广东汕头高二数学下学期阶段测试2025-2026学年人教A版选择性必修第三册第七章

**基本信息** 本单元卷聚焦随机变量及其分布，以潮汕侨批、文化节等地方文化为情境，原创题占比高，适配高二选择性必修第三册第七章单元复习，强化数学眼光与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择题|8/40|概率计算、独立事件、条件概率等|原创题结合侨批情境（如第1题抽侨批概率）| |多选题|3/18|概率概念、统计知识|第9题结合侨批情境考查独立重复试验等概念| |填空题|3/15|独立重复试验、古典概型|第12题银信局整理出错概率计算| |解答题|5/77|二项分布、超几何分布、回归分析|15题侨批签收次数分布列，19题三门问题概率应用|

广东省汕头市高二数学下学期阶段测试 （人教 A 版选择性必修第三册 第七章 随机变量及其分布） 考试时长：90 分钟 满分：150 分 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.（原创） 电影《阿嫲的情书》中潮汕银信局整理老旧侨批，随机抽取 1 封，抽到家书类侨批概率为 0.6，汇款告知类侨批概率为 0.35，则抽到其他类型侨批的概率为（） A．0.05 B．0.10 C．0.15 D．0.95 2.（原创） 潮汕华侨每次从南洋寄送侨批顺利送达老家的概率为，各次寄送相互独立，则连续 2 次寄送全部顺利送达的概率为（） A． B． C． D． 3．一个箱子中有10个质地、大小相同的球，共5种颜色，每种颜色有2个球，现从中任取2球，若在其中一个球为红色的条件下，另一个球也为红色的概率为（ ） A． B． C． D． 4．已知随机变量，且，则（ ） A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.6 5．（原创）潮汕文化节有 10 个节目，其中潮汕音乐演奏 4 个，潮汕美食品尝 6 个，随机安排顺序，记前 3 个节目中潮汕音乐演奏节目数为随机变量，则（ ） A． B． C． D． 6．某医学院校计划从 5 名男生和 3 名女生中选派 2 人参加义诊活动，则在派出的 2 人中，已知 1 人是男生的条件下，另 1 人恰好是女生的概率是（ ） A． B． C． D． 7．甲乙两人下棋，先赢 2 局者获胜，每局甲赢的概率为，乙赢的概率为，比赛中断，按正常比赛获胜概率分配 5400 元奖金，则甲分得奖金为（ ） A．3600 B．3800 C．4000 D．4200 8．某流水线零件内径尺寸服从正态分布，则正常情况下零件内径的标准差为（ ） A．50 B．4 C．2 D．48 二、多选题:本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9.（原创） 结合《阿嫲的情书》侨批寄送与潮汕文博统计情境，下列关于概率与随机变量的说法正确的有（ ） A．独立重复试验中，各次试验结果相互独立、互不影响 B．二项分布随机变量的取值为 C．离散型随机变量分布列中所有概率之和为 1 D．正态分布曲线关于直线对称 10．下列说法正确的是（） A．一组数据的百分位数一定是该组数据中的某个数 B．若随机变量，则 C．回归直线一定过样本中心点 D．独立性检验观测值越大，两个变量有关的把握越大 11．某同学上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到：坐公交车平均用时30min，样本方差为36；骑自行车平均用时34min，样本方差为4.假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布.则（    ） A． B． C．若某天只有34min可用，该同学为了尽可能不迟到，应选择坐公交车 D．若某天只有38min可用，该同学为了尽可能不迟到，应选择骑自行车 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．银信局员工每次整理侨批出错概率为 0.1，各次独立，则 3 次整理至少 1 次出错的概率为。 13．一盒中有 12 个乒乓球，9 个新 3 个旧，任取 3 个使用后放回，设盒中旧球个数为，则对应取出新球 个、旧球 个。 14．从 5 封老侨批、3 封新复刻侨批中随机选 2 封，恰好新旧各一封的概率为。 四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15.（原创本题 12 分）电影《阿嫲的情书》中，华侨每次跨国寄送侨批顺利签收的概率为，未签收概率为，各次寄送相互独立。现随机寄送 3 次，设顺利签收次数为随机变量。 (1) 求的分布列； (2) 求 3 次寄送中至少 2 次顺利签收的概率。 16.