第六节　第1课时　正弦定理、余弦定理 课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“三角函数与解三角形”专题，依据高考评价体系梳理了正弦定理、余弦定理的应用，三角形解的判断，面积计算三大核心考点。通过表格对比定理公式及变形，结合近三年高考真题分析，明确“利用定理求边长或角度”占50%、“三角形形状判断”占30%的高频考查方向，构建系统的解题思路。 课件亮点在于“真题解析+技巧归纳+素养培养”的备考模式，如以2025天津高考题为例，通过“边化角”转化已知等式求角A，培养学生的数学思维与推理能力。特设“易错警示”模块，针对“已知两边及对角判断解的个数”等易混点，结合数学语言规范表达过程，帮助学生掌握得分技巧，教师可据此精准设计专题训练，提升复习效率。

第六节 第四章　三角函数与解三角形 正弦定理和余弦定理 【目标要求】　1.借助向量的运算,探索三角形边长与角度的关系,2.掌握余弦定理、正弦定理. 1.正弦定理和余弦定理 定理 余弦定理 正弦定理 公式 a2=_______________, b2=_______________, c2=_______________ =_________=_________=2R (其中R是△ABC的外接圆半径) b2+c2-2bccos A c2+a2-2accos B a2+b2-2abcos C 　 　 定 理 的 变 形 cos A=__________, cos B=__________, cos C=__________ a=2Rsin A,b=_________,c=_________; a∶b∶c=__________________; sin A=,sin B=,sin C=; asin B=bsin A,bsin C=csin B,asin C=csin A 　 　 　 2Rsin B 2Rsin C sin A∶sin B∶sin C 2.三角形解的判断 在△ABC中,已知a,b和角A时,解的情况:   A为锐角 A为钝角或直角 图形           关系式 ①a=bsin A ②a≥b bsin A< a<b a<bsin A a>b a≤b 解的 个数 一解 两解 无解 一解 无解 3.三角形面积公式 (1)S=ah(h表示边a上的高); (2)S=bcsin A=acsin B=absin C; (3)S=r(a+b+c)(r为三角形的内切圆半径). 1.三角形的内角和定理:在△ABC中,A+B+C=π;变形:=-. 2.三角形中的三角函数关系:在△ABC中, (1)sin(A+B)=sin C;(2)cos(A+B)=-cos C;(3)sin=cos;(4)cos=sin. 3.在圆所有的内接三角形中,正三角形的面积最大. 4.在△ABC中,a>b⇔A>B⇔sin A>sin B,cos A<cos B. 1.思考辨析(对的打“√”,错的打“×”) (1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比.(　　) (2)在△ABC中,若b2+c2>a2,则∠A为锐角.(　　) 三角形中三边之比等于相应的三个内角的正弦值之比. 解析 (3)在△ABC的六个元素中,已知任意三个元素可求其他元素.(　　) (4)当b2+c2-a2>0时,△ABC为锐角三角形;当b2+c2-a2=0时,△ABC为直角三角形;当b2+c2-a2<0时,△ABC为钝角三角形.(　　) 已知三角时,不可求三边. 解析 当b2+c2-a2>0时,△ABC不一定为锐角三角形,仅确定A为锐角. 解析 2.(人A必二P44T2改编)在△ABC中,角A,B,C所对三条边为a,b,c,已知a=3,b=5,c=7,则角C=(　　) A.135° B.120° C.60° D.30° a=3,b=5,c=7,所以cos C===-,且0°<C<180°,所以C=120°.故选B. 解析 3.(人A必二P48T1(1)改编)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,A=45°,B=60°,a=10,则b=(　　) A. B.10 C.5 D.5 解析 4.在△ABC中,已知角A,B,C所对的边分别为a,b,c,a=2,b=,A=45°,则满足条件的三角形有(　　) A.1个 B.2个 C.0个 D.无法确定 因为bsin A=×=,所以bsin A<a<b.所以满足条件的三角形有2个.故选B. 解析 5.在△ABC中,三边长分别为a=3,b=2,c=,则△ABC的面积为_________. 解析 3　 第1课时　正弦定理、余弦定理 第六节 【例1】　(1)(2025·全国二卷)在△ABC中,BC=2,AC=1+,AB=,则A=(　　) A.45° B.60° C.120° D.135° 考点一 利用正弦、余弦定理解三角形 解析 (2)(2025·天津高考)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c. 已知asin B=bcos A,c-2b=1,a=. ①求A的值; ①已知asin B=bcos A,由正弦定理=,得asin B=bsin A= bcos A,显然cos A≠0,得tan A=,由0<A<π,故A=; 解 ②求c的值; 解析 ③求sin(A+2B)的值. 解析 解三角形时,如果式子中含有角的余弦或边的二次式,要考虑用余弦定理;如果式子中含有角的正弦或边的一次式,则考虑用正弦定理,以上特征都不明显时,则要考虑两个定理都有可能用到. 【训练1】　(2026·T8检测训练)在△ABC中,角A,B,C所对边分别为a,b,c,且满足cos2=. (1)求角C的大小; (1)在△ABC中,cos2=,所以(1+cos A)=,所以cos A=. 解 解析 (2)若点D在边AB上,且满足AB=3AD,求的值. (2)解法一:如图,过点D作DH垂直于AC于点H. 由题可得==. 设AH=x,HC=2x,tan A=,tan∠ACD=, 所以=2. 解 解析 【例2】　在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若c<bcos A,则△ABC的形状是(　　) A.钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.等边三角形 考点二 三角形形状的判断 解析 判断三角形形状的两种思路 (1)化为边:通过因式分解、配方等得出边的相应关系,从而判断三角形的形状. (2)化为角:通过三角恒等变形,得出内角的关系,从而判断三角形的形状.此时要注意应用A+B+C=π这个结论. 【训练2】　在△ABC中,a,b是内角A,B所对的边,已知bcos B=acos A,则△ABC的形状是(　　) A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形 在△ABC中,由bcos B=acos A及正弦定理,得sin Bcos B=sin Acos A,则sin 2A=sin 2B,而0<2A<2π,0<2B<2π,0<2(A+B)<2π,因此2A=2B或2A+2B=π,即A=B或A+B=,所以△ABC是等腰三角形或直角三角形.故选D. 解析 【例3】　(2026·沧衡质检)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足acos C+ccos A=2bcos B. (1)求角B; 考点三 三角形面积问题 解 (2)若sin 2A=acos A,△ABC的周长等于3+,求△ABC的面积. 解析 三角形面积公式的应用原则 (1)对于面积公式S=absin C=acsin B=bcsin A,一般是已知哪一个角就使用哪一个公式. (2)与面积有关的问题,一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化. 【训练3】　(1)(2025·八省联考)在△ABC中,BC=8,AC=10, cos∠BAC=,则△ABC的面积为(　　) A.6 B.8 C.24 D.48 设AB=x,根据余弦定理BC2=AC2+AB2-2AC·AB·cos∠BAC,已知BC=8,AC=10,cos∠BAC=,代入可得:82=102+x2-2×10×x×,即x2-12x+36=0,解得x=6,由于BC2+AB2=64+36=100=AC2,则△ABC为直角三角形,则S=×6×8=24.故选C. 解析 (2)(2024·新课标Ⅰ卷)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin C=cos B,a2+b2-c2=ab. ①求B; 解 ②若△ABC的面积为3+,求c. ②由①,得A=π-B-C=,由正弦定理=,得=,所以a= c.所以△ABC的面积S=acsin B=c2×=3+,得c=2. 解析 射影定理 设△ABC的三边是a,b,c,它们所对的角分别是A,B,C,则有a=bcos C+ccos B;b=ccos A+acos C;c=acos B+bcos A. 【典例】　在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若△ABC为锐角三角形,且满足sin B(1+2cos C)=2sin Acos C+cos Asin C,则下列等式成立的是(　　) A.a=2b　　 B.b=2a C.A=2B D.B=2A 解析 解析 【微练】　(1)在△ABC中,2csin2=c-b(a,b,c分别为角A,B,C的对边),则△ABC是(　　) A.等边三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.