3.3 离差平方和与方差（第2课时+组内（间）离差平方和） 教学课件 2025-2026学年浙教教版七年级数学下册

该初中数学课件聚焦“组内（间）离差平方和”，核心知识点包括概念、公式及数据分组原则。课堂导入先复习离差平方和、方差等旧知，再通过合作学习的跳高成绩分组问题引入，搭建从旧知到新知的学习支架。 其亮点是以实际情境（跳高、人均耕地面积）为载体，让学生经历数据分类过程，发展数据观念和模型观念。通过计算不同分组的离差平方和推导分组原则，培养推理意识，体现数学思维。课堂小结系统梳理知识，助力学生提升数据分析能力，为教师提供清晰教学案例。

3. 3离差平方和与方差 第2课时 组内（间）离差平方和 第三章 数据初步分析 01 教学目标 01 02 经历数据分类的活动，知道按照组内离差平方和最小的原则对数据进行分类的方法。 体会样本与总体的关系，能用样本方差估计总体方差，感悟通过样本特征估计总体特征的思想，形成数据观念，发展模型观念。 复习回顾 (1)什么是离差平方和? 样本中，各数据与平均数的差（又称离差）的平方和 (2)方差的计算公式是什么? (3)一组数据的方差与这组数据的波动性有怎样的关系? 方差越大，说明数据的波动越大，越不稳定 03 新知讲解 合作学习 某校运动队有5名同学准备参加跳高比赛，他们的跳高最好成绩如下： 为了让队员能更有效地进行赛前训练，教练计划将5名同学按他们的跳高成绩的高低分成两组。怎样分组比较合理？ 将5名队员的跳高成绩按从小到大排列：1.58，1.63，1.65，1.75，1.78。将这些数据表示在数轴上，如图3-4。显然，应把相对集中的数据分在一组，例如，分成{1.58，1.63，1.65}，{1.75，1.78}两组。 03 新知讲解 合作学习 5名队员的跳高成绩分成2组，共有4种情况，设各组的离差平方和分别为 ，，计算+。见表。 可以发现，将数据分成{1.58，1.63，1.65}，{1.75，1.78}两组时，+最小。所以将队员分成{队员 1，队员 3，队员 4},{队员 2，队员 5}两组，组内同学的跳高水平最接近。 新知探究 小明所在学校的运动队有5名同学准备参加跳高比赛，他们的跳高最好成绩如下： 校运动队5名同学跳高最好成绩统计表 合作学习 为了让队员能更有效地进行赛前训练，教练计划将5名同学按他们的跳高成绩的高、低分成两组。 怎样分组比较合理呢? 6 新知探究 方法一： 合作学习 一起来试一试吧！ 将5名队员的跳高成绩按从小到大排列：1.58，1.63，1.65，1.75，1.78。将这些数据表示在数轴上，如图。 可以把相对集中的数据分在一组，例如，分成{1.58，1.63，1.65}，{1.75，1.78}两组。 方法二： 离差平方和可以用来表示一组数据与其 平均水平的偏离程度。可以通过计算离差平方和最小 进行分组，使得组内平均水平差不多。 7 新知探究 合作学习 5名队员的跳高成绩分成2组，共有4种情况，设各组内的离差平方和分别为,,计算 可以发现，将数据分成{1.58，1.63，1.65}，{1.75，1.78}两组时，+最小。所以将队员分成{队员 1，队员 3，队员 4},{队员 2，队员 5}两组，组内同学的跳高水平最接近。 方法二： 8 获取新知 某校运动队有5名同学准备参加跳高比赛，他们的跳高最好成绩如下：       某校运动队5名同学跳高最好成绩统计表   队员编号 1 2 3 4 5 成绩/m 1.58 1.75 1.63 1.65 1.78 为了让队员能更有效地进行赛前训练，教练计划将5名同学按他们的跳高成绩的高低分成两组。怎样分组比较合理? 将5名队员的跳高成绩按从小到大排列：1.58,1.63,1.65,1.75,1.78。将 这些数据表示在数轴上，如图。显然，应把相对集中的数据分在一组，例 如，分成{1.58,1.63,1.65},{1.75,1.78}两组。 03 新知讲解 合作学习 组内离差平方和与组间离差平方和： 一般地，设有个数据，，， ，，它们的平均数为 ，离差平方和为。如果把这些数据分为两组，第1组有 个数据，平均数为，离差平方和为；第2组有个数据，平均数为 ，离差平方和为，其中。 通过计算可以得到以下等式 通常称 为组内离差平方和，它表达了两个组组内数据的离散程度； 称 为组间离差平方和，它表达了两个组之间的差异。#3.1.2 03 新知探究 归纳总结 数据分组原则： 合理的分组原则是使 最小，同时使最大。 由于总离差平方和 不变，所以只需考虑 最小，即组内离差平方和最小即可。 特别说明：在大数据分析中，数据分组是重要的方法之一。数据分组方法有许多种，其中使得“组内离差平方和最小”的方法最为常见。 归纳总结 通过计算可以得到:(+)[] 组内（间）离差平方和 一般地，设有个数据，，， ，，它们的平均数为 ，离差平方和为。如果把这些数据分为两组，第1组有 个数据，平均数为，离差平方和为；第2组有个数据，平均数为 ，离差平方和为，其中。 称为组内离差平方和 表达了两个组的组内数据的离散程度 称为组间离差平方和 表达了两个组之间的差异 13 归纳总结 组内（间）离差平方和 数据合理分组原则： 合理的分组原则是使 最小，同时使最大。 由于总离差平方和 不变，所以只需考虑 最小，即组内离差平方和最小即可。 