（原创本题 12 分）潮汕侨批博物馆有 100 封老侨批，其中保存良好 60 封、一般 30 封、较差 10 封。 (1) 随机抽取 1 封，求保存状况良好的概率； (2) 从中不放回随机抽取 5 封，记保存良好的数量为，求的数学期望与方差。 17.（原创本题 14 分） 某市文旅部门在电商平台推广当地的某种特产，并设置了该特产的客服热线，每月统计一次消费者投诉次数，得到下表所示的数据. 月份序号x 1 2 3 4 5 投诉次数y 120 100 80 70 55 （1）若关于的经验回归方程为，求； （2）从表中5个月份中任选3个，以表示所选月份中投诉次数小于100的月份个数，求的分布列与数学期望. 18. 某农作物的种植过程分为育苗与移栽两个环节．在育苗环节，每粒种子的成活率为p．在育苗成功的条件下，对幼苗进行移栽，每株幼苗移栽的成活率为q．若该农作物育苗成功且移栽成活则认为种植成功．每粒种子种植是否成功互不影响． （1）若一粒种子种植成功的概率为，在育苗成功的条件下，移栽失败的概率为，现播撒300粒种子，设育苗成功的种子数量为，求； （2）播撒6粒种子，设种植成功数量为X，求的概率P，并求P的最大值． 19．（1）一个袋子中有30个大小相同的球，其中有10个红球、20个白球，从中随机放回地逐次摸一个球作为样本，5次摸球后停止，用表示停止时摸出红球的次数. ①求的分布列和数学期望； ②若用样本中红球的比例估计总体中红球的比例，求误差的绝对值不超过0.2的概率. （2）某节目上，有三扇关闭的门，其中一扇门后面为汽车，另两扇门后面为山羊，节目参加者从这三扇门中选择一扇，然后所选之门后面的物品则归其所有.当参加者选定一扇门后，节目主持人开启了剩余两扇门中后面为山羊的一扇门，并询问节目参加者是否更换选择.问：参加者这时候更换选择会更好吗？请用概率解释.（备注：汽车的价值要远大于羊.） （1）①分布列见解析，；②；（2）节目参加者换门更好，答案见解析 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $Sheet1 第七章随机变量及其分布列单元测试-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册 (命题双向细目表） 题号 题型 考查知识点 分值 难度系数 预估得分率 是否原创 核心素养考查 1 单选 随机事件概率、互斥事件概率公式 5 0.6 85% 原创 数学运算、数据分析 2 单选 独立事件同时发生的概率 5 0.6 82% 原创 数学运算、逻辑推理 3 单选 条件概率古典概型应用 5 0.65 75% 整编 数学运算、逻辑推理 4 单选 正态分布图像对称性、概率计算 5 0.65 73% 整编 直观想象、数据分析 5 单选 古典概型、组合计数求概率 5 0.65 76% 原创 数学运算、数学建模 6 单选 条件概率综合应用 5 0.65 70% 整编 数学运算、逻辑推理 7 单选 独立重复试验概率、奖金分配实际应用 5 0.7 68% 整编 数学建模、数学运算 8 单选 正态分布参数含义（均值、方差、标准差） 5 0.6 80% 整编 数据分析、概念理解 9 多选 独立重复试验、二项分布、离散型分布列、正态分布概念辨析 6 0.65 72% 原创 逻辑推理、数据分析 10 多选 百分位数、正态分布性质、回归直线、独立性检验 6 0.65 69% 整编 数据分析、逻辑推理 11 多选 正态分布实际生活应用、概率大小比较 6 0.7 65% 整编 数学建模、数据分析 12 填空 对立事件、独立重复试验概率计算 5 0.6 78% 情境原创 数学运算 13 填空 超几何分布实际含义、样本与总体关系 5 0.65 71% 整编 逻辑推理、数据分析 14 填空 古典概型、组合计数概率求解 5 0.65 74% 情境原创 数学运算 15 解答 二项分布分布列求解、互斥事件概率计算 12 0.65 68% 原创 数学运算、数学建模 16 解答 古典概型、超几何分布期望与方差公式应用 12 0.65 66% 原创 数据分析、数学运算 17 解答 线性回归方程、超几何分布分布列与数学期望 14 0.7 60% 原创 数据分析、数学建模 18 解答 条件概率、二项分布概率最值、函数单调性应用 15 0.7 58% 整编 逻辑推理、数学运算 19 解答 二项分布分布列与期望、概率误差估计、三门问题概率推理 16 0.7 55% 整编 逻辑推理、数学建模、数据分析 Sheet2 Sheet3 $ 广东省汕头市高二数学下学期阶段测试 答案及详细解析 一、单项选择题（每小题 5 分，共 40 分） 1.（原创）答案：A 【分析】利用随机事件概率规范性，所有互斥事件概率和为 1 求解。 【详解】由题意得(P=1-0.6-0.35=0.05)故选：A。 2.（原创）答案：A 【分析】根据独立事件同时发生概率乘法公式计算。 【详解】两次寄送相互独立，同时发生概率相乘 3.