第四节 第2课时 三角函数的周期性、奇偶性与对称性 课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦三角函数周期性、奇偶性与对称性核心考点，依据高考评价体系分析近五年真题，明确周期性判定（占比35%）、奇偶性应用（25%）、对称性综合（40%）的权重分布，归纳选择、填空及解答题常考题型，构建系统备考框架。 课件亮点在于“真题驱动+方法提炼+素养提升”，如以2024新课标Ⅱ卷多选题为实例，通过“公式化简→性质辨析→结论验证”三步法突破周期性与对称性综合题，培养数学思维与推理能力，总结“定义域优先”“整体换元”等应试技巧，助力学生高效得分，为教师提供精准复习指导。

第四节 第四章　三角函数与解三角形 三角函数的图象与性质 第2课时　三角函数的周期性、 奇偶性与对称性 第四节 【例1】　(1)下列函数中最小正周期为π且是奇函数的为(　　) A.y=tan 2x B.y=tan C.y=sin xcos x D.y=sin 考点一 三角函数的周期性 解析 (2)若函数f(x)=cos2ωx+2sin ωxcos ωx-sin2ωx的最小正周期为2,则正实数ω=(　　) A. B. C.π D.2π f(x)=cos2ωx+2sin ωxcos ωx-sin2ωx=cos 2ωx+sin 2ωx=sin,其最小正周期T==2,ω>0,解得ω=.故选B. 解析 (3)已知函数f(x)=tan x-,则f(x)的最小正周期为______. 解析 　 求三角函数最小正周期的基本方法 1.先将所给函数化为y=Asin(ωx+φ)的形式,再用周期公式求出; 2.利用图象的根本特征,作出图象,观察得出. 【训练1】　(1)下列函数中,周期为4π的是(　　) A.y=sin B.y=cos C.y= D.y=2cos 由正余弦型的三角函数的周期公式T=求解,要注意C项是绝对值函数的周期特点.四个选项中的函数周期分别为2π,π,2π,4π,故选D. 解析 (2)已知函数y=tan(ωx+φ)的最小正周期是π,且经过点(0,-1),则ω,φ的值分别是(　　) A.1,- B.1, C.3,- D.3, 解析 【例2】　(1)已知函数f(x)=sin+cos,则(　　) A.f(x)为偶函数,且在上单调递增 B.f(x)为偶函数,且在上单调递减 C.f(x)为奇函数,且在上单调递增 D.f(x)为奇函数,且在上单调递减 考点二 三角函数的奇偶性 解析 (2)若函数f(x)=2sin(3x+θ),x∈[2α-5π,3α]为奇函数,其中θ∈(0,2π),则α-θ=______. 由奇函数的定义域关于原点对称,得2α-5π+3α=0,则α=π,又f(x)=2sin(3x+θ)为奇函数,则θ=kπ,又θ∈(0,2π),故θ=π,所以α-θ=0. 解析 0　 三角函数奇偶性的判断及应用 三角函数奇偶性的判断借助定义,而根据奇偶性求解问题则利用性质:若y=Asin(ωx+φ)为奇函数,则φ=kπ(k∈Z),若y=Asin(ωx+φ)为偶函数,则φ=+kπ(k∈Z). 【训练2】　(1)已知函数f(x)=cos是奇函数,则tan φ的值为_____. 因f(x)=cos为奇函数,则+φ=+kπ⇒φ=+kπ,k∈Z,则tan φ=tan=. 解析 　 (2)若函数f(x)=(x2+mx)cos的图象关于y轴对称,则m=____. 解析 0 【例3】　(1)(多选题)已知函数f(x)=2sin(ω>0)的最小正周期为4π,则该函数的图象(　　) A.关于点对称 B.关于直线x=对称 C.关于点对称 D.关于直线x=对称 考点三 三角函数的对称性 解析 (2)(2025·全国一卷)若点(a,0)(a>0)是函数y=2tan的图象的一个对称中心,则a的最小值为(　　) A. B. C. D. 解析 三角函数对称性应用技巧 1.求函数图象的对称轴方程或对称中心坐标时,可利用整体换元法进行求解,注意熟记正弦型、余弦型函数图象对称轴方程、对称中心坐标的形式. 2.判断某一直线、某一点是否为函数y=Asin(ωx+φ)(或y= Acos(ωx+φ))的对称轴、对称中心时,可根据对称轴一定经过图象的最高点或最低点,对称中心一定是函数的零点这一性质进行检验判断. 【训练3】　(1)将函数f(x)=tan的图象向右平移个单位长度得到函数y=g(x)的图象,则y=g(x)的图象的对称中心为_____________. 由题意可知:函数g(x)=f=tan=tan 2x,令2x=, k∈Z,解得x=,k∈Z,所以函数y=g(x)的图象的对称中心为,k∈Z. 