等腰三角形 解析 (2)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,S表示△ABC的面积,若ccos B+bcos C=asin A,S=(b2+a2-c2),则B=_____. 60° 根据正弦定理可知=,因为△ABC中,A=45°,B=60°,a=10,代入正弦定理可得=,所以b===5,故选C. 由余弦定理得cos C===,所以sin C==,故面积为absin C=×3×2×=3. 由题意得cos A===,又0°<A<180°,所以A=45°.故选A. ②由①知cos A=,且c=2b+1,a=,由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A,则7= b2+(2b+1)2-2×b(2b+1)=3b2+3b+1,解得b=1(b=-2舍去),故c=3; ③由正弦定理=,且b=1,a=,sin A=,得sin B==,且a>b,则B为锐角,故cos B=,故sin 2B=2sin Bcos B=,且cos 2B=1-2sin2B= 1-2×=;故sin(A+2B)=sin Acos 2B+cos Asin 2B=×+×=. 解法一:在△ABC中,由正弦定理得cos A=,所以sin B=cos Asin C.因为A+B+C=π,所以sin B=sin(A+C).所以sin Acos C+cos Asin C= cos Asin C,所以sin Acos C=0.因为sin A≠0,所以cos C=0,所以C=. 解法二:cos A=,在△ABC中,由余弦定理得=,所以a2+b2=c2,所以C=. 解法二:在△ACD中,由正弦定理得=　①,在△BCD中,由正弦定理得=,所以=　②,②÷①,得=2. 由c<bcos A,可得c<b,即a2+c2<b2,则cos B=<0,又B∈(0,π),则<B<π,则△ABC的形状为钝角三角形.故选A. (1)因为acos C+ccos A=2bcos B,所以由正弦定理得sin Acos C+sin Ccos A= 2sin Bcos B,所以sin(A+C)=2sin Bcos B,即sin B=2sin Bcos B,因为B∈(0,π),所以sin B>0,所以cos B=,所以B=. (2)因为sin 2A=acos A,所以2sin Acos A=acos A,当cos A=0时,A=,又B=,所以C=,所以a=2c,b=c,所以a+b+c=(3+)c=3+,解得c=1,则a=2, b=,所以S△ABC=bc=,当cos A≠0时,=2,所以b=·sin B=,因为a+b+c=3+,所以a+c=3,又因为a2+c2-2accos B=b2,所以(a+c)2-3ac=3,所以ac=2,所以S△ABC=acsin B=×2×=.综上,△ABC的面积为. 1 由余弦定理,得cos C==,又0<C<π,所以C=. 所以cos B=sin C=,所以cos B=,又0<B<π,所以B=. 解法一:因为sin B(1+2cos C)=2sin Acos C+cos Asin C,所以sin B+2sin Bcos C=sin Acos C+sin(A+C),所以sin B+2sin Bcos C=sin Acos C+sin B,即cos C(2sin B-sin A)=0,所以cos C=0或2sin B=sin A,即C=90°或2b=a,又△ABC为锐角三角形,所以0°<C<90°,故2b=a. 解法二:由正弦和余弦定理得b=2a×+c×,所以2b2=a2+3b2-c2,即(a2+b2-c2)=a2+b2-c2,即(a2+b2-c2) =0,所以a2+b2=c2或2b=a,又△ABC为锐角三角形,所以a2+b2>c2,故2b=a. 解法三:由正弦定理及射影定理,得b+2bcos C=2acos C+ccos A=acos C+ (acos C+ccos A)=acos C+b,即2bcos C=acos C,又因为△ABC为锐角三角形,所以cos C≠0,则2b=a. 由2csin2=c-b,得c(1-cos A)=c-b,整理得b=ccos A,在△ABC中,由射影定理得ccos A+acos C=b=ccos A,则acos C=0,而a>0,因此cos C=0,又0<C<π,则C=,所以△ABC是直角三角形.故选B. 在△ABC中,由射影定理a=ccos B+bcos C及ccos B+bcos C=asin A得: asin A=a,解得sin A=1,而0°<A<180°,则A=90°,由余弦定理cos C= 及S=(b2+a2-c2)得cos C=,而S=absin C,因此,cos C= sin C,即tan C=,又0°<C<180°,则C=30°,所以B=180°-A-C=60°. $