x+y=. 解析 $