解析 ,k∈Z (2)(2025·天津高考)f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,-π<φ<π),在上单调递增,且x=为f(x)图象的一条对称轴,是f(x)图象的一个对称中心,当x∈时,f(x)的最小值为(　　) A.- B.- C.-1 D.0 解析 含绝对值的三角函数问题 解析式中含三角函数绝对值的函数性质问题,求解的主要方法是根据函数的有关性质(如奇偶性、周期性、对称性等),研究函数的值域(最值)、单调性、零点个数等,需要去掉绝对值符号,结合所得函数解析式的特征求解. 【典例】　(2026·邯郸模拟)(多选题)已知函数f(x)=|sin x|cos x,则下列说法正确的是(　　) A.f(x)的最小正周期是4π B.f(x)的值域是 C.f(x)在区间上单调递减 D.f(x)的图象关于点对称 解析 【微练】　已知函数f(x)=|sin x|+cos x,下列结论正确的是(　　) A.f(x)为偶函数 B.f(x)的一个周期为π C.f(x)在[0,π]上单调递减 D.f(x)的图象关于直线x=对称 解析 1.(2021·新高考Ⅰ卷)下列区间中,函数f(x)=7sin单调递增的区间是(　　) A. B. C. D. 令2kπ-<x-<2kπ+(k∈Z),解得2kπ-<x<2kπ+(k∈Z),令k=0,可得函数f(x)的一个单调递增区间为,因为⊆,所以选A. 解析 2.(2024·新课标Ⅱ卷)(多选题)对于函数f(x)=sin 2x和g(x)=sin,下列说法中正确的有(　　) A.f(x)与g(x)有相同的零点 B.f(x)与g(x)有相同的最大值 C.f(x)与g(x)有相同的最小正周期 D.f(x)与g(x)的图象有相同的对称轴 解析 3.(2023·全国乙卷)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)在区间单调递增,直线x=和x=为函数y=f(x)的图象的两条对称轴,则f=(　　) A.- B.- C. D. 解析 4.(2022·新高考Ⅱ卷)(多选题)已知函数f(x)=sin(2x+φ)(0<φ<π)的图象关于点中心对称,则(　　) A.f(x)在区间单调递减 B.f(x)在区间有两个极值点 C.直线x=是曲线y=f(x)的对称轴 D.直线y=-x是曲线y=f(x)的切线 解析 解析 5.(2023·新课标Ⅰ卷)已知函数f(x)=cos ωx-1(ω>0)在区间[0,2π]有且仅有3个零点,则ω的取值范围是______. 解析 [2,3) 对于A,易知函数y=tan 2x的最小正周期为,因此A错误;对于B,函数y=tan的最小正周期为π,但其定义域} 不关于原点对称,因此该函数不是奇函数,即B错误;对于C,易知y=sin xcos x =sin 2x的定义域为R,最小正周期为π,且满足sin(-2x)=-sin 2x,为奇函数,所以C正确;对于D,显然y=sin=cos 2x为偶函数,即D错误.故选C. 因为f(x)=tan x-===-,设T是f(x)的周期,则f(x+T)= f(x),即-=-,所以tan(2x+2T)=tan 2x,故2T=π+2kπ或2T=2kπ,k∈Z,即T=+kπ或T=kπ,k∈Z,所以f(x)的最小正周期为. 根据函数性质,T==π,求得ω=1,代入点(0,-1)得tan φ=-1,又有|φ|<,所以φ=-.故选A. 因为f(x)的定义域为R,并且f(x)=sin+cos= cos(sin x)-sin(cos x),又f(-x)=cos[sin(-x)]-sin[cos(-x)]=cos(-sin x)-sin(cos x) =cos(sin x)-sin(cos x)=f(x),所以f(x)为偶函数;设x1、x2∈,并且x1<x2,则1≥sin x1>sin x2≥0,0≥cos x1>cos x2≥-1,所以cos(sin x1)<cos(sin x2), sin(cos x1)>sin(cos x2),-sin(cos x1)<-sin(cos x2),于是cos(sin x1)-sin(cos x1)< cos(sin x2)-sin(cos x2),即f(x1)<f(x2),所以f(x)在上单调递增,所以A正确,BCD错误.故选A. 函数f(x)=(x2+mx)cos的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),定义域关于原点对称,因为函数f(x)=(x2+mx)cos的图象关于y轴对称,所以函数f(x)=(x2+mx)cos为偶函数,所以f(-x)=f(x),所以[(-x)2-mx]cos=(x2+mx)cos,所以(x2-mx)cos=(x2+mx)cos恒成立,所以m=0. 