3.3 离差平方和与方差（第1课时 离差平方和与方差的认识）（教学课件）2025-2026学年浙教版数学八年级下册

该初中数学课件聚焦“离差平方和与方差”，通过射击运动员选拔的情景导入，从平均成绩相同却需比较稳定性的问题切入，搭建从数据集中趋势到离散程度的学习支架，引导学生理解概念形成脉络。 其亮点在于以合作学习为主线，结合数据表格与折线图让学生直观观察成绩波动，培养数学眼光和推理意识。通过小麦苗高典例分析方差应用，体现用数学语言表达现实世界。结构化总结步骤助力学生系统掌握，既提升数据分析能力，也为教师提供清晰教学路径。

3. 3离差平方和与方差 第1课时 离差平方和与方差的认识 第三章 数据初步分析 01 教学目标 01 02 了解离差平方和、方差的概念。 会计算一组简单数据的离差平方和、方差，知道离差平方和、方差都能刻画这组数据的离散程度。 情景导入 如果要选拔射击运动员参加比赛，不仅会考查运动员成绩的高低，还会考查运动员成绩的稳定性。在数学中，用什么统计量来刻画成绩的稳定性? 03 新知讲解 合作学习 甲、乙两名射击运动员的测试成绩统计如下： （1） 计算甲、乙两名运动员的平均成绩。 （2） 根据这两名运动员的成绩，在图中画出折线统计图。 （3） 现要从甲、乙两人中挑选一人参加比赛，你认为挑选哪一位比较合适？为什么？（请与你的同伴交流） 03 新知讲解 合作学习 甲、乙两名射击运动员的测试成绩统计如下： （1） 计算甲、乙两名运动员的平均成绩。 新知探究 甲、乙两名射击运动员的测试成绩统计如下： （1） 计算甲、乙两名运动员的平均成绩。 合作学习 次数 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 甲命中环数 7 8 8 8 9 乙命中环数 10 6 10 6 8 6 新知探究 甲、乙两名射击运动员的测试成绩统计如下： （2） 根据这两名运动员的成绩，在图中画出折线统计图。 合作学习 次数 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 甲命中环数 7 8 8 8 9 乙命中环数 10 6 10 6 8 描点、连线 0 1 2 2 3 4 5 4 6 8 10 成绩（环） 甲 乙 射击次序 你发现了什么？ 7 （1）请分别计算两名运动员的平均成绩； 答：这两名运动员的平均成绩分别是8环。 （2） 请根据这两名射击手的成绩在下图中画出折线统计图； 0 1 2 2 3 4 5 4 6 8 10 成绩（环） 甲 乙 射击次序 新知探究 甲、乙两名射击运动员的测试成绩统计如下： （3） 现要从甲、乙两人中挑选一人参加比赛，你认为挑选哪一位比较合适？为什么？（请与你的同伴交流） 合作学习 次数 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 甲命中环数 7 8 8 8 9 乙命中环数 10 6 10 6 8 0 1 2 2 3 4 5 4 6 8 10 成绩（环） 甲 乙 射击次序 分析：对于参加比赛而言，同等条件下，发挥的稳定性更为重要！ 10 03 新知讲解 合作学习 （2） 根据这两名运动员的成绩，在图中画出折线统计图。 0 1 2 2 3 4 5 4 6 8 10 成绩（环） 甲 乙 射击次序 03 新知讲解 合作学习 （3） 现要从甲、乙两人中挑选一人参加比赛，你认为挑选哪一位比较合适？为什么？（请与你的同伴交流） 甲、乙两名运动员的平均成绩相同，但甲各次射击的成绩都接近平均数8环，而乙各次射击的成绩偏离平均数较大。在评价数据的稳定性时，我们通常将各数据偏离平均数的波动程度作为指标。 样本中，各数据与平均数的差（又称离差）的平方和称为离差平方和，记为.对于一组数据,,...，这组数据的平均数为，则 =+...+ 甲射击成绩的离差平方和： (7－8)2＋(8－8)2＋(8－8)2＋(8－8)2＋(9－8)2＝2； 乙射击成绩的离差平方和： (10－8)2＋(6－8)2＋(10－8)2＋(6－8)2＋(8－8)2＝16 想一想，直接计算甲、乙射击测试成绩的离差的和，结果如何 甲射击成绩与平均成绩的离差的和： 乙射击成绩与平均成绩的离差的和： （7-8）+（8-8）+（8-8）+（8-8）+（9-8）=0 （10-8）+（6-8）+（10-8）+（6-8）+（8-8）=0 归纳总结 对于一组数据,,...，这组数据的平均数为，则 =+...+ 离差平方和 样本中，各数据与平均数的差（又称离差）的平方和称为离差平方和，记为 。 甲射击成绩的离差平方和： ； 乙射击成绩的离差平方和： 。 想一想：直接计算甲、乙射击测试成绩的离差的和，结果如何？ 15 新知探究 方差 甲射击成绩与平均成绩的离差的和： 乙射击成绩与平均成绩的离差的和： 注意：离差平方和可以刻画一组数据的离散程度，在比较两组数据的离散程度时，只适用于数据个数相同的情况。 容易看出，离差平方和的大小还与样本容量有关，所以我们可以用一组数据的各个离差的平方的平均数来衡量数据的稳定性。 16 03 新知探究 甲、乙两名运动员射击测试成绩的离差平方和如下： (7－8)2＋(8－8)2＋(8－8)2＋(8－8)2＋(9－8)2＝2； (10－8)2＋(6－8)2＋(10－8)2＋(6－8)2＋(8－8)2＝16 。 你发现了什么？ 容易看出，离差平方和的大小还与样本容量有 关，所以我们可以用一组数据的各个离差的平方的 平均数来衡量数据的稳定性。 03 新知探究 方差： 一般地，一组数据的各离差的平方的平均数叫作这组数据 的方差，记为 。 特点 方差能较好地反映出数据的离散程度，方差越大，说明数据的波动越大（即离散程度越大），越不稳定；在利用方差比较两组数据的离散程度时，不受数据个数的限制。 典例分析 例1 为了考察甲、乙两块田地小麦的长势，分别从中抽出 10株小麦苗，测得苗高如下（单位：cm）： 甲：12，13，14，15，10，16，13，11，15，11； 乙：11，16，17，14，13，19，6， 8， 10，16。哪块田地的小麦长得比较整齐？ 方差 因为，S2甲<S2乙，所以甲田地的小麦长得比较整齐. 19 容易看出，离差平方和的大小还与样本容量有关，所以我们可以用一组数据的各个离差的平方的平均数来衡量数据的稳定性。 一般地，一组数的各个离差的平方的平均数叫作这组数据的方差，记为 注意：方差越小，这组数据的离散程度越小，数据就越集中，越稳定，方差越大，说明数据的波动越大，越不稳定。 归纳总结 标准差 求方差的一般步骤： 方差的选用条件：当两组数据的平均数相等或相近时，才利用方差来判断它们的波动情况． 先平均，后求差，平方后，再平均。 由例1可知，数据的单位与方差的单位不一致，为了使单位一致，可用方差的算术平方根来表示，即标准差. 一组数据的方差的算术平方根称为这组数据的标准差。 同方差一样，标准差越大，说明数据的波动越大，越不稳定。 拓展探究 探究活动（P75） （1）已知数据99，97，96，98，95，把这组数据的每个数都减去97，得到一组新数据。将这两组数据画成折线图，并用一条平行于横轴的直线来表示这两组数据的平均数。 （2）观察你画的两个 图形，你发现了哪些 有趣的结论？ 方差的性质 22 拓展探究 探究活动（P75） （2）观察你画的两个图形，你发现了哪些有趣的结论？ 方差的性质 ①这组数据中的每个数据都减去97，得到的新数据的平均数比原数据的平均数减少97； ②这组数据中的每个数据都减去97，得到的新数据的方差不变； 23 03 新知探究 标准差： 一组数据的方差的算术平方根称为这组数据的标准差。 特点 标准差越大，说明数据的波动越大，越不稳定。 03 新知探究 归纳总结 在利用方差比较两组数据的波动情况时，一定要先计算两组数据的平均数．一般说来，平均数可能反映数据的优劣程度，如果在平均数上已经能够区分几组数据的优劣，那么就不用再考虑方差的大小了．但在实际的习题中，往往都是平均值相同，那么此时就要考虑数据的方差情况了．由此可得到：在解决问题时，要先算平均数，当平均值不同时，择优选取；当平均数相同时，比较方差，选择波动较小的一组数据． 归纳总结 方差的性质 1.如果一组数据X1 X2 X3 … … Xn的平均数是x，方差是S2， 那么，X1±a, X2±a … … Xn±a 的平均数是x±a, 方差是S2 ； 2.如果一组数据X1 X2 X3 … … Xn 的平均数是x，方差是S2， 那么，bX1, bX2 … … bXn , 的平均数是bx , 方差是b2S2. 26 课堂小结 稳定性 反映数据离散程度的统计量 方差 标准差 一般地，各数据与平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差. S2=________________________ 用来衡量一组数据的__________(即这组数据波动的大小）的统计量.在样本容量相同的情况下,方差越_________，说明数据的波动越大，越不__________ 一组数据的方差的算术平方根叫做这组数据的标准差 大 稳定 离差平方和 样本中，各数据与平均数的差的平方和 [(x1-)2+(x2-)2+…+(xn-)2] $