竞赛比赛类随机变量分布列中档大题专点专练-2026届高三数学三轮冲刺

**基本信息** 聚焦比赛类情境的随机变量分布列中档大题，通过高考真题与模拟题系统训练离散型随机变量建模与期望计算。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |比赛类分布列|18道高考真题及模拟题|含三局两胜、连胜终止等规则，求得分/局数的分布列与期望|离散型随机变量概念→独立事件概率计算→分类讨论确定取值及概率→分布列构建与期望求解，体现用数学眼光抽象现实问题、用数学思维推理概率关系、用数学语言表达随机现象的核心素养|

2026届高考考前保温 中档大题历年高考真题+最新模拟改编 竞赛比赛类随机变量分布列中档大题 专点专练 1. （2022·全国甲卷·高考真题·节选） 甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立．用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望． 2. （2014·安徽·高考真题·节选） 甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛，假设每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立. 记为比赛决出胜负时的总局数，求的分布列和均值（数学期望）. 3. （2013·山东·高考真题·节选） 甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜局者获得比赛的胜利，比赛随即结束．除第五局甲队获胜的概率是外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是．假设各局比赛结果相互独立．若比赛结果为或，则胜利方得分，对方得分；若比赛结果为，则胜利方得分、对方得分．求乙队得分的分布列及数学期望． 4. （2012·大纲版·高考真题·节选） 乒乓球比赛规则规定：一局比赛，双方比分在10平前，一方连续发球2次后，对方再连续发球2次，依次轮换，每次发球，胜方得1分，负方得0分，设在甲、乙的比赛中，每次发球，发球方得1分的概率为0.6，各次发球的胜负结果相互独立.甲、乙的一局比赛中，甲先发球. 表示开始第4次发球时乙的得分，求的期望. 5. （2011·山东·高考真题·节选） 红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A、B、C进行围棋比赛，甲对A，乙对B，丙对C各一盘，已知甲胜A，乙胜B，丙胜C的概率分别为，，，假设各盘比赛结果相互独立． 用表示红队队员获胜的总盘数，求的分布列和数学期望． 6. （2009·全国·高考真题·节选） 甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束，假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立．已知前2局中，甲、乙各胜1局．设表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数，求的分布列及数学期望． 7. （2008·重庆·高考真题·节选） 甲、乙、丙三人按下面的规则进行乒乓球比赛：第一局由甲、乙参加而丙轮空，以后每一局由前一局的获胜者与轮空者进行比赛，而前一局的失败者轮空.比赛按这种规则一直进行到其中一人连胜两局或打满6局时停止.设在每局中参赛者胜负的概率均为，且各局胜负相互独立.求：比赛停止时已打局数的分别列与期望E． 8. （2003·辽宁·高考真题·节选） A，B两个代表队进行乒乓球对抗赛，每队三名队员，A队队员是，，，B队队员是，，，按以往多次比赛的统计，对阵队员之间胜负的概率如下表： 对阵队员 A队队员胜的概率 A队队员负的概率 对 对 对 现按表中对阵方式出场，每场胜队得1分，负队得0分，设，分别表示A队、B队最后所得总分．求： (1)，的分布列；(2)，． 9. （2026·江苏镇江·二模·节选） 甲、乙、丙三人进行羽毛球比赛，规定：第一局由甲、乙对打，丙轮空；每局的比赛的胜者与轮空者进行下一局对打，负者下一局轮空，如此循环．设甲对乙、丙的胜率均为，乙、丙之间的胜率互为． 如果甲胜一局得2分，输一局不得分，记打完前三局后甲的得分为，求的分布列和期望． 10. （2026·河北衡水·二模·节选） 为了测试AI象棋软件算法的有效性，棋协组织两位象棋大师甲、乙分别与象棋软件进行比赛.比赛规则如下：在一局比赛中，甲、乙两位象棋大师分别与象棋软件进行一盘比赛，每盘比赛获胜得1分，否则得0分（每盘棋都分胜负、没有平局），每盘棋比赛结果互不影响，各局之间的结果也互不影响.已知象棋大师甲、乙每盘比赛获胜的概率分别为，. 由于象棋软件受运行时长和散热影响，本次比赛最多进行6局，且当两位象棋大师的总得分与象棋软件的得分相差2分时比赛结束.设比赛结束时共进行了局，求的分布列及数学期望. 11. （2026·重庆·模拟预测·节选） 某乒乓球比赛采用“三局两胜制”.现有甲、乙两位选手参加比赛，假设每局比赛结果相互独立.已知每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为. 比赛中有“赛点”概念：当某位选手再赢一局即可获得整场比赛胜利时，称该选手拥有“赛点”.据统计，当选手拥有“赛点”时，由于其心理压力等因素，其在该局获胜的概率会比其常规单局获胜概率下降10个百分点（例如，若常规胜率为60%，则拥有“赛点”时胜率为50%）.考虑“赛点”效应时，记为比赛的总局数，求的分布列及数学期望. 12. （2025·山东·模拟预测） 甲、乙两人在足球游戏中进行踢点球比赛．在每一局比赛中，其中一人负责进攻球门，另一人负责防守球门  若进攻者进球则进攻者得1分，防守者得0分  若进攻者未进球则进攻者得0分，防守者得1分  第一局的进攻者随机确定，然后甲、乙轮流进攻．已知甲进攻时甲得分的概率为，甲防守时甲得分的概率为，各局的比赛结果相互独立，得分领先2分者获胜．求两局比赛后甲得分的分布列和均值 13. （2025·安徽蚌埠·模拟预测·节选） 某市举行中学生排球比赛，甲、乙两所学校代表队争夺比赛的冠军，比赛采用三局两胜制．根据以往对战的经历，甲、乙在一局比赛中获胜的概率分别为0.6，0.4，且每局比赛的结果相互独立． 比赛开始前，工作人员采购了5个新球作为比赛用球放在袋子中，新球一经使用就变成“旧球”，“旧球”可继续使用．每局比赛前，裁判员从袋中的5个球中随机取出一个球用于比赛，且局中不换球．每局比赛结束后，将本局使用的球放回袋中，与袋中原有的球混合．记甲、乙两校代表队决出冠军后，袋中新球数量为X，求随机变量X的分布列与数学期望． 14. （2025·辽宁·三模·节选） 甲、乙两人进行一场网球比赛，比赛采用三局两胜制，每局都没有平局，且甲第一局获胜的概率为.从第二局开始，若上一局甲获胜，则下一局甲获胜的概率为，若上一局甲未获胜，则下一局甲获胜的概率为. 设甲第一局未获胜且第二局获胜的概率为. ①求； ②记这场比赛需要进行的局数为，求的分布列与期望. 15. （2025·河北·模拟预测·节选） 已知甲、乙进行围棋比赛，甲每局获胜的概率为，乙每局获胜的概率为，每局无平局，每局比赛结果互不影响．比赛规则如下：若一方先获胜3局，则该方获胜，比赛结束． 在前两局比赛甲获胜的条件下，再比赛局结束，求的分布列与数学期望． 16. （2025·江苏南京·三模） 魔方，又叫鲁比可方块，拥有竞速、盲拧、单拧等多种玩法，风靡程度经久未衰，每年都会举办大小赛事，是最受欢迎的智力游戏之一. 小王和小吴同学比赛三阶魔方，已知小王每局比赛获胜的概率均为，小吴每局比赛获胜的概率均为，若采用三局两胜制，两人共进行了局比赛，求的分布列和数学期望； 17. （24-25高三·全国·二轮复习·节选·较难） 某学校为了推选一名羽毛球选手参加市级联赛，对成绩都非常优秀的甲、乙两名选手进行了五轮综合测试，测试成绩如下（分数越高，代表打球水平越好）． 第一轮 第二轮 第三轮 第四轮 第五轮 甲的分数 7.2 7.3 7.6 8 7.9 乙的分数 6 6.3 9.5 9.2 7 若甲、乙两名选手进行对抗赛，由于两人实力相当（即甲、乙在每一局比赛中获胜的概率均为），特制订如下规则：当其中一人比另一人多胜两局或比赛局数达到20局时，比赛结束．假设每局比赛互不影响，求比赛结束时比赛局数的数学期望． 18. （2024·湖北武汉·模拟预测·节选） “九子游戏”是一种传统的儿童游戏，它包括打弹子、滚圈子、踢毽子、顶核子、造房子、拉扯铃子、刮片子、掼结子、抽陀子九种不同的游戏项目，某小学为丰富同学们的课外活动，举办了“九子游戏”比赛，所有的比赛项目均采用局胜的单败淘汰制，即先赢下局比赛者获胜.造房子游戏是同学们喜爱的项目之一，经过多轮淘汰后，甲、乙二人进入造房子游戏的决赛，已知每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为. 若，设比赛结束时比赛的局数为，求的分布列与数学期望； 19. （2024·陕西商洛·一模·节选） 甲、乙两人进行羽毛球比赛、双方约定采用五局三胜制（有一方先胜三局即赢得比赛，比赛结束），根据双方以往的比赛情况可知每局比赛甲获胜的概率是，乙获胜的概率是．假设每局比赛结果互不影响． 比赛结束时、甲、乙共进行了局比赛，求的分布列和期望． 20. （2024·广东梅州·一模·节选） 甲、乙两人进行五局三胜制乒乓球比赛，已知每局比赛，甲胜的概率为，乙胜的概率为. 求两人比赛局数的数学期望. 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $2026届高考考前保温 中档大题历年高考真题+最新模拟改编 竞赛比赛类随机变量分布列中档大题 专点专练 1. （2022·全国甲卷·高考真题·节选） 甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立．用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望． 【答案】分布列见解析，. 【详解】依题可知，的可能取值为，所以， , ， ， . 即的分布列为 0 10 20 30 0.16 0.44 0.34 0.06 期望. 2. （2014·安徽·高考真题·节选） 甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛，假设每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立. 记为比赛决出胜负时的总局数，求的分布列和均值（数学期望）. 【答案】. 【详解】的可能取值为. ， ， . 故的分布列为 2 3 4 5 所以. 3. （2013·山东·高考真题·节选） 甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜局者获得比赛的胜利，比赛随即结束．除第五局甲队获胜的概率是外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是．假设各局比赛结果相互独立．若比赛结果为或，则胜利方得分，对方得分；若比赛结果为，则胜利方得分、对方得分．求乙队得分的分布列及数学期望． 【答案】分布列见解析， 【详解】设甲胜局次分别为负局次分别为 根据题意乙队得分分别为 所以乙队得分的分布列为 解法二：记“甲队以3：0胜利”为事件，“甲队以3：1胜利”为事件，“甲队以3：2胜利”为事件，由题意，各局比赛结果相互独立， 故， ， 设“乙队以3:2胜利”为事件，由题意，各局比赛结果相互独立，所以 由题意，随机变量的所有可能的取值为0,1,2,3，，根据事件的互斥性得 , , , 故的分布列为 0 1 2 3 所以 ． 4. （2012·大纲版·高考真题·节选） 乒乓球比赛规则规定：一局比赛，双方比分在10平前，一方连续发球2次后，对方再连续发球2次，依次轮换，每次发球，胜方得1分，负方得0分，设在甲、乙的比赛中，每次发球，发球方得1分的概率为0.6，各次发球的胜负结果相互独立.甲、乙的一局比赛中，甲先发球. 表示开始第4次发球时乙的得分，求的期望. 【答案】. 【详解】. 的可能取值为0，1，2，3. . . . .（或） . 5. （2011·山东·高考真题·节选） 红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A、B、C进行围棋比赛，甲对A，乙对B，丙对C各一盘，已知甲胜A，乙胜B，丙胜C的概率分别为，，，假设各盘比赛结果相互独立． 用表示红队队员获胜的总盘数，求的分布列和数学期望． 【答案】详见解析 【详解】由题意知可能的取值为0，1，2，3． 又由（I）知是两两互斥事件，且各盘比赛的结果相互独立， 因此， ， 由对立事件的概率公式得 所以的分布列为： 因此 6. （2009·全国·高考真题·节选） 甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束，假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立．已知前2局中，甲、乙各胜1局．设表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数，求的分布列及数学期望． 【答案】的分布列见解析　期望为2.48． 【详解】由已知的可能值为2或3， ， ． 故分布列如下： 2 3 0.52 0.48 ． 7. （2008·重庆·高考真题·节选） 甲、乙、丙三人按下面的规则进行乒乓球比赛：第一局由甲、乙参加而丙轮空，以后每一局由前一局的获胜者与轮空者进行比赛，而前一局的失败者轮空.比赛按这种规则一直进行到其中一人连胜两局或打满6局时停止.设在每局中参赛者胜负的概率均为，且各局胜负相互独立.求：比赛停止时已打局数的分别列与期望E． 【答案】分布列见解析，（局） 【详解】的所有可能值为2，3，4，5，6，且 ； ； ； ； ． 故有分布列 2 3 4 5 6 P 从而（局）． 8. （2003·辽宁·高考真题·节选） A，B两个代表队进行乒乓球对抗赛，每队三名队员，A队队员是，，，B队队员是，，，按以往多次比赛的统计，对阵队员之间胜负的概率如下表： 对阵队员 A队队员胜的概率 A队队员负的概率 对 对 对 现按表中对阵方式出场，每场胜队得1分，负队得0分，设，分别表示A队、B队最后所得总分．求： (1)，的分布列；(2)，． 【答案】(1)分布列见解析；(2) ， . 【详解】（1）和的取值 分别为0，1，2，3： A队连胜3场的概率为 ， A队连胜2场的概率为 ， A队恰胜1场的概率为 ， A队全输的概率为  ， 由于 ， ， ， ， ； 的分布列如下表： 0 1 2 3 P 的分布列如下表： 0 1 2 3 P （2）在（1）的基础上，  ， ； 故答案为：分布列见解析， ， . 9. （2026·江苏镇江·二模·节选） 甲、乙、丙三人进行羽毛球比赛，规定：第一局由甲、乙对打，丙轮空；每局的比赛的胜者与轮空者进行下一局对打，负者下一局轮空，如此循环．设甲对乙、丙的胜率均为，乙、丙之间的胜率互为． 如果甲胜一局得2分，输一局不得分，记打完前三局后甲的得分为，求的分布列和期望． 【答案】 【详解】由题意知得分的可能值为：， ， ， ， ， 所以的分布列为： 6 所以得分的数学期望为：. 10. （2026·河北衡水·二模·节选） 为了测试AI象棋软件算法的有效性，棋协组织两位象棋大师甲、乙分别与象棋软件进行比赛.比赛规则如下：在一局比赛中，甲、乙两位象棋大师分别与象棋软件进行一盘比赛，每盘比赛获胜得1分，否则得0分（每盘棋都分胜负、没有平局），每盘棋比赛结果互不影响，各局之间的结果也互不影响.已知象棋大师甲、乙每盘比赛获胜的概率分别为，. 由于象棋软件受运行时长和散热影响，本次比赛最多进行6局，且当两位象棋大师的总得分与象棋软件的得分相差2分时比赛结束.设比赛结束时共进行了局，求的分布列及数学期望. 【答案】分布列见解析， 【详解】每局结束后，两位大师和AI的总得分可能情况为： 甲乙都输：0分，AI：2分，分差为2分； 甲乙一胜一负：1分，AI：1分，分差为0分； 甲乙都赢：2分，AI：0分，分差为2分； 所以单局结束后继续比赛的情况为，结束比赛的概率为， 所以的可能取值为1,2,3,4,5,6， ， ， 分布列为 1 2 3 4 5 6 . 11. （2026·重庆·模拟预测·节选） 某乒乓球比赛采用“三局两胜制”.现有甲、乙两位选手参加比赛，假设每局比赛结果相互独立.已知每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为. 比赛中有“赛点”概念：当某位选手再赢一局即可获得整场比赛胜利时，称该选手拥有“赛点”.据统计，当选手拥有“赛点”时，由于其心理压力等因素，其在该局获胜的概率会比其常规单局获胜概率下降10个百分点（例如，若常规胜率为60%，则拥有“赛点”时胜率为50%）.考虑“赛点”效应时，记为比赛的总局数，求的分布列及数学期望. 【答案】分布列见解析，， 【详解】若考虑“赛点”，记比赛总局数为， 则， ， 所以的分布列为 2 3 故， 12. （2025·山东·模拟预测） 甲、乙两人在足球游戏中进行踢点球比赛．在每一局比赛中，其中一人负责进攻球门，另一人负责防守球门  若进攻者进球则进攻者得1分，防守者得0分  若进攻者未进球则进攻者得0分，防守者得1分  第一局的进攻者随机确定，然后甲、乙轮流进攻．已知甲进攻时甲得分的概率为，甲防守时甲得分的概率为，各局的比赛结果相互独立，得分领先2分者获胜．求两局比赛后甲得分的分布列和均值 【答案】(1)分布列见解析；期望为 【详解】依题意，的所有可能取值为0，1，2， 设甲先进攻为事件，则乙先进攻为事件， 且， 所以 ， ， ． 所以的分布列为 0 1 2 故的均值为． 13. （2025·安徽蚌埠·模拟预测·节选） 某市举行中学生排球比赛，甲、乙两所学校代表队争夺比赛的冠军，比赛采用三局两胜制．根据以往对战的经历，甲、乙在一局比赛中获胜的概率分别为0.6，0.4，且每局比赛的结果相互独立． 比赛开始前，工作人员采购了5个新球作为比赛用球放在袋子中，新球一经使用就变成“旧球”，“旧球”可继续使用．每局比赛前，裁判员从袋中的5个球中随机取出一个球用于比赛，且局中不换球．每局比赛结束后，将本局使用的球放回袋中，与袋中原有的球混合．记甲、乙两校代表队决出冠军后，袋中新球数量为X，求随机变量X的分布列与数学期望． 【答案】分布列见解析；期望为 【详解】比赛2局结束的概率为， 比赛3局结束的概率为， 随机变量X的可能取值为2，3，4， ， ， ， 故随机变量X的分布列为 X 2 3 4 P 0.2304 0.6464 0.1232 ． 14. （2025·辽宁·三模·节选） 甲、乙两人进行一场网球比赛，比赛采用三局两胜制，每局都没有平局，且甲第一局获胜的概率为.从第二局开始，若上一局甲获胜，则下一局甲获胜的概率为，若上一局甲未获胜，则下一局甲获胜的概率为. 设甲第一局未获胜且第二局获胜的概率为. ①求； ②记这场比赛需要进行的局数为，求的分布列与期望. 【答案】(1)；(2)分布列见解析，期望为. 【详解】（1）甲第一局未获胜且第二局获胜的概率为， 依题意得，解得. （2）的可能取值为2，3. ， 所以的分布列为 2 3 . 15. （2025·河北·模拟预测·节选） 已知甲、乙进行围棋比赛，甲每局获胜的概率为，乙每局获胜的概率为，每局无平局，每局比赛结果互不影响．比赛规则如下：若一方先获胜3局，则该方获胜，比赛结束． 在前两局比赛甲获胜的条件下，再比赛局结束，求的分布列与数学期望． 【答案】分布列见解析， 【详解】由题意，的可能取值为， 当时，比赛结束，因为前两局甲获胜，故此局必为甲胜， 则； 当时，比赛结束，因为前两局甲获胜，故这两局中第一局乙胜，第二局甲胜， 则； 当时，比赛结束，因为前两局甲获胜，故这三局中，要么乙全部胜，要么乙胜前两局，甲胜最后一局， 则； 所以的分布列为 1 2 3 故． 16. （2025·江苏南京·三模） 魔方，又叫鲁比可方块，拥有竞速、盲拧、单拧等多种玩法，风靡程度经久未衰，每年都会举办大小赛事，是最受欢迎的智力游戏之一. 小王和小吴同学比赛三阶魔方，已知小王每局比赛获胜的概率均为，小吴每局比赛获胜的概率均为，若采用三局两胜制，两人共进行了局比赛，求的分布列和数学期望； 【答案】分布列见解析； 【详解】因为采用三局两胜制，所以的可能取值为， 表示小王或小吴连胜两局；表示小王与小吴前两局一胜一负； 所以，， 所以的分布列为： 则的数学期望为. 17. （24-25高三·全国·二轮复习·节选·较难） 某学校为了推选一名羽毛球选手参加市级联赛，对成绩都非常优秀的甲、乙两名选手进行了五轮综合测试，测试成绩如下（分数越高，代表打球水平越好）． 第一轮 第二轮 第三轮 第四轮 第五轮 甲的分数 7.2 7.3 7.6 8 7.9 乙的分数 6 6.3 9.5 9.2 7 若甲、乙两名选手进行对抗赛，由于两人实力相当（即甲、乙在每一局比赛中获胜的概率均为），特制订如下规则：当其中一人比另一人多胜两局或比赛局数达到20局时，比赛结束．假设每局比赛互不影响，求比赛结束时比赛局数的数学期望． 【答案】. 【详解】设比赛结束时比赛局数为随机变量X， 由比赛结束的条件“当其中一人比另一人多胜两局或比赛局数达到20局时，比赛结束”， 得比赛局数X的取值只能为偶数，即X的可能值为：2，4，6，…，20， ， 当时，说明前两局二人各胜一局，然后第三局和第四局均为甲胜或均为乙胜， 前两局二人各胜一局的概率为，则， 当时，双方前两局，前四局，…，前局的胜负局数均相同，且第局，第X局均为甲胜或乙胜， 设，则， 显然也满足上式， 当时，说明双方前两局、前四局、一直到前十八局的胜负局数均相同， 因此， 于是X的分布列为 X 2 4 6 8 … 18 20 P … 数学期望， 即， 因此， 两式相减得， 所以. 18. （2024·湖北武汉·模拟预测·节选） “九子游戏”是一种传统的儿童游戏，它包括打弹子、滚圈子、踢毽子、顶核子、造房子、拉扯铃子、刮片子、掼结子、抽陀子九种不同的游戏项目，某小学为丰富同学们的课外活动，举办了“九子游戏”比赛，所有的比赛项目均采用局胜的单败淘汰制，即先赢下局比赛者获胜.造房子游戏是同学们喜爱的项目之一，经过多轮淘汰后，甲、乙二人进入造房子游戏的决赛，已知每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为. 若，设比赛结束时比赛的局数为，求的分布列与数学期望； 【答案】分布列见解析， 【详解】因为，所以比赛采用3局2胜制，的所有可能取值为2，3， ，， 的分布列为 2 3 所以. 19. （2024·陕西商洛·一模·节选） 甲、乙两人进行羽毛球比赛、双方约定采用五局三胜制（有一方先胜三局即赢得比赛，比赛结束），根据双方以往的比赛情况可知每局比赛甲获胜的概率是，乙获胜的概率是．假设每局比赛结果互不影响． 比赛结束时、甲、乙共进行了局比赛，求的分布列和期望． 【答案】分布列见解析；期望为 【详解】（1）由题意可知前三局中，甲获胜两局，乙获胜一局，第四局甲获胜， 则所求概率 （2）由题意可知的所有可能取值分别是3，4，5． 则的分布列为 3 4 5 故． 20. （2024·广东梅州·一模·节选） 甲、乙两人进行五局三胜制乒乓球比赛，已知每局比赛，甲胜的概率为，乙胜的概率为. 求两人比赛局数的数学期望. 【答案】 【详解】设两人的比赛局数为，则随机变量的可能取值为， 则， ， ， 则数学期望为. 21. （2024·广东汕头·三模·节选） 11分制乒乓球比赛规则如下：在一局比赛中，每两球交换发球权，每赢一球得1分，先得11分且至少领先2分者胜，该局比赛结束：当某局比分打成10∶10后，每球交换发球权，领先2分者胜，该局比赛结束现有甲、乙两人进行一场五局三胜、每局11分制的乒乓球比赛，比赛开始前通过抛掷一枚质地均匀的硬币来确定谁先发球假设甲发球时甲得分的概率为，乙发球时甲得分的概率为，各球的比赛结果相互独立，且各局的比赛结果也相互独立．已知第一局目前比分为10∶10，求再打两个球甲新增的得分的分布列和均值； 【答案】分布列见详解，； 【详解】依题意，的所有可能取值为 设打成后甲先发球为事件，则乙先发球为事件，且， 所以， . 所以的分布列为 0 1 2 故的均值为； 22. （2023·云南红河·一模） 杭州第19届亚运会于2023年9月23日至2023年10月8日举行，国球再创辉煌，某校掀起乒乓球运动热潮，组织乒乓球运动会.现有甲乙两人进行乒乓球比赛，比赛采取7局4胜制，每局为11分制，每赢一球得一分． 已知在本场比赛中，前两局甲获胜，在后续比赛中每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且每局比赛的结果相互独立，两人又进行了X局后比赛结束，求X的分布列与数学期望． 【答案】分布列见解析，数学期望为. 【详解】随机变量X的可能取值为2，3，4，5， ，， ， ， 所以X的分布列为 X 2 3 4 5 P 数学期望. 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $