第一节 任意角和弧度制、三角函数的概念 课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“任意角和弧度制、三角函数概念”核心考点，依据高考评价体系明确了任意角表示、弧度与角度互化、三角函数定义三大考查要求，通过梳理教材回顾与小题快练，归纳出象限角判断、扇形面积计算、三角函数符号辨析等常考题型，体现备考针对性。 课件亮点在于“真题改编训练+考点突破方法”，如以扇形周长40cm求圆心角弧度数为例，将几何问题转化为二次函数最值求解，培养学生数学思维中的推理能力与运算能力。通过“母题解析+变式训练”帮助学生掌握答题技巧，教师可据此系统指导，提升复习效率。

第一节 第四章　三角函数与解三角形 任意角和弧度制、三角函数的概念 【目标要求】　1.了解任意角的概念和弧度制.2.能进行弧度与角度的互化,体会引入弧度制的必要性.3.借助单位圆理解任意角的三角函数 (正弦函数、余弦函数、正切函数)的定义. 1.角的概念的推广 (1)定义:角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形. (2)分类:按旋转方向,角可以分成三类:________、负角和_________. (3)终边相同的角 所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合S= {β|β=___________________}.即任一与角α终边相同的角,都可以表示成角α与整数个周角的和. [微点清]　终边相同的角不一定相等,但相等的角其终边一定相同. 正角 零角 α+k·360°,k∈Z 2.弧度制的定义和公式 (1)定义:长度等于_________的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角.弧度单位用符号rad表示,读作弧度. 半径长 (2)公式 角α的弧度数公式 |α|=(l表示弧长) 角度与弧度的换算 1°=rad;1 rad=________≈57.3° 弧长公式 l=_____ 扇形面积公式 S=lr=_______ [微点清]　角度与弧度换算的关键是π rad=180°,在同一个式子中,采用的度量制必须一致,不可混用. °　 |α|r　 |α|r2 3.任意角的三角函数 (1)定义:设α是一个任意角,α∈R,它的终边OP与单位圆相交于点P(x,y),那么sin α=____,cos α=____,tan α=_____(x≠0). (2)三角函数值在各象限内的符号:一全正、二正弦、三正切、四余弦,如图. y x 　 (3)任意角的三角函数的定义(推广) 设P(x,y)是角α终边上异于顶点的任意一点,其到原点O的距离为r,则 sin α=,cos α=,tan α=(x≠0).(r=>0) 1.象限角与轴线角 2.一个结论 若α∈,则tan α>α>sin α. 1.思考辨析(对的打“√”,错的打“×”) (1)第一象限的角一定是正角.(　　) (2)锐角都是第一象限角.(　　) 如-330°的角终边落在第一象限,但不是正角,错误. 解析 (3)终边相同的角一定相等.(　　) (4)225°是第三象限角.(　　) 终边相同的角未必相等;如30°和390°的角终边相同,但不相等. 解析 225°=180°+45°,在第三象限,故正确. 解析 2.(人A必一P184习题5.2T2改编)已知角α的终边经过点P(-1,2),则tan α=(　　) A.2 B.-2 C.1 D.-1 由题意,得tan α==-2.故选B. 解析 3.(人B必三P12练习AT4改编)若将钟表调慢5 min,则分针转动角为 (　　) A.60° B.30° C.-60° D.-30° 解析 4.(苏教必一P181T6改编)已知α∈(0,2π),sin α<0,cos α>0,则角α的取值范围是(　　) A. B. C. D. 因为sin α<0,cos α>0,所以α为第四象限角,结合α∈(0,2π),得α∈,故选D. 