注意： 在大数据分析中，数据分组是重要的方法之一。数据分组方法有许多种，其中使得“组内离差平方和最小”的方法最为常见。 14 一般地，设有n 个数据x₁,x₂,x₃, … ,xn, 它们的平均数为, 离差平方和为 D² 。 如果把这些数据分为两组，第1组有k1个数据，平均数为, 离差平方和为; 第 2 组有k2个数据，平均数为, 离差平方和为, 其 中k1+k2=n,通过计算可以得到以下等式: D²=(+)+[k1+k] 组内离差平方和： 表达了两个组的组内数据的离散程度 组间离差平方和：表达了两个组之间的差异 那么，合理的分组的原则是什么？ 一个合理的分组原则是使+ 最小，同时使 k1+k最大。由于总离差平方和D² 不变，所以只需考虑 达到最小即可。 03 新知讲解 例2 国家有关部门根据各地的人均耕地面积数据进行分类研究，制定切合各地实际的政策。带着这个问题，统计学兴趣小组的同学收集了我国10个地区的人均耕地面积数据，如表3-9。 如果将这 10个地区分成两组，尽可能使同组内各地区的人均耕地面积接近、不同组地区的人均耕地面积差异较大，应如何分组？ 离差平方和的计算量比较大，我们可以借助计算机软件或者自己设计算法、编写程序来解决。 03 新知讲解 例2 解：将这 10 个地区的人均耕地面积从小到大排列，依次为 0.1，0.2，0.3，0.6，0.6，1.8，2.0，2.3，3.2，4.2。 将这些数据分成两组，有以下 9 种情况， 分别计算各种情况的组内离差平方和， 得到表3-10： 典例分析 例1 国家有关部门根据各地的人均耕地面积数据进行分类研究，制定切合各地实际的政策。带着这个问题，统计学兴趣小组的同学收集了我国10个地区的人均耕地面积数据，如右表。 如果将这10个地区分成两组，尽可能使同组内各地区的人均耕地面积接近、不同组地区的人均耕地面积差异较大，应如何分组? 解：将这 10 个地区的人均耕地面积从小到大排列，依次为 0.1，0.2，0.3，0.6，0.6，1.8，2.0，2.3，3.2，4.2。 组内（间）离差平方和 19 典例分析 将这些数据分成两组，有以下 9 种情况，分别计算各种情况的组内离差平方和，得到下表： 组内（间）离差平方和 这里的计算量比较大，可以借助计算机软件或者自己设计算法、编写程序来解决。 计算结果表明，将数据分成{0.1，0.2，0.3，0.6，0.6}和{1.8，2.0，2.3，3.2，4.2}两组时，组内离差平方和最小，即组内人均耕地面积数据波动最小，两组之间数据差异最大。 所以将上海、广东、福建、江苏、安徽分在一组，其余地区分在另一组比较合理。 20 例题精讲 例1 国家有关部门根据各地的人均耕地面积数据进行分类研究，制定切合各地实际的政策。带着这个问题，统计学兴趣小组的同学收集了我国10个地区的人均耕地面积数据，如表 如果将这10个地区分成两组，尽可能使同组内各地区的人均耕地面积接近、不同组地区的人均耕地面积差异较大，应如何分组? 地区 人均耕地面积/千平方米 黑龙江 4.2 新疆 2.3 江苏 0.6 安徽 0.6 福建 0.3 上海 0.1 内蒙古 3.2 吉林 1.8 广东 0.2 甘肃 2.0 我国10个地区的人均耕地面积统计表 解：将这10个地区的人均耕地面积从小到大排列，依次为0. 1,0.2, 0.3,0.6,0.6,1.8,2.0,2.3,3.2,4.2。将这些数据分成两组，有以下9种情况， 组序 分组情况 组内离差平方和 第1组 第2组 1 0.1 0.2,0.3,0.6,0.6,1.8,2.0,2.3,3.2,4.2 15.58889 2 0.1,0.2 0.3,0.6,0.6,18,2.0,2.3,3.2,4.2 13.1 3 0.1,0.2,0.3 0.6,0.6,1.8,2.0,2.3,3.2,4.2 10.28 4 0.1,0.2,0.3,0.6 0.6,1.8,2.0,2.3,3.2,4.2 7.775 5 0.1,0.2,0.3,0.6,0.6 1.8,2.0,2.3,3.2,4.2 4.172 6 0.1,0.2,0.3,0.6,0.6,1.8 2.0,2.3,3.2,4.2 4.8875 7 0.1,0.2,0.3,0.6,0.6,1.8,2.0 2.3,3.2,4.2 5.42667 8 0.1,0.2,0.3,0.6,0.6,1.8,2.0,2.3 3.2,4.2 6.08875 9 0.1,0.2,0.3,0.6,0.6,1.8,2.0,2.3,3.2 4.2 9.94 05 课堂小结 1.组内离差平方和与组间离差平方和： 一般地，设有个数据，，， ，，它们的平均数为 ，离差平方和为。如果把这些数据分为两组，第1组有 个数据，平均数为，离差平方和为；第2组有个数据，平均数为 ，离差平方和为，其中。 通过计算可以得到以下等式 通常称 为组内离差平方和，它表达了两个组组内数据的离散程度； 称 为组间离差平方和，它表达了两个组之间的差异。 2.数据分组原则： 合理的分组原则是使 最小，同时使最大。 由于总离差平方和 不变，所以只需考虑 最小，即组内离差平方和最小即可。#3.1.2 课堂小结 表达了两个组的组内数据的离散程度 表达了两个组之间的差异 组内离差平方和 组间离差平方和 分组原则：使组内离差平方和最小 感谢聆听! $