由题意T==4π,则ω=,则f(x)=2sin,由于f=2sin=2sin=≠0,则函数f(x)不关于点对称,故A错误;由于f= 2sin=2sin=2,则函数f(x)关于直线x=对称,故B正确;由于f=2sin=2sin π=0,则函数f(x)关于点对称,不关于直线x=对称,故C正确,D错误.故选BC. 根据正切函数的性质,y=2tan的对称中心横坐标满足x-=,k∈Z,即y=2tan,k∈Z,即a=+,k∈Z,又a>0,则k=0时a最小,最小值是,即a=.故选B. 因为f(x)在上单调递增且x=为f(x)图象的一条对称轴,所以×-,f=sin=1,得0<ω≤2,且ω+φ=+2k1π(k1∈Z)　①.因为是f(x)图象的一个对称中心,所以f=sin=0,得ω+φ=k2π(k2∈Z)　②,由①②得ω=-2+4(k2-2k1)(k1,k2∈Z),结合0<ω≤2,得ω=2,则φ=+2k1π(k1∈Z),又-π<φ<π,所以φ=,故f(x)=sin.当x∈时,2x+∈,所以f(x)的最小值为f=sin=-.故选A. 由f(x+2π)=|sin(x+2π)|cos(x+2π)=|sin x|cos x=f(x),可知2π是函数f(x)的一个周期,所以f(x)的最小正周期不可能是4π,A错误;由于f(x)的一个周期为2π,当0≤x≤π时,f(x)=sin xcos x=sin 2x∈,当π<x≤2π时,f(x)=-sin xcos x=-sin 2x∈,所以f(x)的值域为,B正确;当<x<π时,f(x)=sin 2x,结合<2x<π,可知f(x)在区间上单调递减,C正确;由f(π-x)=|sin(π-x)|cos(π-x)=-|sin x|cos x=-f(x),即f(π-x)+f(x)=0,则f(x)的图象关于对称,D正确. 因为f(x)=|sin x|+cos x的定义域为R,且f(-x)=|sin(-x)|+cos(-x)=|sin x|+cos x=f(x),所以函数f(x)=|sin x|+cos x是偶函数,A正确;由于f(x+π)= |sin(x+π)|+cos(x+π)=|sin x|-cos x≠f(x),因此π不是f(x)的一个周期,B错误;当0≤x≤π时,f(x)=sin x+cos x=sin,且≤x+,令≤x+,得0≤x≤,令≤x+,得≤x≤π,即f(x)在上单调递增,在上单调递减,C错误;f=+cos=,f= +cos=0≠f,即f(x)的图象不关于直线x=对称,D错误. 令f(x)=0,得sin 2x=0,所以2x=kπ(k∈Z),解得x=(k∈Z).令g(x)=0,得sin=0,所以2x-=k1π(k1∈Z),解得x=+(k1∈Z).因此f(x)与g(x)没有相同的零点,选项A错误.f(x)与g(x)的最大值都是1,选项B正确.f(x)与g(x)的最小正周期都是T==π,选项C正确.由2x=k2π+(k2∈Z)得x=+(k2∈Z),所以f(x)图象的对称轴方程为x=+(k2∈Z).由2x-=k3π+(k3∈Z)得x=+(k3∈Z),所以g(x)图象的对称轴方程为x=+(k3∈Z).因此,选项D错误,故选BC. 因为f(x)=sin(ωx+φ)在区间单调递增,且直线x=和x=为函数y=f(x)的图象的两条对称轴,所以f(x)在x=和x=处分别取得最小值和最大值,所以=-=,T=π,得|ω|=2,不妨取ω=2,由f=sin =1,得+φ=+2kπ,k∈Z,得φ=-+2kπ,k∈Z.取k=0,得φ=-,从而f =sin=sin=,故选D. 因为f(x)的图象关于点对称,所以sin =0,即+φ=kπ,k∈Z,故φ=kπ-,k∈Z.结合0<φ<π,得φ=,所以f(x)=sin.对于A,令+2kπ≤2x++2kπ,k∈Z,解得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,故f(x)的单调递减区间为,k∈Z.显然⫋,k∈Z,故A正确.对于B,f'(x)=2cos,令f'(x)=0,得2x+=kπ+,k∈Z,即x=-,k∈Z.又因为x∈,所以x=,故 f(x)在区间只有一个极值点,故B错误.对于C,令2x+=+kπ,k∈Z,解得x=-+,k∈Z,故C错误.对于D,结合B,令2cos=-1,得2x+=+2kπ,k∈Z或2x+=+2kπ,k∈Z,解得x=kπ,k∈Z或x=+kπ,k∈Z,故其中一个切点为,则曲线y=f(x)在该点处的切线方程为y-=-x,即y=-x,故D正确.故选AD. 函数f(x)=cos ωx-1(ω>0)在区间[0,2π]上有且仅有3个零点等价于方程 cos ωx=1(ω>0)在区间[0,2π]上有且仅有3个不等的实根,因为0≤x≤2π,所以0≤ωx≤2πω,所以4π≤2πω<6π,即2≤ω<3,所以ω的取值范围为[2,3). $