解析 5.(人A必一P175T6改编)已知一个扇形的周长为40 cm,面积为100 cm2,则该扇形的圆心角的弧度数为_____. 解析 2 (1)若α是第二象限角,则(　　) A.-α是第一象限角 B.是第三象限角 C.+α是第二象限角 D.2α是第三或第四象限角或终边在y轴非正半轴上 考点一 角及其表示………………自练自悟 解析 (2)若α是第一象限角,则下列各角中属于第四象限角的是(　　) A.90°-α B.90°+α C.360°-α D.180°+α 若α是第一象限角,则90°-α的终边在第一象限,90°+α的终边在第二象限,360°-α的终边在第四象限,180°+α的终边在第三象限,故选C. 解析 (3)若与120°角的终边相同,则θ是(　　) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 解析 (4)已知角α的终边在图中阴影部分内,试指出角α的取值范围___________________________________________. {α|30°+k·180°≤α<105°+k·180°,k∈Z} 终边在30°角的终边所在直线上的角的集合S1={α|30°+k·180°, k∈Z},终边在105°角的终边所在直线上的角的集合S2={α|105°+ k·180°,k∈Z},因此,终边在图中阴影部分内的角α的取值范围为{α|30°+k·180°≤α<105°+k·180°,k∈Z}. 解析 1.利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角,方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合,然后通过对集合中的参数k(k∈Z)赋值来求得所需的角. 2.确定kα,(k∈N*)的终边位置的方法:先写出kα或的范围,然后根据k的可能取值确定kα或的终边所在位置. 【例1】　已知扇形的圆心角为α(α为正角),周长为C,面积为S,所在圆的半径为r. (1)若α=36°,r=10 cm,求扇形的弧长; 考点二 弧度制及应用 解 (2)若C=4 cm,求S的最大值及此时扇形的半径和圆心角. (2)设扇形的弧长为l,半径为r,则2r+l=4,所以l=4-2r(0<r<2),则S=lr=(4-2r)r=-r2+2r=-(r-1)2+1,当r=1时,Smax=1 cm2,此时l=4-2×1= 2 cm,α==2,所以S的最大值是1 cm2,此时扇形的半径是1 cm,圆心角α=2 rad. 解 应用弧度制解决问题时的注意点 1.在解决弧长问题和扇形面积问题时,要合理地利用圆心角所在的三角形. 2.求扇形面积最大值的问题时,常转化为二次函数的最值问题. 【训练】　(多选题) 已知扇形的周长为120,圆心角为2 rad,则下列说法正确的有(　　) A.此扇形的弧长为30 B.此扇形的半径为30 C.此扇形的面积为900 D.此扇形的面积为600 解析 考向❶三角函数的定义 【例2】　(2026·哈尔滨模拟) 在平面直角坐标系xOy中,α的始边为x轴的非负半轴,终边与单位圆交于点P,其中x<0,则=(　　) A.11 B.-11 C. D.- 考点三 三角函数的定义及应用 解析 定义法求三角函数值的两种情况 1.已知角α终边上一点P的坐标,可求角α的三角函数值.先求P到原点的距离,再用三角函数的定义求解. 2.已知角α的某三角函数值,可求角α终边上一点P的坐标中的参数值,再根据定义中的两个量,列方程求参数值. 考向❷三角函数值的符号 【例3】　(1)已知cos θ·tan θ>0,则θ可能为(　　) A.第一或二象限角 B.第二或三象限角 C.第一或三象限角 D.第三或四象限角 解析 (2)已知α为第三象限角,则(　　) A.sin>0 B.cos>0 C.sin 2α>0 D.cos 2α>0 解析 判断三角函数值的符号,关键是确定角的终边所在的象限,然后结合三角函数值在各象限的符号确定所求三角函数值的符号,注意角的终边在坐标轴上的情况. 【题组对点练】 题号 1 2 3 考向 ❶ ❷ ❷ (1)已知角α的终边经过点P,则sin的值等于(　　) A.- B. C.- D. 解析 (2)以坐标原点为顶点,x轴非负半轴为始边的角α,其终边落在直线y=x上,则有(　　) A.sin α=- B.cos α= C.sin α+cos α=± D.tan α=±1 解析 (3)若α是第二象限角,则下列不等式正确的是(　　) A.cos(-α)>0 B.tan>0 C.sin 2α>0 D.sin(-α)>0 解析 解析 分针转一圈60 min共360°,将钟表的分针调慢5 min,为逆时针,则分针逆时针转过×360°=30°.故选B. 设扇形的弧长为l,半径为R,则l+2R=40且l·R=100,解得l=20,R=10,则该扇形的圆心角的弧度数为θ==2. 因为α是第二象限角,可得+2kπ<α<π+2kπ,k∈Z,对于A,可得-π-2kπ<-α< --2kπ,k∈Z,此时-α的终边在第三象限,所以-α是第三象限角,A错误;对于B,可得+kπ<<+kπ,k∈Z,当k为偶数时,的终边在第一象限;当k为奇数时,的终边在第三象限,所以是第一或第三象限角,B错误;对于C,可得2π+2kπ<+α<+2kπ,k∈Z,即2(k+1)π<+α<+2(k+1)π,k∈Z,所以+α的终边在第一象限,所以+α是第一象限角,C错误;对于D,可得π+4kπ<2α<2π+4kπ,k∈Z,所以2α是第三或第四象限角或终边在y轴非正半轴上,D正确. 因为与120°角的终边相同,所以=120°+k·360°(k∈Z),则θ= 240°+ 2k·360°(k∈Z),所以θ是第三象限角.故选C. (1)α=36°=36× rad=π rad,扇形的弧长l=αr=π×10=2π(cm); 设该扇形的圆心角、弧长、半径分别为α,l,r,所以解得r=30, l=60,故A错误,B正确;扇形的面积S=lr=900,故C正确,D错误.故选BC. 依题意,x2+=1,而x<0,解得x=-=-,因此tan α==-,所以===-.故选D. 因为cos θ·tan θ>0,所以所以θ可能为第一象限角或第二象限角.故选A. 因为α为第三象限角,即π+2kπ<α<π+2kπ,k∈Z,所以π+kπ<<π+kπ,k∈Z,即是第二、四象限,所以sin>0或sin<0,cos>0或cos<0,故选项A、B错误,因为2π+4kπ<2α<3π+4kπ,k∈Z,所以sin 2α>0,-1<cos 2α<1,故C正确D错误.故选C. 由题意可知cos α==,所以sin=-cos α=-.故选C. 因为角α的终边落在直线y=x上,所以α=+2kπ或α=+2kπ,k∈Z.对于A,当α=+2kπ,k∈Z时,sin α=,故A项错误.对于B,当α=+2kπ,k∈Z时,cos α=-,故B项错误.对于C,当α=+2kπ,k∈Z时,sin α+cos α=,当α=+2kπ,k∈Z时,sin α+cos α=-,故C项正确.对于D,当α=+2kπ,k∈Z时,tan α=1;当α=+2kπ,k∈Z时,tan α=1,故D项错误.故选C. 对于A:因为+2kπ<α<π+2kπ(k∈Z),所以-π-2kπ<-α<--2kπ(k∈Z),所以-α是第三象限角,所以cos(-α)<0,故选项A不正确;对于B:因为+2kπ<α<π+2kπ(k∈Z),所以+kπ<<+kπ(k∈Z),当k=2n(n∈Z)时,+2nπ<<+2nπ(n∈Z),此时是第一象限角,当k=2n+1(n∈Z)时,+2nπ<<+2nπ(n∈Z),此时是第 三象限角,所以是第一或第三象限角,所以tan>0,故选项B正确;对于C:因为+2kπ<α<π+2kπ(k∈Z),所以π+4kπ<2α<2π+4kπ(k∈Z),所以2α是第三或第四象限角或终边落在y轴非正半轴,所以sin 2α<0,故选项C不正确;对于D:因为+2kπ<α<π+2kπ(k∈Z),所以-π-2kπ<-α<--2kπ(k∈Z),所以 -α是第三象限角,所以sin(-α)<0,故选项D不正确;故选B. $