答案：A 【分析】利用条件概率公式即可解出答案. 【详解】设事件为“从箱子中任取两球均为红色”， 事件为“从箱子中任取两球至少有一球为红色”． 则由题意知， ,， 所求概率为. 故选：B． 4.答案：A 【分析】利用正态分布曲线关于均值对称的性质求解。 【详解】，对称轴 由对称性： 选 A。 5答案：B 【分析】古典概型，利用组合数计算概率。 【详解】前 3 个全是美食品尝节目，选 B。 6.答案：B 【分析】条件概率结合古典概型计算。 【详解】总选法，至少 1 男： 一男一女：, ，选 B。 7.答案：D 【分析】分类讨论甲 2 局获胜、3 局获胜，求和得总概率，再按比例分配奖金。 【详解】甲获胜概率：2 局胜 + 3 局胜 甲分得：，选 C。 8.答案：C 【分析】识别正态分布中标准差。 【详解】，方差，标准差，选 C。 二、多项选择题（每小题6 分，共18 分） 9.（原创）答案：ABC 【分析】依据独立重复试验、二项分布、离散型分布列、正态分布概念逐一判断。 【详解】 A 正确；B 二项分布取值正确； C 离散型分布列概率和为 1 正确； D 正态曲线关于对称，不是，错误。 10.答案：BC 【分析】统计相关概念辨析。 【详解】A 百分位数不一定是原数据；B 正态对称正确； C 回归直线过样本中心正确；D越大，有关把握越大，原表述错误。 11.答案：ACD 【详解】对于A，因为坐公交车平均用时，样本方差为36，坐公交车用时都服从正态分布，所以，所以，A正确； 对于B，因为骑自行车平均用时，样本方差为4，骑自行车用时都服从正态分布， 所以，其分布关于均值34对称.由于而，40和30并不关于34对称，故，B错误；对于C，计算34分钟内不迟到的概率为，，因为，所以坐公交车不迟到的概率更高，C正确；对于D，计算38分钟内不迟到的概率为， ， 因为，所以骑自行车不迟到的概率更高，D正确； 三、填空题（每小题 5 分，共 15分） 12.答案：0.271 【分析】对立事件求至少一次发生的概率。 【详解】 13.答案：2 个新球，1 个旧球 【分析】由旧球数量增量判断取出球类型。 【详解】原有旧球 3 个，最后，增加 2 个旧球，说明取出2 新 1 旧，用完放回变成旧球。 14.答案： 【分析】古典概型组合计算。 【详解】 四、解答题（共 70 分，分步给分，参赛评分标准） 15.（原创本题 12 分） 【分析】判断二项分布，求出分布列，利用互斥事件求概率。 【详解】(1) 由题意 ，X可取0,1,2,3 分布列如下： X 0 1 2 3 P 16.（原创本题 14 分） 【详解】(1) 古典概型： (2)X服从超几何分布： 期望： 方差：。 17.（本题 14 分） 【答案】（1）133 （2） 1 2 3 数学期望为 【分析】（1）根据回归直线过样本中心点列方程即可求解； （2）根据题意先判断的所有可能取值，再根据超几何分布求出相应的概率即可. 【小问1详解】 由题可知， 因为回归直线过点， 所以，则． 【小问2详解】 由题可知，投诉次数小于100的月份有3个， 则X的所有可能取值为1，2，3， ，，． 故的分布列为 1 2 3 所以． 18.（本题 14 分） 【答案】（1） （2）概率，最大值 【解析】 【分析】(1) 育苗成功的种子数量为服从二项分布，按照二项分布性质即可得； (2) 为了保证，则6粒种子中育苗成功的数量需大于或等于5．接着计算其概率，令，设函数，分析函数单调性即可得. 【小问1详解】 记育苗成功为事件A，移栽成活为事件B． 由题意得， 因为， 所以． 设播撒300粒种子时育苗成功的种子数量为， 根据题意可得，由此可得． 【小问2详解】 解法一：一粒种子种植成功概率为，“”表示事件“恰好有5粒种子种植成功”， 所以． 令，设函数， ． 当时，；当时，， 在上单调递增，在上单调递减， 的最大值为， 综上，的概率，其最大值． 解法二：为了保证，则6粒种子中育苗成功的数量需大于或等于5． 设育苗成功的数量等于5为事件C，育苗成功的数量等于6为事件D， 则可得， 则有， 从而可得． 令，设函数， ． 当时，；当时，， 在上单调递增，在上单调递减， 的最大值为， 综上，的概率，其最大值为． 19.（本题 14 分） 【详解】（1）①每次有放回的抽取，每次抽到红球的概率为， 所以， 即，，，，，，， 得到的分布列为 0 1 2 3 4 5 期望为， ②依题意，样本比例为，现要求， 得，即，， 所以用样本中红球的比例估计总体的误差绝对值不超过0.2的概率为 . （2）记表示初始选择时选得汽车的事件，表示更换选择后选得汽车的事件， 则，， 所以，， 则， 因此不换门选中汽车的概率是， 换门选中汽车的概率是， 故而得结论：当主持人开启剩余的山羊门后，节目参加者换门更好，因为此时其获得汽车的概率是不换门的两倍. 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