考前必做解答题系列2 概率统计-2026届高三数学三轮冲刺

概率与统计 概率统计基本问题 1.（23-24高三下·重庆·期中）奉节脐橙，是重庆市奉节县特产，中国地理标志产品．奉节脐橙的栽培技术始于汉代，历史悠久，产区位于三峡库区，所产脐橙肉质细嫩化渣，酸甜适度，汁多爽口，余味清香，深受广大群众的喜爱．某果园从一批（个数很多）成熟的脐橙中随机抽取了100个，按质量（单位：）将它们分类如下：质量在的为二级果，质量在的为一级果，质量在的为特级果，个数分别为30个，40个，30个． (1)从这100个脐橙中任取2个，求2个果都为一级果的概率； (2)按照比例分配的分层随机抽样，在样本中从二级果，一级果，特级果中抽取10个脐橙进行检测，再从10个脐橙中抽取3个脐橙作进一步检测，这3个脐橙中特级果的个数为X，求X的分布列和数学期望； (3)若这批脐橙的质量都在内，用样本估计总体，从该批脐橙中任取4个，求4个脐橙中二级果的个数Y的期望与方差． 【详解】（1）因这100个脐橙中一级果有40个，则从这100个脐橙中任取2个，求2个果都为一级果的概率为； （2）按照比例分配的分层随机抽样，所抽取的10个脐橙中，分别是二级果，一级果，特级果的个数依次为3个，4个，3个， 再抽取3个脐橙中特级果的个数的可能值为0，1，2，3， 则；；；. 则X的分布列为： 0 1 2 3 则； （3）依题，用样本估计总体，从该批脐橙中任取4个脐橙，是二级果的个数满足， 于是Y的期望是,Y的方差为. 2.（22-23高三上·江苏无锡·期末）天和核心舱是我国目前研制的最大航天器，同时也是我国空间站的重要组成部分. 为了能顺利的完成航天任务，挑选航天员的要求非常严格. 经过统计，在挑选航天员的过程中有一项必检的身体指标服从正态分布，航天员在此项指标中的要求为. 某学校共有2000名学生.为了宣传这一航天盛事，特意在本校举办了航天员的模拟选拔活动.学生首先要进行上述指标的筛查，对于符合要求的学生再进行4个环节选拔，且仅在通过一个环节后，才能进行到下一个环节的选拔.假设学生通过每个环节的概率均为，且相互独立. 参考数据：，， (1)设学生甲通过筛查后在后续的4个环节中参与的环节数量为X，请计算X的分布列与数学期望； (2)请估计符合该项指标的学生人数（四舍五入结果取整数）.以该人数为参加航天员选拔活动的名额，请计算最终通过学校选拔的人数Y的期望值. 【答案】(1)分布列见解析，数学期望； (2). 【分析】（1）根据题意，X的所有可能取值为1，2，3，4，然后分别计算其对应概率，即可得到分布列以及期望； （2）根据题意，由正态分布可得，然后由二项分布的期望公式，即可得到结果. 【详解】（1）由题可知X的所有可能取值为1，2，3，4，则 ，，， ∴X的分布列如下： X 1 2 3 4 P . （2）∵. ∴符合该项指标的学生人数为：人，每个学生通过选拔的概率对， ∴最终通过学校选拔人数，，∴. 3.（2024·全国·模拟预测）是人工智能技术驱动的自然语言处理工具，它能够通过理解和学习人类的语言来进行对话，还能根据聊天的上下文进行互动，真正像人类一样来聊天交流，甚至能完成撰写邮件、视频脚本、文案、论文以及翻译文章、编写代码等任务，成为历史上增长量最快的消费者应用程序．为调查浙江省大学生对的了解情况，从浙江省内各高校抽取400名学生进行问卷调查，得到部分数据如下表： 是否了解情况 男 女 总计 了解 80 不了解 160 总计 200 400 (1)完成上述列联表，并判断是否有99.9%的把握认为浙江省大学生对的了解情况与性别有关； (2)某高校科研所抓住机遇，抢占市场先机，决定成立分别由3名教授领衔的甲、乙、丙三个科研小组，已知甲、乙、丙三个小组能获得成功的概率分别为，且三个小组各自独立进行研究，每个研究成功的小组都会受到科研所的奖励，设受到奖励的小组数为X，求． 参考公式：． 参考数据： 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)填表见解析；有 (2) 【分析】（1）根据题意，得出列联表，求得，结合附表，即可得到结论； （2）根据题意，得到的可能取值为，利用相互独立事件的概率乘法公式，求得相应的概率，得出分布列，求得数学期望. 【详解】（1）解：根据已知完成列联表如下， 是否了解情况 男 女 总计 了解 80 40 120 不了解 120 160 280 总计 200 200 400 零假设：大学生对的了解情况与性别无关， 则，则， 所以零假设不成立，则有99.9%的把握认为浙江省大学生对的了解情况与性别有关． （2）解：由题意，随机变量的可能取值为， 可得，， ，， 所以X的分布列为 0 1 2 3 所以． 4.（2024·浙江温州·二模）红旗淀粉厂2024年之前只生产食品淀粉，下表为年投入资金（万元）与年收益（万元）的8组数据： 10 20 30 40 50 60 70 80 12.8 16.5 19 20.9 21.5 21.9 23 25.4 (1)用模拟生产食品淀粉年收益与年投入资金的关系，求出回归方程； (2)为响应国家“加快调整产业结构”的号召，该企业又自主研发出一种药用淀粉，预计其收益为投入的．2024年该企业计划投入200万元用于生产两种淀粉，求年收益的最大值．（精确到0.1万元） 附：①回归直线中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：， ② 161 29 20400 109 603 ③ 【答案】(1) (2)36.5 【分析】 （1）利用回归直线的公式求和的值，可得回归方程. （2）建立函数关系，利用导数分析函数单调性，求出函数的最大值. 【详解】（1） ∴回归方程为： （2） 2024年设该企业投入食品淀粉生产x万元，预计收益（万元） ， ，得 ∴其在上递增，上递减 概率统计与数列综合（含马尔科夫链） 5．（2025·湖北武汉·模拟预测）有甲乙两个口袋，甲口袋中有编号为1，2，3的3个白球，乙口袋中有编号为1，2，3的3个黑球，已知每个球除颜色和编号不同外，其余全部相同．现从甲乙两口袋中各随机任取一个球交换放入另一个口袋，重复进行次这样的操作． (1)求2次换球后，甲口袋中恰有3个白球的概率； (2)求次换球后，甲口袋中3个球颜色恰好相同的概率（结果用含的式子表示）； (3)求次换球后，甲口袋中3个球编号恰好为1，2，3的概率（结果用含的式子表示）．当为多少时，概率取得最大值？最大值是多少？ 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】（1）利用独立事件同时发生的乘法公式即可求解； （2）利用数列的递推思想，结合全概率公式，先得到递推，再构造等比数列求出通项公式； （3）利用数列的递推思想，结合全概率公式，先得到递推，再构造等比数列求出通项公式，然后利用分类讨论思想求出最大值. 【详解】（1）经过一次交换后，甲口袋中有2白1黑，乙口袋中有2黑1白， 记“2次换球后，甲口袋中恰有3个白球”为事件，则； （2）记“次换球后，甲口袋中有3个球颜色相同的”概率为， 则 当第次换球后，只有两种可能，一种是同颜色，另一种是有一个不同颜色， 而同颜色的交换后不可能再同颜色，而有一个不同颜色的通过交换可以变为同颜色， 此时发生的概率为，再根据全概率公式可得： ，所以， 则是等比数列，即； （3）又记“次换球后，甲口袋中有3个球编号分别为1，2，3”概率为， 则， 当第次换球后，只有两种可能，一种是有三个编号为1，2，3，另一种是没有三个编号为1，2，3， 而三个编号为1，2，3的交换后也有可能编号仍为1，2，3，此时发生的概率为， 另一种可能是AAB型，另一边一定是BCC型，这样通过交换A和C就可以变换为有三个编号为1，2，3，此时发生的概率为，再根据全概率公式可得： ， 所以有， 即是等比数列，即， 当为奇数时，， 当为偶数时，， 所以当时，取到最大值. 6.（23-24高三上·河北邢台·期末）杭州亚运会吉祥物为一组名为“江南忆”的三个吉祥物“宸宸”，“琮琮”，“莲莲”，聚焦共同的文化基因，蕴含独特的城市元素．本次亚运会极大地鼓舞了中国人民参与运动的热情．某体能训练营为了激励参训队员，在训练之余组织了一个“玩骰子赢礼品”的活动，他们来到一处训练场地，恰有20步台阶，现有一枚质地均匀的骰子，游戏规则如下：掷一次骰子，出现3的倍数，则往上爬两步台阶，否则爬一步台阶，再重复以上步骤，当队员到达第7或第8步台阶时，游戏结束．规定：到达第7步台阶，认定失败；到达第8步台阶可赢得一组吉祥物．假设平地记为第0步台阶．记队员到达第步台阶的概率为（），记． (1)投掷4次后，队员站在的台阶数为第阶，求的分布列； (2)①求证：数列（）是等比数列； ②求队员赢得吉祥物的概率． 【答案】(1)答案见解析 (2)①证明见解析 ；② 【分析】（1）由题意可得爬一步台阶的概率为，爬两步台阶的概率为，列出随机变量可能取值，求出对应的概率，求出分布列即可； （2）（i）由题意可得，分类讨论到达第步台阶的情况，求出对应的概率，进而（），结合等比数列的定义即可证明；（ii）由（i），根据等比数列的通项公式可得，利用累加法求得（），令计算即可求解. 【详解】（1）由题意得每轮游戏爬一步台阶的概率为，爬两步台阶的概率为， 所以随机变量可能取值为4，5，6，7，8， 可得，， ，， ， 所以的分布列： 4 5 6 7 8 （2）（ⅰ）证明：，即爬一步台阶，是第1次掷骰子， 向上点数不是3的倍数概率，则 到达第步台阶有两种情况： ①前一轮爬到第步台阶，又掷骰子是3的倍数得爬两步台阶，其概率为， ②前一轮爬到第步台阶，又掷骰子不是3的倍数爬一步台阶，其概率为， 所以（）， 则（）， 所以数列（）是首项为，公比为的等比数列． （ⅱ）因为数列是首项为，公比为的等比数列， 所以，所以，，…，， 各式相加，得：，所以（）， 所以活动参与者得到纪念品的概率为 ． 7．（2025·河北·模拟预测）新春佳节，上海京剧院、上海昆剧团联手带来“京昆群英会”，名角荟萃、好戏连台．天蟾逸夫舞台自大年初二起“灵蛇献瑞”，以一系列京昆佳作为戏迷观众奉上文化大餐．年初二率先登场的《新春京剧演唱会》汇集上海京剧院老中青三代演员；大年初六，上海昆剧团接棒“京昆群英会”，上海昆剧团优秀青年演员胡维露、罗晨雪将携手献演昆剧《墙头马上》．据统计，有的票友计划只观看《新春京剧演唱会》，余下的票友既观看《新春京剧演唱会》，也观看《墙头马上》．每位票友只观看《新春京剧演唱会》，则会员卡积1分；若既观看《新春京剧演唱会》，也观看《墙头马上》，则会员卡积2分．假设每位票友观看计划相互独立，视频率为概率，所有票友会员卡之前积分均为0． (1)观看结束后，从票友中随机抽取3人，记3人会员卡的合计得分为X，求X的分布列和数学期望； (2)观看结束后，从票友中随机抽取n个人（n为正整数），记这n个人会员卡的合计积分是分的概率为，求数列的前n项和． 【答案】(1)分布列见解析，期望为4； (2). 【分析】（1）由题可得3人得分的情况为3，4，5，6，然后由题意可得分布列及数学期望； （2）由题可得合计积分是分时，有人只看《新春京剧演唱会》，一人既观看《新春京剧演唱会》，也观看《墙头马上》，据此可得，然后由错位相减法可得答案. 【详解】（1）由题可得X的值可得为3，4，5，6， 则，，，. 则分布列如下： 3 4 5 6 则； （2）由题可得合计积分是分时，有人只看《新春京剧演唱会》，一人既观看《新春京剧演唱会》，也观看《墙头马上》， 可得，，， 则. 则 ， 两式相减可得：. 则. 8.（2026深圳二模）. 一个微生物在如图所示方格的培养皿中随机移动，每次均以相等概率移动到相邻的方格．方格是初始位置，是营养丰富的角落，每次到达方格时，微生物进行一次繁殖．记该微生物第次繁殖时所经过的总移动步数为． （1）求； （2）求； （3）求． 参考公式： 1．若，对于，则； 2．若是离散型随机变量，则． 【答案】（1） （2）3 （3） 【解析】 【分析】（1）根据事件的概率公式计算得到结果； （2）解法1，先根据题意分析得到，结合期望公式和错位相减法计算得到结果；解法2，根据期望的性质计算得到答案； （3）根据期望的性质公式计算得到结果； 【小问1详解】 微生物经历奇数次移动必然到达区域，之后有的概率到达区域，有的概率到达区域， 微生物在区域或者区域时，下一步必然到达区域． 【小问2详解】 解法1：微生物第1次到达区域所经历的步数必然为：， 若微生物经历次移动第1次到达区域，则前面步必然在区域与区域之间移动， 且最后2步是由区域到区域，接着到达区域，于是 ，则 不妨设， 于是 则 化简可得，， 由题意可知， ，所以； 解法2：由微生物在2次移动后，有的概率经过区域到达区域， 有的概率经过区域回到区域， 于是， 解得， ； 【小问3详解】 解法1：初始位置时微生物第次到达区域累计移动次数为， 设初始位置时微生物第次到达区域累计移动次数为， 初始位置为时粒子第次到达区域累计移动次数为（初始位置不记为到达）， 当时，于是：， 即， 化简有，又由，有 即， 又由，于是． 解法2：不妨设微生物从区域出发，第一次到达区域，需要的次数为随机变量，当时，， 微生物由区域出发第1次到达区域所经历的步数必然为：， 若微生物经历次移动第1次到达区域，则前面步必然在区域与区域之间移动， 且最后2步是由区域到区域，接着到达区域，于是 ，则， 由（2）知 于是 又由，于是． 解法3：当时，易知微生物第次到达区域所经历的步数可能为： ， 当微生物通过步第次到达区域时，前面的步中， 在奇数步中，必然到达区域，偶数步中，有次到达区域，对应的概率为， 且最后2步移动以的概率回到． 于是，则 不妨记 于是 则， 又由，于是， 则． 又由时也符合上式，于是对于均有． 说明：视每2次移动为1次实验，易知1次实验中，必然有1次到达，有1次到达或者．即每次实验有的概率到达，有的概率不到达．于是为使到达事件次，平均需要进行实验次，于是需要移动次． 概率统计与函数结合（含决策问题） 9.（25-26高三下·山东·月考）为备战2026年第十一届全国学生“学宪法讲宪法”比赛，某校举办了法治素养竞赛（分初赛和决赛两部分）．初赛从6道题中任选2题作答，2题均答对则进入决赛．已进入决赛的参赛者允许连续抽奖3次，中奖1次奖励120元，中奖2次奖励180元，中奖3次奖励360元，若3次均未中奖，则只奖励60元．假设每次抽奖中奖的概率均为，且每次是否中奖相互独立． (1)已知初赛6道题中甲能答对其中4道题，记甲在初赛中答对的题目个数为，求的数学期望以及甲在已经答对一题的前提下，仍未进入决赛的概率； (2)假设该校共选拔出9名同学进入决赛，若这9名同学获得的总奖金的期望值不小于1120元，试求此时的取值范围． 【答案】(1)期望为； (2) 【知识点】计算条件概率、独立重复试验的概率问题、用导数判断或证明已知函数的单调性、求离散型随机变量的均值 【分析】（1）根据超几何的期望公式即可求解，利用条件概率以及超几何概率的计算公式可求解概率， （2）根据二项分布的概率公式以及期望公式求解一个人获得奖金的期望，进而根据题意得，构造函数，利用导数求解函数的单调性得解. 【详解】（1）记总题数，甲会做的题数， 从中任选2题作答，则答对题数服从超几何分布， 数学期望． 事件“已答对一题”即；“仍未进入决赛”即， 由条件概率公式得：． （2）设进入决赛的同学获得的奖金为元， 其分布为， 期望，化简得 9名同学总奖金的期望， 即．整理得． 令，由知在单调递增， 又，因此不等式解为， 结合，得． 10.（24-25高三下·内蒙古呼和浩特·月考）某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品.检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为，且各件产品是否为不合格品相互独立. (1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为，求的最大值点. (2)现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以（1）中确定的作为的值.已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用.若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用独立重复实验成功次数对应的概率，求得，之后对其求导，利用导数在相应区间上的符号，确定其单调性，从而得到其最大值点； （2）根据二项分布的期望先求件数对应的期望，之后应用变量之间的关系，求得赔偿费用的期望. 【详解】（1）记20件产品中的次品件数为X，由题设知， 则问题可理解为求的最大值， 因此. 令，得. 当时，，单调递增；当时，，单调递减， 所以的最大值点为； （2）由（1）知，. 令表示余下的180件产品中的不合格品件数， 依题意知，， 即. 所以（元）. 11．（2025·山东·模拟预测）已知两个不透明的袋子中均装有若干个大小，质地完全相同的红球和白球，从袋中摸出一个红球的概率是，从袋中摸出一个红球的概率是．在每轮中，甲同学先选择一个袋子摸一次球并放回，乙再选择一个袋子摸一次球并放回，则该轮结束．已知在每轮中甲选两袋的概率均为．如果甲选袋，则乙选袋的概率为；如果甲选袋，则乙选的概率为． (1)若，求在一轮中乙从袋中摸出红球的概率； (2)求在一轮中乙摸出红球的概率； (3)若甲，乙两位同学进行了3轮摸球．乙同学认为，越大，3轮摸球后他摸出2个红球的概率越大，你同意他的观点吗？请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不同意乙的观点，理由见解析 【分析】（1）先利用全概率公式求出乙从袋中摸球的概率，再利用乘法概率公式求解即可； （2）利用全概率公式求解即可； （3）由题意知3轮摸球后摸出红球的个数服从二项分布，利用二项分布的概率公式可得3轮摸球后乙摸出2个红球的概率为，令，利用导数求最大时，的值即可. 【详解】（1）设“甲从袋中摸球”，“乙从袋中摸球”，“乙摸出的是红球”， 由全概率公式知，乙从袋中摸球的概率， 所以在一轮中，乙从袋中摸出红球的概率为． （2）在一轮中，乙摸出红球的概率． （3）由题意知3轮摸球后摸出红球的个数服从二项分布， 则3轮摸球后乙摸出2个红球的概率为， 设，则， 令，解得， 则当时，单调递增，当时，单调递减， 所以当时，3轮摸球后乙摸出2个红球的概率最大，所以不同意乙的观点． 12．（2025·重庆·一模）年月日国家市场监督管理总局第次局务会议审议通过《食品安全抽样检验管理办法》，自年月日起实施．某地市场监管部门对当地一食品厂生产的水果罐头开展固形物含量抽样检验，按照国家标准规定，在一瓶水果罐头中，固形物含量不低于为优级品，固形物含量低于且不低于为一级品，固形物含量低于为二级品或不合格品． (1)现有瓶水果罐头，已知其中瓶为优级品，瓶为一级品． （ⅰ）若每次从中随机取出瓶，取出的罐头不放回，求在第次抽到优级品的条件下，第次抽到一级品的概率； （ⅱ）对这瓶罐头依次进行检验，每次检验后不放回，直到区分出瓶罐头的等级时终止检验，记检验次数为，求随机变量的分布列与期望； (2)已知该食品厂生产的水果罐头优级品率为，且各件产品是否为优级品相互独立，若在次独立重复抽检中，至少有次抽到优级品的概率不小于（约为），求的最小值． 【答案】(1)（ⅰ）；（ⅱ）分布列见解析， (2) 【分析】（1）（ⅰ）设第次抽到优级品为事件，第次抽到一级品为事件，利用条件概率公式可求得的值； （ii）由题意可知，的取值可能为、、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进而可求得的值； （2）设在次抽检中至少有次抽到优级品的概率为，利用独立重复试验的概率公式可求出的表达式，利用导数分析函数的单调性，即可得出的最小值. 【详解】（1）（ⅰ）设第次抽到优级品为事件，第次抽到一级品为事件， 则． （ii）根据题意可知的取值可能为、、、． 则，， ，． 则的分布列为： 所以． （2）设在次抽检中至少有次抽到优级品的概率为， 则 ，其中， 因为，所以在单调递增． 注意到，所以，故的最小值为． 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 概率与统计（解答题） 概率统计基本问题（分布列、独立性检验、经验回归方程） 1.（23-24高三下·重庆·期中）奉节脐橙，是重庆市奉节县特产，中国地理标志产品．奉节脐橙的栽培技术始于汉代，历史悠久，产区位于三峡库区，所产脐橙肉质细嫩化渣，酸甜适度，汁多爽口，余味清香，深受广大群众的喜爱．某果园从一批（个数很多）成熟的脐橙中随机抽取了100个，按质量（单位：）将它们分类如下：质量在的为二级果，质量在的为一级果，质量在的为特级果，个数分别为30个，40个，30个． (1)从这100个脐橙中任取2个，求2个果都为一级果的概率； (2)按照比例分配的分层随机抽样，在样本中从二级果，一级果，特级果中抽取10个脐橙进行检测，再从10个脐橙中抽取3个脐橙作进一步检测，这3个脐橙中特级果的个数为X，求X的分布列和数学期望； (3)若这批脐橙的质量都在内，用样本估计总体，从该批脐橙中任取4个，求4个脐橙中二级果的个数Y的期望与方差． 2.（22-23高三上·江苏无锡·期末）天和核心舱是我国目前研制的最大航天器，同时也是我国空间站的重要组成部分. 为了能顺利的完成航天任务，挑选航天员的要求非常严格. 经过统计，在挑选航天员的过程中有一项必检的身体指标服从正态分布，航天员在此项指标中的要求为. 某学校共有2000名学生.为了宣传这一航天盛事，特意在本校举办了航天员的模拟选拔活动.学生首先要进行上述指标的筛查，对于符合要求的学生再进行4个环节选拔，且仅在通过一个环节后，才能进行到下一个环节的选拔.假设学生通过每个环节的概率均为，且相互独立. 参考数据：，， (1)设学生甲通过筛查后在后续的4个环节中参与的环节数量为X，请计算X的分布列与数学期望； (2)请估计符合该项指标的学生人数（四舍五入结果取整数）.以该人数为参加航天员选拔活动的名额，请计算最终通过学校选拔的人数Y的期望值. 3.（2024·全国·模拟预测）是人工智能技术驱动的自然语言处理工具，它能够通过理解和学习人类的语言来进行对话，还能根据聊天的上下文进行互动，真正像人类一样来聊天交流，甚至能完成撰写邮件、视频脚本、文案、论文以及翻译文章、编写代码等任务，成为历史上增长量最快的消费者应用程序．为调查浙江省大学生对的了解情况，从浙江省内各高校抽取400名学生进行问卷调查，得到部分数据如下表： 是否了解情况 男 女 总计 了解 80 不了解 160 总计 200 400 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 (1)完成上述列联表，并判断是否有99.9%的把握认为浙江省大学生对的了解情况与性别有关； (2)某高校科研所抓住机遇，抢占市场先机，决定成立分别由3名教授领衔的甲、乙、丙三个科研小组，已知甲、乙、丙三个小组能获得成功的概率分别为，且三个小组各自独立进行研究，每个研究成功的小组都会受到科研所的奖励，设受到奖励的小组数为X，求． 参考公式：． 161 29 20400 109 603 4.（2024·浙江温州·二模）红旗淀粉厂2024年之前只生产食品淀粉，下表为年投入资金（万元）与年收益（万元）的8组数据： ② 10 20 30 40 50 60 70 80 12.8 16.5 19 20.9 21.5 21.9 23 25.4 (1)用模拟生产食品淀粉年收益与年投入资金的关系，求出回归方程； (2)为响应国家“加快调整产业结构”的号召，该企业又自主研发出一种药用淀粉，预计其收益为投入的．2024年该企业计划投入200万元用于生产两种淀粉，求年收益的最大值。（精确到0.1万元）③ 附：①回归直线中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：， 概率统计与数列综合（含马尔科夫链） 5．（2025·湖北武汉·模拟预测）有甲乙两个口袋，甲口袋中有编号为1，2，3的3个白球，乙口袋中有编号为1，2，3的3个黑球，已知每个球除颜色和编号不同外，其余全部相同．现从甲乙两口袋中各随机任取一个球交换放入另一个口袋，重复进行次这样的操作． (1)求2次换球后，甲口袋中恰有3个白球的概率； (2)求次换球后，甲口袋中3个球颜色恰好相同的概率（结果用含的式子表示）； (3)求次换球后，甲口袋中3个球编号恰好为1，2，3的概率（结果用含的式子表示）．当为多少时，概率取得最大值？最大值是多少？ 6.（23-24高三上·河北邢台·期末）杭州亚运会吉祥物为一组名为“江南忆”的三个吉祥物“宸宸”，“琮琮”，“莲莲”，聚焦共同的文化基因，蕴含独特的城市元素．本次亚运会极大地鼓舞了中国人民参与运动的热情．某体能训练营为了激励参训队员，在训练之余组织了一个“玩骰子赢礼品”的活动，他们来到一处训练场地，恰有20步台阶，现有一枚质地均匀的骰子，游戏规则如下：掷一次骰子，出现3的倍数，则往上爬两步台阶，否则爬一步台阶，再重复以上步骤，当队员到达第7或第8步台阶时，游戏结束．规定：到达第7步台阶，认定失败；到达第8步台阶可赢得一组吉祥物．假设平地记为第0步台阶．记队员到达第步台阶的概率为（），记． (1)投掷4次后，队员站在的台阶数为第阶，求的分布列； (2)①求证：数列（）是等比数列； ②求队员赢得吉祥物的概率． 7．（2025·河北·模拟预测）新春佳节，上海京剧院、上海昆剧团联手带来“京昆群英会”，名角荟萃、好戏连台．天蟾逸夫舞台自大年初二起“灵蛇献瑞”，以一系列京昆佳作为戏迷观众奉上文化大餐．年初二率先登场的《新春京剧演唱会》汇集上海京剧院老中青三代演员；大年初六，上海昆剧团接棒“京昆群英会”，上海昆剧团优秀青年演员胡维露、罗晨雪将携手献演昆剧《墙头马上》．据统计，有的票友计划只观看《新春京剧演唱会》，余下的票友既观看《新春京剧演唱会》，也观看《墙头马上》．每位票友只观看《新春京剧演唱会》，则会员卡积1分；若既观看《新春京剧演唱会》，也观看《墙头马上》，则会员卡积2分．假设每位票友观看计划相互独立，视频率为概率，所有票友会员卡之前积分均为0． (1)观看结束后，从票友中随机抽取3人，记3人会员卡的合计得分为X，求X的分布列和数学期望； (2)观看结束后，从票友中随机抽取n个人（n为正整数），记这n个人会员卡的合计积分是分的概率为，求数列的前n项和． 8.（2026深圳二模）. 一个微生物在如图所示方格的培养皿中随机移动，每次均以相等概率移动到相邻的方格．方格是初始位置，是营养丰富的角落，每次到达方格时，微生物进行一次繁殖．记该微生物第次繁殖时所经过的总移动步数为． （1）求；（2）求；（3）求． 参考公式： 1．若，对于，则； 2．若是离散型随机变量，则． 概率统计与函数结合（含决策问题） 9.（25-26高三下·山东·月考）为备战2026年第十一届全国学生“学宪法讲宪法”比赛，某校举办了法治素养竞赛（分初赛和决赛两部分）．初赛从6道题中任选2题作答，2题均答对则进入决赛．已进入决赛的参赛者允许连续抽奖3次，中奖1次奖励120元，中奖2次奖励180元，中奖3次奖励360元，若3次均未中奖，则只奖励60元．假设每次抽奖中奖的概率均为，且每次是否中奖相互独立． (1)已知初赛6道题中甲能答对其中4道题，记甲在初赛中答对的题目个数为，求的数学期望以及甲在已经答对一题的前提下，仍未进入决赛的概率； (2)假设该校共选拔出9名同学进入决赛，若这9名同学获得的总奖金的期望值不小于1120元，试求此时的取值范围． 10.（24-25高三下·内蒙古呼和浩特·月考）某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品.检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为，且各件产品是否为不合格品相互独立. (1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为，求的最大值点. (2)现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以（1）中确定的作为的值.已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用.若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为，求. 11．（2025·山东·模拟预测）已知两个不透明的袋子中均装有若干个大小，质地完全相同的红球和白球，从袋中摸出一个红球的概率是，从袋中摸出一个红球的概率是．在每轮中，甲同学先选择一个袋子摸一次球并放回，乙再选择一个袋子摸一次球并放回，则该轮结束．已知在每轮中甲选两袋的概率均为．如果甲选袋，则乙选袋的概率为；如果甲选袋，则乙选的概率为． (1)若，求在一轮中乙从袋中摸出红球的概率； (2)求在一轮中乙摸出红球的概率； (3)若甲，乙两位同学进行了3轮摸球．乙同学认为，越大，3轮摸球后他摸出2个红球的概率越大，你同意他的观点吗？请说明理由． 12．（2025·重庆·一模）某地市场监管部门对当地一食品厂生产的水果罐头开展固形物含量抽样检验，按照国家标准规定，在一瓶水果罐头中，固形物含量不低于为优级品，固形物含量低于且不低于为一级品，固形物含量低于为二级品或不合格品． (1)现有瓶水果罐头，已知其中瓶为优级品，瓶为一级品． （ⅰ）若每次从中随机取出瓶，取出的罐头不放回，求在第次抽到优级品的条件下，第次抽到一级品的概率； （ⅱ）对这瓶罐头依次进行检验，每次检验后不放回，直到区分出瓶罐头的等级时终止检验，记检验次数为，求随机变量的分布列与期望； (2)已知该食品厂生产的水果罐头优级品率为，且各件产品是否为优级品相互独立，若在次独立重复抽检中，至少有次抽到优级品的概率不小于（约为），求的最小值． 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $