精品解析：四川省江油中学2025级高一下4月教学质量检测数学试题

江油中学2025级高一下4月 教学质量检测 数 学 试 题 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数的虚部为（ ） A. B. C. 5 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】利用复数乘法运算法则，将复数化为的形式可得. 【详解】因为. 所以复数的虚部为3. 2. 已知平面向量，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量垂直的坐标表示可得答案. 【详解】因为，所以，解得. 故选：B. 3. 已知向量，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量的坐标表示代入即可. 【详解】因为，，，所以， ，解得，所以. 故选：A 4. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】运用余弦定理求出角的余弦值，即可确定角. 【详解】由余弦定理，可得， 又因为，故. 故选：C. 5. 如图，在正六边形中，＋＋＝（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可知,,代入条件根据向量加法的运算法则计算即可得到答案. 【详解】由题意可知: ,, 所以. 故选：D 6. 已知和是两个不共线的向量，若，，，且，，三点共线，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据三点共线可得，列出方程组即可得解. 【详解】因为， 且，，三点共线， 所以存在实数，使得，即， 则，解得. 故选：B 7. 设的面积为，角、、所对的边分别为、、，且，若，则此三角形的形状为（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】B 【解析】 【分析】由余弦定理可得出的值，由平面向量数量积的定义以及三角形的面积公式化简得出的值，结合三角形内角的取值范围得出、的值，进而可得出角的值，即可得出结论. 【详解】因为，所以， 因为，故， 因为，即， 即，化简得， 因为，故，可得，则，故， 因此，为直角三角形， 故选：B. 8. 已知非零向量与满足，且，点是的边AB上的动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先确定，取的中点，连接，以为坐标原点，建立直角坐标系，通过向量数量积的坐标表示即可求解. 【详解】因为分别表示与方向上的单位向量， 所以向量所在直线与的平分线重合， 又，即与垂直， 由三线合一可知，，如图，取的中点，连接，则⊥， 又， 其中， 所以，，故， 以为坐标原点，建立直角坐标系 ，， 设， ， 当时 的最小值为，故的最小值为. 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数满足，是纯虚数，其中，为虚数单位，则（   ） A. B. C. D. 在复平面内所对应的点位于第二象限 【答案】AD 【解析】 【分析】利用纯虚数的概念求解选项A，利用共轭复数的概念求解选项B，利用复数的模求解选项C，利用复数与复平面的点的对应关系求解选项D即可. 【详解】； 对于A，是纯虚数，，，A正确 对于B，，，B错误； 对于C，，C错误； 对于D，对应的点为，位于第二象限，D正确. 故选：AD. 10. 潮汐现象是地球上的海水受月球和太阳的万有引力作用而引起的周期性涨落现象．某观测站通过长时间观察，发现某港口的潮汐涨落规律为（，），其中y（单位：m）为港口水深，x（单位：h）为时间（），该观测站观察到水位最高点和最低点的时间间隔为，且中午点的水深为，为保证安全，当水深超过时，应限制船只出入，则下列说法中正确的是（ ） A. B. 最高水位为 C. 该港口从上午8点之后开始首次限制船只出入 D. 一天内限制船只出入的时长为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据余弦函数的性质，结合已知条件求出与，判断选项A、B；利用水深限制列不等式，解不等式求出船只限制出入时段及开始时间，进而判断选项C、D． 【详解】因为水位最高点和最低点的时间间隔为， 则，即， 且，可得，故A正确； 又因为中午点的水深为， 则，化简得，解得， 所以最高水位为函数最大值，故B错误； 因为当水深超过时限制船只出入， 令，可得， 则，，解得， 在范围内，有效区间为和， 共8小时，在上午8点之后开始首次限制，故C正确、D正确. 11. 记的内角，，的对边分别为，，，为内的一点，下列说法中正确的有（ ） A. 若，则 B. 若为所在平面内任意一点，，则点为三角形的重心 C. 若，则为锐角三角形 D. 若，，且为锐角三角形，则的取值范围是 【答案】ABD 【解析】 【详解】对于A，因，，由及正弦定理可得， 故得．又因为“三角形中大边对大角”，所以，故A正确； 对于B，， 取BC中点为D，则，则P点为BC边中线上更靠近BC边中点D的三等分点，由重心性质可得P为的重心，故B正确； 对于C，当，时，满足，但为钝角三角形，故C错误； 对于D，因为为锐角三角形，且， 则，解得．所以． 由正弦定理，得，所以，D正确. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答卷中的横线上. 12. 已知平面向量，的夹角为，且，，则在上的投影向量为__________. 【答案】 【解析】 【详解】由平面向量，的夹角为，且，， 所以在上的投影向量为. 13. 在中，，，，则__________. 【答案】3 【解析】 【分析】由同角三角函数的基本关系得，由正弦定理求得BC，再有余弦定理求得 【详解】在中，由，可得， 由正弦定理得，，即，解得， 由余弦定理得，，整理得，， 即， 解得舍去或， 故答案为: 14. 在中，分别是角的对边，若，则的值为___________. 【答案】2024 【解析】 【分析】由已知结合余弦定理进行化简，然后结合同角三角函数基本关系及正弦定理进行化简可求得答案． 【详解】由，得， 又，所以，所以， 则 . 四、解答题：15题13分，16、17题各15分，18、19题各17分，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量与的夹角，且，． （1）求，； （2）求与的夹角的余弦值． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）由向量数量积的定义及运算律求解即可； （2）先求出的值，再由夹角的余弦公式求解即可. 【小问1详解】 由已知，得， ； 【小问2详解】 . 设与的夹角为， 则， 因此，与的夹角的余弦值为． 16. 已知在中，点是边上靠近点的四等分点，点为中点，设与相交于点. （1）请用、表示向量和； （2）设和的夹角为，若，且，求证：； （3）若，，求点的坐标. 【答案】（1）， （2）证明见解析 （3） 【解析】 【详解】（1） （2）， ， （3）设，由已知可得 ，即 所以点的坐标是 17. 某海域的东西方向上分别有两个观测点（如图），它们相距海里.现有一艘轮船在点发出求救信号，经探测得知点位于点北偏东，点北偏西，这时，位于点南偏西且与点相距海里的点有一救援船，其航行速度为海里/小时. （1）求点到点的距离； （2）若命令处的救援船立即前往点营救，求该救援船到达点需要的时间. 【答案】（1） （2）2小时 【解析】 【分析】（1）在中利用正弦定理，求出； （2）在中，利用余弦定理求出，根据速度求出时间． 【小问1详解】 由题意知海里， ， ， 在中，由正弦定理得， ， （海里）. 【小问2详解】 在中，， （海里），由余弦定理得 ， （海里），则需要的时间（小时）． 答：救援船到达点需要2小时． 18. 在中，内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，，C为锐角. （1）求角C； （2）若，求的取值范围； （3）若，延长至D，使得，，求的面积. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）正弦定理化边为角，结合三角恒等变换求角C （2）正弦定理表示边，将转化为单角三角函数，再利用角的范围求值域 （3）通过正弦定理在两个三角形中建立关系，结合角度关系求解. 【小问1详解】 因为，由正弦定理， 得（*）. 又， 所以， 代入（*），可得. 因为，所以， 所以， 即.因为， 所以， 所以，即. 【小问2详解】 ， ， 所以的取值范围是. 【小问3详解】 在中，由正弦定理得① 在中，，， 由正弦定理，②. 由①②可得，展开化简得， 因为，所以. 因为，，所以. 所以. 19. “费马点”是由法国数学家费马提出并征解的一个问题.该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点.试用以上知识解决下面问题：已知的内角所对的边分别为，且 （1）求； （2）若，设点为的费马点，求； （3）设点为的费马点，，求实数的最小值. 【答案】（1） （2） （3）实数的最小值为 【解析】 【分析】（1）根据二倍角公式结合正弦定理角化边化简可得，即可求得答案； （2）利用等面积法列方程，结合向量数量积运算求得正确答案. （3）由（1）结论可得，设，推出，利用余弦定理以及勾股定理即可推出，再结合基本不等式即可求得答案. 【小问1详解】 由已知中，，即，故，由正弦定理可得， 故直角三角形，即. 【小问2详解】 由（1）可得的三个角都小于， 则由费马点定义可知：， 设， 由得：， 整理得， 则 . 【小问3详解】 点为的费马点，则， 设， 则由得； 由余弦定理得， ， ， 故由得， 即，而， 故，当且仅当， 结合，解得时，等号成立， 又，即有，解得或（舍去）， 故实数的最小值为. 【点睛】关键点睛：解答本题首先要理解费马点的含义，从而结合（1）的结论可解答第二问，解答第二问的关键在于设，推出，结合费马点含义，利用余弦定理推出，然后利用基本不等式即可求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江油中学2025级高一下4月 教学质量检测 数 学 试 题 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数的虚部为（ ） A. B. C. 5 D. 3 2. 已知平面向量，若，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在正六边形中，＋＋＝（ ） A. B. C. D. 6. 已知和是两个不共线的向量，若，，，且，，三点共线，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 7. 设的面积为，角、、所对的边分别为、、，且，若，则此三角形的形状为（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形 8. 已知非零向量与满足，且，点是的边AB上的动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数满足，是纯虚数，其中，为虚数单位，则（   ） A. B. C. D. 在复平面内所对应的点位于第二象限 10. 潮汐现象是地球上的海水受月球和太阳的万有引力作用而引起的周期性涨落现象．某观测站通过长时间观察，发现某港口的潮汐涨落规律为（，），其中y（单位：m）为港口水深，x（单位：h）为时间（），该观测站观察到水位最高点和最低点的时间间隔为，且中午点的水深为，为保证安全，当水深超过时，应限制船只出入，则下列说法中正确的是（ ） A. B. 最高水位为 C. 该港口从上午8点之后开始首次限制船只出入 D. 一天内限制船只出入的时长为 11. 记的内角，，的对边分别为，，，为内的一点，下列说法中正确的有（ ） A. 若，则 B. 若为所在平面内任意一点，，则点为三角形的重心 C. 若，则为锐角三角形 D. 若，，且为锐角三角形，则的取值范围是 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答卷中的横线上. 12. 已知平面向量，的夹角为，且，，则在上的投影向量为__________. 13. 在中，，，，则__________. 14. 在中，分别是角的对边，若，则的值为___________. 四、解答题：15题13分，16、17题各15分，18、19题各17分，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量与的夹角，且，． （1）求，； （2）求与的夹角的余弦值． 16. 已知在中，点是边上靠近点的四等分点，点为中点，设与相交于点. （1）请用、表示向量和； （2）设和的夹角为，若，且，求证：； （3）若，，求点的坐标. 17. 某海域的东西方向上分别有两个观测点（如图），它们相距海里.现有一艘轮船在点发出求救信号，经探测得知点位于点北偏东，点北偏西，这时，位于点南偏西且与点相距海里的点有一救援船，其航行速度为海里/小时. （1）求点到点的距离； （2）若命令处的救援船立即前往点营救，求该救援船到达点需要的时间. 18. 在中，内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，，C为锐角. （1）求角C； （2）若，求的取值范围； （3）若，延长至D，使得，，求的面积. 19. “费马点”是由法国数学家费马提出并征解的一个问题.该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点.试用以上知识解决下面问题：已知的内角所对的边分别为，且 （1）求； （2）若，设点为的费马点，求； （3）设点为的费马点，，求实数的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $