第3节　两角和与差的正弦、余弦和正切公式课件-2027届高三数学一轮复习

第3节　两角和与差的正弦、余弦和正切公式 课标解读　1.经历推导两角差余弦公式的过程,知道两角差余弦公式的意义.2.能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式,二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系,能运用这些公式解决相关的求值与化简问题. 1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式 cos αcos β+sin αsin β　 cos αcos β-sin αsin β sin αcos β-cos αsin β　 sin αcos β+cos αsin β 2.辅助角公式 asin x+bcos x(a,b为常数)可以化为  的形式,其中 sin φ=,cos φ=. sin(x+φ) 3.二倍角的正弦、余弦、正切公式 名称 公式 二倍角的正弦 sin 2α=　　　　　  二倍角的余弦 cos 2α=　　　　　　　　=　　　　　=　　　　　  二倍角的正切 tan 2α=　　　　  微点拨 1.升幂公式:1+cos 2α=2cos2α,1-cos 2α=2sin2α, 1±sin α=(sin±cos)2. 2.降幂公式:cos2α=,sin2α=,tan2α=. 2sin αcos α cos2α-sin2α 1-2sin2α　 2cos2α-1 　 常用结论 1.公式的常用变形 tan α±tan β=tan(α±β)(1∓tan αtan β),1+sin 2α=(sin α+cos α)2,1-sin 2α =(sin α-cos α)2,sin α±cos α=sin(α±),sin 2α=, cos 2α=. 2.常用拆角、拼角技巧:例如,2α=(α+β)+(α-β);α=(α+β)-β=(α-β)+β; β==(α+2β)-(α+β);α-β=(α-γ)+(γ-β);+α=-(-α)等. [自主诊断] 1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”) (1)两角和与差的正弦、余弦、正切公式中的角α,β是任意的.(　　) (2)公式asin x+bcos x=sin(x+φ)中φ的取值与a,b的值无关.(　　) (3)cos θ=2cos2-1=1-2sin2.(　　) (4)=tan(+θ).(　　) × 解析 两角和与差的正切公式中,需每个角对应的正切函数有意义. × 解析 φ的取值取决于a,b的值. √ × 解析 应为tan(-θ). 2.(人A必修一教材例题改编)sin 15°sin 45°-cos 15°cos 45°=(　　) A.　B.　C.-　D.- C 解析 原式=-(cos 15°cos 45°-sin 15°sin 45°)=-cos(15°+45°) =-cos 60°=-故选C. 3.(2024·全国甲,文9)已知,则tan(α+)=(　　) A.2+1 B.2-1 C. D.1- B 解析 由,得,则tan α=1-,所以tan(α+)==2-1.故选B. 4.(2021·全国乙,文6)cos2-cos2=(　　) A. B. C. D. D 解析 原式=cos2-cos2()=cos2-sin2=cos故选D. 5.(人A必修一教材习题改编)已知sin(α-β)cos α-cos(β-α)sin α=,β是第三象限角,则sin(β+)=　　　　.  解析 由已知得sin(α-β)cos α-cos(α-β)sin α=,即sin[(α-β)-α]=, 所以sin(-β)=,则sin β=-,又β是第三象限角,所以cos β=-, 故sin(β+)=sin βcos+cos βsin=-(sin β+cos β)= 6.(人A必修一教材习题改编)若cos(θ+)=-,则cos 2θ的值为　　　　　.  解析 因为cos(θ+)=-,所以sin θ=,所以cos 2θ=1-2sin2θ= 考点一　和、差、倍角公式的简单应用 例1　(1)(2024·新高考Ⅰ,4)已知cos(α+β)=m,tan αtan β=2,则cos(α-β)=(　　) A.-3m B.- C. D.3m A 解析 ∵tan αtan β=2, ∴sin αsin β=2cos αcos β. ∵cos(α+β)=m, 即cos αcos β-sin αsin β=cos αcos β-2cos αcos β=m, ∴cos αcos β=-m,sin αsin β=-2m. ∴cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=-m-2m=-3m. 考点一 考点二 考点三 教考衔接 (人A必修一教材习题)已知cos(α+β)=,cos(α-β)=,求tan αtan β的值. 解 根据公式得cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=,① cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=,② 将①和②相加,得2cos αcos β=cos αcos β=, 将②-①,得2sin αsin β=sin αsin β=, 所以tan αtan β= 考点一 考点二 考点三 (2)(2025·山东泰安一模)已知tan(α-)=3,则cos 2α=(　　) A.- B.- C.- D. B 解析 依题意,tan(α-)==3,解得tan α=-2,cos 2α=cos2α-sin2α==-故选B. 考点一 考点二 考点三 (3)(2025·全国2,8)已知0<α<π,cos,则sin(α-)=(　　) A. B. C. D. D 解析 由0<α<π可知0<,因为cos,所以sin,所以sin α =2sincos=2,cos α=2cos2-1=2×()2-1=-所以sin(α-) =sin αcos-cos αsin-(-故选D. 考点一 考点二 考点三 规律方法　利用和、差、倍角公式求值化简的基本策略 (1)熟记公式结构特征以及符号规律; (2)注意与诱导公式、同角三角函数关系式相结合; (3)注意配方法、因式分解、整体换元思想的运用. 考点一 考点二 考点三 [对点训练1](1)(2025·湖南娄底二模)tan+sin=(　　) A. B.1 C. D. B 解析 tansin=2tancossin=2sin2,sin=sin()=cos=1-2sin2,于是tansin+sin=1.故选B. 考点一 考点二 考点三 (2)(2023·新高考Ⅰ,8)已知sin(α-β)=,cos αsin β=,则cos(2α+2β)=(　　) A. B. C.- D.- B 解析 由题意,∵sin(α-β)=,cos αsin β=,∴sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β =sin αcos β-,解得sin αcos β=sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β =,∴cos(2α+2β)=cos[2(α+β)]=1-2sin2(α+β)=1-2×()2=故选B. 考点一 考点二 考点三 考点二　和、差、倍角公式的逆用与变形 考向1　公式的逆用与辅助角公式 例2　(1)(2025·湖南郴州模拟)已知cos α+sin(α-)=,则cos(2α+)的值 是(　　) A. B. C.- D.- B 解析 因为cos α+sin(α-)=, 所以cos α+sin α-cos α=sin α+cos α=sin(α+)=, 所以cos(2α+)=1-2sin2(α+)=1-2×()2=故选B. 考点一 考点二 考点三 (2)(多选题)(2026·江苏扬州高三期中)下列各式结果为1的有(　　) A.2(1-2sin215°) B. C.sin 15°cos 15° D.cos 40°(1+tan 10°) BD 考点一 考点二 考点三 解析 2(1-2sin215°)=2×cos 30°=,故A选项错误; =tan(60°-15°)=tan 45°=1,故B选项正确; sin 15°cos 15°=(2sin 15°cos 15°)=sin 30°=,故C选项错误; cos 40°(1+tan 10°)=cos 40°(1+) =cos 40°()=cos 40°=1, 故D选项正确. 故选BD. 考点一 考点二 考点三 规律方法　公式的逆用与辅助角公式的注意事项 (1)在使用三角函数公式时,必须注意公式成立的条件以及角之间的相互关系,确保公式的正确应用. (2)应用辅助角公式时,需把握以下三点:①准确识别公式中的系数a和b,正确计算;②通过tan φ=计算辅助角φ时,需根据a,b的符号确定φ所在象限;③注意化简后的函数形式,确保整体结构规范、符号一致,避免形式错误. 考点一 考点二 考点三 [对点训练2](1)(2025·安徽模拟)若λsin 140°-tan 40°=,则实数λ的值 为(　　) A.-2 B.2 C.3 D.4 D 解析 由λsin 140°-tan 40°=化简得,λsin 40°-,即 λsin 40°cos 40°=sin 40°+cos 40°,即sin 80° =2sin(40°+60°)=2sin 80°,因为sin 80°>0,解得λ=4.故选D. 考点一 考点二 考点三 (2)(2025·江苏南通模拟)已知α∈(0,π),且sin(α-β)sin β-cos(α-β)cos β=-,则 tan α=　　　　　.  解析 因为sin(α-β)sin β-cos(α-β)cos β=-,所以cos(α-β)cos β-sin(α-β)sin β=, 所以cos(α-β+β)=,即cos α=, 又因为α∈(0,π),所以sin α=, 所以tan α= 考点一 考点二 考点三 考向2　公式的变形 例3　(2025·湖南邵阳模拟)(1+tan 80°)(1-tan 20°)=(　　) A.2 B.4 C.-1 D.-3 B 解析 (1+tan 80°)(1-tan 20°) =tan 80°-tan 20°-3tan 80°tan 20°+1 =tan(80°-20°)(1+tan 80°tan 20°)-3tan 80°tan 20°+1 =3+3tan 80°tan 20°-3tan 80°tan 20°+1 =4. 考点一 考点二 考点三 规律方法　tan αtan β,tan α+tan β(或tan α-tan β),tan(α+β)(或tan(α-β))三者中可以知二求一,且常与一元二次方程根与系数的关系结合命题. 考点一 考点二 考点三 [对点训练3](2025·广东佛山二模)若α+β=(α≠+kπ,β≠+kπ,k∈Z), 则(1+tan α)(1+tan β)=(　　) A.-1 B.0 C.1 D.2 D 解析 因为α+β=,则tan(α+β)=tan=tan(π+)=tan=1,则tan(α+β)=, 所以=1,则tan α+tan β=1-tan αtan β, 所以(1+tan α)(1+tan β)=1+tan α+tan β+tan αtan β=1+1=2. 故选D. 考点一 考点二 考点三 考点三　角的变换 例4　(1)(2026·山东青岛高三期中)若sin(-α)=,则cos(+2α)=(　　) A. B.- C. D.- B 解析 ∵sin(-α)=, ∴cos(α+)=cos[-(-α)]=sin(-α)=, ∴cos(+2α)=cos[2(+α)]=2cos2(α+)-1=-故选B. 考点一 考点二 考点三 (2)已知tan(α+β)=3tan β,sin(α+2β)=,则sin α=　　　　　.  解析 由tan(α+β)=3tan β,可得, ∴sin(α+β)cos β=3cos(α+β)sin β, ∴sin α=sin[(α+β)-β]=sin(α+β)cos β-cos(α+β)sin β=2cos(α+β)sin β. ∵sin(α+2β)=sin[(α+β)+β]=sin(α+β)cos β+cos(α+β)sin β=4cos(α+β)sin β=, ∴cos(α+β)sin β=,∴sin α=2 考点一 考点二 考点三 规律方法　 考点一 考点二 考点三 [对点训练4](1)(2025·湖南衡阳模拟)若tan(x-)=,tan(-y)=,则tan=(　　) A. B. C.1 D.7 B 解析 由两角差的正切公式得 tan=tan[(x-)-(-y)]=故选B. 考点一 考点二 考点三 (2)(原创题)已知α∈(0,),sin(α-)=,则cos α=(　　) A. B. C. D. A 解析 因为α∈(0,),故α-(-),因为sin(α-)=, 所以cos(α-)=, 所以cos α=cos[(α-)+]=cos(α-)cos-sin(α-)sin故选A. 考点一 考点二 考点三 $